含参数二次函数的闭区间上的值域问题
高一数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数在闭区间上的最值问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
含参数二次函数的值域习题
含参数二次函数的值域习题本文介绍了含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域的分类讨论。
其中，正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间和动轴动区间。
定轴定区间型的例子是函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
另一个例子是对于函数f(x)=x^2+x+1在x≤3时求最值。
动轴定区间型的例子是求函数f(x)=x^2-2ax+3在x∈[0,4]上的最值。
解决这个问题需要分类讨论，其中分为四种情况。
动区间定轴型的例子是求函数f(x)=x^2-2x+3在x∈[a,a+2]上的最值。
解决这个问题需要分类讨论，其中分为四种情况。
动轴动区间型的例子是求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值。
解决这个问题需要分类讨论，其中分为三种情况。
练题包括求函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3在区间[-3,2]上最大值为1时，实数a的值；求函数f(x)=x^2-2x+2在x∈[t,t+1]上的最值；求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值。
总之，分类讨论是解决含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域问题的关键。
已知函数$f(x)=9x^2-6ax+a^2-10a-6$在$[-1,b]$上恒大于等于0，其中实数$a\in[3,+\infty)$，求实数$b$的范围。
解：由题意可得$$\begin{aligned}f(x)&=9x^2-6ax+a^2-10a-6\\&=9(x-\frac{a}{3})^2+\frac{2}{3}(a^2-3a-6)\end{aligned}$$因为$f(x)\geq 0$，所以$\frac{2}{3}(a^2-3a-6)\geq 0$，解得$a\in(-\infty。
-2]\cup[3,+\infty)$。
二次函数在闭区间上的最值问题
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。
否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。
(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。
变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。
变式3：求函数y x =+的最小值。
类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题在数学中，含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是一个常见且重要的数学概念。
这个问题涉及到求解一个含参数的二次函数在指定闭区间内的最大值或最小值，并且需要考虑参数对函数图像的影响。
在本文中，我们将深入探讨这个问题，并根据不同的参数取值情况给出具体的解决方法和结论。
1. 含参数的二次函数的一般形式我们来回顾一下含参数的二次函数的一般形式。
一个含参数的二次函数通常可以写成如下形式：\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是函数的参数，\(x\) 是自变量。
在这个函数中，参数 \(a\) 的取值会对函数的开口方向产生影响，参数 \(b\) 会对函数的位置产生影响，而参数 \(c\) 则会对函数的纵向平移产生影响。
在求解含参数的二次函数在闭区间上的最值问题时，我们需要关注这些参数的取值对函数图像的影响。
2. 含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法接下来，我们将按照从简到繁、由浅入深的方式来讨论含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法。
我们将分析当参数 \(a\) 的取值为正、负和零时，函数图像的特点及最值的情况。
2.1 当参数 \(a\) 的取值为正时当参数 \(a\) 的取值为正时，函数的图像是一个开口向上的抛物线。
在闭区间上，这样的抛物线的最小值一定在抛物线的顶点处取得。
要求解函数在闭区间上的最小值，只需要找到抛物线的顶点，并判断这个顶点是否在给定的闭区间内。
2.2 当参数 \(a\) 的取值为负时当参数 \(a\) 的取值为负时，函数的图像是一个开口向下的抛物线。
同样地，在闭区间上，这样的抛物线的最大值一定在抛物线的顶点处取得。
要求解函数在闭区间上的最大值，也只需要找到抛物线的顶点，并判断这个顶点是否在给定的闭区间内。
2.3 当参数 \(a\) 的取值为零时当参数 \(a\) 的取值为零时，函数退化成一次函数或常数函数，最值情况可以直接通过函数的表达式和给定的闭区间进行分析和判断。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
二次函数方程不等式的含参问题
二次含参模块已知单调区间求参问题............................................................................................................. - 2 - 含参二次函数在闭区间内最值问题........................................................................................... - 3 - 解含参一元二次不等式........................................................................................................... - 12 - 一元二次不等式恒成立问题................................................................................................... - 17 - 二次方程根的分布..................................................................................................................... - 27 -已知单调区间求参问题【例1】,对称轴为,判断,,的大小?【答案】【例2】,在上单调递增，上单调递减，则下列说法正确的是不确定【答案】B.【例3】在上单调，求的范围?【答案】∞，，.