现代控制理论_第4章_稳定性理论
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l ， s l
l
l 1, 2, , m
(4-4)
l 和 l 为常数，也可为零且 1 m n 这里 l 为gij s 极点， 式(4-4)对应的拉普拉斯反变换为：
hl t l 1el t， l 1, 2,, m
(4-5)
当 l 0 时，式(4-5)为 函数。这说明，由gij s 取拉普拉斯反变 换导出gij t 是由有限个形为(4-5)式之和构成的，和式中也可能 包含 函数。容易看出，当且仅当l l 1,2,, m 处在在半复平面 时，tl 1el l才是绝对可积的，即 gij t 为绝对可积，从而系统是 BIBO稳定的。证毕。
0
gij t dt k
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
这里顺便说说有界输入，有界状态稳定性（简记为BIBS） 问题。在内部稳定性的定义中，要求系统的输入u t 0 。如 k x t0 果对于任意有界输入 u t 以及任意有界初始状态 ，存 x t 在一个 0 k , t0 , x标量使得系统状态解满足 ，则该系 t0 统称之为有界输入-有界状态稳定的。对于线性定常系统而言， 满足渐近定常系统而言，满足渐近稳定性时，一定是BIBS稳定 的，详细讨论见参考文献[9]。
这里 t , 为时变系统的状态转移矩阵。如果由系统的初始 x 引 0 起的状态响应(4-6)满足：
lim t , t0 x 0 0
t
(4-7)
则称系统是内部稳定的或是渐近稳定的。若系统是定常的，
A t t 则 t , t0 e ，令t0 0，这时
平衡状态
对于所有
t ，满足
(4-8)
c f x c，t 0 x
的状态 x c 称平衡状态。平衡状态的各分量相对时间不再发生 0 所求得的解 x 变化。已知状态方程，令 x 便是平衡状态。
线性定常系统 x Ax ，其平衡状态满足 Ax c 0 ，只要A非 奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于原点的平衡状态。 至于非线性系统， f x c，t的解可能有多个，取决于系统方程。 0
y t1 g t1 , u d g t1 , d
t0 t0 t1 t1
这表明系统输出是无界的，同系统是BIBO稳定的已知条件 矛盾。因此，式(4-3)的假设不成立，即必定有
g t , d k
t0 1
t
t1 [t , )
证明 对于线性定常系统，其脉冲响应矩阵为：
G t t B D t
这里 t e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim t lim e At 0
t t
这样， G t 的每一个元gij t i 1, 2,, q, j 1, 2,, p 均是由一些指 数衰减项构成的，故满足
现在将上述结论推广到多输入-多输出的情况。考察系统输出 y(t)的任一分量yi (t )
yi t
t
t0 t
gi1 t , u1 d gip t , u p d
t0
t
t0
gi1 t , u1 d
这里必须指出，在讨论外部稳定性时，是以系统的初始条 件为零作为基本假设的，在这种假设下，系统的输入-输出描 述是唯一的。线性系统的BIBO稳定性可由输入-输出描述中 的脉冲响应阵或传递函数矩阵进行判别。
定理4.1 [时变情况] 对于零初始条件的线性时变系统，设 G t,
为其脉冲响应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为， 存在一个有限常数k，使得对于一切 t t0， ， G t , 的每一个元 满足 gij t, i 1,2,, q, j 1,2,, p
三、内部稳定性和外部稳定性的关系
内部稳定关心的是系统内部状态的自由运动，这种运动必须满 足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量和输出量的约 束，这两个稳定性之百度文库的联系必然通过系统的内部状态表现出 来，这里仅就线性定常系统加以讨论。
点击观看
定理4.3 线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定 是BIBO稳定的
定理4.2 [定常情况] 对于零初始条件的定常系统，设初始时
刻 t0 0 ，单位脉冲响应矩阵为 G t ，传递函数矩阵为G s ，则 系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使 G t 的每一个元gij t i 1, 2,, q, j 1, 2, , p 满足
第四章 稳定性理论
在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的稳定性问 题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构密切相关，如何根 据动力学系统的构成分析其稳定性受到普遍的重视。
导弹稳定控制
倒立摆稳定控制
在控制系统稳定性研究中，李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)方法 得到了广泛的应用。李亚普诺夫方法包括第一方法（也称为间接 法）和第二方法（通常称为直接法）。
定理4.5 线性定常系统如果是完全能控，完全 能观测的，则内部稳定性与外部稳定性是等价 的
