新课标A版高中数学选修2-3课时作业：21 Word版含答案

课时作业(二十一)

1．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．

解析 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝1

8，

同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝1

8

.

所以随机变量Y 的分布列为：

E (Y 21)

＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×1

8

＝19.

2．某渔船要对下月是否出海作出决策，如果出海后遇到好天气，可得收益6 000元，如果出海后天气变坏将损失8 000元．若不出海，无论天气如何都将承担1 000元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率是0.6，天气变坏的概率为0.4，请你为该渔船作出决定，是出海还是不出海？依据是什么？

解析 若选择出海，设X 为渔船的收益，则由题知X 的可能取值为6 000元，－8 000元，

P (X ＝6 000)＝0.6，P (X ＝－8 000)＝0.4.

∴E (X )＝6 000×0.6＋(－8 000)×0.4＝400. 若选择不出海，则损失1 000元． ∵400>－1 000，∴应选择出海．

3．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．

解析 (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－C 2

3C 26＝1－15＝4

5

.

(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝1

3

，

P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215

， P (ξ＝4)＝1C 26

＝115

.

从而知ξ的分布列为

所以，E (ξ)＝0×3＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3

.

4．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、1

6.现有3名工人独立地从

中任选一个项目参与建设．

(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．

解析 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝1

2，P (B i )＝

13，P (C i )＝16

. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝1

6

.

(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，

由已知，η～B (3，1

3)，且ξ＝3－η，

所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3

＝127

，

P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(1

3)2

(23)＝29，

P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(2

3)2

＝49

，

P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23

)3

＝

8

27

. 故ξ的分布列是

ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27

＝2.

解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3.

由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且

P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23

.

所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k

，k ＝0,1,2,3.

故ξ的分布列是

ξ的数学期望E (ξ)＝3×3

＝2.

5．某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或1

3

.

(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？

(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率． 解析 (1)设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，