含参二次函数在闭区间内最值问题一、含参求最值........................................................................................................................... - 4 -（一）轴定区间定............................................................................................................... - 4 - （二）轴动区间定............................................................................................................... - 5 - （三）轴定区间动............................................................................................................... - 6 - （四）相关练习................................................................................................................... - 6 - 二、已知最值求参....................................................................................................................... - 8 -（一）已知最值求参——先斩后奏................................................................................... - 8 - （二）已知值域求参......................................................................................................... - 10 -一、含参求最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-+≤-=22)(22)()(maxn m a b m f n m a b n f x f()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-<-=n a b n f n a b m a b f m abm f x f 2)(2)2(2)(min；（一）轴定区间定【例1】函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
二次函数在闭区间的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3
(1) y [5, 4]
三、轴定区间动
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 3.当a≥2时 1.当0<a≤1时， 2.当1<a<2时 函数在[0，a]上单调 函数在[0,1]上单调 函数在[0,1]上 递减， 递减,在[1，a]上 单调递减, 单调递增, ∴当x=0时，ymax=3 在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2, 当x=a时， ∴当x=1时,ymin=2 当x=a时,-2a+3 ymin=a2 当x=0时，ymax=3 ymax= a2-2a+3
2
在区间[ 1，上的最大值为 4，求a的值。 2
2、不等式9 x 6ax a 2a 6 0
2 2
1 1 在 x 内恒成立，求实数a的取值范围。 3 3
2
3、已知函数 f x 2 x 2ax 3
在区间[ 1，上有最小值，记作 g a 1
2
值域为 , 4
如 : y x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1 0 -1
b 4ac b 2 A( , ) 2 2a 4a
1 1 2 3
2
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
-1
0 -1
1
2
3
二、定义域不为R的二次函[数的值域
1 2
4、由图（4）得：
1 a 1 ，即 2 a 1时， 当 2 2
考点08 二次函数在闭区间上的最值(值域)问题的解法(解析版)
专题二函数考点8 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【方法点拨】一、知识梳理二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A ．22B 3C 2D 3【答案】B 【分析】由题设可得20(0)ax cx b x -+=≠，又()()f m f n c ==即,m n 为方程两个不等的实根，即有,c bm n mn a a+==，结合2||()4m n m n mn -=+-40a b c ++=得2||16()41b bm n a a-=⋅+⋅+.【解析】由题意知：当()bf x ax c x=+=有20(0)ax cx b x -+=≠， ∵()()f m f n c ==知：,m n 是20(0,0,0)ax cx b x a b -+=≠≠≠两个不等的实根.∴,c b m n mn a a +==，而2224||()4c ab m n m n mn a--=+-= ∵40a b c ++=，即4c b a =--，∴||m n -=b t a =，则||m n -==∴当18t =-时，||m n -故选：B 【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,m n ，结合韦达定理以及||m n -=.2．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)【答案】C 【分析】由题设知()f x 关于3x =对称且开口向上，根据二次函数的对称性(1)(1)f x f -<有115x <-<，求解集. 【解析】依题意，有二次函数关于3x =对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若(1)(1)f x f -<，即有115x <-<， ∴40x -<<. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由题设可得()f x 关于3x =对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可. 3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥， 利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【解析】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b的最小值为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．2+【答案】C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【解析】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-，当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-（舍)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：2+ 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．145B ．114C ．83D ．103【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得2nn a =．求得6m n +=，()19119191066m m n m n n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果. 【解析】解：22n n S a =-，可得11122a S a ==-，即12a =，2n ≥时，1122n n S a --=-，又22n n S a =-，相减可得1122n n n n n a S S a a =-=-﹣﹣，即12n n a a -=，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nn a =．64m n a a =，即2264m n ⋅=，得6m n +=，所以()191191911010666m m n m n m n m n n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 181663=⨯=， 当且仅当9n m m n=时取等号，即为32m =，92n =．