证明 利用定理4.3和定理4.4易于推出该结论。定理4.3给出：
内部稳定性可推出外部稳定性。定理4.4给出：外部稳定性在定 理4.5的条件下即意味着内部稳定性，证毕。
第二节 李雅普诺夫对稳定性的有关定义
系统 设系统方程为
李雅普诺夫的稳定性定义均针对平衡状态而言。它反映了平 衡状态邻域的局部（小范围）稳定性。鉴于线性系统只唯有 一个平衡状态，平衡状态的稳定性便表征了系统的稳定性。 对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，因为各平衡状态 的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑：至于全局（大 范围）稳定性，需结合具体初始条件下的运动轨迹来考虑。
t
t0
g t1 , d
(4-3)
定义如下的有界输入函数 u t
1 当g t1 , t 0 u t Sgn t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
在上述输入激励下，系统的输出为
本章首先介绍外部温度性和内部稳定性的概念，然后讨论 李亚普诺夫稳定性的定义，定理，李亚普诺夫方法在线性系统 中的应用。
第一节
外部稳定性和内部稳定性
一 外部稳定性
定义4.1 （有界输入，有界输出稳定性）
对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常 数 k 及一个标量 ，使得对于任意的 t t0， ，当系统的 输入 u t 满足 u t k 时，所产生的输出y t 满足 y t ak 则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出 稳定的，简记为BIBO稳定。
f x，t x
式中 x 为 n 1维状态向量，且显含时间变量 t 。f x，t 为任意 的线性或非线性、定常或时变的 n 维函数，其展开式为：
1 f1 x1， x ，xn，t n f n x1， x ，xn，t
假定方程的解为 x t；x 0，t0 式中x 0 、 t 0 分别为初始状态向量及初 始时刻，那么，初始条件 x 0 必满足 x t0；x 0，t0 x 0
(4-10)
则称该平衡状态是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定 性。其平面表示见图4-1(a)。
式中 称为向量的范数， x 0 x e 为平衡状态向量端点至初始向 量端点和“初始状态偏差向量”的范数，其几何意义为“初始 状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
二 内部稳定性
考虑如下的线性时变系统
A t x B t u t ，x t0 x 0，t t0 , t x y C t X t D t u t
设系统的外输入 u t 0 ，初始状态 x 0是有界的。系统的状 态解为 (4-6) x t t , t0 x t0
0
gij
t dt
k
s 或者 G s 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数 gij的 所有极点处在左半复平面。
证明 定理4.2第一部分结论可直接由定理4.1得到，下面只
要证明定理的第二部分。 由假设条件，gij s 为真有理分式，则利用部分分式法将其展 开为有限项之和的形式，其中每一项均具有形式为
其中
Qi
s i adj sI A s i s 2 s n
s i
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
Re i A 0 i 1, 2, , n
则式(4-7)成立。
内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
先证充分性
y t
t
t0
g t , u d
t t0
t
t0
g t , u d
k1 g (t , ) d kk1
从而根据定义4.1知系统是BIBO稳定的。
再证必要性 采用反证法，假设存在某个
t1 t0 , 使得
t
t0
gip t , u p d
t t0
gi1 t , u1 d gip t , u p d
t0
t
i 1, 2,3,，q
由于有限个有界函数之和仍为有界函数，利用单输入-单位输出 系统的结果，即可证明定理4.1的结论。证毕。
0
x t t ,0 x 0 e At x 0
假定系统矩阵 A 具有两两相异的特征值，则
e At 1 sI A
1 1
adj sI A s-1 s-2 s-n
i 为A之特征值
进一步可得
n Qi e Qi ei t i 1 sI A i 1 At 1 n
t
t0
gij t , d k
(4-1)
证明 为了方便，先证单输入-单输出情况，然后推广到多输入
-多输出情况。在单输入-单输出条件下，输入-输出满足关系
y t
t
t0
g t , u d
(4-2)
已知式(4-1)成立，且对任意输入u t 满 足 u t k1 , t t0， , 要证明输出 y t 有界。由(4-2)式， 可以方便得到
稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的 闭球域内，即
x0 xc
t t0
(4-9)
若能使系统方程的解x t；x 0，t0 在 t 的过程中都位于 以平衡状态 x c为球心、任意规定的半径为 的闭球域以内，即
