考点36 椭圆-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

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（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. （3）理解数形结合的思想. （4）了解椭圆的简单应用.

一、椭圆的定义

平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.

要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程

焦点在x轴上，

22

221(0)

x y

a b

a b

+=>>；

焦点在y轴上，

22

22

1(0)

y x

a b

a b

+=>>.

说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,

a b c之间的大小关系和等量关系：

222,0,0

a c

b a b a c

-=>>>>.

三、椭圆的图形及其简单几何性质

i)图形

焦点在x轴上焦点在y轴上

ii)

标准方程

几何性质

范围顶点焦点对称性离心率

椭

圆

22

22

1

x y

a b

+=

(0)

a b

>>

x a

≤

y b

≤

(,0)

a±，

(0,)b±

(,0)

c±

对称轴：x

轴，y轴，

对称中心：

原点

01

e

<<，

c

e

a

=

22

22

1

y x

a b

+=

(0)

a b

>>

y a

≤

x b

≤

(0,)a±，

(,0)

b±

(0,)c±

注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方

程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用c

e a

=

计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 四、必记结论

1．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴

端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． 2．已知过焦点F 1的弦AB ，则2ABF △的周长为4A ．

考向一 椭圆定义的应用

1．椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.

以椭圆 22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，

0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用： （1）12||2PF PF a +=；

（2）2

2

2

121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－； （3）12121

·sin 2

||||PF F S PF PF θ=

△. 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求

解.

典例1已知F 1，F 2是椭圆22

143

x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上．

（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________； （2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为________________； （3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为________________． 【答案】（1）3；（2）8；（3）

6

5

． 【解析】由椭圆的标准方程可知：24a =，23b =， 故2a =，3b =

，22431c a b =-=-=．#网

（3）在12PF F △中，由余弦定理可得222

211221121||||||2||||cos PF PF F F PF F F F PF =+-∠， 即2

2

211||||42||PF PF PF =++， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=， 两式联立解得1||5

PF 6=

．

1．已知、是椭圆：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点，为椭圆上一点，且

，若

的面积为9，则的值为 A ．1 B ．2 C ．3

D ．4