不定积分的第二换元法
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高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
不定积分的换元积分法
类似地，有
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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铃
（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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结束
铃
一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
5-2 不定积分的换元积分法
1 2 xdx (2) xe dx
(1)
5 x2
1 3 1 1 2 1 2 x 2 C (1 2 x ) 2 d (1 2 x ) 2 3 2
x (3) dx 2 2 3x
e 10
1
5 x2
1 5 x2 d (5 x ) e C 10
1 (2) 2 dx； a x
1 a 2 x 2 dx；
x a 2 x 2 dx
1 1 x x (3) dx； dx； dx； dx 3 2 2 5 1 x (1 x ) 1 x (1 x )
19
换元积分法
二、第二换元积分法
第一换元法中 ( x) u f [ ( x)] ( x)dx
1 ln1 2 ln x C 2
1 1 ln x d (ln x ) 1 x
x
1 1 1 d (1 2ln x ) 1 x (1 2ln x ) 2
x
11
换元积分法
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有：
1 dx d ax b a 1 n 1 x dx d x n n e x dx d(e x ) cos xdx d(sin x ) sec 2 xdx d(tan x ) 1
1 (t 1) 1 1 1 x dx 1 t 2tdt 2 1 t dt 1 2 (1 )dt 1 t
2t 2ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x) C
23
换元积分法
练习 求下列函数的不定积分 x 1 (1) x x 1dx; (2) 3 dx . 3x 1
《微积分》第二节 不定积分的第二类换元积分法
dx a sec t tan t d t
∴ 原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
t
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
(C C1 ln a)
当x a 时 , 令 x u , 则 u a , 于是
du u 2 a2 ln u
2
,
2
sec tdt ln| sect tan t | C1
ln
x a
ln( x
x2 a
a2
C1
x2 a2 ) C.
x2 a2
x
t a
(C C1 ln a)
例4. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sec t
,
t
(0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
x5 dx
1 x2
t2 1 2
t tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
53
15
例6 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1,
x lnt2 1,
dx
t
2t 2
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1( x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t) , 令 F ( x) [ 1( x) ] (t) f [ (t)] (t)
则
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
第二类换元法
第四章
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
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x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
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例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
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例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
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x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
第二换元法求不定积分
第二换元法求不定积分积分是数学中的重要概念，是表示弯积的量化表达，可以用来解决许多数学问题。
由于积分的不定性，在数学的应用中至关重要，而积分的不定性可以通过第二换元法来求解。
第二换元法是一种解决不定积分问题的重要方法，它使用两个变量来解决不定积分问题。
第一步是用一个变量u来把原来不定积分的复杂表达式改写为一个更简单的表达式，第二步是用另一个变量v来把不定积分改写为定积分，最后再用变量u和v求解不定积分。
第二换元法可以求解不定积分中一些很复杂的函数表达式，也可以求解不定积分中复杂的椭圆和求导结果。
有时候，二换元法还可以求解不定积分中的奇异点，从而解决这些奇异点的问题。
使用第二换元法求解不定积分，首先要明确u和v的关系，即u(x)和v(x)的关系，确定u和v的取值范围，然后将原来的不定积分表达式改写成u和v的函数关系，再用变量u和v把不定积分表达式改写成定积分，最后根据变量u和v之间的关系，将定积分求解得出不定积分的解析解。
第二换元法是一种解决不定积分问题的常用方法，它能够有效解决不定积分中的一些复杂的表达式，也可以求解不定积分中的椭圆和求导结果，甚至求解不定积分中的奇异点。
然而，由于第二换元法对不定积分中变量u和v之间的关系有所要求，不能解决所有可能的不定积分，因此，使用第二换元法求解不定积分时，要根据不定积分的具体情况，明确变量u和v之间的联系，以及变量u和v的取值范围，以便求解出解析解。
综上所述，第二换元法是解决不定积分问题的重要方法，可以在解决复杂的不定积分表达式，椭圆和求导结果以及不定积分中的奇异点方面发挥重要作用。
使用第二换元法求解不定积分时，要根据不定积分的具体情况，明确变量u和v之间的联系，以及变量u和v的取值范围，以便求解出解析解。
第2讲不定积分的换元积分法
∫
arctan x d x = ∫ 2v d v x (1 + x)
= v2 + C
换元法可以连续使用
= (arctan u ) 2 + C = (arctan x ) 2 + C .
