直角三角形教学设计案例

直角三角形

（一）、设计指导思想

直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度.因此教科书将其两种证明方法放在“读一读”中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，而对其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．

（二）、教材分析

本节的重点是：(1)进一步以公理和已证明的定理为基础证明或了解勾股定理及其逆定理的证明方法，证明直角三角形全等的“HL”判定定理，掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；(2)结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．而探索证明方法同样是本节的重点和难点.

教学中，使学生经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导. （三）、学情分析

本学期是所有中考知识学习的重要阶段，学生没有象初一初二那么轻松，而是普遍感到紧张，中上的学生觉得课内的容易课外难，中上的学生感到疲于应付。

（四）、教学目标

(一)教学知识点

1．经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性．

2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

（二）思维训练要求

1．进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

2．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的创新精神．

(三)情感与价值观要求

1．在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲．

（五）、教法学法

运用。

（六）、媒体选择

I ．创设情境，引入新课

[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC ＝30°，AB ＝10 cm ，CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少?B 1C 1呢?

[生]解：在Rt △ABC 中， ∠CAB ＝30°，AB ＝10 cm ， ∴BC ＝

21AB ＝2

1

×10＝5 cm ． ∵CB 1⊥AB ．∴∠B+∠BCB 1＝90°．

又∵∠A+∠B ＝90°， ∴∠BCB 1＝∠A ＝30°． 在Rt △ACB 1中，BB 1＝

21BC ＝21×5=2

5

cm ＝2．5cm. ∵AB 1＝AB-BB 1＝10-2．5＝7．5(cm)．

∴在Rt △AB 1C 1中，∠A ＝30°， ∴B 1C 1=

21AB 1=2

1

×7．5=3．75(cm)． [师]很好，我们上节课证明了含30°角的直角三角形的性质，但对一般的直角三角形

具有什么样的性质呢?

[生]在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，我们把这个结论叫做勾股定理．

[问题2]我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?

下面就请同学们一块打开课本P 17，看“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法． Ⅱ．讲述新课

1．勾股定理及其逆定理的证明．

[师生共析]这里我们先看其中的一种证明方法，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读． 已知：如图，在△ABC 中， ∠C ＝90°，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c.

求证：a 2+b 2

=c 2

．

证明：延长CB 至D ，使BD ＝b ，作∠EBD ＝∠A ，并取BE ＝c ， 连接ED 、AE(如图)，则△ABC ≌△BED ．

∴∠BDE=90°，ED ＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． ∴四边形ACDE 是直角梯形． ∴S 梯形ACDE ＝

21 (a+b)(a+b)＝2

1 (a+b)2

． ∴∠ABE ＝180°-∠ABC-∠EBD

＝180°-90°＝90°， AB ＝BE ． ∴S △ABE =

2

1c 2． ∵S 梯形ACDE ＝S △ABE +S △ABC +S △BED ，

∴

21 (a+b)2＝21c 2+21ab+21

ab ， 即21a 2+ab+21b 2＝2

1

c 2+ab ．

∴a 2+b 2＝c 2．

两千多年来，人们对勾股定理进行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法，如果你有兴趣，可查阅有关资料，了解勾股定理的其他证明方法．

教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如下：(打出投影片§ 1．2．1 A)

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

(1)勾股定理的内容从左到右分层次出现，其中定理内容中的“直角三角形”闪烁3下． (2)定理内容中的“两直角边的平方和等于斜边的平方”在“直角三角形”停止闪烁后，接着闪烁3下．

[师]反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明此结论吗?这对同学们来说也是具有一定难度的，下面我们一同来完成． [师生共析]已知： 如图，在△ABC 中， AB 2+AC 2＝BC 2．

求证：△ ABC 是直角

分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°，是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证． 证明：作Rt △A ′B ′C ′， 使∠A ′＝90°，A ′B ′=AB ，

A ′C ′=AC(如图)，则A ′

B ′2

+A′C′2＝B′C′2(勾股定理)．

∵AB 2+AC 2=BC 2,A′B′=AB ，A′C′＝AC ， ∴BC 2＝B′C′2． ∴BC ＝B ′C ′．

∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS)．

∴∠A ＝∠A ′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此， △ABC 是直角三角形．