大学物理-傅里叶积分变换

里叶级数 问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
f2 ( x)
1
2
0
它们的傅里叶变换分别为
(2 x 2) ( x 2)
f1(k)
f1 ( x)e ikx dx
1 eikxdx 2sin k
1
k
f2 (k)
f2 (x)eikxdx
2 (1 x )eikxdx
2
2
2x
2sin2 k
2 (1 ) cos kxdx
波矢域 k
时间域
频率域 经过积分变换后，域的变化
§10–1 傅里叶积分变换
一、傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
(10-1-10) (10-1-11) (10-1-12)
解出 c1, c2 后代入 (10-1-10)，有 3．作像函数 U(k, t) 的傅里叶逆变换
上式中第二个方程的第 1、3 项由延迟定理，有 对上式两边作逆变换，得到 而第 2、4 项分别由延迟定理、积分定理，得 对上式两边作逆变换，有
说明：
(1) 原函数存在微分运算，像函数中没有微分运算；
(2) 微分运算
代数运算 (乘运算)。
进而：常微 代数方程，偏微 常微
证明：当 n = 1 时，由傅里叶变换定义及分部积分法，得到
类似可证明： 扩展：对含偏导数的函数作傅里叶变换，有
注：以上求偏导数和作傅里叶变换都是针对变量 x 但是：
此时：求偏导数是对变量 y，但作傅里叶变换是对变量 x 6. 积分定理：若 f (x) 满足微分定理的条件，则
(1) 作积分方程的傅里叶变换。由卷积定义，有
e x y( )d
(x )y( )d (x) y(x)
利用卷积定理，可将积分方程的傅里叶变换写成下式：
F[
x2
2 e 2 ] F[
e x y( )d ] F[(x) y(x)]
F[e x ]F[ y(x)]
(10-1- 2)
由
利用三角函数的正交关系，可得到
复习：间断点的分类
(1) 若 f (c + 0)、 f (c -0) 存在，但不相等，则称 c 为 f (x) 的第一类间断点；
(2) 若 f (c + 0)、 f (c -0) 中至少有一个不存在，则称 c 为 f (x) 的第二类间断点；
(3) 若 f (c + 0) = f (c - 0) ，即
——对于发生了任意位移 x0 的函数，其傅里叶变换等
于 f (x) 的傅里叶变换乘以一相位因子
。
上式即为
再对上式两边求傅里叶逆变换，有 即
3. 位移定理：设 k0 为任意常数，则 ——意义与延迟定理类似 (证明略)
4. 相似定理：设 a 为不等于 0 的常数，则
证明见教材。
5. 微分定理：若当 |x| → ， 则有
]
{F[
1
x2
e2
]
F[
d2
1
x2
e 2 ]}
2
dx2 2
作傅里叶逆变换，并利用式 (10-1-3)，即有
y(x) F1[ y(k)]
x2
d 2 x2
(e 2 e 2 )
2
(1
x2
x2
)e 2
2
dx2
2
例：利用傅里叶变换证明
0
sin3 k3
k
dk
3
8
证明：令
f1
(
x)
1 0
在傅里叶积分公式
中
令 (振荡因子)
则
可见：
：f (x) 的傅里叶变换 (或者：f (x) 的像函数)
记作：
，即
f (x)： 记作：
的傅里叶逆变换 (或者： ，即
的原函数)
显然：f (x) 的傅里叶变换的傅里叶逆变换等于自身，即
2. 三维形式的傅里叶积分 若采用以下方便书写的记号： 则有
3. 三维傅里叶变换的定义 4. 傅里叶积分的三角形式
例：求 f (x) e x 的傅里叶变换。 例：求 f (x) ex2 的傅里叶变换。
例：求单位阶跃函数 解：由傅氏变换的定义，有
的傅里叶变换 (a≥0)。
F[H (x a)] H (x a)eik xdx eik xdx
a
由于积分不收敛，故单位阶跃函数的傅里叶变换不
存在。为改善其收敛性质，考虑函数
d
1
t
d
f
(
,
)
( x )2
e 4a2 (t
) d
2a t
2a 0 t
说明：本题不利用卷积定理，在傅里叶逆变换公式中 对指数作配方运算后，再利用定积分公式计算也可以 得到相同的结果。
本题计算表明，齐次与非齐次的偏微分方程导致 u(x,t) 的像函数分别满足齐次与非齐次的常微分方程， 在解题方法上没有不同。
一、波动方程的定解问题 例：求解无界弦的振动的初值问题
(10-1-5)
(10-1-6) (10-1-7) 解：1. 对方程及初始条件作关于变量 x 的傅里叶变换
2．求解像函数 方程 (10-1-8) 的通解为
将 (10-1-10) 式代入 (10-1-9)，得到
(10-1-8) (10-1-9)
可得到：
k2
2 e 2
2
y(k)
1 k2
(10-1- 3)
(2) 求解像函数 ，由上式易见
y(k
)
(1
k
2
)e
k2 2
(10-1- 4)
(3) 作傅里叶逆变换 (反演)。为了计算方便，利用微分定
理及将函数 f (x) ex2 作傅氏变换的结果，将上式写成
y(k)
k2
[e 2
(ik
)2
e
k2 2
第十章 积分变换法
——求解偏微分方程的另一种方法 1. 积分变换
通过积分运算，把一个函数 f (x) 变换为另一个函数 F ()
即
K (, x) ：积分变换的核，决定了变换的具体形式 f (x)：原函数， F () ：像函数
几种积分变换： 傅里叶变换
拉普拉斯变换
梅林变换
2. 为什么进行积分变换?
