在单输入单输出控制系统中当系统的数学模型建立之后

h(t) 1
ent
1 2
s in ( n
1 2t )
(t 0)
arctg ( 1 2 / ),
arccos
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响应由两部分组成：稳态分量和瞬态分量
瞬态分量衰减的快慢取决于包络线 衰减系数 n
e nt h(t) 1
1 2
动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡 型
稳态响应过程：在输入信号作用下，当时间t趋向无穷大 时，系统输出的表现形式。稳态误差是稳态性能描述的 指标。
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动态性能指标
在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函数可以表征系 统受到的最严峻的工作状态，动态性能指标
（1）发散正弦振荡型 1 0
h(t) 1
ent
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s in ( n
1 2t )
（2）单调发散型
1
(t 0)
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
h(t) 1
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
（3）等幅振荡型 0 无阻尼
h(t) 1 cosnt
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dt
T2
0
一阶系统的单位斜坡响应 c(t)
0.368/T
0.135/T 0.05/T
T 2T 3T
t
直线方程 1 (t T ) T2
R(s) 1 s2
3T 2.050T
c(t)
t
h( )d
t (1 e /T )d
0
0
2T
1.135T
T
0.386T
(t T ) Tet /T (t 0)
一阶系统的数学模型
T dc(t) c(t) r(t)
或
dt
（1）一阶系统的单位阶跃响应
(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
r(t) 1(t)
C(s) (s)R(s) 1 1
Ts 1 s
h(t) 1 et /T (t 0)
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工作原理：在该系统中，一对圆环电位器组成了角误差检测器， 其中一个电位器与输入手柄连接，另一个电位器与负载连接， 系统的控制任务是：使得负载位置与输入手柄位置是一致的。
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各运部件的运动方程：
Uk Ks (r c )
U d K AU s
2% 5%
n
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二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：
1 0.6 0.2 2
td
n
或
tr d
n 1 2
td
1 0.7 n
tp
d
n
1 2
% e / 1 2 100%
实际上，上述各项性能指标 之间的存在矛盾，例如上升 时间（响应速度）和超调量 （阻尼程度或相对稳定性）
0 T 2T 3T
t
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3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统
1. 二阶系统的数学模型
位置控制系统（p.83 图3-6） 主要元部件：一对圆环电位器、误差放大器、功率放大器、直 流伺服电动机、减速器、具有粘性摩擦和转动惯量的负载。
(t 0)
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(t 0)
14
（4）欠阻尼 0 1 二阶系统的单位阶跃响应是衰减振荡
型的，令
n d n 1 2 则有 s1,2 jd
C(s)
s2
n2 2 ns
n2
1 s
1 s
(s
s n n )2 d 2
(s
n n )2
d2
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对于位置控制系统 R(s)
n
K TM
K s(TM s 1)
1
2 TM K
C(s)
特征方程的根： s2 2 ns n2 0
s1,2 n n 2 1
对于不同阻尼比，相应的特征根（闭环极点）分布如图所示。
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2 1)
C(s)
n2
1
(s 1/ T1 )(s 1/ T2 ) s
T2
n (
1
2
1)
e t / T1
e t / T2
h(t) 1
T2 / T1 1 T1 / T2 1
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(t 0)
T1 T2
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p.87 图3-10 给出了二阶系统的单位阶跃响应在（3） （无阻尼）（4）（欠阻尼）（5）（临界阻尼）（6） （过阻尼）情况下的四种响应曲线。
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18
3. 欠阻尼二阶系统的动态性能分析
在图中称为阻尼角
cos
j
n
n 1 2
h(t) 1
ent
1 2
s in ( n
1 2t )
0
n
(t 0)
无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式
（1）延迟时间 td 的计算
h(td ) 0.5
ntd
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根据超调量的定义，并考虑到 h() 1
% e / 1 2 100%
0.4 ~ 0.8 % 25.4% ~1.5%
P.89 图3-13 给出了欠阻尼二阶系统阻尼比与超调量之间 的关系。
（5）调节时间 ts 的计算
为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实 际响应估算调节时间。
3.53 (rad / s)
t p 1 2
第3章 线性系统的时域分析法
在单输入单输出控制系统中，当系统的数学模型建立之后， 控制系统的动态性能和稳态性能的分析可以运用时域分析法、根 轨迹法和频域法；如果系统系统模型是状态空间模型，可以运用 状态空间分析与设计方法。
本章研究线性控制系统性能分析的时域法。
3-1 线性系统时间响应的性能指标
线性系统时间响应性能：动态性能、稳态性能
0.865
0.632
0 T 2T 3T
t
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一阶系统的单位脉冲响应
R(s) 1
dc(t) T c(t) r(t)
dt c(t) dh(t) 1 et /T
dt T
c(t)
1/T
(t 0)
dc(t) 1 et / T (t 0)
