人教版数学(理)必修五(普通班)同步练习：1.1.1正弦定理(1)(含解析)

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高中数学(人教版必修5)配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理第1课时.doc

第一章 1.1 第1课时一、选择题1．(2013·北京文，5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15B ．59C ．53D ．1[答案] B[解析] 本题考查了正弦定理，由a sin A ＝b sin B 知313＝5sin B ，即sin B ＝59，选B.2．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3[答案] D[解析] 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32，∴A ＝π3. 3．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A[答案] D[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故1sin B≥1，∴a ≥b sin A ． 4．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定[答案] B[解析] ∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°， ∴c >b sin C ，又c 2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3[答案] C[解析] 由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2.二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________． [答案] 23cm [解析] ∵BCsin A＝2R ，∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边．若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c ＝______.[答案] 2[解析] C ＝180°－105°－45°＝30°. 根据正弦定理b sin B ＝c sin C 可知22sin45°＝csin30°，解得c ＝2. 三、解答题9．根据下列条件，解三角形．(1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2.[解析] (1)由正弦定理，得sin C ＝c b ·sin B ＝13×32＝12.∴C ＝30°或C ＝150°.∵A ＋B ＋C ＝180°，故C ＝150°不合题意，舍去． ∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2.(2)由正弦定理，得sin C ＝c ·sin A a ＝6sin45°2＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin75°sin60°＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． [解析] ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ．∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0，又∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B ＝C ．又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形.一、选择题1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A ．22B ．24C ．32D ．3＋14[答案] D[解析] c ＝a sin Csin A ＝2，B ＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋14.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C ．若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B ．12C ．－1D ． 1[答案] D[解析] ∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] A[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，∴sin B＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π6.选A ． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 [答案] C[解析] ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1·k 2＝－1，∴两直线垂直．二、填空题5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案] π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴π4<B ＋π4<54π，∴B ＝π4，又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6.6．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．[答案] 等边[解析] 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C2，∵0<A ，B ，C <π，∴0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ．故△ABC 为等边三角形．三、解答题7．在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－513，cos B ＝35得，sin A ＝1213，sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝1213×35＋(－513)×45 ＝1665. (2)根据正弦定理， AB ＝BC ·sin Csin A ＝5×16651213＝43，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×43×5×45＝83.8．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223，在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.。

高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5(2021年最新整理)

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1。

1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（） A．．．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。

在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ，则B 等于（） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。

在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。

高中数学(人教版必修5)配套练习：1.1 正弦定理和余弦定理第3课时

第一章 1.1 第3课时一、选择题1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵sin A a ＝cos B b ，∴sin B ＝cos B ，∵0°<B <180°，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是() A ．－15 B ．－16C ．－17D ．－18[答案] C[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] B[解析] ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.4．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形[答案] B[解析] ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B .5．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是() A ．x >2 B ．x <2C ．2<x <433 D ．2<x ≤433[答案] C[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <A ．即32x <2<x ，∴2<x <433. 6．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] B[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B.二、填空题7．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.[答案] 0[解析] ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为________．[答案] 57[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，C ．又b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC ＝57.三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B 2，求三角形各边边长． [解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°.由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac ＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14，∴a ＋c ＝16∴a ，c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10， ∴该三角形各边长为14,10和6.10．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．[解析] (1)由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2. 又∵A ＋B ＋C ＝π，∴2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4. 故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33. (2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC ＝AC sin A sin B ＝3 2. ∴S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.一、选择题1．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C >0B ．cos B ·cosC >0 C ．cos A ·cos B >0D ．cos A ·cos B ·cos C >0[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 0，cos B >0.2．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 [答案] B[解析] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 是等边三角形．3．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ； ②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ； ④b ＝c sin A ＋a sin C ．一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C ．4．△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C 等于( ) A ．32 B ．12 C ．33 D ．34[答案] B[解析] 由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12. 二、填空题5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．[答案] 1534[解析] 由余弦定理知72＝52＋BC 2＋5BC ，即BC 2＋5BC －24＝0，解之得BC ＝3，所以S ＝12×5×3×sin120°＝1534. 6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__________．[答案] 1[解析] 如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中，cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x 2，在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x， ∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x 2＝－x 2－22x， ∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1.三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ，a ＝4，cos A ＝14， ∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bC ．又b ＋c ＝6，∴bc ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，得b ＝2，c ＝4，或b ＝4，c ＝2.又∵b <c ，∴b ＝2，c ＝4.8．(2014·浙江理，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． [解析] (1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得．12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ，即sin(－π6＋2A )＝sin(－π6＋2B )， ∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π3， ∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3. (2)由(1)知sin C ＝32，cos C ＝12， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋410由正弦定理得：a sin A ＝c sin C，又∵c ＝3，sin A ＝45.∴a ＝85. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝18＋8325.。

人教A版高中数学必修五同步练测：1.1正弦定理和余弦定理

1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2ab cos C；（2）c2＝a2－b2－2bc cos A；（3）b2＝a2－c2－2bc cos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B=（）A.B.C.D.3.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A.B.C.2D.24.已知锐角A是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c2a；（3）b＋c≤2a；（4）b＋c≥2a.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC中，D点为BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC ＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.B.C.D.7.在△ABC中，已知2sin A cos B=sin C，那么△ABC的形状是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）8.如图，在四边形ABCD中，已知AD CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒，则BC= .9.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝1A1B1.若△AOB的外接2圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC中，下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C，一定成立的个数是 .12.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c= .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．14.（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=b．（1）求角A的大小；（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．15.（12分）在△ABC中，sin cosA A+=，2AC=，3AB=，求tan A的值和△ABC的面积.16.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．（1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题8． 9． 10． 11． 12．三、解答题 13.14.15.16.1.1正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B=得sin B ＝sin b A a ＝33，cos B ＝＝63，故选A. 3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，所以c ＝故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12，又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+2sincos B C B C +-cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a .故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a＋－＝78.故选C. 7.D 解析：由2=，知2=， ∴+，即=0. ∴0，∴.故选D.8.ABD 中，设BD =x ，则2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，即ο60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）. ∵∠ADC =90°，∠BDA =60°，∴∠CDB =30°.由正弦定理得BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin ， ∴2830sin 135sin 16=⋅=οοBC . 9.2解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴sin ∠AOB ＝AB . ∵∠AOB =∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2ac cos60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .∴△ABC 是正三角形．∴△ABC 是锐角三角形．解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是正三角形．∴△ABC 是锐角三角形． 11.3解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理知sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，不一定成立．12.2解析：∵B =2A ，a =1，b =，∴由正弦定理=得： ===， ∴cos A =.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即1=3+c 2-3c ，解得c =2或c =1（经检验不合题意，舍去），则c =2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac＋－，将c ＝a cos B 代入，得c ＝2222a c b ac ＋－，∴c 2＋b 2＝a 2，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a •ca，∴b ＝c ， ∴△ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 14.解：（1）由2a sin B =b ，利用正弦定理得：2sin A sin B =sin B .∵sin B ≠0，∴sin A =. 又A 为锐角，∴A =.（2）由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即36=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =64-3bc ，∴bc =. 又sin A =，则=bc sin A =．15.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+οοΘA A A A又0180οο<<A ,4560,105.A A ∴-==oootan tan(4560)2A ∴=+=-o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοA )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=•=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A -cos A 的值. 22cos sin =+A A Θ，①.0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A οοΘ又23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, 26cos sin =-∴A A .② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264.从而sin tan 2cos A A A ===-以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵m +n 2cos ,2cos1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵π3A =，∴2π3B C +=， ∴2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B -<-<． ∴当πsin 26B ⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12． ∴|m +n|min =。

