不定积分的第二换元法

1
2 3
a 2 x 2 ,令 x asin t 或 x acos t a 2 x 2 ,令 x a tan t x 2 a 2 ,令 x a sec t
或 x acot t 或 或 x acsc t 或
x a sh t
x a ch t
2 2 双曲函数的恒等式 ch x sh x 1 2 2 1 sh 2 x ch 2 x , ch x 1 sh x
双曲代换
例题
Eg1： 求 解: 令
1 x
2
x atant dx asec2 tdt
a
2
dx
(a 0 )
研背景


1 x
2
研究方 研究成 | sect tant | C1 sect dt ln案 果
a
2
dx

1 asec2 tdt asect
π π t 2 , 2
1
t
7
1 2 dt t

t6 dt 1 2t 7

1 1 ln | 2 x 7 | ln | x | C 14 2
根式代换
注
当被积函数含有两种或两种以上 的根式
k
x ,, x 时, 可采用令 x t
l
n
(其中n为各根指数的最小公倍数）
辅助三角形
x2 a2 x ln C1 a a
x2 a2
x
ln | x
x 2 a 2 | C1 lna
t
a
例题
Eg2: 求

a 2 x 2 dx
解: 令
x a sin t dx a cos tdt
1 cos2t a 研背景 研究成 a cos tdt研究方 a dt 2 2
a 2 x 2 dx
2 2 2

t , 2 2 a 2 a 2 sin 2 t acostdt
2
(a 0 )
案a 2 x 2 果 a2 1 x (t x sin 2t ) C a 2 arcsin 2a a a2 ( t sintcost) C 2 a2 x x arcsin a2 x2 C 2 a 2
不定积分的第二换元法
数一 景薇方 412114000216 数二 李梦晗 412114000404
Theorem (定理)
Th : 设 x φ( t ) 是单调的、可导的函数,并且 ( t ) 0,
又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，则有换元公式

f ( x )d x t t dt
例 解


1 x (1
3
dx x)
dx 6t 5dt
6 x t 令
1 x (1
3
x)
dx

6t 5 dt 3 2 t (1 t )

6t 2 dt 2 1 t
1 t2 1 1 6 dt 6 dt 1 2 2 1t 1t 6[t arctant] C

f ( x )d x f [ ( t )] ( t )dt


t 1 ( x )
Classify (分类)
三角 代换
倒代 换
根式 代换
Classify (分类)
三角 代换
倒代 换
根式 代换
三角代换
以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是 化掉根式.回代时,一定要借助辅助三角形. 一般规律:当被积函数中含有

2 t 1 d t ln C 2 t 1 t 1
2ln( 1 e x 1) x C


t 1 ( x )
其中， t
-1 ( x) 是 x φ(t )的反函数。
Method (方法)
方法具体步骤说明
对于求解不定积分 f ( x )d x
第一步：令 x φ( t ) ,则上式变为 f [φ( t )]d φ( t ) ； 第二步：求微分d (t ) φ(t )d t ,所以上式变为 f [ ( t )] ( t )dt ； 第三步：在函数 f [ ( t )] ( t )dt 的积分容易求得的时候：
倒代换
注 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方幂较高时)，倒代换 用来消去分母中的变量.
x 1 可 t
例题
例 求 解
dx x( x 2)
7
1
x
1 t
dx
1 dt t2

dx x ( x 7 2)
1 14
1


2 t d(1 2t 7 ) 1 7 ln | 1 2 t | C 7 1 2t 14
( t sintcost) C
a
t
a2 x2
x
例题
相仿地,通过变换 x
Байду номын сангаасasect
可算出
x 2 a 2 | C

1 x2 a2
dx ln | x
利用相应的三角变换,还可得到重要公式

x 2 a 2 dx
2 a x2 a2 ln | x 2
x 2
x 2 a 2 | C
6[6 x arctan6 x ] C
例 求
1 1 e
x
dx

e x t 2 1,
解 令 t 1 ex ,
1 1 xa d x ln C 2 2 2a xa x a
x ln(t 2 1), dx
2t dt. 2 t 1

1 1e
x
dx