复数经典例题

经典例题透析
类型一：复数的有关概念
Z 分别为:
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
思路点拨：根据复数Z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况 .利用
它们的充要条件可分别求出相应的
a 值.
解析：
（1）当Z 为实数时,
I a - 5a -6=0
Ia = -1或a — 6— 有 2
= = a =6，
a 2 -1 = 0
a =二 1
•••当a = 6时，Z 为实数. (2) 当Z 为虚数时，
I a - 5a - 6 = 0
Ia=-I ^且a = 6 —
有 2
=
= a _1 且 a = 6 ,
a -1=0 a - -1
•当 a ∈(-∞,- 1 )U(— 1, 1 )∪( 1, 6)∪( 6, +∞)时，Z 为虚数.
(3) 当Z 为纯虚数时，
•不存在实数a 使Z 为纯虚数.
总结升华：由于a ∈ R ,所以复数Z 的实部与虚部分为
a
：
7a 6
与a 2 - 5a - 6.
a 2 -1
① 求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本小题将出现增解；
② 求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；
③ 求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为 0）,还需虚部不为0, 两者缺一不可.
例1已知复数
2
a —7a +6 丄 / 2 Z 2
(a
- 5a - 6)i (a - R), 试求实数a 分别取什么值时,
a 2 _5a _6 = 0 a 2 -7a 6 .a 2-1
-0
a =二 _1^且 a ~^ 6 a =6
举一反三:
【变式1】设复数z=a+bi (a 、b ∈ R ),贝U Z 为纯虚数的必要不充分条件是(
)
A . a=0
B . a=0 且 b ≠ 0
C . a ≠0 且 b=0
D . a ≠0 且 b ≠ 0
【答案】A ;由纯虚数概念可知：
a=0且b ≠ 0是复数z=a+bi (a 、b ∈ R )为纯虚数的充
要条件•而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择
A.
- - .> , 2
【变式2】若复数(a -3a • 2) ∙ (a -1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为(
)
A.1
B.2
C.1 或 2
D.-1
2 2
【答案】B ； •/ (a 2 C 1 i
是纯虚数，∙∙∙ a -3a ∙2=0且a-1 = 0 ,即 a = 2.
【变式3】如果复数(m 2 ∙i)(1 ∙mi)是实数，则实数 m=(
)
A . 1
B . - 1
C . 、. 2
D .
. 2
【答案】B ；
【变式4】求当实数m 取何值时，复数z = (m 2 - m - 2) ∙ (m 2 -3m 2)i 分别是:
解析:
同理可得:
(1)实数;
(2)虚数; (3)纯虚数.
【答案】
(1) 2
m -3m 2 =0 即 m=1 或 m=2 时,
复数Z 为实数; (2) 2
m -3m 2=0 即 m 1 且 m = 2 时, 复数Z 为虚数;
(3)
2
m - m -2 = 0
2
即m =—1时，复数
m —3m 2 = 0
Z 为纯虚数.
类型
:复数的代数形式的四则运算
例2. 计算:
(1) i n (n N .);
(1 i)8
⑶(1 2i)P-2i);
(1 - 4i)(1 i) 2 4i
3 4i
⑴∙∙∙ i 2 »1 , ∙ i 3
=i 2 i
i 4 =i 2 i 2 =1,
当 n =4k 1(k N )时, ■ 4k 1 4k 4
、k
=I i =(I ) i = i
当 n =4k 2(k N )时,
.4k
-2 .4k
.2
,
I
I
I LJ
T,
(4)
(I i)3
-(^
i)
2
； (1 i)2 -(^i)2
【答案】
(1) (5 — 6i)+( — 2— i) — (3+4i) =[(5 — 2)+( — 6— 1)i] — (3+4i) =(3 — 7i) — (3+4i)
=(3 — 3)+( — 7— 4)i= — 11i.
(2) (1 2i)(3 -4i)(2 —i) =(11 2i)(2 _i) =24 _7i
当 n =4k 3(k N )时，i 4k J 4k ∙i 3 »i 当 n =4k 4(k∙ N )时,i 4k =i 4k i 4 =(i 4)k =1,
1
(n = 4k+1, k 壬 N )
(n N)
(2) (1 if =[(1 i)2]4 =(2i)4 =24i 4 =16
(3) (1 2i) “(1 —2i)=匚？ =
(I 2i)(I 2i)
1-2i
(1_2i)(1+2i) ,八(1 -4i)(1 i) 2 4i 1
4-3i 2 4i (4)
3+4i
3+4i
21 4 3i -28i
25 -25i 1 -i.
25
25
总结升华：熟练运用常见结论：
1) i n 的“周期性” (n∙ N .)