二、 不定积分的第二换元法
第一换元法中
∫
f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u 是被积表达式
ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
例1 解
求 ∫ sin 3 x cos x d x .
2
π
π
∫
dx a sec 2 t d t =∫ 2 2 a sec t x +a
= ∫ sec t d t
x2 + a2
t
x a
= ln | sec t + tan t | +C1
= ln | x + x 2 + a 2 | + C .
( C = C1 − ln a )
一般说来，含有
a 2 − x 2、 x 2 ± a 2 的表达式的积分，
=∫
(tan x + sec x)′ dx tan x + sec x
= ln | tan x + sec x | +C .
此题若按下面方式做，则有 cos x d x cos x d x du ∫ sec x d x = ∫ cos 2 x = ∫ 1 − sin 2 x = ∫ 1 − u 2 1 u +1 1 sin x + 1 = L = ln + C = ln +C 2 u −1 2 sin x − 1
不定积分第二种换元法
通过简单的积分问题，如 $int x^2 dx$，展示如何使用第二种换元法进行求解。解析过程中强调变量代 换和积分区间的调整。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
不定积分的第二类换元法
不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法，也称为变换型积分法，是求解某些复杂不定积分问题的一种重要方法。
它的核心思想是通过引入新的变量替换原积分式中的自变量，从而将原积分转化为形式更简单的积分式。
通过适当的变换可以简化积分的计算过程，使得原本难以求解的积分问题变得可行。
第二类换元法的基本步骤如下：1.首先，观察被积函数的形式，尝试找到适合的新的变量来代替原积分中的自变量。
通常可以根据被积函数的特点，选择适当的变换方法。
比如，当被积函数中出现平方根、指数函数、三角函数等形式时，可以考虑使用适当的换元方法。
2.其次，根据选择的新变量进行变换。
这里需要根据换元法的不同种类进行具体分析。
变换后的积分式可能比原式更简单，也可能更加复杂。
但是通过适当的变换，可以使得原本难以求解的积分问题变得可行。
3.然后，对于变换后的积分式，进行必要的代数运算。
这可能包括合并分式、分配开来等操作，以达到简化积分的目的。
4.最后，根据变换后的积分式求解不定积分。
这里需要利用基本的不定积分公式，以及特定函数的积分性质进行计算。
在具体计算过程中，需要注意变换后的新变量与原变量之间的关系，并进行适当的替换。
需要注意的是，不定积分的第二类换元法并非适用于所有问题，它仅仅是求解一部分特殊问题的方法之一。
对于一些特殊的积分问题，可能需要结合其他方法（如分部积分法、换元积分法等）进行求解。
举个例子来说明第二类换元法的具体应用：考虑求解不定积分∫(2x+1)√(2x+1)dx。
这里，我们可以选择新的变量u=2x+1来代替原式中的自变量x。
进行变换后，积分式变为∫√u du。
根据换元后的积分式，我们可以轻松求解得到积分的结果：(2/3)u^(3/2) + C，其中C为常数。
再将u=2x+1代回原始变量x，最终得到不定积分的结果：(2/3)(2x+1)^(3/2) + C。
通过上述例子可以看出，第二类换元法使原先较为复杂的积分问题变得简单易解。
不定积分第二类换元法公式
不定积分第二类换元法公式
换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
比如：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令x = asint，源式化为a*cost。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式x = φ(t)。
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。
由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
20190917考点9 不定积分的第二换元法
勾股定理
9-1，(2016 年 15 题 4 分)计算：
(
1 x
1
