高斯定理

4πε 0 r 3
(r ≥ R)
c
R2
R1a b
厚度 较大
E
厚度 较小
E
r
O R1 R2
O R1 R2
厚度 为零 球面
E
r
o R1= R2
带电面上场强 E 突变是采用面模型的结果，实际
问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放 弃面模型而还其体密度分布的本来面目.
[例二] 无限长均匀带电直线（ λ ）的电场
λ
对称性分析： r
了。借助于它可以把电场和磁场的许多性质最简单而又极
富启发性的表示出来。”
－－W.Thomson
实例： 电偶极子的电场线
1.轴线延长线上 的场强
r E
=
r p
2πε 0r 3
2 . 中垂面上的场强
r E
=
−
r p
4πε0r
3
+⊕
-
旋转对称分布
实例： 有限长均匀带电直线的电场线
x θ2
+q
r
dEx dE
求：电场分布.
解：对称性分析
NP
+−
虽然电荷非均匀分布，但 ρ 随 x
变化规律未破坏面对称性。
−L o L x
在 x ≥ L 处，P 区与 N区电荷的电场
相互抵消： E = 0
NP
+−
x ≤ L:
r
选如图高斯面
∫ E
∆S
−L o x L x
rr E ⋅ dS =
穿入
rr rr rr
∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS = −E ⋅ ∆S
oa
y
θ
r r
P dEy
dq
θ1
旋转对称分布
Ex
=
λ 4πε 0a
(sin θ 2
− sin θ 1 )
得：E P =
E
2 x
+
E
2 y
Ey
=
λ 4πε 0a
(cos θ 1
− cos θ 2 )
与 + x 夹 α = arctg E y
Ex
二. 电通量
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该
∫ ∫ ∫ φe =
rr E ⋅dS =
rrຫໍສະໝຸດ Baidu
qr ⋅ dS
4πε 0 r 3
=
q
4πε 0 r 2
dS
=
q
ε0
结果 与r 无关
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到 ∞ ，
由 ∞ 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场
线不中断、不增加。
2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面
r E
S
q
S′
r E S′
§ 9.3 高斯定理
一.电场线
r E
：空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。
定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数
rr E(r )
定性描述电场整体分布：电场r线方法
电
其上每点切向:
r
该点
E
方向
场 通过垂直 E 的单位面积的条数等于场强的大小
线 即其疏密与场强的大小成正比 .
“在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力线的概念
E
∝1 r2
o
R
r
2. 如何理解带电球面 r = R 处 E值突变？
R2 Ro1 ρ
计算带电球层（R1 , R2 , ρ ）
的电场分布
0
( r ≤ R1 )
E=
ρ 3ε 0
(r
−
R
3 1
r2
)
( R1 ≤ r ≤ R2 )
ρ
(
R
3 2
−
R
3 1
3ε 0r 2
)
=
q
4πε 0 r 2
(r ≥ R2 )
Rλ
对称性分析：视 为无限长均匀带 电直线的集合；
or
E oR
Pr
dE
选高斯面；同轴 圆柱面
由高斯定理计算
r dE' r r
dE + dE'
r < R: E=0
r > R:
r
E
=
λ 2πε 0r
讨论： 2.求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时， 高斯面如何选取？
R高
r
斯 面
l
R高
斯
r
面
l
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，
∫ ∑ s
r E
⋅
r dS
=
1
ε0
q内
关于高斯定理的讨论： 1.式中各项的含义
∫ ∑ r r
E ⋅ dS =
1
s
ε0
q内
Sr : 高斯面，封闭曲面 E : S 上各点的总场，S 内外所有电荷均有贡献.
ε 0 : 真空电容率
∑ q内 ： S 内的净电荷
φes : 通过S的电通量， 只有S内电荷有贡献
( r ≤ R ) 球体内区域 E ∝ r
(r ≥ R )
球体外区域 ~ 电量集 中于球心的点电荷
E
q
4πε 0 R 2
∝r
∝
1 r2
r
o
R
讨论： 1. 求均匀带电球面（ R , q ）的电场分布，并画出
E ~ r 曲线.
