通信原理第3章(樊昌信第七版)
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Po ( f )＝ H ( f ) 2 ×Pi ( f )
H(f)为系统的频率响应。
19
输出过程o(t)的功率谱密度
对下式进行傅里叶变换：
Ro (t1,t1 ) h( )h( )Ri ( )dd Ro ( )
得出
Po ( f )
式中，a (t) － 随机包络， (t) － 随机相位
c － 中心角频率
显然， a (t)和 (t)的变化相对于载波cos ct
的变化要缓慢得多。
25
窄带随机过程表示式展开
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
可以展开为
(t) c (t) cosct s (t) sin ct
3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性
数学期望：对下式求数学期望： (t) c (t) cosct s (t) sin ct
得到
E (t) E[c (t)] cosct E[s (t)]sin ct
因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有 E[(t)] = 0 ，所以
表明：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那 么它们也是统计独立的。
高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也 可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也 是高斯过程。
6
3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
于是
R0 (t1,t1 ) h( )h( )Ri ( )dd R0 ( )
表明：输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两
式可知，若线性系统的输入是平稳的，输出也是平稳的。
18
3. 线性系统输出平稳过程ξo(t)的功率谱密度Po(f)是输入 平稳过程ξi(t)的功率谱密度Pi(f)与传递函数模的平方 的乘积。
量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机
变量，因而输出过程也为高斯过程。
注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
21
3.5 窄带随机过程
什么是窄带随机过程？
若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率
fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f << fc
的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带
程也是高斯型的。
因为从积分原理看， 0(t) h( )i (t )d
可以表示为：
0
(t)
lim
k 0
k 0
i
(t
k
)h(
k
)
k
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
f (x) 1 2
Biblioteka Baidu
f (x)dx 1
Ro
(
)e
j
d
h(
)h(
)Ri
(
)dd
e
jωτd
令 = + - ，得到
Po ( f ) h( )e j d h( )e j d Ri ( ' )e j'd '
及
F (x) 1 2 e dt (xa)/ 2 t2 2
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
E
h( )i (t1 )d
h(
)i
(t1
)d
h( )h( )E[i (t1 )i (t1 )]dd
根据输入过程的平稳性，有
E[i (t1 )i (t1 )] Ri ( )
式中
c (t) a (t) cos (t) － (t)的同相分量 s (t) a (t) sin (t) － (t)的正交分量
可以看出：
(t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计
特性确定。
26
讨论均值为零的平稳高斯窄带 过程的统计特性
随机过程。
22
其频谱和样本如图
S( f )
⌂f
⌂f
−fc
0
fc
f
（a）
23
S(t)
缓 缓 缓 缓 缓 缓 缓 [a(t )]
0
t
缓 缓 缓 缓 缓 fc
窄带过程的频谱和波形示意
24
窄带随机过程的表示式
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
通信原理
1
通信原理
第3章 随机过程
2
第3章 随机过程
3.3 高斯随机过程（正态随机过程）
3.3.1 定义
高斯过程(正态随机过程)：通信领域中最重要 的一种过程，大多数噪声都是高斯型的。
如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布
均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过
a
1
f (x)dx f (x)dx
a
2
o
a
x
a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形
将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为
标准化的正态分布：
f (x)
1 2
exp
x2 2
8
f (x)
s1 s1< s2
s2
x a
4
3.3.2 重要性质
由高斯过程的定义式可知,高斯过程的n维分布只依赖 各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此， 对于高斯过程，只需研究它的数字特征。
广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协 方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则 它的n维分布也与时间起点无关，即也是严平稳的。 所以，高斯过程若为广义平稳，则也严平稳。