1 x2
)dx
_______
9-2，(2016 年 24 题 8 分)计算：计算 x cos x2dx
9-3，(2015 年 7 题 4 分) (x2 sin x)dx 【 】
A. -2x-1+cosx+C
1 dt
a2 sin 2 t
1
a2
csc2 x
1 a2
cot
t
C
1 a2
a2 x2 C x
根据三角函数定义，由图可见：
设 x=a•tant,有 sint= x a2 x2
则 dx=asec2tdt； 1 = a2 x2 sint x
a2 x2 a2(1 tan2 t) asect
ln | t 1 | C t 1
ln | x 2 1 | C x 2 1
倍数是 6，设 6 x =t>0，则
x
3
=t
3
x
=t2,有
6
5
x=t ,dx=6t dt,
dx
x3 x
6t 5 t3 t2
dt
6
t
t3
1
dt
6
t
3
1 t 1
1
dt
9-6，(2015 年 23 题 8 分) 计算
4
x x2
dx
3
考点习题：用第二换元法求不定积分 (答 案)
(1)
x 1 dx
3 3x 1
4(2)不定积分的换元积分法
34
换元积分法
例15
求
I x
dx 4 x2
解法一: 三角变换 x 2sin t
解法二: 解法三: 解法四:
根式变换 4 x2 t 倒变换 x 1
t
4 x2 tx
35
换元积分法
注 一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂
较高时), 倒代换 x 1 可用来消去分母中的变量.
例16 求
回 代
sectdt ln | sect tan t | C1
辅助三角形
ln
x2 a2 a
x a
C1
x2 a2
x
ln | x x2 a2 | C1 lna ln | x x2 a2 | C
t a
28
换元积分法
相仿地, 通过变换 x a secx可算出
1
x2 a2dx ln | x
(1) 2xex2 dx
(2)
x11 dx
1 x8
dx
(3) xaxn b
总结三
u axn b
f (axn b)xn1dx
1 na
f
(u)du
10
换元积分法
例5 求
(1) tan xdx
dx
(3) 1 ex
总结四
u(x) u(x)
dx
du(x) u(x)
(2) cot xdx
1 a
F (ax
b)
C
6
换元积分法
例3 求 (1) ex cos ex dx
(2)
arctan
x 1
xdx
x
arcsin xdx
(3) 1 x2
7
换元积分法
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
不定积分第2换元法
sin
x1 2
2 arcsin x 1 x 1
4 (x 1)2 C
sin
2t
x1 2
4( x1)2
22
2020/2/29
不定积分的计算
例11 求积分 I
dx
x x2 a2
(a 0)
解：当a x 时，令x 1, t (0, 1 )
t
a
解：当0 x a,
xa sin t ,dxa costdt
I1
a2 x2 a cost
a2 a4
cos2 sin 4
t t
dt
a
t
x c ostsin
t
x/ a2
a x2
/
a
a2 x2 tan t x / a2 x2
1 sec2 t 积分 1 1
第二换元法例(续1)
解：I 2
ax,代换asect tan tdt
x aSe c t x 2 a 2 atgt
a sect a tan t
x
x2 a2
整理
1
dt 1 t C
a
a
sin t x2 a2 / x
t
a
令x12sin t
4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt
4( x1)2 2cost
sin 2t 2sin t cost
分项积分
2t sin 2t C
2 t
x-1 2 x 1 4 (x 1)2
4 (x 1)2
2
2
代回t
a
rc
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第6章 章
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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a 2 x 2 dx
2 2 2
t , 2 2 a 2 a 2 sin 2 t acostdt
2
(a 0 )