人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：01【基础】正弦定理

正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ；（2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>；等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=，（1）090B A +=，（2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点二、正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==直角三角形中的正弦定理的推导证明：sin a A c =， s i n b B c =， s i n 1C =，即：sin a c A =，sin b c B =，sin cc C =，∴sin sin sin a b c A B C==．斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当ABC ∆为锐角三角形时过A 作单位向量j 垂直于AC ，则AC +CB = 两边同乘以单位向量，得j ⋅(+)=j ⋅，即j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ⋅+⋅-=⋅-，∵0j AC ⋅=，||1j =，||CB a =，||AB c =，cos(90)sin C C -=，cos(90)sin A A -=∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a cA C=，同理：若过C 作垂直于得：sin sin b cB C=∴sin sin sin a b c A B C==，（2）当ABC ∆为钝角三角形时设90A ∠>，过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，同样可证得：sin sin sin a b cA B C==．法二：圆转化法（1）当ABC ∆为锐角三角形时如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，∴sin sin 2c C D R==， ∴2sin cR C=（R 为ABC ∆的外接圆半径）同理：2sin a R A =，2sin bR B =故：2sin sin sin a b c R A B C ===（2）当ABC ∆为钝角三角形时如图，sin sin sin 2a A E F R===. 法三：面积法任意斜ABC ∆中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A =111sin sin 222ABC S AB CH AB AC A bc A ∆=⋅=⋅= 同理：1sin 2ABC S ab C ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=故111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

高二数学人教A必修5练习：1.1.1 正弦定理 Word版含解析.docx

课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.acosA =bcosBB.ab=sinAsinBC.a sin B=b cos AD.a=b sin A 答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理得asinA =bsinB,即ab=sinAsinB.2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.√3∶2∶1C.√3∶√2∶1D.2∶√3∶1答案:D解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=π6,故A=π2,B=π3,C=π6.∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶√32∶12=2∶√3∶1.故选D.3.在△ABC中,A=60°,a=3,则a+b+csinA+sinB+sinC等于() A.8√3 B.2√39C.28√3D.2√3答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得a+b+c sinA+sinB+sinC =asinA=3sin60°=32=2√3.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√6B.4√5C.4√3D.223答案:A解析:∵B=60°,C=75°,∴A=180°-60°-75°=45°.∴由正弦定理可得b=asinBsinA =8×sin60°sin45°=4√6.故选A.5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√2,b=√3,B=60°,那么A=()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°答案:A解析:由正弦定理可得sin A=√22,但a<b,所以A<B,故A只能是锐角45°.6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(2√3,4)B.(2,4)C.(4,+∞)D.(2√3,4)答案:B解析:∵满足条件的△ABC有两解,∴AB sin30°<BC<4.∴2<BC<4,故选B.7.在△ABC中,a=√3,b=√2,B=45°,则A=.答案:60°或120°解析:由正弦定理asinA =bsinB,得sin A=√32.∵a>b,∴A=60°或A=120°.8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.解:∵B=120°,C=15°,∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.∵B最大,∴b最大.由正弦定理asinA =bsinB,得b=asinB=5×sin120°=5√6.9.在△ABC中,已知a=2,c=√6,C=π3,求A,B,b.解:∵a=c,∴sin A=asinC=√2.∵c>a,∴C>A.∴A=π.∴B=5π12,b=csinBsinC=√6×sin5π12sinπ3=√3+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:∵b cos C+c cos B=a sin A,∴由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A,即sin(B+C)=sin A sin A,可得sin A=1,故A=π2,故三角形为直角三角形.故选B.11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2c cos A,c=2b cos A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2c cos A,根据正弦定理,得sin B=2sin C cos A,∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,代入上式,可得sin A cos C+cos A sin C=2sin C cos A,即sin A cos C-cos A sin C=sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,∴A-C=0,即A=C.同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若acos A2=bcos B2=ccos C2,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:∵asinA =bsinB=csinC,∴acos A2=bcos B2=ccos C2,可化为sinAcos A2=sinBcos B2=sinCcos C2,即sin A2=sin B2=sin C2.∵A,B,C均为三角形的内角, ∴A=B=C.即△ABC为等边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC 中,若A=30°,B=45°,BC=√2,则AC 等于( )A.2√33 B.2 C.1D.√32答案:B解析:由正弦定理可得AC sinB =BCsinA ,从而有AC=BCsinBsinA =√2×sin45°sin30°=2,故选B .2.在△ABC 中,已知a=5√2,c=10,A=30°,则B 等于 ( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15°答案:D解析:由正弦定理csinC =asinA ,得10sinC=5√2sin30°,sin C=√22.∵a<c ,∴A<C ,∴C=45°或135°.再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a cos A=b sin B ,则sin A cos A+cos 2B=( ) A.-12B.12C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理asinA =bsinB =2R 得,a=2R sin A ,b=2R sin B ,∴a cos A=b sin B 可化为sin A cos A=sin 2B. ∴sin A cos A+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.在△ABC 中,角A ,C 的对边分别为a ,c ,C=2A ,cos A=34,则ca 的值为( ) A.2 B.12C.32D.1答案:C解析:由正弦定理得ca =sinCsinA =sin2AsinA =2sinAcosA sinA =2cos A=32. 5.在△ABC 中,b=2√2,a=2,且三角形有解,则A 的取值范围是( ) A.0°<A<30°B.0°<A ≤45°C.60°<A<90°D.30°<A<60°答案:B解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤√22.又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.6.在△ABC中,若a=3,b=√3,A=60°,则角C的大小为.答案:90°解析:由正弦定理得,asinA =bsinB,从而32=√3sinB,即sin B=12,∴B=30°或B=150°.由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2√3a sin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=2√3a sin B化为3sin B=2√3sin A sin B.∴sin A=√32.∵△ABC为锐角三角形,∴A=π3.又∵cos B=cos C,0<B<π2,0<C<π2,∴B=C.∴△ABC为等边三角形.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.a sin B cos C+c sin B cos A=12b,且a>b,则B=.答案:π6解析:由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R,得2R sin A sin B cos C+2R sin C sin B cos A=12×2R sin B.由0<B<π,所以sin B≠0,从而sin(A+C)=12,即sin(π-B)=sin B=12.因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=π6.9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.解:由已知得a 2sinBcosB =b2sinAcosA,由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B(R为△ABC的外接圆半径),∴4R 2sin 2AsinB cosB=4R 2sin 2BsinAcosA. ∴sin A cos A=sin B cos B. ∴sin2A=sin2B.又A ,B 为三角形的内角,∴2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对应的边,且b=6,a=2√3,A=30°,求ac 的值. 解:由正弦定理asinA=bsinB得 sin B=bsinA a=2√3=√32.由条件b=6,a=2√3,知b>a ,所以B>A.∴B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在Rt △ABC 中,C=90°,a=2√3,b=6,则c=4√3,∴ac=2√3×4√3=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C ,则有a=c=2√3.∴ac=2√3×2√3=12.。

