最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线垂直的条件》教案

示范教案

整体设计

教学分析

教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．

三维目标

1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．

2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．

重点难点

教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．

教学难点：归纳两条直线垂直的条件．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．

设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)直线l：Ax＋By＋C＝0与直线l′：Ax＋By＝0有什么位置关系？

(2)已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

讨论l1⊥l2的条件时，可转化为讨论过原点的哪两条直线垂直的条件？

(3)阅读教材，讨论l1与l2垂直的条件.

(4)写出判断直线l1和l2是否垂直的步骤.

讨论结果：

(1)l与l′平行或重合

(2)由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y＝0垂直的条件．

(3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合．

如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．

在直线l 1′，l 2′上，分别取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(都不是原点)．由勾股定理，得x 21＋

y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.

由假定可知B 1≠0，B 2≠0，因此y 1＝－A 1B 1x 1，y 2＝－A 2B 2x 2.代入上式，得x 1x 2(1＋A 1A 2B 1B 2

)＝0. 因为A ，B 都不在y 轴上，所以x 1x 2≠0，因此1＋A 1A 2B 1B 2

＝0，① 即A 1A 2＋B 1B 2＝0.②

由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l 1′与l 2′垂直，从而也就证明了l 1与l 2垂直．

假定l 1，l 2中有一条直线与坐标轴平行或重合．

当l 1⊥l 2时，可以推出l 1，l 2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A 1A 2＋B 1B 2＝0.

反过来，由条件A 1A 2＋B 1B 2＝0也可以推出l 1⊥l 2.

总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l 1和l 2，有 l 1⊥l 2 ⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.

如果B 1B 2≠0，则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1，l 2的斜率k 2＝－A 2B 2

. 由上面的①式，又可以得出l 1⊥l 2 ⇔k 1k 2＝－1.

(4)计算步骤：

①给A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2赋值；

②计算M ＝A 1A 2＋B 1B 2；

③若M ＝0，则l 1⊥l 2；若M ≠0，则l 1与l 2不垂直．

应用示例

思路1

例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：

(1)2x －4y －7＝0与2x ＋y －5＝0；

(2)y ＝3x ＋1与y ＝－13

x ＋5； (3)2x ＝7与3y －5＝0.

解：(1)因为A 1＝2，B 1＝－4，A 2＝2，B 2＝1，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×2＋(－4)×1＝0，所以这两条直线垂直．

(2)由k 1＝3，k 2＝－13，得k 1k 2＝3×(－13

)＝－1，所以这两条直线垂直． (3)因为A 1＝2，B 1＝0，A 2＝0，B 2＝3，得A 1A 2＋B 1B 2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直．

此题也可以直接看出直线2x ＝7平行于y 轴，直线3y －5＝0平行于x 轴，从而可以判断这两条直线垂直．

点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用A 1A 2＋B 1B 2＝0来判定；由斜截式给出的方程可以用k 1k 2＝－1来判定．

变式训练

判断下列两直线是否垂直，并说明理由．

(1)l 1：y ＝4x ＋2，l 2：y ＝－14

x ＋5； (2)l 1：5x ＋3y ＝6，l 2：3x －5y ＝5；

(3)l 1：y ＝5，l 2：x ＝8.

解：(1)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，则k 1＝4，k 2＝－14

， 有k 1·k 2＝4×(－14

)＝－1，所以l 1⊥l 2. (2)因为A 1＝5，B 1＝3，A 2＝3，B 2＝－5，A 1A 2＋B 1B 2＝5×3＋3×(－5)＝0，所以l 1⊥l 2.

(3)因为l 1平行于x 轴，l 2垂直于x 轴，所以l 1⊥l 2.

例2求证：直线Ax ＋By ＋C 1＝0与直线Bx －Ay ＋C 2＝0垂直．

证明：因为AB ＋B(－A)＝0，所以这两条直线垂直．

点评：一般地，我们可以把与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程表示为Bx －Ay ＋D ＝0.

同样可证明与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)垂直的直线可表示为y ＝－1k

x ＋b 1. 变式训练

求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：

(1)(－1,3)，y ＝2x －3；

(2)(1,2)，2x ＋y －10＝0.

解：(1)设所求直线方程为y ＝－12

x ＋b. 因为直线过点(－1,3)，代入方程，得b ＝52，所以所求方程为y ＝－12x ＋52

，即x ＋2y －5＝0. (2)设所求的直线方程为x －2y ＋C ＝0.

因为直线过点(1,2)，代入方程，得C ＝3，所以所求直线方程为x －2y ＋3＝0.

思路2

例3已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC 的形状．

分析：先作图猜想，然后给出证明．

解：由题意，知k AB ＝1－(－1)1－5＝－12，k BC ＝3－12－1

＝2. ∵k AB ·k BC ＝－1，

∴AB ⊥BC.∴△ABC 为直角三角形．

点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明． 变式训练

已知A(－6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(－2,6)，求证：AB ⊥PQ.

证明：k AB ＝6－03＋6＝23，k PQ ＝6－3－2－0

＝－32， ∴k AB k PQ ＝－1，∴AB ⊥PQ.

例4已知△ABC 的顶点坐标为A(1,2)、B(－1,1)、C(0,3)，求BC 边上的高所在的直线方程． 分析：BC 边上的高所在直线的斜率与直线BC 的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解．

解：设BC 边上的高所在直线斜率为k ，则k·k BC ＝－1，又k BC ＝3－10－(－1)

＝2，