基本函数求导公式

基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
',
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的与、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则
(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 就是常数)
(3) v u v u uv '+'=')(
(4) 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ,则它的反函数)(x f y =在对应区
间
x
I 内也可导,且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设)(u f y =,而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du dx du dx =g
或()()y f u x ϕ'''=g
２、 双曲函数与反双曲函数的导数、
双曲函数与反双曲函数都就是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式与求导法则求出.
可以推出下表列出的公式:
在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程
),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。

现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式、
隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点
),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且0),(00=y x F ,, 0),(00≠y x F y ,则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件)(00x f y =,并有
y x F F dx dy
-= (2)
公式(2)就就是隐函数的求导公式
这个定理我们不证。

现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入,得恒等式 0))(,(≡x f x F ,
其左端可以瞧作就是x 的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍
然恒等,即得
,0=∂∂+∂∂dx dy y F x F
由于
y
F 连续,且
),(00≠y x F y ,所以存在(x 0,y 0)的一个邻域,在这个邻域内
≠y F ,于就是得
.y x F F dx dy
-=
如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续,我们可以把等式(2)的两端瞧作x 的复合函数而再
一次求导,即得
dx
dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22
.23
2222y
x yy y x xy y xx y x y
x yy y xy y x
yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=
例1 验证方程012
2
=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时,1=y 的隐函数)(x f y =,并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值。

解 设=),(y x F 122-+y x ,则y F x F y x 2,2==,0
2)1,0(,0)1,0(≠==y F F 、因此由定理1可知,方程
012
2=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时,1=y 的隐函数)(x f y =。

下面求这函数的一阶与二阶导数
y x F F dx dy -==y x -, 0
==x dx dy ;
22dx y d =
,1)
(332222y y x y y y x
x y y y x y -=+-=---='--
1
22-==x dx y
d 。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数、既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数,那末一个三元方程
F (z y x ,,)=0 (3)
就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样,我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在,以及这个函数的性质。

这就就是下面的定理。

隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且0),,(000=z y x F ,0),,(000≠z y x F z ,则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =,它满足条件
),(000y x f z =,并有
x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z y
F F -、 (4)
这个定理我们不证、与定理1类似,仅就公式(4)作如下推导、 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 与y 求导,应用复合函数求导法则得
x F +z F x z
∂∂=0, y F
+z F y z ∂∂=0。

因为z F 连续,且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域,在这个邻域内z F ≠0,于就是得
x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z y
F F -。

例2 设04222=-++z z y x ,求.22x z
∂∂
解 设F (z y x ,,) =z z y x 42
2
2
-++,则x F =2x , z F =42-z 、应用公式(4),得
x z ∂∂=z x
-2。

再一次x 对求偏导数,得
2
2x z ∂∂2
)2()2(z x
z x z -∂∂+-=
.)2()2()2(2)2(3
222z x z z z x x z -+-=-⎪
⎭⎫
⎝⎛-+-=
二、方程组的情形
下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。

我们不仅增加方程中变量的个数。

而且增加方程的个数,例如,考虑方程组
⎩⎨
⎧==.0),,,(,
0),,,(z u y x G v u y x F (5)
这时,在四个变量中,一般只能有两个变量独立变化,因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。

在这种情形下,我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在,以及它们的性质。

我们有下面的定理。

隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又0),,,(0000=v u y x F ,0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):
=J ),(),(v u G F ∂∂=v G u G
v F u
F ∂∂∂∂∂∂∂∂
在点),,,(00000v u y x P 不等于零,则方程组0),,,(=v u y x F ,0),,,(=v u y x G 在点
),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==,它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==,并有
x u
∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,
v
u
v u
v x
v x G G
F F
G G F F
x v
∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-
=,
v
u
v u x u
x u G G F F G G F F (6)
y u ∂∂-=),()
,(1v y G F J ∂∂-=,
v v
v
u
v y
v
y G G F F G G F F
y v ∂∂-=J 1),()
,(y u G F ∂∂-=.
u y u
y u v u
v F F G G F F G G
这个定理我们不证、
例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ,求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂与y v
∂∂、
解 此题可直接利用公式(6),但也可依照推导公式(6)的方法来求解。

下面我们利用后一种方法来做。

将所给方程的两边对x 求导并移项,得
⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.
,v x v x x u y u x v y x u
x
在
22≠+=-=
y x x
y
y x J 的条件下,
.,222
2y
x xv yu x
y y x v y u
x x v y x yv xu x
y y x x v y
u x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂
将所给方程的两边对y 求导,用同样方法在02
2
≠+=y x J 的条件下可得
,22y x yu xv y
u +-=∂∂ .2
2y x yv xu y v ++-=∂∂。