2 2
1 (2i) 4i -3 4i 3 4. = ----------------- = --------- =——-T -
— i
12 -(2i)2 5 5 5
7 i (7 i)(3-4i) _ 3 4i _
32 42
2) (仁i)2 = 2i 3)
(a bi)(a -bi) = a 2 b 2
举一反三： 【变式1】计算：
(1) (5 — 6i)+( — 2— i) —
(3+4i)
(1 2i)(3 -4i)(2 -i) (3) 2・3…
.100
Iii
1
(n -4k 2 , k N ) (n
=4k 3, k N ) (n = 4k
4 , k N )
1 2・3 ・100 ・1 2
川-J 100
・5050 4
、1262・2
・2
彳
\3 丿 i i i i 二 i
二 i 二(i ) i 二 i 二一1
)(1 i)3_(1_i)3
(1 i)2 .(1 i) 一(仁i)2(1_i) 2i(1 i) 2i(1-i) 2i 2
(4) 2 2
(1 i) -(^i)
2
【变式2】复数2i(1+i )=(
4i
4i
A. -4
B. 4
C. -4i
D. 4i
1
【答案】A ; 2i 1 i i ； -2i 1 2i -n-2i 2i 【变式3】复数
1
--3i
等于()
√3-i
A. i
B. -i
C.
,3 i D.
【答案】A ;
1
九
1
'
3i 1
√3-i -i(1 + √3i)
1
【变式4】复数(i --)3等于()
.3-i
A.8
B. — 8
【答案】D; (i _])3 =(j 二I )3 i i
类型三：复数相等的充要条件
-i
诃)3
i ，故选A
C.8i
D. — 8i
=8i 3 - -8i .
例3、已知X 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x —1)+(3 — y)i=y — i ，求X 、
y.
思路点拨：因X ∈ R , y 是纯虚数，所以可设 y=bi (b ∈ R 且b ≠ 0),代入原式，由复数相 等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果
解析：■/ y 是纯虚数，可设 y=bi (b ∈ R,且b ≠ 0), 则(2x —1)+(3 — y)i = (2x —1)+(3 — bi )i =( 2x — 1+b ) +3i ,
y — i =bi — i= (b — 1) i
由(2x —1)+(3 — y)i=y — i 得(2x — 1+b ) +3i= ( b — 1) i ,
由复数相等的充要条件得
2x-1 b=0 ^4 b 十3
= X 「，
I. 2
3 X , y = 4i .
2
总结升华：
1.复数定义：“形如 ^a bi ( a, b∙ R )的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这
形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实,
把复数问题转化为
实数问题来研究•这是解决复数问题的常用方法
2 .复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi与c+di (
∈R)相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式.
3.注意左式中的3—y并非是(2x —1)+(3 —y)i的虚部，同样，在右边的y —非是实部•
举一反三：
【变式1】设X、y为实数，且△+丄=丄，则χ+y =
1- i 1- 2i 1-3i
【答案】由-X y
—得-(1 i) -y(1 2i^
5
(1 3i)
1- i 1-2i 1-3i 2 5 10
即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i) ，
即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0 ，
l5x 2y-5 =0 X =-1
故,解得
5x 4y-15 = 0 y = 5
∙∙∙ X y = 4
【变式2】若Z ∈C且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，贝U Z= 【答案】设z=a+bi(a,b ∈R),则(3+z)i=-b+(3+a)i=1 a, b, c, d i中y也并
由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3，即z=-3-i.
1 +2i
【变式3】设复数Z满足
Z
B . —2—i =i ,则Z=( )
A. -2 i C. 2 — i D. 2 i
【答案】Z=-Ug)
i -1 类型四：共轭复数i -2
——=2- i ,故选C. -1
例4:求证：复数Z为实数的充要条件是Z^Z
思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念
解析：设z=a+bi (a, b ∈R),贝U Z = a— bi
充分性：Z- Z= a bi = a - bi = b = -b= b = 0= Z- R;
必要性：Z- R,b = 0= a bi = a - bi = z = z
综上，复数Z为实数的充要条件为Z=Z
举一反三：
【变式1】X l r R ,复数(3x 2y) 5xi与复数(y -2)i 18的共轭复数相等，求X,
【答案】(y _2)i
18 =18 (2 - y)i
18-(y-2)i =(3x 2y) 5xi =
丿
2 -y =5x
【变式2】若复数Z 同时满足z-z = 2i , z = iz (i 为虚数单位)，则Z= ________________ 【答案】一1+i
【变式3】已知复数z=1+i ,求实数a 、b 使az 2bz =(a ■ 2z)2. 【答案】T z=1+i ,∙∙∙ az 2bz =(a 2b) (a-2b)i ,
(a 2z)2 =(a 2)2 -4 4(a 2)i =(a 2 4a) 4(a 2)i
∙.∙ a 、b 都是实数，∙由 az ■ 2bz = (a ■ 2z)2 得
广
2
』a +2b =a +4a,
a -2
b =4(a+2).