数、功率谱以及概率分布。
14
随机信号通过线性系统
设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为ξi(t)， 则输出为ξo(t) ，则输入与输出可表示成卷积关系。
o t hti t
h
i
t
d
即线性系统响应等于输入信号与冲激响应的卷积。
对线性系统，当输入ξi(t)是平稳过程时，输出响应 ξo(t)，则对输入信号和输出信号的统计关系有以下主 要结论：
即
Po ( f ) H( f ) H( f ) Pi ( f ) H( f ) 2 Pi ( f )
结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘 以系统频率响应模值的平方。
应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro()
20
输出过程o(t)的概率分布
如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过
E[0
(t
)]
E
h(
)i
(t
)d
h( )E[i (t )]d
设输入过程是平稳的 ，则有
E[i (t )] E[i (t)] a
E[0 (t)] a
h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出
对应的傅里叶变换关系：V0 (f ) H (f )Vi (f )
随机信号通过线性系统：0
(t)
h(
)i
(t
)d
假设：i(t) －是平稳的输入随机过程，
a －均值，
Ri() － 自相关函数， Pi() － 功率谱密度；
求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函
不同概率密度函数曲线
9
正态分布函数
x
F(x) P( x)
1
2
exp
(z a)2
2 2
dz
这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函 数，用查表的方法求出。
用误差函数表示正态分布函数：令 t (z a) / 2
则有 dz 2 dt
E[
(tk
)],
2 k
E[ (tk ) ak ]2
3
式中
|B| － 归一化协方差矩阵的行列式，即
1
b12 b1n
B b21 1 b2n
bn1 bn2 1
|B|jk －行列式|B|中元素bjk的代数余因子
bjk － 为归一化协方差函数，即
b jk
E{[ (t j ) a j ][ (tk ) ak ]} j k
5
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，
即对所有j k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为
n
fn (x1, x2 ,..., xn ; t1, t2 ,..., tn )
k 1
1
2 k
exp
(xk ak
2
2 k
)2
f (x1,t1 ) f (x2 ,t2 ) f (xn , tn )
程，n维正态概率密度函数表示式为：
fn (x1, x2 ,...,xn；t1,t2 ,...,tn )
1
exp 1 n n B ( x j a j )( xk ak )
(2 )n / 21 2 ... n B 1/ 2
2 B j1 k1 jk
j
k
式中
ak
过程的均值是一个常数。
16
2. 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也 是平稳的
Ro (t1,t1 + t )= Ro (t )
系统的输出ξ0(t)的自相关函数只与时间间隔τ有关，与 时间起点无关。
17
输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义
R0 (t1,t1 ) E[0 (t1)0 (t1 )]
当一个系统的行为满足叠加原理时，这个系统称 为线性系统。
线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频 率响应H(f)来表示。
13
确知信号通过线性系统
确知信号通过线性系统 ：
v0 (t) h(t) vi (t) hi ( )v(t )d
式中 vi － 输入信号， vo － 输出信号
1. 输出过程的均值是一个常数。
E 轾 臌x0 (t) = E 轾 臌xi (t) H (0)=aH (0)
a是输入过程的均值，H(0)是线性系统在f=0时的频率响
应，即直流增益。
15
输出过程o(t)的均值
0(t) h( )i (t )d
对上式两边取统计平均：
得到
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
12
平稳随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确 知信号通过线性系统的分析基础之上的。是对确 知信号分析的推广。
E[c (t)] 0， E[s (t)] 0
27
(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式
R (t,t ) E[ (t) (t )] Rc (t,t ) cosct cosc (t ) Rcs (t,t ) cosct sin c (t ) Rsc (t,t ) sin ct cosc (t ) Rs (t,t ) sin ct sin c (t )
H(f)为系统的频率响应。
19
输出过程o(t)的功率谱密度
对下式进行傅里叶变换：
Ro (t1,t1 ) h( )h( )Ri ( )dd Ro ( )
得出
Po ( f )
式中，a (t) － 随机包络， (t) － 随机相位
c － 中心角频率
显然， a (t)和 (t)的变化相对于载波cos ct
的变化要缓慢得多。
25
窄带随机过程表示式展开
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
可以展开为
(t) c (t) cosct s (t) sin ct