数学人教B必修5同步训练：1正弦定理含解析

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，下列等式恒成立的是（）A.a+sinA=b+sinBB.bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD.asinC=csinA解析：根据正弦定理可知有Cc A a sin sin =，asinC=csinA. 答案：D2.在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=4∶1∶1，则 a ∶b ∶c 等于（）A.3∶1∶1B.2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1解析：根据正弦定理有Cc B b A a sin sin sin ==，a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC.由已知得A=120°, B=30°,C=30°，a ∶b ∶c=sin120°∶sin30°∶sin30°=3∶1∶1. 答案：D3.在△ABC 中,已知a=3,b=4,c=5，则sinA=____________，sinB=____________，sinC=____________，A a sin =_____________，B b sin =____________，Cc sin =___________.由此可以看出A a sin ___________B b sin ___________Cc sin (两横线上填符号“=”或“≠”）. 解析：由已知条件可以判断，这个三角形是以∠C 为直角的直角三角形，可知，sinA=ca ，sinB=cb ，从而这两个三角函数值可求出，继而后几个空也不难填出. 答案：53 54 1 51 51 51 = = 4.在△ABC 中，已知a=2，A=45°,则CB A c b a sin sin sin ++++=______________. 解析：∵R A a 2sin ==2，∴22sin sin sin ==++++RC B A c b a . 答案：210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.不解三角形，下列判断中正确的是（）A.a=7,b=14,A=30°,有两解B.a=30,b=25,A=150°,有一解C.a=6,b=9,A=45°,有两解D.b=9,c=10,B=60°,无解解析：在A 中，a=bsinA ，故有一解；在B 中，A ＞90°,a ＞b ，故有一解；在C 中，a ＜bsinA ，无解；在D 中，c ＞b ＞csinB ，有两解.答案：B2.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a=3,则∠A 等于（）A.30°或150°B.30°或60°C.60°或120°D.60°或150°解析：根据正弦定理得R Aa 2sin =，sinA=R a 2=12，0°＜A ＜180°,∴A=30°或150°. 答案：A3.在△ABC 中，已知A=30°，C=105°，则2a ∶b=___________.解析：由题意知，B=180°-30°-105°=45°，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ===2R ，∴245sin 30sin 2sin sin 22=︒︒==B A b a . 答案：24.在△ABC 中，已知CB A c b a sin sin sin -+-+=2，则其外接圆的直径为___________. 解析：根据正弦定理有C c B b A a sin sin sin ===C B A c b a sin sin sin -+-+=2R （其中R 是其外接圆的半径），故由已知得2R=2.答案：25.在△ABC 中，已知cosA=54，cosB=135,则a ∶b ∶c=___________. 解析：由已知及同角三角函数间的关系得sinA=53,sinB=1312，sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=6563，由正弦定理得a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC=13∶20∶21. 答案：13∶20∶216.已知△ABC 中，22tan tan ba B A =,试判断这个三角形的形状. 解：∵22tan tan b a B A =,∴BA B B A A22sin sin cos sin cos sin =,得sin2B=sin2A. 于是2B=2A 或2B=π-2A ，即A=B 或A+B=2π. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC 中，已知sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理及已知条件得a 2=b 2+c 2，从而可知该三角形是直角三角形.答案：B2.在△ABC 中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA ∶sinB ∶sinC 等于（）A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6解析：由已知设b+c=4k(k ＞0)，则c+a=5k,a+b=6k ，由此解得a=k 27，b=k 25,c=k 23，由正弦定理得sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c=7∶5∶3.答案：B3.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解解析：∵ bsin A≈70.7＜a,且b ＞a ，∴有两解，选B.答案：B4.在△ABC 中，a,b,c 分别是A 、B 、C 的对边长.若A=105°，B=45°，b=22,则c=___________. 解析：由题可知C=180°-105°-45°=30°，由正弦定理得C Bb c C c B b sin sin ,sin sin ===2. 答案：25.在△ABC 中，已知a=3,b=4,C=60°，则△ABC 的面积为__________.解析：先找出b 边上的高h=asinC=3sin60°，S △ABC =12absinC=12×3×4sin60°=33. 答案：336.在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求边c.解：∵,sin sin Bb A a =，∴sinA=23sin =b B a . 又∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴A=60°或120°.当A=60°时，C=75°，c=22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B C b ; 当A=120°时，C=15°，c=22645sin 75sin 2sin sin -=︒︒=B C b . 7.在△ABC 中，已知sinA=53，cosB=135,求sinC 的值. 解：∵cosB=135＞0,0＜B ＜π, ∴B 是锐角，sinB=1312. ∵sinA=53＜1312, ∴A ＜B,A 是锐角，cosA=54.又sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinC=656313125413553=⨯+⨯.8.已知三个城市的中心位置A 、B 、C 刚好分别位于一个锐角三角形的三个顶点处，并且另一城市的中心位置O 到这三个城市A 、B 、C 的距离相等（假定这四个城市的中心位置位于同一平面上），且△BOC 、△COA 、△AOB 的面积的关系为S △BOC +S △AOB =2S △COA ，试判断tanAtanC 是否为定值，说明理由.解：∵O 到这三个城市A,B,C 的距离相等∴O 是锐角△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A,∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B.设其外接圆的半径为R ，则有S △BOC =A R 2sin 212,S △COA =B R 2sin 212， S △AOB =C R 2sin 212.由已知S △BOC +S △AOB =2S △COA ，sin2A+sin2C=2sin2B ， 2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB.又sin(A+C)=sin B≠0，∴cos(A-C)=2cosB=-2cos(A+C)，∴cosAcosC+sinAsinC=-2cosAcosC+2sinAsinC,∴tanAtanC=3,即tanAtanC 为定值3.9.(2006高考湖南卷，理16)如右图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明sinα+cos2β=0;(2)若AC=3DC,求β的值.(1)证明：如下图，∵α=2π-(π-2β)=2β-2π, ∴sin α=sin (2β-2π)=-cos 2β. 即sin α+cos 2β=0．（2）解：在△ADC 中，由正弦定理得βαβπαsin 3sin )sin(sin DC DC AC DC =⇒-=. ∴sin β=3sin α由(1)得sin α=-cos 2β，∴sin β=3-cos 2β=3-(1-2sin 2β),即32sin 2β-sin β3-=0.解得sin β=23或sin β=33-． ∵0＜β＜2π,∴sin β=23⇒β=3π. 10.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km(千米)/h （小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，如右图，经过420 s （秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取2=1.4，3=1.7）.解：如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°,AB=180 km/h×420 s=21 000（m ）.∴在△ABC 中,ACB AB A BC ∠=sin sin . ∴BC=2121000·sin15°=10 500(26-) ∵CD ⊥AD, ∴CD=BCsin ∠CBD=BC×sin45°=10 500(26-)×22=10 500(13-)=10 500(1.7-1)=7 350.山顶的海拔高度=10 000-7 350=2 650（米）。