因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 因为19196m n y m m +=+=-，在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以当2m =，4n =时，19m n+取得最小值为114．故选：B. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()11,021,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，()()()123f x f x f x ==，则()2312x f x x x +的最小值是（ ）.A ．58B ．516C ．532D ．564【答案】C 【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定123,,x x x 的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【解析】 如图：122x x += ，312112x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即312112x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()33112312111222x x x f x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+ 令311,2x t t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，,则()()2321212x f x t t x x =++ 当14t =时取得最小值532. 故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出123,,x x x 范围以及122x x +=；二是将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数x 、y 满足{24 2y xx y y ≤+≤≥-,若存在x 、y 满足()()22211(0)x y r r ++-=>，则r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．423D ．523【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线,24,2y x x y y =+==-围成的三角形区域， (),x y 到点()1,1-的距离最小值为2，所以r 的最小值为2考点：线性规划问题8．若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．51- B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D 【解析】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++()262551=-=- ，所以()()()()22a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()()()2=51a c a b ++-.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 10．已知函数()1ln ax f x xe x ax -=--，21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（） A ．1- B ．1e-C ．0D ．31e-【答案】C 【分析】求得()()11'1ax f x ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，先证明110ax e x --≤，可得当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，(),f x 单调递增，则()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(2210,,1ln t e M t e t a -⎤-=∈=-+⎦，()()22ln 10,t h t t t e e=-+<≤可证明()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ≥=，从而可得结果.【解析】 求得()()()1111111'11ax ax ax ax ax f x eaxe a e ax ax e x x x ----+⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭ 考察11ax y ex -=-是否有零点，令0y =， 可得1ln x a x -=，记()1ln xx xϕ-=，()2ln 2'x x xϕ-=,()x ϕ在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增， 所以()min x ϕ= ()2e ϕ 21e =-，即21ln 1x x e-≥-， 因为21a e ≤-,所以11ln 10ax x a e x x--≤⇔-≤， 故可知，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +>≤单调递减， 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +<≥单调递增，从而由上知()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(()222210,,1ln 10t t e M t e t lnt t e a e -⎤-=∈=-+=-+<≤⎦， 记()()()22211ln 10,'0,t h t t t e h t e e t=-+<≤=-≤()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ∴≥=，M ∴的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数()f x 最值步骤：(1) 求导数()f x '；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意，110sin cos aaφφ+=++ 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－（φ+4π） ∵φ∈（4π，2π）， ∴φ+4π∈（2π，34π），∴sin （φ+4π）∈（2，1）（φ+4π）∈（1∴-2a ∈（1∴a ∈12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
y 解： ⑴当
即a≥ 2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈
，求函数
•
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
y的最小值为
O
f( )=
-1 1 x
例2：若x∈
•
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1
(3)当
即a<-2时
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题