3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性
数学期望：对下式求数学期望： (t) c (t) cosct s (t) sin ct
得到
E (t) E[c (t)] cosct E[s (t)]sin ct
因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有 E[(t)] = 0 ，所以
表明：如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那 么它们也是统计独立的。
高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也 可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也 是高斯过程。
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3.3.3 高斯随机变量
定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的 随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为
于是
R0 (t1,t1 ) h( )h( )Ri ( )dd R0 ( )
表明：输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两
式可知，若线性系统的输入是平稳的，输出也是平稳的。
18
3. 线性系统输出平稳过程ξo(t)的功率谱密度Po(f)是输入 平稳过程ξi(t)的功率谱密度Pi(f)与传递函数模的平方 的乘积。
量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机
变量，因而输出过程也为高斯过程。
注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
21
3.5 窄带随机过程
什么是窄带随机过程？
若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率
fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f << fc
的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带
程也是高斯型的。
因为从积分原理看， 0(t) h( )i (t )d
可以表示为：
0
(t)
lim
k 0
k 0
i
(t
k
)h(
k
)
k
由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项
在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程
在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变
1
(x a)2
f (x)
2
exp
2 2
式中 a － 均值
2 － 方差
f (x) 1 2
曲线如右图：
o
a
x
7
性质
f (x)对称于直线 x = a，即
f a x f a x
f (x) 1 2
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f (x)dx 1
Ro
(
)e
j
d
h(
)h(
)Ri
(
)dd
e
jωτd
令 = + - ，得到
Po ( f ) h( )e j d h( )e j d Ri ( ' )e j'd '
及
F (x) 1 2 e dt (xa)/ 2 t2 2
1 1 xa
erf
2 2 2σ
式中
erf (x)
2
x 0
et
2
dt
－误差函数，可以查表求出其值。10
用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：
式中
F
(x)
1
1 2
erfc
x
a
2
erfc(x) 1 erf (x) 2 et2dt
x
当x > 2时，
erfc(x) 1 ex2 x
11
用Q函数表示正态分布函数：
➢ Q函数定义： Q(x) 1 et2 /2dt
2 x
➢ Q函数和erfc函数的关系：
E
h( )i (t1 )d
h(
)i
(t1
)d
h( )h( )E[i (t1 )i (t1 )]dd
根据输入过程的平稳性，有
E[i (t1 )i (t1 )] Ri ( )
式中
c (t) a (t) cos (t) － (t)的同相分量 s (t) a (t) sin (t) － (t)的正交分量
可以看出：
(t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计
特性确定。
26
讨论均值为零的平稳高斯窄带 过程的统计特性
随机过程。
22
其频谱和样本如图
S( f )
⌂f
⌂f
−fc
0
fc
f
（a）
23
S(t)
缓 缓 缓 缓 缓 缓 缓 [a(t )]
0
t
缓 缓 缓 缓 缓 fc
窄带过程的频谱和波形示意
24
窄带随机过程的表示式
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
通信原理
1
通信原理
第3章 随机过程
2
第3章 随机过程
3.3 高斯随机过程（正态随机过程）
3.3.1 定义
高斯过程(正态随机过程)：通信领域中最重要 的一种过程，大多数噪声都是高斯型的。
如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布
均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过
a
1
f (x)dx f (x)dx
a
2
o
a
x
a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形
将随着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为
标准化的正态分布：
f (x)
1 2
exp
x2 2
8
f (x)
s1 s1< s2