人教版高中数学(理)必修5(实验班)全册同步练习及答案

人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则c = ( )A ．10B ．1)C ．1)D ．2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是（） A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =，a =sin sin sin a b cA B C++=++ （）A B D ．4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB = ，1AC = ，ABC S ∆=，则AB AC的值为（）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan tan B C B C += ，则ABC ∆的面积为（）A ．．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，c =C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =，解此三角形；（2）已知45B =，75C =，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，cos25B =，求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ，得90C =从而60A = ，a ==（2）由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解：由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<，得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，已知13,34,8===c b a ，则ABC ∆的最小角为（） A ．3π B ．4π C ．4π D ．12π 2．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于（）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5.在ABC ∆中，60A = ，1b =，ABC S ∆，则sin sin sin a b cA B C++=++ （）A B D 6．某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+ 二、填空题7．在ABC ∆中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，若)cos cos c A a C -=，则cos A = .三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S .10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34.(1)求边a 的值；(2)求cos(A －B )的值．1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7．8.三、解答题9. 解由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋42－2×2×4×34＝8，∴a ＝2 2.(2)∵cos A ＝34，∴sin A ＝74，a sin A ＝bsin B ，即2274＝2sin B .∴sin B ＝148.又∵b <c ，∴B 为锐角．∴cos B ＝528. ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝34×528＋74×148＝11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是（）A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，如果c =，30B =，那么角C等于 ( ) A ．120B ．105C ．90D ．753．ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A B C D ． 4．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-5．在ABC ∆中，A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+，ABC ∆的面积等于（）A ．3B ．CD 6．在ABC ∆中，2sin22A c b c-= (a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边)，则ABC ∆的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形二、填空题7．已知在ABC ∆中，060A =，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于________.8．已知锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且222()tan b c a A +-，则角A 的大小_________.三、解答题9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若b =4a c +=，求ABC ∆的面积．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值；(2)当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7．78.60三、解答题9. 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π3. (2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝7，a ＋c ＝4，B ＝π3代入整理，得ac ＝3.∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32sin60°＝334.10. 解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，所以sin C ＝±104，又0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1.2应用举例（二）一、选择题1. 在某测量中，设A 在B 的南偏东3427' ，则B 在A 的（） A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为（）A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC a =，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>，则A 点离地面的高AB 等于（） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ． )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（）A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里5. 如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°西，则这只船的速度是每小时（）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7．我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .8．在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ，塔底俯角为45 ，那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45 方向，距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行，若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船？10.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．1.2应用举例（二）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7．14nmile/h8. 20（1+3）m三、解答题9. 解：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

数学：新人教A版必修五 1.1正弦定理和余弦定理(同步练习)

1. 1.1正弦定理作业 1、在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于（）A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中，已知ο45,1,2===B c b ，则a 等于（）A. 226-B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （）A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形。

7、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。

参考答案： 1、解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B ο60或ο120。

2、解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以ο30=C ，ο105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。

4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即ο60=A 或ο120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。

1.1.1正弦定理(一)

第一章解三角形1．1.1正弦定理（一）一．知识归纳1．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝________，0°<A<90°，0°<B<90°；(2)a2＋b2＝________(勾股定理)；(3)sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝__________，sin B＝________，cos B ＝________，tan B＝________；(4)asin A＝________，bsin B＝________，csin C＝________.3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．二．典例分析知识点一已知两角和一边解三角形例1在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.三．当堂检测1.在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1 B．2 C.3－1 D. 34.在△ABC中，a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，b＝2，c＝1，B＝45°，则a＝( )A.6±22B.6－22C.6＋24D.6＋22第一章解三角形1．1.1正弦定理（一）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A 2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定 3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．a ＝7，b ＝8，A ＝98°D ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° 二、填空题 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________. 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________. 7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________. 8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求ab的取值范围．答案详解第一章解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一)知识梳理1．元素解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b c a c ba(4)c c c3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 例1 解由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52；c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．例2 解 a ＝23，b ＝6，a b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°， C ＝30°，c ＝2 3.例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°sin C ＝22，所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．当堂检测 1. 6－22. π33 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.] 4 C课时作业1．D [由正弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b ，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin Bsin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°，而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]5．120° [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.] 6．75°解析由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.8．2<x <2 2解析因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2.即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解． 10．解在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知： a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故所求的范围是(2，3)．。