2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题第五周 闭区间上二次函数最值问题重点知识梳理1．求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．2．解题流程：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，先将f (x )配方，得顶点为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为x ＝－b 2a，再结合开口方向和函数图象，数形结合得出f (x )的最值： 当a >0时，f (x )的图象开口方向向上，(1)当－b 2a∈[]m ，n 时，f (x )的最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )的最大值是f (m )、f (n )中的较大者．且哪个端点离对称轴远就在哪个端点取最大值．(2)当－b 2a ∉[]m ，n 时，若－b 2a<m ，由f (x )在[]m ，n 上是增函数，得f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b 2a，由f (x )在[]m ，n 上是减函数，得f (x )的最大值是f (m )，最小值是f (n )． 当a <0时，可类比得结论．3．分类讨论的标准(1)分类要做到不重不漏；(2)分类的标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．典型例题剖析例1 求函数f (x )＝x 2＋x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最值． 【解析】将二次函数配方得f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，其对称轴方程x ＝－12，顶点坐标⎝⎛⎭⎫－12，34，且图象开口向上．显然其顶点横坐标不在区间⎣⎡⎦⎤0，32内，如图所示．2∴函数f (x )的最小值为f (0)＝1，最大值为f ⎝⎛⎭⎫32＝194.变式训练 函数y ＝－x 2＋4x －2在区间[0,3]上的最大值是________，最小值是________．【答案】2 －2【解析】函数y ＝－x 2＋4x －2＝－(x －2)2＋2是定义在区间[0,3]上的二次函数，其对称轴方程是x ＝2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，如图所示．∴函数的最大值为f (2)＝2，最小值为f (0)＝－2.例2 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，则函数的最小值g (a )＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1 【解析】∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1. 变式训练 如果函数f (x )＝(x －1)2＋1定义在区间[]t ，t ＋1上，求f (x )的最小值．2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周闭区间上二次函数最值问题【解析】函数f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上．t，t＋1左侧，有1<t，此时，当x＝t时，函数有最小值如图1所示，若顶点横坐标在区间[]f(x)min＝f(t)＝(t－1)2＋1.图1t，t＋1内，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数有如图2所示，若顶点横坐标在区间[]最小值f(x)min＝f(1)＝1.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数有最小值f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋1.图34综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (t －1)2＋1，t >11，0≤t ≤1t 2＋1，t <0.【思考】为什么最值讨论时，有时分两种情况讨论，有时分三种情况讨论？【提示】这是因为二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到，而且二次函数的单调性又与函数图象开口方向有关，因此究竟分两种还是分三种情况讨论，取决于两点：一是开口方向是向上还是向下，二是所求最值是函数的最大值还是最小值． 若二次函数开口向上，如果讨论的是最小值，由于在闭区间上它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；如果讨论的是最大值，由于它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，因此就根据对称轴与左右端点的远近分两种情况讨论．当函数开口方向向下时，可类比进行讨论．例3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．当a ＝－2时，求f (x )的最值．【解析】当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]．所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.变式训练 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．【答案】2或－1【解析】f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2， 解得a ＝2或a ＝－1.2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题跟踪训练1．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ]，则y ＝f (x )的最大值为( ) A.3127 B ．1 C.23D ．2 2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.433．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A.14 B.12 C. 22 D. 324．函数f (x )＝x 2－4x －6的定义域为[0，m ]，值域为[－10，－6]，则m 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．[2,4]C ．[2,6]D ．[4,6]5．已知函数y ＝12x 2＋x ＋12(0≤x ≤6)，则当x ＝______时，y 有最大值________；当x ＝________时，y 有最小值________．6．函数f (x )＝x 2＋2x －3，x ∈[0,2]的值域为________．7．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．8．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．9．函数y ＝2x －1－13－4x 的最大值为________．10．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1和f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．11．函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)求g(t)的最小值．12．已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．62017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题13．函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1,1]上最小值记为g (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)求g (a )的最大值．参考答案1．A ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称，即a －1＝－2a .∴a ＝13. ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1，x ∈[－23，23]，8y ＝f (x )的最大值为3127，选A. 2．D ∵f (x )＝1(x －12)2＋34， ∴当x ＝12时，f (x )有最大值43. 3．