s2
x a
4
3.3.2 重要性质
由高斯过程的定义式可知,高斯过程的n维分布只依赖 各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此， 对于高斯过程，只需研究它的数字特征。
广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协 方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则 它的n维分布也与时间起点无关，即也是严平稳的。 所以，高斯过程若为广义平稳，则也严平稳。
数、功率谱以及概率分布。
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随机信号通过线性系统
设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为ξi(t)， 则输出为ξo(t) ，则输入与输出可表示成卷积关系。
o t hti t
h
i
t
d
即线性系统响应等于输入信号与冲激响应的卷积。
对线性系统，当输入ξi(t)是平稳过程时，输出响应 ξo(t)，则对输入信号和输出信号的统计关系有以下主 要结论：
即
Po ( f ) H( f ) H( f ) Pi ( f ) H( f ) 2 Pi ( f )
结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘 以系统频率响应模值的平方。
应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro()
20
输出过程o(t)的概率分布
如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过
E[0
(t
)]
E
h(
)i
(t
)d
h( )E[i (t )]d
设输入过程是平稳的 ，则有
E[i (t )] E[i (t)] a
E[0 (t)] a
h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出
对应的傅里叶变换关系：V0 (f ) H (f )Vi (f )
随机信号通过线性系统：0
(t)
h(
)i
(t
)d
假设：i(t) －是平稳的输入随机过程，
a －均值，
Ri() － 自相关函数， Pi() － 功率谱密度；
求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函
不同概率密度函数曲线
9
正态分布函数
x
F(x) P( x)
1
2
exp
(z a)2
2 2
dz
这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函 数，用查表的方法求出。
用误差函数表示正态分布函数：令 t (z a) / 2
则有 dz 2 dt
E[
(tk
)],
2 k
E[ (tk ) ak ]2
3
式中
|B| － 归一化协方差矩阵的行列式，即
1
b12 b1n
B b21 1 b2n
bn1 bn2 1
|B|jk －行列式|B|中元素bjk的代数余因子
bjk － 为归一化协方差函数，即
b jk
E{[ (t j ) a j ][ (tk ) ak ]} j k
5
如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，
即对所有j k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为
n
fn (x1, x2 ,..., xn ; t1, t2 ,..., tn )
k 1
1
2 k
exp
(xk ak
2
2 k
)2
f (x1,t1 ) f (x2 ,t2 ) f (xn , tn )
程，n维正态概率密度函数表示式为：
fn (x1, x2 ,...,xn；t1,t2 ,...,tn )
1
exp 1 n n B ( x j a j )( xk ak )
(2 )n / 21 2 ... n B 1/ 2
2 B j1 k1 jk
j
k
式中
ak
过程的均值是一个常数。
16
2. 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也 是平稳的
Ro (t1,t1 + t )= Ro (t )
系统的输出ξ0(t)的自相关函数只与时间间隔τ有关，与 时间起点无关。
17
输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义
R0 (t1,t1 ) E[0 (t1)0 (t1 )]
当一个系统的行为满足叠加原理时，这个系统称 为线性系统。
线性时不变系统可由其单位冲激响应h(t)或其频 率响应H(f)来表示。
13
确知信号通过线性系统
确知信号通过线性系统 ：
v0 (t) h(t) vi (t) hi ( )v(t )d
式中 vi － 输入信号， vo － 输出信号
1. 输出过程的均值是一个常数。
E 轾 臌x0 (t) = E 轾 臌xi (t) H (0)=aH (0)
a是输入过程的均值，H(0)是线性系统在f=0时的频率响
应，即直流增益。
15
输出过程o(t)的均值
0(t) h( )i (t )d
对上式两边取统计平均：
得到
Q(x)
1 2
erfc
x 2
erfc(x) 2Q( 2 x)
➢ Q函数和分布函数F(x)的关系：
F ( x)
1
1 2
erfc
x
a
2
1
Q
x
a
➢ Q函数值也可以从查表得到。
12
平稳随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确 知信号通过线性系统的分析基础之上的。是对确 知信号分析的推广。
E[c (t)] 0， E[s (t)] 0
27
(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式
R (t,t ) E[ (t) (t )] Rc (t,t ) cosct cosc (t ) Rcs (t,t ) cosct sin c (t ) Rsc (t,t ) sin ct cosc (t ) Rs (t,t ) sin ct sin c (t )