人教版高中数学必修五课时作业15：1.1.1 正弦定理(一)

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)基础过关1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析 sin A sin B ＝a b ＝53. 答案 A2.在△ABC 中，A ＞B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A ＞sin B B.cos A ＜cos B C.sin 2A ＞sin 2BD.cos 2A ＜cos 2B 解析 A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，A 正确. 由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A ＜cos B ，B 正确. ∵sin A ＞sin B ＞0， ∴sin 2A ＞sin 2B ， 1－2sin 2A <1－2sin 2B ， ∴cos 2A ＜cos 2B ，D 正确. 答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6，则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ，则bc ＝1. 答案 15.在△ABC 中，若a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，则b cos C －a b cos A －c －sin Csin A的值为________.解析由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入得b ·cos C －a b cos A －c －sin C sin A ＝sin B cos C －sin A sin B cos A －sin C －sin C sin A ＝sin B cos C －sin B cos C －cos B sin C sin B cos A －sin A cos B －cos A sin B－sin Csin A＝cos B sin C sin A cos B －sin C sin A ＝sin C sin A －sin C sin A ＝0. 答案 06.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin A sin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则asin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝________.解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cosB ，同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B. 答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45， ∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)，知sin A ＝35，又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 13.(选做题)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A ＝5.。

正弦定理-高二数学人教版(必修5)