高斯面：半径 r 的同心球面
r 0r
E = qr
4πε0r 3
(r < R) (r > R )
=
E
⋅
2∆S
∑ = 1
ε0
q内
=
σ∆S ε0
σS
r n
∆S
r
o
x
n
σE
2ε 0
o−
σ 2ε 0
x
E= σ 2ε 0
其指向由 σ 的符
号决定
讨论 1.本题是否还有其它构成高斯面的方法？
底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的柱 面均可（不一定为圆柱面）。
可以为任意形状
2.带电平面上电场强度突变的原因？ 采用面模型，未计带电平面的厚度。
面的电通量 .
r dS
θ
r E
定义：面积元矢量
r
r
dS = dS n
r
面积元范围内 E 视为均匀
dS
微元分析法：以平代曲；
S
以恒代变。
1）通过面元的电通量
rr
dφe = EdS⊥ = E(dScosθ ) = E ⋅ dS 取正、负、零的条件？
r dS
θ
r E
dS
S
1）通过面元的电通量 rr
dφe = EdS⊥ = E( dScosθ ) = E ⋅ dS
s
E1 ⋅ dS +
E2 ⋅ dS +L+
En ⋅ dS
∑ = φe1
+ φe2
+ L + φen
=
1
ε0
q内
只有 S 内的电荷对穿过 S 的电通量有贡献
练习3：请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量 与空间电荷分布的关系。
三 .高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量
等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 1 ε 0 倍：
θ <π
2
θ >π
2
θ =π
2
∫ ∫r r
2）通过曲面 S 的电通量
φe = sdφe =
E ⋅ dS
s
∫r r
3）通过封闭曲面的电通量
φe =
E ⋅dS
s
r π / 2<θ ≤π n
θ
r
E
S
r
nθ
r E
0≤θ <π / 2
通过封闭曲面的电通量
∫r r
φe =
E ⋅ dS
s
规定：封闭曲面外法向为正
S
q
φes′
= φes
=
q
ε0
q > 0 : φe > 0 q < 0 : φe < 0
3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
r E
q
S ′′
φes′′ = 0
结论：
∫r r
φe =
E ⋅ dS =
s
q ε0
0
(q在S内) (q在S外)
思考：1）是否存在 q 恰好在 S 上的情况？ 2）上述结论与库仑定律 F ∝ 1 r 2有何关系？
∫ ∑ s
r E
r ⋅ dS
=
1
ε0
q内
3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。
4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场
成立条件：静电场
求解条件：电场分布具有某些对称性：
∫r r
r
才能找到恰当的高斯面，使
E ⋅ dS 中的
s
Er 能够
以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 E 分布。
自学教材220页 例6：计算厚 h 的均匀带电无限大平行气体层的
电场分布。
σE
2ε 0
o−σ
2ε 0
x
−h E
2
oh
y
2
[例四] 半导体 P N 结内外的电场.（ P 258 9-15） 已知：P N 结内电荷体密度分布
ρ ( x) = 0 ( x > L, x < − L)
− ax (− L ≤ x ≤ L)
R dq
Sq o r
dq′
r dE '
P
rr dE + dE'
r dE
∑ E = ( q内 ) ( 4πε0r2 )
r ≥ R : ∑q内 = q
E外
=
q
4πε0r 2
∑ r ≤ R :
q内
=
q
4 3
πR
3
⋅ 4 πr 3
3
E内
=
qr
4πε 0 R3
即：
r E=
r qr
4πεr0 R 3
qr
4πε 0r 3
以半径 r 的同心球 面 S 为高斯面
R dq
Sq o r
dq′
r dE '
P
rr dE + dE'
r dE
∫ ∫ r r
通过 S 的电通量： E ⋅ dS = Ecos 0o dS = E ⋅ 4πr 2
s
s
由高斯定理：
∫ ∑ r r
E ⋅ dS = E ⋅ 4πr2 =
1
s
ε0
q内
∑ E = ( q内 ) ( 4πε0r2 )
球对称性
常见类型： 场源电荷分布 轴对称性
面对称性
[例一] 求均匀带电球体（q、R ）的电场分布
Sq
R
o
dq
r
dq′
r dE '
P
rr dE + dE'
r dE
对称性分析:
以 O 为中心，r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
以 O 为中心的球面 S 上各点
r Er E
大小相等 方向沿径向
确定高斯面:
Sr
P点处合场强 E
dq r dE' r r 垂直于带电直线,
Lo
dq'
P r dE + dE'
dE
与 P 地位等价的点的集
合为以带电直线为轴的
圆柱面.