C 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ＋3≥0，得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}， y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝2 2；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴m M ＝ 22. 4．B 函数f (x )＝x 2－4x －6的图象是开口朝上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线， 故f (0)＝f (4)＝－6，f (2)＝－10.∵函数f (x )＝x 2－4x －6的定义域为[0，m ]，值域为[－10，－6]，∴2≤m ≤4，即m 的取值范围是[2,4]，故选B.5．6 492 0 12. 解析 y ＝12x 2＋x ＋12＝12(x ＋1)2,0≤x ≤6 ∴对称轴为x ＝－1，函数在[0,6]上单调递增，2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题∴x ＝0时，y 取最小值12，x ＝6时，y 取最大值492， 故答案为6492 0 12. 6．[－3,5]解析 由f (x )＝(x ＋1)2－4，知f (x )在[0,2]上单调递增，所以f (x )的值域是[－3,5]．7．[2,4]解析 f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a ≤1，所以b －a ∈[2,4]．8．(1，54) 解析 如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1， 解得1<a <54. 故答案为(1，54)．9.112解析 方法一：令t ＝13－4x (t ≥0)，则x ＝13－t 24. 所以y ＝13－t 22－1－t ＝－t 22－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6.10因为t ≥0，所以y ＝－12(t ＋1)2＋6在[0，＋∞)上为减函数，所以当t ＝0时，y 有最大值112. 方法二：函数的定义域为(－∞，134]． 因为f (x )＝2x －1在(－∞，134]上单调递增， g (x )＝ 13－4x 在(－∞，134]上单调递减， 所以y ＝2x －1－13－4x 在(－∞，134]上为增函数． 所以当x ＝134时，y 有最大值112. 10．解析 设二次函数表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由已知可得，f (0)＝c ＝1，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34， 则当x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34.11．解析 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8.当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题 11 / 12当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －t ，－t ，t 2－4t －t(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.12．解析 ∵对称轴x ＝1，①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1， f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，12f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －t t 2＋2t －t ，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2t －t ≤－－－1<tt 2－2t －t .13．解析 (1)①当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1,1]，则g (a )＝f (a 2)＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2>1， 则g (a )＝f (1)＝5－2a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋a <－，3－a 22－2≤a ，5－2a a(2)①当a <－2时，g (a )<1；②当－2≤a ≤2时，g (a )∈[1,3]；③当a >2时，g (a )<1.由①②③可得g (a )max ＝3.。
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理
中考热点,二次函数区间范围的最值问题
中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。
二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。
中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。
类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．2．（2019•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，∴1≤m≤2．故选：C．3．（2019•郑州模拟）二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．4．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/4（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时3/4（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，3/4（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝﹣2或m＝2/3，∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。
高一数学二次函数的最值问题
即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位
置,则从以下几个方面解决如图:
2021/10/10
12
k
K+2
X=1Biblioteka 2021/10/1013
则由上图知解为:
当k+2≤1(k ≤-1)时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3 f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3
n
m
h
k
h
k
2、若m[h,k]则ymax=max｛ f(h),f(k) ｝ ;ymin=
max ｛ f(h),f(k) ｝ 如下图：
m
h
k
m
h
k
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例题1 已知函数y=x2+2x-3 且x[-2，2],
求函数的最值？
解析：函数配方有 y=(x+1)2-4如右图
即当x=-1时ymin =-4 ;当x=2时ymax =f(2)=5
练习1 求函数y=x2-2x-3且x [0,3]的最值？
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例题2已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
求函数的最值？
解析：y= -x2-2x+3 = -(x+1)2+4
因为x[0，2]如右图 则ymax=f(0)= 0+0+3=3
ymin=f(2)= -4-4+3=-5
练习2 求函数y=-x2+2x+3且x[0,2]的最
Ⅲ 当0＜-a≤2时 f(x) max=f(-2)=7-4a (-2 ≤a ＜0) f(x) min=f(-a)=3-a2
(完整版)含参数二次函数的值域习题