x t；x 0，t0 x c t t0
l
l 1, 2, , m
(4-4)
l 和 l 为常数，也可为零且 1 m n 这里 l 为gij s 极点， 式(4-4)对应的拉普拉斯反变换为：
hl t l 1el t， l 1, 2,, m
(4-5)
当 l 0 时，式(4-5)为 函数。这说明，由gij s 取拉普拉斯反变 换导出gij t 是由有限个形为(4-5)式之和构成的，和式中也可能 包含 函数。容易看出，当且仅当l l 1,2,, m 处在在半复平面 时，tl 1el l才是绝对可积的，即 gij t 为绝对可积，从而系统是 BIBO稳定的。证毕。
0
gij t dt k
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
这里顺便说说有界输入，有界状态稳定性（简记为BIBS） 问题。在内部稳定性的定义中，要求系统的输入u t 0 。如 k x t0 果对于任意有界输入 u t 以及任意有界初始状态 ，存 x t 在一个 0 k , t0 , x标量使得系统状态解满足 ，则该系 t0 统称之为有界输入-有界状态稳定的。对于线性定常系统而言， 满足渐近定常系统而言，满足渐近稳定性时，一定是BIBS稳定 的，详细讨论见参考文献[9]。
这里 t , 为时变系统的状态转移矩阵。如果由系统的初始 x 引 0 起的状态响应(4-6)满足：
lim t , t0 x 0 0
t
(4-7)
则称系统是内部稳定的或是渐近稳定的。若系统是定常的，
A t t 则 t , t0 e ，令t0 0，这时
平衡状态
对于所有
t ，满足
(4-8)
c f x c，t 0 x
的状态 x c 称平衡状态。平衡状态的各分量相对时间不再发生 0 所求得的解 x 变化。已知状态方程，令 x 便是平衡状态。
线性定常系统 x Ax ，其平衡状态满足 Ax c 0 ，只要A非 奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于原点的平衡状态。 至于非线性系统， f x c，t的解可能有多个，取决于系统方程。 0
y t1 g t1 , u d g t1 , d
t0 t0 t1 t1
这表明系统输出是无界的，同系统是BIBO稳定的已知条件 矛盾。因此，式(4-3)的假设不成立，即必定有
g t , d k
t0 1
t
t1 [t , )
证明 对于线性定常系统，其脉冲响应矩阵为：
G t t B D t
这里 t e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim t lim e At 0
t t
这样， G t 的每一个元gij t i 1, 2,, q, j 1, 2,, p 均是由一些指 数衰减项构成的，故满足
现在将上述结论推广到多输入-多输出的情况。考察系统输出 y(t)的任一分量yi (t )
yi t
t
t0 t
gi1 t , u1 d gip t , u p d
t0
t
t0
gi1 t , u1 d
这里必须指出，在讨论外部稳定性时，是以系统的初始条 件为零作为基本假设的，在这种假设下，系统的输入-输出描 述是唯一的。线性系统的BIBO稳定性可由输入-输出描述中 的脉冲响应阵或传递函数矩阵进行判别。
定理4.1 [时变情况] 对于零初始条件的线性时变系统，设 G t,
为其脉冲响应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为， 存在一个有限常数k，使得对于一切 t t0， ， G t , 的每一个元 满足 gij t, i 1,2,, q, j 1,2,, p
三、内部稳定性和外部稳定性的关系
内部稳定关心的是系统内部状态的自由运动，这种运动必须满 足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量和输出量的约 束，这两个稳定性之百度文库的联系必然通过系统的内部状态表现出 来，这里仅就线性定常系统加以讨论。
点击观看
定理4.3 线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定 是BIBO稳定的
定理4.2 [定常情况] 对于零初始条件的定常系统，设初始时
刻 t0 0 ，单位脉冲响应矩阵为 G t ，传递函数矩阵为G s ，则 系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使 G t 的每一个元gij t i 1, 2,, q, j 1, 2, , p 满足
第四章 稳定性理论
在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的稳定性问 题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构密切相关，如何根 据动力学系统的构成分析其稳定性受到普遍的重视。
导弹稳定控制
倒立摆稳定控制
在控制系统稳定性研究中，李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)方法 得到了广泛的应用。李亚普诺夫方法包括第一方法（也称为间接 法）和第二方法（通常称为直接法）。
定理4.5 线性定常系统如果是完全能控，完全 能观测的，则内部稳定性与外部稳定性是等价 的
证明 利用定理4.3和定理4.4易于推出该结论。定理4.3给出：