高斯面：
取长 L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
λ
∫
r E
⋅
r dS
=∫
r E
⋅
r dS
+
∫
r E
⋅
r dS
+
∫
r E
r ⋅ dS
Sr
S
穿入的电场线 φe < 0 穿出的电场线 φe > 0
练习1：空间有点电荷q ，求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面 2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面 3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
1）曲面为以电荷为中心的球面
r
r
E
E
r
S
q>0
r
S
q<0
q > 0 : φe > 0 q < 0 : φe < 0
通常该点的场强E(P)应该有Ex、rEy、Ezr三个分量。相对
于yx镜面，P点镜像变换到P′点，Ez = −Ez′满足对称原理。
相r 对于ryz、xz镜面，P点镜像变换到P′点, 要求
rr Ex =−E′x
Ey = −E′y ,与yx面要求 Ex = E′x , E y = E′y 矛盾。
所以Ex = E y = 0
∫ ∑ 关于高斯定理的讨论：
rr E ⋅ dS =
1
s
ε0
q内
2. 揭示了静电场中“场”和“源”的关系
电场线有头有尾
+ q : 发出 q ε 0 条电场线，是电场线的“头”
− q : 吸收 q ε 0 条电场线，是电场线的“尾”
“头”、 “尾”
“源”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
关于高斯定理的讨论：
2. 在对称性分析的基础上选取高斯面. 目的是使
∫
r E
⋅
r dS
能够以乘积形式给出.
s
（球对称、轴对称、面对称三种类型）
3.由高斯定理
∫
r E
⋅
r dS
s
=
∑ 1
ε0
q内
求出电场的大小，
并说明其方向.
r •典型带电体 E 分布：
点电荷电场
r E
=
r qr
4πε 0 r 3
无限长均匀带电直线 均匀带电圆环轴线上
高斯面：两底面与带电平面平行、离带电平面距 离相等，轴线与带电平面垂直的柱面。
∫
r E
r ⋅dS
=
∫
r E
⋅
r dS
+
∫
r E
⋅
r dS
+
∫
r E
⋅
r dS
S
左
右
侧
= ∫ E cos0odS + ∫ E cos0odS + ∫ E cosπ dS
左
右
侧
2
= E ⋅ 2∆S
由高斯定理：
∫
r E
r ⋅ dS
上
下
侧
∫ ∫ ∫ L
dq o dq'
r dE'
Pr dE
rr dE + dE'
= Ecosπ dS + Ecosπ dS + Ecos0odS
上
2
下
2
侧
= E ⋅ 2πrL
E
E∝1
由高斯定理
∫
r E
r ⋅ dS
=
E
⋅ 2π rL
r
∑ = 1
ε0
q内
=
λL ε0
o
r
∴ E= λ 2πε 0r
讨论： 1.无限长均匀带电柱面( R ,λ )的电场分布
练习2：空间有点电荷系 q1 , q2 ... qn ，求穿过
空间任意封闭曲面 S 的电通量
qn q1
曲面上各点处电场强度：
rr r
r
E = E1 + E2 + L+ En
q2 S 包括 S 内、S 外，所有电荷的贡献。
穿过 S 的电通量：
∫ ∫ ∫ ∫ r r r r r r
rr
φe =
E ⋅ dS =
能否用高斯定理求电场分布？
不能，
如果不能，是否意味着高斯定理失效？ 不是。
[例三] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度σ ）
对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合
σ
r dE′
P′ o P
r E 方向 垂直于带电平面，
r dE
离带电平面距离相等的场点
x 彼此等价
如何构成封闭的高斯面？
3. 无限大均匀带电平面的电场(电荷面密度σ)
左
右
侧
r E=0
cosθ = 0
∑ ∫ ∫ q内 =
ρdV = L − ax ⋅ ∆Sdx = −a∆S 1 ( L2 − x2 )
x
2
由高斯定理
∫ ∑ s
r E
r ⋅ dS
=
1
ε0
q内
∴
E
=
a
2ε 0
(
L2
−
x2
)
方向沿 + x
总结： 由高斯定理求电场分布的步骤
1. 由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性.
E
=
λ 2πε 0 r
垂直于带电直线
r
r E
=
4πε
0(
qx i x2 +
R2
)3 2
无限大均匀带电平面
E= σ 2ε 0
垂直于带电面
r •典型带电体 E 分布：
r
均匀带电球体
r E=
qr
4πεr 0 R 3
qr
4πε 0 r 3
(r ≤ R) (r ≥ R)
均匀带电球面
r
0r
(r ≤ R)
E=
qr