(1) 经过变换后，函数关系变得简单。
02
k2
由帕塞瓦尔等式 可得
因此，有
即
sin3 kdk 3
0 k3
8
六、利用傅里叶变换求解偏微分方程 应用范围：求解无界区域的定解问题 用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤是： (1) 对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分
方程； (2) 求解像函数； (3) 对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解 (反演)。
将上式用于式 (10-1-19)，有
u(x, t) F1[(k)] F1[ea2k2t ] t F1[C(k, )] F1[ek2a2 (t ) ]d 0
利用奇、偶函数的性质及定积分公式 (参见 p121 例6)：
则
F [e 1 a2k2t ] 1 ek2a2tei k xdk
2
1 ek2a2t (cos kx i sin kx)dk
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余 弦项是 k 的偶函数，为在区间 (0, ) 积分值的两倍，则有
其中：
四、傅里叶变换的性质
1. 线性定理：若1 , 2 为任意常数，则对于任意函数 f1 (x)
及 f2 (x)，有
证明：对于第一式，由傅里叶变换的定义出发，有
2. 延迟定理：设 x0 为任意常数，则
狄利克莱条件，且绝对可积 (
有界)，则在 f (x)
的连续点处，傅里叶积分存在，即
而在 f (x) 的第一类间断点处，积分等于 ——傅里叶积分定理
从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡： 由于 l → ，所以相邻两 kn 值之差为
将
三、傅里叶变换的定义 (Fourier Tansform)
1. 一维傅里叶变换的定义
dA(k, t) ek2a2t C(k, t) dt
将全式的 t 改为 ，两边乘以 后对 从 0 到 t 积分，
便有
A(k,t) A(k, 0) t C(k, )ek2a2 d 0
将 A(k,t) 代入式 (10-1-17) 可得到
(10-1-18)
在式 (10-1-18) 中令 t = 0 得 U(k,0)=A(k,0)，再与式 (10-1-16) 联立得 A(k, 0) = (k) ，代入式 (10-1-18) 即有
因此，有 备忘：
另解： 因为 所以
其中
由延迟定理： 得 因此，有
又
前面已得到 同样，有 由此
所以
二、热传导方程的定解问题 例：求无界杆的热传导问题
ut u(
a2uxx
x, 0) (
f( x)
x,
t
)
( x ,t 0)
(10-1-13) (10-1-14)
解：(1) 对方程及初始条件作关于变量 x 的傅里叶变换
如：原函数的常微分方程
像函数的代数方程；
奇异函数 (阶跃函数, 函数, 格林函数等)
规则函数
(2) 对于有限边界的定解问题，分离变量法适宜；对于无 界问题，积分变换法适宜。
关于无界问题的说明： 如果物体的体积很大，而所需要知道的只是在较短
的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条件所产生 的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但没 有边界条件的定解问题 (柯西问题)，但无边界条件就无 法构成本征值问题 (分离变量法的重要步骤x) 在点 c 没有定义， 则称 c 为 f (x) 的
第三类间断点。
傅里叶级数的复数形式 (指数形式)：
令
，则
为了求系数 cn ，需证明：
所以
即 将 m → n ，有
二、傅里叶积分和傅里叶积分定理 已知：满足狄利克莱条件的周期性函数 f (x) 可展开成傅
H(x
a)
e
x
0 e
x
(x a) (x a)
重新定义
( 0) ，则
F[H (x a)] lim H (x a)eik xdx lim e( ik)xdx i eik a
0
0 a
k
例：求解积分方程
解：设 F[ y(x)] y(k), (x) e x 。解题的步骤分三步：
(10-1-15) (10-1-16)
(2) 求像函数。与式 (10-1-15) 对应的齐次常微分方程的
通解为
U (k,t) Aek2a2t
采用常数变易法，设式 (10-1-15) 的通解为 U (k,t) A(k,t)ek2a2t
(10-1-17)
将式 (10-1-17) 代入式 (10-1-15)，可得 A (k ,t ) 满足的方程
2
1 ek2a2t cos kxdk
1 ek2a2t cos kxdk
1
e
x2 4a2t
2a t
代入式 (10-1-19)，便有
u(x,t) (x)
1
x2
e 4a2t
t
f (x, )
1
e d
4
a
x2 2 (t
)
2a t
0
2a (t )
1
( )e
(
x )2 4a2t
证明：由卷积及傅里叶积分变换的定义，有
8. 像函数的卷积定理
9. 乘积定理：若 f1 (x) 和 f2 (x) 是 x 的实函数，则
10. 帕塞瓦尔 (Parseval) 等式
特别地
证明：将
及
(10-1-1)
代入 (10-1-1) 左边，交换积分次序后应用 函数的傅里叶
展开式，有
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如计算 切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到。