两式相加，整理得 a 2+6a+8=0 解得 a 1=— 2, a 2=—4, 对应得 b 1=— 1, b 2=2.
∙所求实数为 a= — 2, b= — 1 或 a= — 4, b=2. 类型五：复数的模的概念
例5、已知数Z 满足z+∣z ∣=2+8i ,求复数z. 法一：设 z=a+bi (a , b ∈ R ),则 | Z I=a 2 b 2 , 代入方程得a bΓ . a^b 2 =2 8i .
∙ Z= — 15+8i
法二：原式可化为：z=2 — |z|+8i ,
•••|z| ∈ R,∙∙∙ 2 — |z| 是 Z 的实部.
于是 ∣zF .(2-|z|)2 飞2 ,即 |z| 2=68 — 4∣z ∣+∣z ∣
y. 3x 2y =18 X = -2
b =8
∙∙∙∣z ∣=17 ,代入 z=2-∣z ∣+8i
得 Z= - 15+8i.
举一反三：
【变式】已知z=1+i , a , b 为实数.
(1) 若∙ = z 2 ∙ 3z -4 ,求 PJ ;
(2) 若 z 2 az b ,求 a , b 的值.
Z-^I
【答案】
(1) =(1 i)2 3(1—i) -4 =2i 3—i -4 =i 一1
∙ (a 2) —(a b)i =1 —i
I a 2 = 1 — ！ a - -1
∙ -■
a b =1 b = 2 类型六：复数的几何意义
2 2
例6、已知复数z = (m -2m-3)∙(m -4m 3)i (m ∈ R )在复平面上对应的点为 求实数m 取什么值时，点Z (1)在实轴上；(2)在虚轴上；(3)在第一象限.
思路点拨：根据点Z 的位置确定复数Z 实部与虚部取值情况.
解析：
(1) 点Z 在实轴上，即复数 Z 为实数，
由 m -4m 3=0= m = 3或 m = 1
∙当m =3或m =1时，点Z 在实轴上.
(2) 点Z 在虚轴上，即复数 Z 为纯虚数或0,
2
故 m - 2m-3=0= m =-1 或 m=3
∙当m =-1或m =3时，点Z 在虚轴上.
3)点Z 在第一象限，即复数 Z 的实部虚部均大于 0
m ^ 2m ■ 3 0
由 2 ,解得∏κ— 1或m> 3
z 2 az b z 2 - z 1 (1 i)2 (Γ i)a b 2 (1 i)-(1 i) 1 (2 a)i b a
i -(a 2) -(b a)i
Z ,
m -4m 3 0
•••当mκ—1或m> 3时，点Z在第一象限.
终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：
【变式1】在复平面内，复数Z=Sin 2 ∙icos2对应的点位于( )
A.第一象限 B •第二象限 C •第三象限 D •第四象限
【答案】•••2：：：
二，∙∙∙ sin 2 0 , cos2 ：：： 0 ,故相应的点在第四象限，选D.
2
【变式2】已知复数Z= (3m2 -5m 2) (^ - 1)i ( m R),若Z所对应的点在第四象限，求m的取值范围.
【答案】T z = (3m2-5m 2) - (m-1)i
r2
...,3m -5m+2>0，解得m“.
(m —1) £0
• m的取值范围为m∙
【变式3】已知Z是复数，Z 2i和―乞均为实数，且复数(z ∙ ai)2对应的点在第一象
z —i
限，求实数a的取值范围•
【答案】设Z = Xyi ( X, y R), ∙ z 2i = z = x (2 y)i ,
由题意得y = -2 ,
ZX-2i 1 1 1
(x-2i)(2-i) (2x2) (x-4)i,
2-i 2-i 5 5 5
由题意得X =4 ,
• z = 4 — 2i
T (Z ai)2 =(12 4a—a2) 8(a -2)i,
(12 亠4a _ a20
根据已知条件有，解得2 ：：：a ：6 ,
[8(a-2) >0
•实数a的取值范围是a∙ (2,6).
1
【变式4】已知复数Z对应的点在第一象限的角平分线上，求复数∙=Z'-在复平面上
Z
对应的点的轨迹方程
【答案】设z=a+ai (a> 0)
1 III
贝「=Z (a ai) a (a )i
Z a+ai 2a 2a
+ 1
x = a
令
2a
,消a 得x2- y2=2 ( x _ •、2 ) 1
y =a -
2a。