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．K 知识参考答案：1．sin sin sin a b c ==A B C2．元素解三角形K —重点正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用 K —难点三角形解的个数的探究、三角形形状的判断K —易错解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论正弦定理的常见变形及推广（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ======．（2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++．（3）::sin :sin :sin a b c A B C =．（4）正弦定理的推广：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC △外接圆的半径．（1）已知△ABC 中，sin :sin :sin =1:2:3A B C ，则a:b:c =_____________；（2）已知△ABC 中，∠A =60︒，3a ，则++sin +sin +sin a b cA B C=_____________．【答案】（1）1:2:3；（2）2．【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得=sin :sin :sin =1:2:3a:b:c A B C ．（2）方法1：设=sin sin a b A B ==(>0)sin ck k C，则有sin sin sin a k Ab k Bc k C ===，，，从而sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C k A B C A B C ++++++++==，又32sin sin60a k A ===︒，所以sin sin sin a b c A B C ++++=2．方法2：根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++++==．【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．在ABC △中，求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=．【答案】证明见解析．【解析】设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin ,2sin ,a R A b R B == 于是222222sin 2sin 2(2sin )sin 2(2sin )sin 28sin sin (sin cos cos sin )8sin sin sin 22sin 2sin sin 2sin ,a Bb A R A B R B A R A B A B A B R A B CR A R B C ab C +=+=+==⋅⋅⋅=所以22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=．【解题技巧】===2sin sin sin a b c R A B C的两种变形的应用：（1）（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；（2）（角化边）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===．正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究1．正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看①若sin sin 1b AB=a >，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； ②若sin sin 1b AB=a=，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b AB=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2．注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论．（2）从几何角度来看①当A 为锐角时：一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时：一解一解无解无解（1）已知在ABC △中，10,45,30c A C ==︒=︒，则a =_______，b =_______，B =_______；（2）已知在ABC △中，3,60,1b B c ==︒=，则a =_______，A =_______，C =_______；（3）已知在ABC △中，6,45,2c A a ==︒=，求b 和,B C ．【答案】（1）102，5652+，105︒；（2）2，90︒，30︒；（3）见解析．【解析】（1）10,45,30180()105c A C B A C ==︒=︒∴=︒-+=︒，，由sin sin a c A C =，得sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯︒===︒，由sin sin b c B C =，得sin 10sin10562205652sin sin 304c B b C ⨯︒+===⨯=+︒．（2）∵sin 1sin 601,sin sin sin 23b c c B C B C b ⨯︒=∴===， ,60,b c B C B >=︒∴<，C 为锐角，30,90C A ∴=︒=︒，∴222=+=c b a ．（3）sin 6sin 453,sin sin sin 22a c c A C A C a ⨯︒=∴===， sin ,60c A a c C <<∴=︒或120︒，∴当60C =︒时，sin 6sin 7575,31sin sin 60c B B b C︒=︒===+︒，当120C =︒时，sin 6sin1515,31sin sin 60c B B b C ︒=︒===-︒． 31,75,60b B C ∴=+=︒=︒或31,15,120b B C =-=︒=︒．【解题技巧】（1）已知三角形的两角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边．（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，①当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；②当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；③然后由三角形内角和定理求出第三个角；④最后根据正弦定理求出第三条边．三角形形状的判断判断三角形形状的常用方法——边化角，已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形．在ABC △中，已知sin sin sin a b Ba B A+=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，则ABC △是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】B【解析】设ABC △的外接圆半径为R ，由正弦定理的推广，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，代入sin sin sin a b B a B A +=-，可得a b ba b a+=-，即22b a ab -=．因为cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，所以2cos()cos()2sin A B A B C -++=，即2sin sin sin A B C =．由正弦定理的推广可得2()222a b cR R R⋅=，所以2ab c =，由22b a ab -=及2ab c =可得222b a c =+，所以ABC △是直角三角形．故选B ．【名师点睛】注意到a ，b ，c 在条件式中是齐次线性关系，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角．通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．忽略角的取值范围而出错在ABC △中，若3C B =，求cb的取值范围．【错解】由正弦定理，可得22sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin c C B B B B B B B B b B B B +===+=-， 220cos 1,14cos 13B B ≤<∴-≤-<，由0,0b c >>，可得03cb<<．故cb的取值范围为(0,3)．【错因分析】错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为(0,180)︒︒．【正解】由正弦定理可得22sin sin 3sin 2cos cos 2sin =2cos cos 24cos 1sin sin sin c C B B B B B B B B b B B B +===+=-， 2180,3,045,cos 12A B C C B B B ++=︒=∴︒<<︒<<， 214cos 13B ∴≤-<，即13cb<<，故cb的取值范围为(1,3)．【名师点睛】解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是解题中的隐含条件，应特别注意．忽略对角的讨论而出错已知在ABC △中，4,22,30,a b B ===︒ 求角,A C 和边c ．【错解】由正弦定理sin sin a b A B =可得422sin sin 30A =︒， 2sin ,452A A ∴==︒，1803045105C ∴=︒-︒-︒=︒，62,sin105sin sin 4c b C B +=︒=，sin 232sin b C c B ∴==+．【错因分析】错解中由正弦定理求出角A 的正弦值后误认为角A 是锐角，从而导致错误．【正解】由正弦定理,sin sin a b A B =得422sin sin 30A =︒， 2sin ,2A ∴=,45a b A >∴=︒或135︒．当45A =︒时，1803045105C =︒-︒-︒=︒，62sin ,sin105,232sin sin 4sin c b b Cc C B B+=︒=∴==+；当135A =︒时，1803013515C =︒-︒-︒=︒，62sin ,sin15,232sin sin 4sin c b b Cc C B B-=︒=∴==-．综上，45,105,232A C c =︒=︒=+或135,15,232A C c =︒=︒=-．【名师点睛】在ABC △中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角，此时解的个数可能不确定，应注意讨论，避免漏解导致错误．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，83,6,60a b A ===︒，则sin B = A ．2B 6C 2D 32．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =45B =︒，2b =，则A =A ．30︒或150︒B ．30︒C ．150︒D ．45︒3．在ABC △中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A ．B ．CD 4．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝A ．1:2:3B ．C ．D ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =，4B π∠=，tan A =，则a =A ．210B ．C ．10D ．26．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，15,18,30a b A ===︒，则此三角形解的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．不能确定8．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A :cos B ＝b :a ，则ABC △是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8a =，60B =︒，75C =︒，则b =______________．10．在ABC △中，角A ，C 的对边分别为a ，c ，其中1=a ，33=c 3A π=，则角=C ______________．11．在ABC △中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则ABC △的周长为______________． 12．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知A −C =90°，a +c =2b ，求C ．13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B = A 5 B 5C 5 D 5 14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π,3,23A a b ===，则B = A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π215．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3,6,3a b A ===，则角B 等于 A ．π4B ．3π4C ．π4或3π4D ．以上都不正确16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos A B Ca b c==，则ABC △是 A ．有一内角是30°的三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形18．在ABC △中，已知31,6,15b c B =-==︒，则边长a =A ．31+或2B ．31+C ．2D ．2319．在ABC △中，已知2AB AC =，30B =︒，则A =______________．20．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ．为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒．根据以上数据计算可得cos θ=______________．21．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π72cos 42CAD AC ADB ∠==∠=，，．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =，求AD 的长．22．（2017山东理）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =23．（2017新课标全国Ⅰ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π324．（2017新课标全国Ⅱ文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =______________．25．（2017新课标全国Ⅲ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C =60°，b ，c =3，则A =______________．26．（2018北京理）在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．1．【答案】D【解析】∵83,6,60a b A ===，由sin sin a b A B =得sin 3sin .8b A B a ==故选D ． 2．【答案】B【解析】在ABC △中，由sin sin a b A B =得21sin sin sin 4522a A Bb ===︒，由于a b <，所以A B <，所以30A =︒，故选B ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理得23sin 60sin 45AC =︒︒，所以AC ＝23sin 452 2.sin 60︒=︒故选B ．4．【答案】C【解析】因为在ABC △中，A ＋B ＋C ＝π，且A :B :C ＝1:2:3，所以A ＝6π，B =3π，C =2π，由正弦定理的变形，得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C 13=1=22：：1:3:2．故选C ．6．【答案】B【解析】由已知可得2sin cos cos sin sin B C B C A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴sin 1A =，∴π2A =，三角形为直角三角形．故选B ． 7．【答案】C【解析】由正弦定理可得sin 18sin 303sin 155b A B a ︒===，因为b a >，所以30B A >=︒，所以角B 可能是锐角，也可能是钝角，所以此三角形有两解，故选C ．8．【答案】D【解析】由正弦定理可得cos sin cos sin A b BB a A==，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π，故ABC △是等腰或直角三角形．故选D ．9．【答案】46【解析】∵60B =︒，75C =︒，∴45A =︒，∵sin sin a bA B=，∴82322b=，∴46b =． 10．【答案】π6【解析】由正弦定理可得313πsin sin 3C =，即212333sin =⨯=C ，所以π6C =或5π6，又a c <，所以π6C =．12．【答案】o =15C ．【解析】由正弦定理可得sin sin 2A C B +=，又由于o o90=180()A C B A C -=-+，，故cos sin 2)C C A C +=+o 22)22C C =+=，即22sin cos 2,22C C C +=o cos(45)cos 2C C -=．因为o o 090C <<，所以o 2=45C C -，即o =15C ． 13．【答案】B【解析】由正弦定理，得sin sin a A b B =，所以a ＝52b 可化为sin sin A B ＝52．又A ＝2B ，所以sin 2sin B B ＝52，所以cos B ＝54．故选B ． 14．【答案】D【解析】在ABC △中，由正弦定理可得2πsin sin sin 133b B A a ==⨯=，又0πB <<，所以B =π2，故选D ． 15．【答案】 A【解析】在ABC △中，∵π3,6,3a b A ===，∴36πsin sin sin sin 3a b A B B =⇒=2sin 2B ⇒=，又63b a =<=，∴π03B A <<=，∴π4B =，故选A ．16．【答案】D【解析】由正弦定理和已知条件可得sin sin cos 2sin cos sin cos C A B A A B A -=-，所以sin()sin cos 2sin cos sin cos ,A B A B A A B A +-=- 即cos (sin sin )0A B A -=，所以cos 0A =或sin sin 0B A -=，即90A =︒或=A B ．故ABC △是等腰三角形或直角三角形．故选D ．18．【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin 63sin 231c B C b ===-，在ABC △中，c b >，60C ∴=或120．当60C =时，105A =︒，sin 6sin10531sin c A a C ︒∴===；当120C =时，45A =︒，此时sin 6sin 452sin c A a C ︒∴===．综上，可得31a =或2．故选A ．19．【答案】105︒或15︒【解析】由正弦定理得sin sin AB AC C B =，得sin 2sin 2sin 302AB B C AC ==︒=，由AB AC >，得C B >，所以45C =︒或135︒，从而105A =︒或15︒．21．【答案】（1）45；（2）22．【解析】（1）因为2cos ADB ∠=72sin ADB ∠= 又π4CAD ∠=，所以π4C ADB =∠-，所以πππ722224sin sin()sin coscos sin 4445C ADB ADB ADB =∠-=∠⋅-∠⋅==．（2）在ACD △中，由sin sin AD ACC ADC =∠，可得sin 22sin AC C AD ADC⋅==∠． 22．【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A ． 23．【答案】B【解析】由sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=可得sin cos cos sin sin sin A C A C A C ++-sin cos 0A C =，即πsin (sin cos )2sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =可得223πsin sin 4C =，即1sin 2C =，因为c a <，所以C A <，所以π6C =，故选B ． 24．【答案】π3【解析】由正弦定理可得12sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 2B B A C C A A C B B =+=+=⇒=π3B ⇒=． 25．【答案】75︒【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，可得36sin 22sin 32b C Bc ⨯===，结合b c <可得45B =︒，则18075A B C =︒--=︒. 26．【答案】（1）π3A ∠=；（2）AC 边上的高为332．【解析】（1）在△ABC 中，因为1cos 7B =-，所以π(,)2B ∈π，所以243sin 1cos 7B B =-=．由正弦定理7sin sin sin a b A B A =⇒=8437，所以3sin 2A =．因为π(,)2B ∈π，所以π(0,)2A ∈，所以π3A ∠=（2）在△ABC 中，3114333sin sin()sin cos sin cos ()272714C A B A B B A =+=+=⨯-+⨯=．如图所示，在△ABC 中，sin h C BC =，所以3333sin 7142h BC C =⋅=⨯=，所以AC 边上的高为332．。