含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域(分类讨论）（一)正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值.对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形：（1)定轴定区间；（2）定轴动区间;(3)动轴定区间;（4)动轴动区间。
题型一：“定轴定区间”型例1、函数y x x =-+-242在区间［0,3]上的最大值是_________，最小值是_______.练习:已知232xx ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
题型二：“动轴定区间”型例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值.解:222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f④当4≤a 时,min (4)198f f a ==-,==max (0)3f f练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。
解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1①当a ＞1，2minf(a)3f a ==-+；2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1,min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0,min f(1)f =，max f(a)f = ④a+2≤1，即a≤-1时,,maxf(a)f =;min (a 2)f f =+练习:求函数=-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。
二次函数含参问题
一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。
一．含参二次函数最值问题。
例1. 函数2()44f x x x =--在闭区间[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值记为g （t ）。
（I ）试写出g （t ）的函数表达式；（II ）求出g （t ）的最小值。
变式训练1：讨论函数2()44f x x tx =--在定义域[0，1]上的最小值。
变式训练2：20443p p x px x p x ≤≤+>+-对于满足的所有实数，是不等式都成立，求的取值范围。
二．二次函数根的区间分布归纳。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
变式训练1：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
变式训练2：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，其横坐标一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
例3. 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。
变式训练1：已知关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的根在区间[0，1]内，求实数m 的取值范围。
变式训练2 （2007年广东卷）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。
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二次函数在给定闭区间上的最值(值域)求法
树一帜的深刻性 、 独创 性 思 维 ， 能 构 造 出 函数 原 型 ， 归 为 才 化 方 程 的 问题 ， 现 函数 与 方 程 的互 相 转 化 接 轨 ， 到 解 决 问 题 实 达 的 目的 。函 数 知 识 涉 及 到 的知 识 点 多 、 广 ， 概 念 性 、 用 面 在 应 性 、 解 性 上 能达 到 一 定 的 要 求 ， 利 于 检 测 学 生 的， 刻 性 、 理 有 深 独 创性 思 维 。 ２数 形 结 合 的 思 想方 法 。 ． 数形 结 合 的 思 想 ，其 实 质 是将 抽 象 的数 学 语 言 与 直 观 的 图 形结 合 起 来 ， 抽 象 思 维 和 形 象 思 维 结 合 ， 过 对 图 形 的 认 使 通 识 ， 形 结 合 的转 化 ， 养 思维 的灵 活性 、 象 性 ， 问 题 化 难 数 培 形 使 为 易 ． 抽 象 为具 体 。 化
３ 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 ．
围为 函数ａ 二 一 ｘ ４ 一 ３一 的值 域 。 据 基本 不 等式 上 式 ａ ２ ４ 根 ≤一 — —
３ ｘ
８ 。则思维突破 常规 ， 用函数 与方程 的转 化 ， 法灵活 简捷 。 利 解 ２ 用数 学 思想 方 法指 导 解题 练 习 ，在 问题 解 决 中运 用 思 ． 想方 法 。 高 学 生 自觉运 用数 学思 想 方 法 的 意识 。 提 （ ） 意 分 析 探 求 解 题 思 路 时 数 学 思 想 方 法 的 运 用 。解 １注 题 的过 程 就 是 在 数 学 思 想 的 指 导 下 ， 理 联 想 、 取 相 关 知 合 提 识 ， 用 一 定 数 学 方 法 加 工 、 理题 设 条 件 及 知 识 ， 步 缩 小 调 处 逐 题 设 与题 断 间 的差 异 的过 程 。也 可 以说 是 运 用 化 归 思想 的过 程 ． 题 思想 的 寻求 就 自然 是 运 用 思 想 方 法 分 析解 决 问 题 的 解 过程。 （ ） 数 学 思 想 指 导 知 识 、 法 的 灵 活 运 用 ， 行 一 题 多 ２用 方 进 解的练习． 培养 思 维 的发 散 性 ， 活 性 ， 灵 敏捷 性 ； 习 题灵 活变 对 通 ， 申推 广 ， 养思 维 的深 刻 性 、 引 培 抽象 性 ； 织 引 导 对解 法 的 组 简 捷 性 的反 思 评 估 ， 断优 化 思 维 品 质 ， 养 思 维 的严 谨 性 、 不 培 批 判性 。 同一 数 学 问题 的多 角 度 的 审视 引 发 的 不 同联 想 ， 对 是 题 多解 的思 维 本 源 。 丰 富 的 、 理 的联 想 ， 对 知 识 的深 刻 合 是 理解 ， 以及 类 比 、 化 、 形 结 合 、 转 数 函数 与 方 程 等 数 学 思想 运 用 的必 然 。数 学 方 法 、数学 思 想 的 自觉 运 用 往 往 使 我 们运 算 简 捷 、 理 机 敏 ， 提 高数 学 能 力 的 必 由之 路 。 推 是 二 、 中 数 学 中常 用 的 思想 方 法 分 类 高
含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策略
含参二次函数在闭区间上最值问题的解题策
略
含参二次函数在闭区间上最值问题是高中数学中比较常见的一类
应用题型，解题需要一定的技巧和策略。
以下是解决这类问题的步骤
和方法：
一、列出含参二次函数的解析式
在解决含参二次函数在闭区间上最值问题前，首先要列出函数的
解析式。
一般来说，含参二次函数可表示为 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）。
其中，a、b、c为常数，x为自变量，f(x)为函数值。
二、确定闭区间
在这一步骤中，需要根据问题描述，确定函数所在的闭区间，常
见的闭区间如[0,1]，[1,2]等，不同的闭区间对所求的解有直接影响。
三、确定函数的最值
确定函数的最值是整个求解过程中最重要的一步，需要按照以下
几个步骤来处理：
1. 求出函数的极值点
通过求导数并将函数的导数等于0来计算函数的极值点。
即
f'(x)=2ax+b=0。
解出x的值，即可得到函数的极值点。
2. 判断极值点是否在所求的闭区间内
将极值点带入原函数来计算函数值，判断函数的最值是否在所求
的闭区间内。
3. 比较区间端点和极值点的函数值