案a 2 x 2 果 a2 1 x (t x sin 2t ) C a 2 arcsin 2a a a2 ( t sintcost) C 2 a2 x x arcsin a2 x2 C 2 a 2
1
2 3
a 2 x 2 ,令 x asin t 或 x acos t a 2 x 2 ,令 x a tan t x 2 a 2 ,令 x a sec t
或 x acot t 或 或 x acsc t 或
x a sh t
x a ch t
2 2 双曲函数的恒等式 ch x sh x 1 2 2 1 sh 2 x ch 2 x , ch x 1 sh x
1
t
7
1 2 dt t
t6 dt 1 2t 7
1 1 ln | 2 x 7 | ln | x | C 14 2
根式代换
注
当被积函数含有两种或两种以上 的根式
k
x ,, x 时, 可采用令 x t
l
n
(其中n为各根指数的最小公倍数）
双曲代换
例题
Eg1： 求 解: 令
1 x
2
x atant dx asec2 tdt
a
2
dx
(a 0 )
研背景
1 x
2
研究方 研究成 | sect tant | C1 sect dt ln案 果
a
2Leabharlann dx 1 asec2 tdt asect
π π t 2 , 2
f ( x )d x f [ ( t )] ( t )dt
t 1 ( x )
Classify (分类)
三角 代换
倒代 换
根式 代换
Classify (分类)
三角 代换
倒代 换
根式 代换
三角代换
以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是 化掉根式.回代时,一定要借助辅助三角形. 一般规律:当被积函数中含有
辅助三角形
x2 a2 x ln C1 a a
x2 a2
x
ln | x
x 2 a 2 | C1 lna
t
a
例题
Eg2: 求
a 2 x 2 dx
解: 令
x a sin t dx a cos tdt
1 cos2t a 研背景 研究成 a cos tdt研究方 a dt 2 2
6[6 x arctan6 x ] C
例 求
1 1 e
x
dx
e x t 2 1,
解 令 t 1 ex ,
1 1 xa d x ln C 2 2 2a xa x a
x ln(t 2 1), dx
2t dt. 2 t 1
1 1e
x
dx
t 1 ( x )
其中， t
-1 ( x) 是 x φ(t )的反函数。
Method (方法)
方法具体步骤说明
对于求解不定积分 f ( x )d x
第一步：令 x φ( t ) ,则上式变为 f [φ( t )]d φ( t ) ； 第二步：求微分d (t ) φ(t )d t ,所以上式变为 f [ ( t )] ( t )dt ； 第三步：在函数 f [ ( t )] ( t )dt 的积分容易求得的时候：
倒代换
注 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方幂较高时)，倒代换 用来消去分母中的变量.
x 1 可 t
例题
例 求 解
dx x( x 2)
7
1
x
1 t
dx
1 dt t2
dx x ( x 7 2)
1 14
1
2 t d(1 2t 7 ) 1 7 ln | 1 2 t | C 7 1 2t 14
2 t 1 d t ln C 2 t 1 t 1
2ln( 1 e x 1) x C
不定积分的第二换元法
数一 景薇方 412114000216 数二 李梦晗 412114000404
Theorem (定理)
Th : 设 x φ( t ) 是单调的、可导的函数,并且 ( t ) 0,
又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，则有换元公式
f ( x )d x t t dt
( t sintcost) C
a
t
a2 x2
x
例题
相仿地,通过变换 x
asect
可算出
x 2 a 2 | C
1 x2 a2
dx ln | x
利用相应的三角变换,还可得到重要公式
x 2 a 2 dx
2 a x2 a2 ln | x 2
x 2
x 2 a 2 | C
例 解
1 x (1
3
dx x)
dx 6t 5dt
6 x t 令
1 x (1
3
x)
dx
6t 5 dt 3 2 t (1 t )
6t 2 dt 2 1 t
1 t2 1 1 6 dt 6 dt 1 2 2 1t 1t 6[t arctant] C
2 2 2
t , 2 2 a 2 a 2 sin 2 t acostdt