人教版高中数学必修五课时作业14：1.1.1 正弦定理

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 A解析根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由正弦定理知sin A a ＝sin C c， ∴sin C c ＝cos C c ，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2. 5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 D解析由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33.∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫332＝63.6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 B解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6.故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于() A.310 B.1010 C.55 D.31010考点用正弦定理解三角形题点正弦定理解三角形综合答案 D解析如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1. 又AD ＝13BC ＝BD ， ∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010. 8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B. 二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则c b的取值范围为________．考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 (1,2)解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1. 因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b<2. 10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B .考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立．函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数，∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立．在锐角三角形中，∵A ＋B >π2， ∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a 20sin 60°＝103，∴a b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

高中数学人教A版必修5_第一章_111_正弦定理(有答案)

高中数学人教A版必修5 第一章 1.1.1 正弦定理（1）一、单选题1. 在△ABC中，若sin A>sin B，则有（）A.a<bB.a≥bC.a>bD.a，b的大小无法判定2. 中，若，则的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形二、填空题在△ABC中，AB=A=45∘，C=60∘,则BC=________.已知在中，，则________．三、解答题在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝a cos C，试判断△ABC的形状.参考答案与试题解析高中数学人教A 版必修5 第一章 1.1.1 正弦定理（1）一、单选题1.【答案】C【考点】正弦定理【解析】D由正弦定理得一"sin A =s ¯nB ′加加a b =sin A sin B因为在△ABC 中，sin A >0,sin B >0 所以a b =sin Asin B >1，所Iλa >b ．选C ．【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】正弦定理解三角形【解析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】因为sin C =2sin A cos B ，所以|sin (A +B )=2sin A cos B所以sin A cos B −sin B cos A =0，即sin (A −B )=0因为A ，B ，C 是三角形内角，所以A =B三角形的等腰三角形．故答案为B ．二、填空题【答案】、【考点】正弦定理【解析】试题分析：如图，根据正弦定理，BC sin 45∘=√3sin 60∘，解得BC =√2C√6−3【考点】正弦定理解三角形【解析】由正弦定理求出sin B，然后利用公式sin2B+cos2B=1，即可求得cos B 【解答】由于BC=15,AC=10,A=60∘所以由正弦定理可得：BCsin A =ACsin B，即：15sin60∘=10sin B，解得：sin B=√33由于在△ABC中，BC>AC,A=60∘，根据大边对大角可知：A>B>0∘，则cos B>0由sin2B+cos2B=1，解得：cos B=√63故答案为√63三、解答题【答案】A=π4,B=5π12b=√3+1【考点】正弦定理解三角形正弦定理的应用【解析】试题分析：先根据正弦定理及边角关系求得A=π4，再根据内角和定理求得B=5π12，最后根据正弦定理求得b=√3+1试题解析：由正弦定理得asin A =csin Csin A=a sin Cc=√22∵ C>∴ C>A …A为锐角，A=π4B=π−π3−π4=5π12b=c sin Bsin C=√6sinπ3=√3+1故A=π4,B=5π12,b=√3+1△ABC是等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断正弦定理余弦定理【解析】试题分析：由sin2A=sin2θ+sin2C及正弦定理可得ka2=b2+c2，故△ABC为直角三角形；再由sin A=2sin B cos C，将角化为边（或化为角）可得b=c（或:=C），从而得△ABC为等腰三角形，故△ABC为等腰直角三角形．试题解析：方法一：根据正弦定理，得asin A =bsin B=csin C∵sin2A=sin2B+sin2C a2=b2+c2．A是直角，B+C=90∘∵sin A=2sin B cos Ca=2b⋅a2+b2−c22ab整理得b=c△ABC是等腰直角三角形．方法二：根据正弦定理，得asin A =bsin B=csin C∵sin2A=sin2B+sin2Ca2=b2+c2…A是直角，B+C=90∘∵sin A=2sin B cos C又A=180∘−(B+C)sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C sin(B−C)=0又−90∘<8−C<90∘B−C=0B=C△ABC是等腰直角三角形．【解答】此题暂无解答【答案】△ABC是直角三角形【考点】三角形的形状判断余弦定理【解析】试题分析：在条件b=a cos C中，根据正弦定理将边化为角（或根据余弦定理将角化为边）进行判断即可得结论．试题解析：方法一：由b=a cos C及正弦定理，得sin B=sin A cos C又B=π−(A+C)sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=sin A cos Ccos A sin C=0.又A，C∈(0,π)cos A=0A=π2△ABC是直角三角形．方法二：由b=a cos C及余弦定理，得b=a cos C=a⋅a2+b2−c22ab△ABC是直角三角形，且A=π2【解答】此题暂无解答。

