高中数学复习教案大全

．已知l与m是两条不同的直线，若直线；②若m

上述判断正确的是

①②③

在直四棱柱

PC，则

其中正确命题的命题是

，连结EG

PAB，M是PC

时，求MN的长。NQ，∵

的中点为

，那么（

φ

N

≠

BCC B 在侧面

1

平

课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)

一．用导数求曲线的切线

函数()f x 在0x 处导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是

()0f x '。于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。

用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。 二．用导数求瞬时速度

物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数

()0f t '，即有()00V f t '=。

利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。

三．范例分析

例1．求过抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）上一点P （x 0，y 0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。

分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b ，故切线方程为y －y 0=(2ax 0+b)(x －x 0)

即 y=(2ax 0+b)x －ax 20+c ，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 2

0+c.

抛物线焦点：F （2b a

-,244ac b a -），它关于切线的对称点之横坐标

当x 0，说明从焦点发出的光线射到（x 0，y 0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。

要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。

解：显然，y 0=ax 2

0+bx 0+c

y'=2ax+b 故在P 点处切线斜率为2ax 0+b ，

切线方程y －(ax 2

0+bx 0+c)=(2ax 0+b)(x －x 0)，

亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.

由于y=ax 2

+bx+c 按向量=24,24b ac b a

a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭平移即得到y=ax 2，

只须证明过其上一点（x 0，ax 20）的切线l ：y=2ax 0x －ax 2

0 满足：焦点关于l 的对称

点为（m ，n ）.

当x 0≠0时02

00114214222

n a m

ax n m a ax ax ⎧-⎪=-⎪

⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去n. 知 m=x 0.

当x 0=0时，切线为y=0，F 之对称点横坐标显然是0，

故从焦点发出的光线射到（x 0，ax 2

0）后被抛物面反射后的方程为x=x 0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.

例2．求函数y=x 4+x －2 图象上的点到直线y=x －4的距离的最小值及相应点的坐标.

分析：首先由42

4

y x x y x ⎧=+-⎨=-⎩得x 4+2=0 知，两

曲线无交点.

y'=4x 3+1，切线要与已知直线平行，须4x 3+1=1，x=0.

故切点：（0 , －2）

一般地，当直线l 与y=f(x)的图像无交点时，与l 平行的切线与l 间距离应为图像上点到l 的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l 平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A 为一交点），则l'与l 间必存在y=f(x)上的点C ，显然，C 点到l 的距离小于l 与l'间的距离，亦即A 到l 的距离.

当然，我的也可用参数直接考虑：设(x 0，x 4

0+x 0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l 的距离4

4

000024

2222

22

x x x x d +--++=

=≥=，故距离最

小距离为2

上述等号当且仅当x 0=0时取得，故相应点坐标为（0，-2）。

解：y'= 4x 3+1，令4x 3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程

y=x+2 与已知直线平行，它到 已知直线距离最近，为24

22

d -==.

例3．已知一直线l 经过原点且与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求直线l 的方程。

164b ∆=⎧∴⎨-≠⎩t

+5，过其上横坐标为）

（B ）ππ

16．路灯距地面8m ，一身高1.6m 的人沿穿过灯下的直路以84m/min 的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s 为单位）

解：851.6

OM BM BM +==.

∴OM= 4BM 同理ON=4CN

两式相减，知，影长变化BM －CN=1

4

(OM －ON)

=14MN=1

4

·△t·84m/min

∴021/min 7

lim 21/min /20

t m t V m m s t →===.

17．已知直线y=3x+1是曲线y=x 3－2x+a 的一条切线，求a 的值.

解：y'=3x 2－2. 令3x 2－2=3， x=±15

3

.代入切线方程知y 0=1±15，

∴a=y 0+2x 0－x 30＝15 .

18．设曲线S ：y=x 3－6x 2－x+6，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P （x 0，y 0）求证：曲线S 关于P 点中心对称.

解：y'=3x 2－12x －1当x=2时有最小值.故P ：（2, －12）. S 在（2，－12）处的切线斜率最小，为－13. 又y=(x －2+2)3－6(x －2+2)2－(x －2+2)+6 =(x －2)3－13(x －2) －12

故曲线C 的图象按向量=(－2，+12)平移后方程为y'=x －13x'为奇数，关于原点对称，

故P （2，－12）为曲线S 的对称中心.

19．曲线y=x(x+1)(2－x)上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.

解：y=－x 3+x 2+2x y'=－3x 2+2x+2

令y'＞0 知x ∈(， )

又x ∈z ∴x=0或1 ∴P 点坐标为（0，0）或（1，2）. 切线斜率k=2或1，

切线方程为y=2x 或y=x+1.