不等式解法整式分式根式
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§ 不等式的解法（一）
【一线名师精讲】
基础知识串讲
解不等式的基本原则：
1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：
3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法： (一)、整式不等式的解法 1、一元一次不等式
标准形式：b ax >或)0(≠ 解法要点：在不等式的两端同时除以a 后，若 0 2、一元二次不等式 标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。 解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。 （3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤∆时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。 3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a Λ或 0)())((21<---n x x x x x x a Λ()0>a 。 解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求出对应方程的根。 （3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回 来后继续穿根。即“奇过偶不过”。 （4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为 0)())((21>---n x x x x x x a Λ的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a Λ的解。 （二）、分式不等式的解法 标准形式： 0)()(>x f x g ，或0) () ( 0)()(0)() (>⋅⇔>x g x f x g x f 0)()(0) () (<⇔ )()(x g x f >； 以及 )()(x g x f <。 解法要点：解根式不等式的关键是去根号，应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换： ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>≥≥⇔>)()(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f ⎪⎩⎪ ⎨⎧>≥≥⇔>)()(0 )(0 )()()(2 x g x f x f x g x g x f 或⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g ⎪⎩⎪ ⎨⎧<≥>⇐<) ()(0 )(0)()()(2 x g x f x f x g x g x f 基本题型指要 【例1】 解下列不等式或不等式组： （1）⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+220)1)(3(2 x x x x （2）0)4)(2()3(2≤-+-x x x （3） x x x x x <-+-+2 22322 （4）02)1(2≥---x x x （1）思路导引：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式 0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>- 由222+ {}13|>- （2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}342|=≥-≤x x x x 或，，或 误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉 3=x 这类解。 （3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。 解析：将 x x x x x <-+-+2 22322化为标准形式，得： 0) 1)(3() 1)(2(2>+-++-x x x x x ， 因为012>++x x 恒成立，所以，0) 1)(3() 2(>+--x x x 。 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}321|><<-x x x 或，。 （4）思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。 解析：原不等式等价于： 02)1(2>---x x x (1) 或02)1(2 =---x x x (2) 由（1）得：⎪⎩ ⎪⎨⎧>->--010 22x x x ，解得2>x ； 由（2）得12-==x x ，或。 所以，原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或。 误区警示：请找出下面解法的错误： 由022≥--x x ，得01≥-x ，所以，原不等式的解为1≥x 。 点评：解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。 ◆题型二：解含参数的不等式 不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等式。 【例2】解下列关于x 的不等式： （1）02>+ax （2）x t tx )2(22+>+ （3）)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a （1）思路导引：本题在求解x 时必须去除系数a ，由于a 的范围不明，无法直接变形，若将a 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类中式子就能顺利变形了。 解析：由已知，2->ax 。 ①、当0>a 时，a x 2 - >； ②、当0 x 2- <； ③、当0=a 时，20->恒成立，R x ∈ 。 故，原不等式解集当0>a 时为⎭⎬⎫⎩ ⎨⎧ ->a x x 2|， 当0 ⎨⎧