内部稳定性可推出外部稳定性。定理4.4给出：外部稳定性在定 理4.5的条件下即意味着内部稳定性，证毕。
第二节 李雅普诺夫对稳定性的有关定义
系统 设系统方程为
李雅普诺夫的稳定性定义均针对平衡状态而言。它反映了平 衡状态邻域的局部（小范围）稳定性。鉴于线性系统只唯有 一个平衡状态，平衡状态的稳定性便表征了系统的稳定性。 对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，因为各平衡状态 的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑：至于全局（大 范围）稳定性，需结合具体初始条件下的运动轨迹来考虑。
t
t0
g t1 , d
(4-3)
定义如下的有界输入函数 u t
1 当g t1 , t 0 u t Sgn t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
在上述输入激励下，系统的输出为
本章首先介绍外部温度性和内部稳定性的概念，然后讨论 李亚普诺夫稳定性的定义，定理，李亚普诺夫方法在线性系统 中的应用。
第一节
外部稳定性和内部稳定性
一 外部稳定性
定义4.1 （有界输入，有界输出稳定性）
对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常 数 k 及一个标量 ，使得对于任意的 t t0， ，当系统的 输入 u t 满足 u t k 时，所产生的输出y t 满足 y t ak 则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出 稳定的，简记为BIBO稳定。
f x，t x
式中 x 为 n 1维状态向量，且显含时间变量 t 。f x，t 为任意 的线性或非线性、定常或时变的 n 维函数，其展开式为：
1 f1 x1， x ，xn，t n f n x1， x ，xn，t
假定方程的解为 x t；x 0，t0 式中x 0 、 t 0 分别为初始状态向量及初 始时刻，那么，初始条件 x 0 必满足 x t0；x 0，t0 x 0
(4-10)
则称该平衡状态是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定 性。其平面表示见图4-1(a)。
式中 称为向量的范数， x 0 x e 为平衡状态向量端点至初始向 量端点和“初始状态偏差向量”的范数，其几何意义为“初始 状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
二 内部稳定性
考虑如下的线性时变系统
A t x B t u t ，x t0 x 0，t t0 , t x y C t X t D t u t
设系统的外输入 u t 0 ，初始状态 x 0是有界的。系统的状 态解为 (4-6) x t t , t0 x t0
0
gij
t dt
k
s 或者 G s 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数 gij的 所有极点处在左半复平面。
证明 定理4.2第一部分结论可直接由定理4.1得到，下面只
要证明定理的第二部分。 由假设条件，gij s 为真有理分式，则利用部分分式法将其展 开为有限项之和的形式，其中每一项均具有形式为
其中
Qi
s i adj sI A s i s 2 s n
s i
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
Re i A 0 i 1, 2, , n
则式(4-7)成立。
内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
先证充分性
y t
t
t0
g t , u d
t t0
t
t0
g t , u d
k1 g (t , ) d kk1
从而根据定义4.1知系统是BIBO稳定的。
再证必要性 采用反证法，假设存在某个
t1 t0 , 使得
t
t0
gip t , u p d
t t0
gi1 t , u1 d gip t , u p d
t0
t
i 1, 2,3,，q
由于有限个有界函数之和仍为有界函数，利用单输入-单位输出 系统的结果，即可证明定理4.1的结论。证毕。
0
x t t ,0 x 0 e At x 0
假定系统矩阵 A 具有两两相异的特征值，则
e At 1 sI A
1 1
adj sI A s-1 s-2 s-n
i 为A之特征值
进一步可得
n Qi e Qi ei t i 1 sI A i 1 At 1 n
t
t0
gij t , d k
(4-1)
证明 为了方便，先证单输入-单输出情况，然后推广到多输入
-多输出情况。在单输入-单输出条件下，输入-输出满足关系
y t
t
t0
g t , u d
(4-2)
已知式(4-1)成立，且对任意输入u t 满 足 u t k1 , t t0， , 要证明输出 y t 有界。由(4-2)式， 可以方便得到
稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的 闭球域内，即
x0 xc
t t0
(4-9)
若能使系统方程的解x t；x 0，t0 在 t 的过程中都位于 以平衡状态 x c为球心、任意规定的半径为 的闭球域以内，即
x t；x 0，t0 x c t t0