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j
n 1 2
0
n 1 2
n
( 1 0 )
j
n
0 n
( 0)
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j
0
( 1)
j
s1 s2
n
0
n
j
n 1 2
0
n 1 2
(0 1)
j
0
( 1)
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(1)
13
2. 二阶系统的单位阶跃响应
6
t 0 h(0) 0 , t T h(T) 0.632 , t h() 1
dh(t) dt
t0
1 T
dh(t) dt
t T
0.368 1 T
dh(t) dt
t
0
单位阶跃响应曲线见p.80的图3-3
动态性能指标分别为：
h(t)
td 0.69T
tr 2.20T
ts 3T
0.95
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在 0.8 ，误差带 0.05 5% 时，可用以下近似估算公
式：
3.5
ts n
也可以用以下公式
估算：
ts
4
ts
3
n
2% (0
5%
1
n
1
n
0.9)
4
ln
3
ln
1 1 2
1 1 2
h()
若 h(t p ) h() ，则响应无超调。
稳态性能指标
通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳态误差； 稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。
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3-2 一阶系统的时域分析
在实际工程中，一大类高阶系统的特性可以用一阶系 统来近似。
sin d t p 0
d t p 0, , 2 ,
dtp ,
tp d
n
1 2
（4）超调量 % 的计算
e nt p h(t p ) 1
sin( n
1 2 t p ) 1 e / 1 2 sin( )
1 2
1 2
sin( ) 1 2
h(t p ) 1 e / 1 2
2
R(s) 1 s 1
R(s) s2
R(s) 1 s3
r(t) (t) r(t) Asin t 1(t)
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R(s) 1
R(s) A s2 2
2
在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程 和稳态过程两部分组成。
动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号作 用下，系统从初态到终态的响应过程。
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（5）临界阻尼 1
C(s) n2 1 1 n 1 (s n )2 s s (s n )2 s n
h(t) 1 e nt (1 nt) (t 0)
dh(t) dt
n 2te nt
（6）过阻尼
1
令
1
T1
n (
4
ts 3n n
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2% (0 0.9)
5%
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例1 设系统如图所示，若要求系统具有性能指标
p % 20%, t p 1 (s) 试确定系统的参数 K 和 ，并 计算单位阶跃响应的特征量 td tr ts
(1) (s) C(s)
h(tr ) 1
entr
1 2
s in ( n
1 2tr ) 1
sin(n 1 2 tr ) 0
tr
d
n
1
2
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20
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) dt tt p
n e nt p sin d t p 0 1 2
La
did dt
Raia
Ud
Kbm
Mm Cmid
J
d m
dt
f m
Mm
m mdt
c
1
i
m
系统方框结构图见p.84图3-7。若电枢电感可以忽略不计，令
K1 Ks K ACm / Ra
F f CmKb / Ra
r (s)
k1
k2
km s(Tms 1)
1/i c(s)
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线性系统的时间响应性能，是在某些典型输入信号作用下来考 察系统的动态响应和稳态响应。
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1
典型输入信号
单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 单位脉冲函数 正弦函数
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r(t) 1(t) r(t) t 1(t) r(t) 1 t 21(t)
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开环传递函数
G(s) K s(TM s 1)
K K1 / F
TM J / F
闭环传递函数 系统微分方程
(s) c (s)
K
r (s) TM s2 s K
TM
d 2c
dt 2
dc
dt
Kc
Kr
简化后的为二阶系统。 二阶系统的标准形式：
(s) C(s)
n2
R(s) s 2 2 n s n 2
•过阻尼响应与临界阻尼响应相比，临界阻尼响应具 有最短的上升时间，响应速度最快
•欠阻尼响应，阻尼比越小，超调量越大，上升时间 越短，一般取阻尼比 =0.4~0.8；当 一定，n增加 使得系统的响应速度加快。
值得注意的是欠阻尼响应和过阻尼响应形式不同，则 动态性能的估算方法也不一样。
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（1）延迟时间 t d
（2）上升时间 tr （3）峰值时间 t p （4）调节时间 ts
h() 0.9h()
0.5h() 0.1h()
误差带： 5 %, 2 %
td
tr t p ts
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4
（5）超调量 %
% h(t p ) h() 100%
K
R(s) s 2 (1 K )s K
R(s)
K
C(s)
s(s 1)
(2) n K
1 K
2K
1 s
(3) p % e / 1 2 100%,
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ln(1 / p )
0.456
2 (ln 1 ) 2 p
25
(4) n
1
ln
2 sin(
1 2ntd arc cos ) 1 2
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在绘制出 ntd 和 之间的关系曲线，利用曲线拟合 方法，当阻尼比在欠阻尼时
td
1 0.6 0.2 n
2
或
td
1 0.7 n
（2）上升时间 tr 的计算