第2章刚体定轴转动

第2章 刚体定轴转动

2.28 质量为M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R 1和R 2，求对通过其中心轴的转动惯量．

解：设圆柱体的高为H ，其体积为V = π(R 22 – R 12)h ，体密度为ρ = M/V ．在圆柱体中取一面积为S = 2πRH ，厚度为d r 的薄圆壳，体积元为d V = S d r = 2πrH d r ，其质量为d m = ρd V ，

绕中心轴的转动惯量为d I = r 2d m = 2πρHr 3d r ， 总转动惯量为2

1

3

4

42112d ()2

R R I H

r r H R R πρπρ==-⎰

22211()2m R R =+．

2.29 一矩形均匀薄板，边长为a 和b ，质量为M ，中心O 取为原点，坐标系OXYZ 如图所示．试证明：

（1）薄板对OX 轴的转动惯量为21

12OX I Mb =； （2）薄板对OZ 轴的转动惯量为221

()12

OZ

I M a b =+． 证： 薄板的面积为S = ab ，质量面密度为σ = M/S ．

（1）在板上取一长为a ，宽为d y 的矩形元，其面积为d S = a d y ， 其质量为d m =σd S ，

绕X 轴的转动惯量为d I OX = y 2d m = σay 2d y ， 积分得薄板对OX 轴的转动惯量为/2/2

2

3

/2

/2

1

d 3b b OX

b b I a y y a y σσ--==⎰3211

1212

ab Mb σ=

=． 同理可得薄板对OY 轴的转动惯量为21

12

OY I Ma =

． （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b ，宽为d x 的矩形元，其面积为d S = b d x ，质量为d m = σd S ， 绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX 轴的转动惯量

d I O`Z` = b 2d m /12． 根据平行轴定理，矩形元对OZ 轴的转动惯量为 d I OZ = x 2d m + d I O`Z ` = σbx 2d x + b 2d m /12， 积分得薄板对OZ 轴的转动惯量为

/22

2/2

1

d d 12a M OZ

a I

b x x b m σ-=+⎰⎰/2

3

2/2

11312

a a

b x b M σ-=+

221

()12M a b =+．

方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元d m ，绕OZ 轴的转动惯量为d I OZ = r 2d m ．

由于r 2 = x 2 + y 2，所以d I OZ = (x 2 + y 2)d m = d I OY + d I OX ， 因此板绕OZ 轴的转动惯量为221

()12

OZ OY OX I I I M a b =+=

+．

2.30 一半圆形细杆，半径为R ，质量为M ，求对过细杆二端AA `轴的转动惯量．

解：半圆的长度为C = πR ，质量的线密度为λ = M/C ．在半圆上取

图

2.28

一弧元d s = R d θ，其质量为d m = λd s ，到AA `轴的距离为r = R sin θ， 绕此轴的转动惯量为d I = r 2d m = λR 3sin 2θd θ，半圆绕AA `轴的转动惯量为

32

sin d I R λθθ=⎰π

3

1(1cos 2)d 2R

λθθ=-⎰π32

122R MR λ==π

2.31 如图所示，在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．

解：大圆的面积为S = πR 2，质量的面密度为σ = M/S ．大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为I M = MR 2/2．小圆的面积为s = πr 2，质量为m = σs ，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为I C = mr 2/2， 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为I m = I C + m (R/2)2．

2221()(2)24m C R I I m m r R =+=+222

1(2)4

r r R σπ=+22221(2)4r M r R R =+，

剩余部分的转动惯量为

422

2122()2M m r I I I M R r R

=-=--．

2.32 飞轮质量m = 60kg ，半径R = 0.25m ，绕水平中心轴O 转动，转速为900r·min -1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力F ，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．

（1）设F = 100N ，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？

（2）若要在2s 内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F ？

解：设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有0.5N` – 1.25F = 0， 所以N`=2.5F = 250(N)．

闸瓦对飞轮的压力为N = N`= 250(N)， 与飞轮之间摩擦力为f = μN = 100(N)， 摩擦力产生的力矩为M = fR ．

飞轮的转动惯量为I = mR 2/2，

角加速度大小为β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s -2)， 负号表示其方向与角速度的方向相反．

飞轮的初角速度为ω0 = 30π(rad·s -1)．

根据公式ω = ω0 + βt ，当ω = 0时，t = -ω0/β = 7.07(s)．

再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为θ = -ω02/2β = 333(rad)， 转过的圈数为n = θ/2π = 53r ．

[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．

（2）当t = 2s ，ω = ω0/2时，角加速度为β = -ω0/2t = -7.5π． 力矩为M = -Iβ，

摩擦力为f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π． 闸瓦对飞轮的压力为N = f /μ，

需要的制动力为F = N /2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．

O

r

R r

图2.31

图2.32