2011年数学建模天然肠衣搭配问题

天然肠衣搭配问题

一、摘要

肠衣加工企业对原材料应制定合理有效的方式来搭配，使得企业的收益最大化，同时基于保鲜的需要，也要求搭配方案能够尽可能快速。因此肠衣的搭配问题是个很有实际意义的研究课题。

在本问题中，给出了2组数据，我们需要根据这2组数据设计搭配的方案。显然，肠衣分配问题是一个整数规划问题。所以本文都采用Lingo软件进行编程求解，求解这个整数规划问题本文都选择单纯形法。

对于每一个题设的要求，我们都单独考虑。对于第一个问题：我们将问题分为3个小块，对于长度在[3,6.5]的长度，由于题设限制了一捆要求满足20根肠衣并且一捆最短要89米，所以我们通过构建线性方程组，来找到满足条件的结果；对于其他长度的肠衣，我们也是类似于[3,6.5]的方式进行。对于第二个问题，题设要求最短长度的尽量多，所以我们在第一问的基础上，给较短长度的肠衣较大的权系数，最后通过Lingo软件求得全局最优解。关于第三个问题的求解，我们参照求解问题一的方法使用不等式约束。对于问题四，我们运用贪心算法来求解，即对于剩余的肠衣，我们通过贪心准则来进行降级，使得每次的贪心选择都是当时的最佳选择。

由于原材料已定，按照题设，分别讨论每个要求，解得第一问中肠衣最多只能做出130捆；第二问中对剩余的肠衣加权，也得到了比较理想的结果；第三问最多可以生产183捆合格成品；第四问中我们通过贪心算法对降级问题进行处理，最终得到剩下的肠衣可以组成 183 捆。对于第五问，我们每个程序的时间都仔分钟内就可以得到结果，所以能够在30分钟内得到分配方案。

关键词：搭配问题、LINGO软件、整数规划、全局最优、加权

二、问题重述

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工就是我国的一个传统产业，已有百余年的历史，出口量占世界首位，为我国创造了可观的经济价值。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

为了提高生产效率，提高产品的市场竞争力，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。并按照公司对原料搭配的具体要求，设计一个原料搭配方案，使工人按其“照方抓药”进行生产，以提高生产效率。

其搭配要求如下：

(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

三、模型假设及符号说明

1、模型的假设

(1) 假设所有选定的肠衣原料都能组装为成品；

(2) 假设所生产的成品肠衣都为合格产品；

(3) 假设该公司提供的原材料均能符合国家标准，为合格的新鲜肠衣原料；

(4) 假设肠衣在搭配过程中除去无法组成整捆的原料，均无浪费现象；

2、符号说明

S：每种肠衣原料的总数；

x i j：第i捆成品使用的第j种原材料的数量；

(,)

l：为每种原材料的长度。

i

n：假设的最多捆数

四、问题分析

本题共有五个要求：

（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；针对本题，因为原料已定，也就是说原料的总长度一定，我们认为要想装出的成品捆数增加，就必须尽量让所有的原料都被利用，争取浪费最少，采用线性规划的方法来解决问题。

（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最多的成品越多，方案越好；这里涉及到一个最优化问题，即在成品中原材料最短长度最多。因此使用LINGO编程求其全局最优方案。

（3）为提高原料使用率，总长度允许0.5

±米的误差，总根数允许比标准少1根；对于这个要求来看，误差为0.5

±，即成品的合格范围是88.589.5米之间，在误差范围内，比原定根数少一根也算是合格成品。

（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用；与上一要求类似，在提高效率方面，不对原料进行多次切断组装加工处理，直接归类，可以缩短工人产生方案的时间，同时也就提高了效率。

（5）为了食品保鲜，要求在30分钟内产生方案。在前四个要求都满足的情况下，要对模型进行简化，方便工人在生产加工时，能够在最短时间内对原料的组合搭配进行规划，并且找到最优方案。

五、模型的建立及求解

（一）：对第一个要求进行探究：

要求对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，则首先对该公司部分成

在此表格中能得到成品总长度为89米，由此来规定本文中合格成品肠衣的标准为每捆肠衣总长度为89米。

由于在本题要求根据题中所给信息处理，建立出初始模型

首先要满足题中对每捆成品肠衣所使用原料根数的要求列出式(1), 如下：

8

1

(,)20j x i j ==∑ (1)

(1,2,3,)i n =

然后根据题意对每捆成品标准长度进行限制，每捆肠衣的总长度为89米，列出式(2) 如下：

1

(,)89n

j

j l

x i j ==∑ (2)

(1,2,3,,)i n =

生产成品所使用的每种档次原料数量不能超过该原料的总数，因此得出式(3)如下：

1

(,)n

j

i x i j S

=≤∑ (3)

(1,2,3,

,8)j =

第i 捆成品使用原料j 的个数记为(,)x i j ：

(,)x i j 是整数 (4)

(1,2,3,,i n =；. 1,2,3,,8)j =

要使得捆数最大，需要下面的最大目标约束：

max n =；

LINGO 11.0求解得到第一种规格的最优解，此时14n =（程序解题代码见附件一第一要求规格1）：