2
(a 0 )
案a 2 x 2 果 a2 1 x (t x sin 2t ) C a 2 arcsin 2a a a2 ( t sintcost) C 2 a2 x x arcsin a2 x2 C 2 a 2
1
2 3
a 2 x 2 ,令 x asin t 或 x acos t a 2 x 2 ,令 x a tan t x 2 a 2 ,令 x a sec t
或 x acot t 或 或 x acsc t 或
x a sh t
x a ch t
2 2 双曲函数的恒等式 ch x sh x 1 2 2 1 sh 2 x ch 2 x , ch x 1 sh x
1
t
7
1 2 dt t
t6 dt 1 2t 7
1 1 ln | 2 x 7 | ln | x | C 14 2
根式代换
注
当被积函数含有两种或两种以上 的根式
k
x ,, x 时, 可采用令 x t
l
n
(其中n为各根指数的最小公倍数）
双曲代换
例题
Eg1： 求 解: 令
1 x
2
x atant dx asec2 tdt
a
2
dx
(a 0 )
研背景
1 x
2
研究方 研究成 | sect tant | C1 sect dt ln案 果
a
2Leabharlann dx 1 asec2 tdt asect
π π t 2 , 2
f ( x )d x f [ ( t )] ( t )dt
t 1 ( x )
Classify (分类)
三角 代换
倒代 换
根式 代换
Classify (分类)
三角 代换
倒代 换
根式 代换
三角代换
以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是 化掉根式.回代时,一定要借助辅助三角形. 一般规律:当被积函数中含有
辅助三角形
x2 a2 x ln C1 a a
x2 a2
x
ln | x
x 2 a 2 | C1 lna
t
a
例题
Eg2: 求
a 2 x 2 dx
解: 令
x a sin t dx a cos tdt
1 cos2t a 研背景 研究成 a cos tdt研究方 a dt 2 2
6[6 x arctan6 x ] C
例 求
1 1 e
x
dx
e x t 2 1,
解 令 t 1 ex ,
1 1 xa d x ln C 2 2 2a xa x a
x ln(t 2 1), dx
2t dt. 2 t 1
1 1e
x
dx
t 1 ( x )
其中， t
-1 ( x) 是 x φ(t )的反函数。
Method (方法)
方法具体步骤说明
对于求解不定积分 f ( x )d x
第一步：令 x φ( t ) ,则上式变为 f [φ( t )]d φ( t ) ； 第二步：求微分d (t ) φ(t )d t ,所以上式变为 f [ ( t )] ( t )dt ； 第三步：在函数 f [ ( t )] ( t )dt 的积分容易求得的时候：
倒代换
注 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方幂较高时)，倒代换 用来消去分母中的变量.
x 1 可 t
例题
例 求 解
dx x( x 2)
7
1
x
1 t
dx
1 dt t2
dx x ( x 7 2)
1 14
1
2 t d(1 2t 7 ) 1 7 ln | 1 2 t | C 7 1 2t 14
2 t 1 d t ln C 2 t 1 t 1
2ln( 1 e x 1) x C
不定积分的第二换元法
数一 景薇方 412114000216 数二 李梦晗 412114000404
Theorem (定理)
Th : 设 x φ( t ) 是单调的、可导的函数,并且 ( t ) 0,
又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，则有换元公式
f ( x )d x t t dt
( t sintcost) C
a
t
a2 x2
x
例题
相仿地,通过变换 x
asect
可算出
x 2 a 2 | C
1 x2 a2
dx ln | x
利用相应的三角变换,还可得到重要公式
x 2 a 2 dx
2 a x2 a2 ln | x 2
x 2
x 2 a 2 | C
例 解
1 x (1
3
dx x)
dx 6t 5dt
6 x t 令
1 x (1
3
x)
dx
6t 5 dt 3 2 t (1 t )
6t 2 dt 2 1 t
1 t2 1 1 6 dt 6 dt 1 2 2 1t 1t 6[t arctant] C