复数经典例题

经典例题透析

类型一：复数的有关概念

Z 分别为:

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用

它们的充要条件可分别求出相应的

a 值.

解析：

（1）当Z 为实数时,

I a - 5a -6=0

Ia = -1或a — 6— 有 2

= = a =6，

a 2 -1 = 0

a =二 1

•••当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时，

I a - 5a - 6 = 0

Ia=-I ^且a = 6 —

有 2

=

= a _1 且 a = 6 ,

a -1=0 a - -1

•当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数.

(3) 当Z 为纯虚数时，

•不存在实数a 使Z 为纯虚数.

总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为

a

：

7a 6

与a 2 - 5a - 6.

a 2 -1

① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解；

② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；

③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可.

例1已知复数

2

a —7a +6 丄 / 2 Z 2

(a

- 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时,

a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1

-0

a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6

举一反三:

【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是(

)

A . a=0

B . a=0 且 b ≠ 0

C . a ≠0 且 b=0

D . a ≠0 且 b ≠ 0

【答案】A ;由纯虚数概念可知：

a=0且b ≠ 0是复数z=a+bi (a 、b ∈ R )为纯虚数的充

要条件•而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择

A.

- - .> , 2

【变式2】若复数(a -3a • 2) ∙ (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为(

)

A.1

B.2

C.1 或 2

D.-1

2 2

【答案】B ； •/ (a 2 C 1 i

是纯虚数，∙∙∙ a -3a ∙2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2.

【变式3】如果复数(m 2 ∙i)(1 ∙mi)是实数，则实数 m=(

)

A . 1

B . - 1

C . 、. 2

D .

. 2

【答案】B ；

【变式4】求当实数m 取何值时，复数z = (m 2 - m - 2) ∙ (m 2 -3m 2)i 分别是:

解析:

同理可得:

(1)实数;

(2)虚数; (3)纯虚数.

【答案】

(1) 2

m -3m 2 =0 即 m=1 或 m=2 时,

复数Z 为实数; (2) 2

m -3m 2=0 即 m 1 且 m = 2 时, 复数Z 为虚数;

(3)

2

m - m -2 = 0

2

即m =—1时，复数

m —3m 2 = 0

Z 为纯虚数.

类型

:复数的代数形式的四则运算

例2. 计算:

(1) i n (n N .);

(1 i)8

⑶(1 2i)P-2i);

(1 - 4i)(1 i) 2 4i

3 4i

⑴∙∙∙ i 2 »1 , ∙ i 3

=i 2 i

i 4 =i 2 i 2 =1,

当 n =4k 1(k N )时, ■ 4k 1 4k 4

、k

=I i =(I ) i = i

当 n =4k 2(k N )时,

.4k

-2 .4k

.2

,

I

I

I LJ

T,

(4)

(I i)3

-(^

i)

2

； (1 i)2 -(^i)2

【答案】

(1) (5 — 6i)+( — 2— i) — (3+4i) =[(5 — 2)+( — 6— 1)i] — (3+4i) =(3 — 7i) — (3+4i)

=(3 — 3)+( — 7— 4)i= — 11i.

(2) (1 2i)(3 -4i)(2 —i) =(11 2i)(2 _i) =24 _7i

当 n =4k 3(k N )时，i 4k J 4k ∙i 3 »i 当 n =4k 4(k∙ N )时,i 4k =i 4k i 4 =(i 4)k =1,

1

(n = 4k+1, k 壬 N )

(n N)

(2) (1 if =[(1 i)2]4 =(2i)4 =24i 4 =16

(3) (1 2i) “(1 —2i)=匚？ =

(I 2i)(I 2i)

1-2i

(1_2i)(1+2i) ,八(1 -4i)(1 i) 2 4i 1

4-3i 2 4i (4)

3+4i

3+4i

21 4 3i -28i

25 -25i 1 -i.

25

25

总结升华：熟练运用常见结论：

1) i n 的“周期性” (n∙ N .)

2 2

1 (2i) 4i -3 4i 3 4. = ----------------- = --------- =——-T -

— i

12 -(2i)2 5 5 5

7 i (7 i)(3-4i) _ 3 4i _

32 42

2) (仁i)2 = 2i 3)

(a bi)(a -bi) = a 2 b 2

举一反三： 【变式1】计算：

(1) (5 — 6i)+( — 2— i) —

(3+4i)

(1 2i)(3 -4i)(2 -i) (3) 2・3…

.100

Iii

1

(n -4k 2 , k N ) (n

=4k 3, k N ) (n = 4k

4 , k N )