第四章联立方程模型

Chapter4 联立方程模型

本章关注的目标Y 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量i X 从另一方面考察可能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为i X 中有Y 的成分，从而()0i E U X =不成立，产生内生性问题的第3种情形，联立性问题。

在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量（多个结果），所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容主要在理论层面有：联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM 方法是本章的特色。它把2SLS 的方法又提高了一步。 一、基本概念和模型

系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。 变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时（1）（2）不加区分，统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。

线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。联立模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种：

1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。

2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式变

量前的系数有确定的经济内涵，它们一般从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类：

（1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程

（4） 定义方程

每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。

系统的描述：

Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y

X 表示先决变量，设有M 个先决变量：1X ……M X

U 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。

例：简单的宏观消费－投资模型： 消费方程：t t t U Y C ++=21αα

可加随机项 不可加随机项

投资方程：t t t t Y Y I εββ+-+=--)(2121 平衡方程：t t t t G C I Y ++=

则：内生变量：t C ，t I ，t Y ；先决变量： 21,--t t Y Y t G ；随机误差：t t U ,ε。 联立方程模型主要分成三类：

（1） 似无关模型（Seemingly Unrelated Regression ）(SUR 模型)

1111U X Y +=β 2222U X Y +=β

……

G U X Y G G G +=β

模型中每个方程都是简约式（reduced form ）有不同的先决解释变量和因变量，并有各自的参数值1,=g g β…G 。相关联的仅是不可观测的误差项。可以理解为系统有一个共同的环境，且系统间的因果关系由随机项构成。由此设定：

()1G |X 0g E U X =，g =1…G 。

这是一个很强的假定，意味着任意i U 与j X 不相关，弱一些的假定是：()

0X |g =g U E ，

g =1…G,仅要求g U 与g X 不相关，单方程的正确设定要求。总体上，g U 可能与其他外生

变量j X （g 不等于j ）相关，似无关的含义是指后一种含义。 （2）面板数据模型（Panel Data ）（ PD 模型）

t t t Y X U β=+，()|0,t t E U X = t =1,2…Ｔ。

这里，先决解释变量和参数值都相同。区别的仅在于t ,一般理解为不同时段，也可以是其它指标如不同组、地区、城市等，t 表示为不同的因变量，因此T 是有限的。t U 可理解为不同的因变量t 导致不同的随机误差。因为t 是一个序列关系，故t U 和s U 可以不独立，也可以不同分布等，视各种实际情况而定。

注：1、这种简单形式的面板数据模型可以看成是一类特殊的联立方程。其他各种特征的面板数据模型将在第五章中介绍。SUR 和PD 是联立方程的特殊形式，其特点为每个内生变量i Y 都可以写成单方程的多元线性回归的形式，且都是正确设定的。区别是，SUR 模型每个i Y 有自己的外生变量，而PD 则是所有t Y 都有相同的外生变量。

2、另一种介于SUR 和PD 模型的联立式称为跨方程的联立式，含义是：如果某i Y 与j

Y

中有相同的先决变量，且参数值相同，那么可将i Y 与j Y 合并成跨方程的联立式，如：

11211121112121

22 0

0 k k k X X X Y Y X X X ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭＋⎪⎪⎭⎫

⎝⎛21U U ，并将其看成是一个整体。 （3）同时性模型（Simultanious Equation ）(SEM)

()()()()111111Y Y X U χδ=++ ……

()()()()G G G G G G Y Y X U γδ=++

这里，()h Y 是指不包括h 在内的其它内生变量的部分（()Y Y h ⊂）；()h X 是指先决变量的部分（()X X h ⊂）；()h γ和()h δ是变量()h Y 和()h X 的参数；h U 是随机误差。即同时性模型是把每个内生变量写成其它部分内生变量和先决变量的线性式。因为SEM 模型中右边方程中含有其它内生变量，所以内生变量1

G Y Y 是同时确定的。它不能象模型（1）和（2）那样，

单独就可以确定。

如果我们能够通过线性变换把SEM 中右边的内生变量部分消去，得到它的简约式，那么SEM 也可以象SUR 和PD 那样处理。我们把SEM 左边的每个h Y 都移到方程的右边，使其得到按行排列的统一的紧凑形式：

0Y X U Γ+∆+=。 这里，1

()G Y Y Y =是1×Ｇ矩阵，1()M X X X =是1×M 矩阵，且可以观测抽样；

()ij γΓ=是G ×G 矩阵，()ij δ∆=是M ×G 矩阵，是未知参数；

1()G U U U =是1×Ｇ矩阵，是随机误差。

注：紧凑式也可按列排成按行的转置形式：0Y X U Γ+∆+=。这里，1()G Y Y Y '=是G

×1矩阵，1()M X X X '=是M ×1矩阵，1()G U U U '=是G ×1矩阵，采取那种方式

视方便而定。

假定Γ可逆，否则内生变量Y 中的选择至少有一个是多余的，且()E U U '∑=是随机误差的协方差阵，为G ×G 的非奇异矩阵。那么模型可以方便地转化成简约式： (

)()1

1

Y X U X V --=-∆Γ

+-Γ=∏+。

但是，将SEM 写成简约式面临一个问题：

当我们从简约式通过取样，得到∏的估计∏ˆ，在什么条件下，我们可以从∏ˆ得到Γ和∆的估计ˆΓ

和∆ˆ，称为系统的可识别问题。这个问题不是显然的，甚至有点微妙。因为Γ与∆