求出闭区间端点的函数值f(a)和f(b)，并将它们与极值点的函
数值进行比较。
找出函数值最大或最小的点，即为所求的最值。
四、解答问题
最后，将求得的函数最值带入题目中，解答出最终问题。
总结：在解决含参二次函数在闭区间上最值的问题时，需要先列
出含参二次函数的解析式，确定闭区间，进而求出函数的最值，最后将所求的函数最值带入题目中进行解答。
二次函数在闭区间上最值
二次函数在闭区间上的最值一．知识点精讲1 二次函数的三种形式（1）一般式 c bx ax x f ++=2)(； （2）交点式))(()(21x x x x a x f --=； （3）顶点式k h x a x f +-=2)()( 2．二次函数的基本性质（1）开口方向 0>a 时，开口向上， 0<a 时，开口向上，（2）对称轴方程ab x 2-= （3）02=++c bx ax 根的判别式 ac b 42-=∆（4）02=++c bx ax 的求根公式 aac b b x 2422,1-±-=（5）02=++c bx ax 两根和，两根积 a b x x -=+21 ac x x =21 3 解决二次函数问题的常用方法——数形结合法二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。
结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。
因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。
4 二次函数c bx ax x f ++=2)(在区间［p ，q ］上的值域求法方法：讨论或分析对称轴和区间的位置关系。
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。
二 典型例题1 求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最小值 解析：二次函数的对称轴为1=x ，（1）当11<+m 时，即0<m ，12m in +=m y（2）当1>m 时，1)1(2m in +-=m y （3）当10≤≤m 时，1m in =y变式1：求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最大值 解析：（1）当21≤m 时，1)1(2m ax +-=m y （2）当21>m 时，12max +=m y变式2 求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最小值 解析：二次函数的对称轴为a x =， （1）当1-<a 时， 12m in +=a y （2）当1>a 时，1)1(2m in +-=a y （3）当10≤≤a 时，1m in =y变式3：求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最大值 解析：（1）当0≤a 时， a y 24m ax -=（2）当0>a 时，a y 24m ax +=二次函数是个筐，什么东西都能往里装变式4求124)(1+-=+x xx f ，]2,1[-∈x 的值域解析：xt 2=]4,21[∈t ，22)1(12)(-=+-=t t t t g ，当1=t 时，即0=x ，0)(m in =t g 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]9,0[∈y变式5 求1log log )(222++=x x x f ]2,81(∈x 的值域 注意：22)(log log x x a a =解析：x t 2log =，]1,3(-∈t ，43)21(1)(22++=++=t t t t g ，当21-=t 时，即22=x 时，43)(min =t g 当3-=t 时，即81=x ，7)(m ax =t g ，∴]7,43()(∈t g 即]9,0[∈y 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]7,43[∈y变式6 （2009福建理）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
中考二轮复习微专题探究——含参数的二次函数中对称轴、区间、函数值之间的关系探究
中考二轮复习微专题探究——含参数的二次函数中对称轴、
区间、函数值之间的关系探究
刘长松;陈超
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2024()2
【摘要】微专题的复习具有短小、精炼、实战性强等特点,文章以含参数的二次函数中对称轴、区间、函数值之间的关系为例,列举了四类基本问题:定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间.重点解决定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间问题,复习巩固数形结合、分类讨论等思想方法,学会寻找关键界点,对照图形、分类讨论、动中取静,体会“数缺形时少直观,形少数时难入微”的数形结合思想方法,感受数学的运动美、对称美.
【总页数】3页(P20-22)
【作者】刘长松;陈超
【作者单位】江苏省苏州高新区实验初级中学锦峰路校区;江苏省苏州高新区实验初级中学金山路校区
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.含参数二次函数闭区间上最值的探究学习
2.一轮专题复习:追寻含参函数中的变与不变——以含参二次函数探究及应用为例
3.一轮专题复习：追寻含参函数中的
变与不变——以含参二次函数探究及应用为例4.精准·高效:中考二轮复习微专题——用二次函数性质解决不等式问题的教学设计5.“自主展评”,让初中数学专题教学更精彩——以中考二轮复习“二次函数综合题的应用”为例
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含有参数的闭区间上二次函数的值域
学习目标：
（1）能够利用函数单调性求解不含参的二次函数闭区间上的最值。
（2）能够根据对称轴与区间的相对位置，利用分类讨论，解决含参二次函数求最值问题。
（3）在解决含参二次函数求值域的过程中体会数形结合思想和分类讨论思想。
教学重点：根据对称轴与区间的相对位置，利用分类讨论，解决含参二次函数求最值问题。
教学难点：根据对称轴与区间的相对位置，确定分类讨论的标准。
题型一：“轴定区间定”型
例1、函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
变式1.函数2
=++在区间[-2,1]的最小值为，最大值为.
()2
f x x x a
题型二：“轴动区间定”型
例2.（1）求函数2
x∈上的最小值。
=-+在[0,4]
f x x ax
()23
（2）求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最大值。
（3）求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的值域。
题型三：“轴定区间动”型的二次函数最值
变式2.（1）求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最小值。
（2）求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最大值。
（3）求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的值域。
思考题：
求函数[]上的值域。
在2,132)(2-∈++=x x ax x f
课下作业：
1．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围
(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞
2．已知)(x f 22a
ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的解析式
3．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。
能力提升题：
4.求函数(x)x(x )x [1,a]f a =--∈-在的最大值。