人教A版高中数学必修五第一章1.1.1正弦定理【练习】(教师版).docx

1.1.1正弦定理一、选择题：1. 在中，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】 D【解析】根据正弦定理得，故选D.2. 在△ABC 中，若2,23a b ==, 030A = , 则B 等于（）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得2233sin sin 30sin 2B B B=∴=∴=60或 120 3. 在ABC △中，角 A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，若522a b A B ==，，则cos B =（） A ．53 B ．54 C ．55 D ．56【答案】B 【解析】由已知52a b =，根据正弦定理变形有5sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，ABC △45 60 10A B a =︒=︒=，，b =52102106356sin sin a bA B=310sin 256sin 22a Bb A ⨯===则5sin sin 22B B =，即5sin 2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以5cos 4B =，故选B. 4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（）A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =，C C cos sin =，又∵B ，C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ，故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b s in 2s in s in s in s in 2s in s in ==++=++，故B 正确；在ABC ∆，设外接圆的半径为R ，若sin sin A B >，则B R A R sin 2sin 2>，由正弦定理可得b a >，即A B >；若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确；∵sin 2sin 2A B =，∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0c o s=+B A 或()0sin =-B A ，∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选：D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（）A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得：3 23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+- 3()12222sinB cosB sinB =++3323()236sinB cosB sin B π=+=+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选：C. 二、填空题： 7. 在中，若则【答案】【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BAb a B b A a ,故填：8. 在ABC ∆中，6=AC ,2=BC ,060=B ,则=C ．【答案】075【解析】在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC BCB A =，即62sin 32B=，得2sin 2B =，且AC BC >，则45B =，180456075C =--=，故答案为075.9. 在三角形ABC 中若030,23,2B AB AC ===．则满足条件的三角形的个数为 .【答案】2【解析】由正弦定理得3,sin sin sin 2c b C C B ==，由于c b >所以有两种可能，故填2. 10. 已知ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，1a =，3c =，30A ∠=，则b 等于__________. 【答案】1或2 【解析】由正弦弦定理得313,sin sin sin 302C C ==，又因为c a >，所以0120C =或060C =，则030B =523523或090B =，则1b =或2b =.。

人教版高中数学必修五习题 1.1.1 正弦定理

∴sinα＝sin ＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0.
(2)解：在△ADC中，由正弦定理，
得＝，
即＝，∴sinβ＝ sinα.
由(1)得sinα＝－cos2β，
∴sinβ＝－ cos2β＝－ (1－2sin2β)，
由2 sin2β－sinβ－＝0，
解得sinβ＝或sinβ＝－ .
∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵ ＝＝＝＝2，
∴a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC.
∴ ＝2.
答案：2
13.
如图，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.
(1)证明：sinα＋cos2β＝0；
(2)若AC＝ DC，求β的值．
解：(1)证明：∵α＝－(π－2β)＝2β－，
A．等边三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
解析：∵acosB＋acosC＝b＋c，由正弦定理得，
sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，
化简得：cosA(sinB＋sinC)＝0，又sinB＋sinC>0，
∴cosA＝0，即A＝，
∴△ABC为直角三角形．
解析：
如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
∵AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
∴ ×3×AD× ＋ ×6×AD× ＝ ×3×6× ，
解得AD＝2.
答案：A
6．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是()
A．B．(2,4 )
C．(3 ，4 ] D．(3,6]
∵0<β< ，∴sinβ＝，∴β＝ .

人教A版高中数学必修五《1.1.1正弦定理》练习题

§1.1.1正弦定理一.知识与技能目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．二.课内检测1.在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2.已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23.在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）.A.A B >B.A B <C.A ≥BD.A 、B 的大小关系不能确定4.已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5.已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．6（选作）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．三.课外作业1.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．3.在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．4.在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．5.在60,1,,ABC b B c a A C ∆===o 中，求和．6（选作）在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____.7.（选作）在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数答案：6（选作）2<x<227.（选作）300或1500。

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第一章解三角形 1.1.1正弦定理（一）
一、选择题 1．在△ABC 中，已知030,10,25===A c a ，则∠B 等于（）
A ．0105
B ．060
C ．015
D ．0015105或
2．一个三角形的两内角分别为045与060，如果045角所对的边长是６，那么060角所对的边的边长为（）．Ａ．63 Ｂ．23 Ｃ．33 Ｄ．62
3．在△ABC 中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（）Ａ．R C
c B b A a 2sin sin sin === Ｂ．R B a 2sin = Ｃ．aR A 2sin = Ｄ．B R b sin =
4．在△ABC 中，A
b B a cos cos =，则△ABC 一定是（）Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形
5、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. 30,14,7===A b a ，有两解
B. 150,25,30===A b a ,有一解
C. 45,9,6===A b a ，有两解
D. 60,10,9===A c b ，无解
6．ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=o ，则
b =( )
A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62-
二、填空题
7．在△ABC 中，若5:3:1::=c b a ,求C
B A sin sin sin 2-= ． 8．在△AB
C 中，已知060,2,6===A b a ，则这样的三角形有_______个．
三、解答题
9．在△ABC 中，,,,c b a 分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若060,2+==A B a b ,求Ａ的值．
10．在△ABC 中，求证：
2222112cos 2cos b a b B a A -=-
1.1.1正弦定理（一）一、选择题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
二、填空题
7．51- 8. 1
三、解答题
9. 解∵Ｂ＝Ａ＋060 ∴)60sin(sin 0+=A B A A B cos 23sin 21sin += 又A R B R a b sin 4sin 2,2== ∴A B sin 2sin = ∴A A A cos 2
3sin 21sin 2+= A A cos 3sin 3= ∴,33tan =
A 又∵001800＜A＜ ∴030=A 10. 解：.
B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒22)sin ()sin (b
B a A = ⇒2
222sin sin b B a A =⇒222cos 12cos 1b B a A -=-⇒2222112cos 2cos b a b B a A -=-。