通过基于梯度网格变形的浅浮雕生成和形状编辑第二章开始翻译

Bas-Relief Generation and Shape Editing through Gradient-Based Mesh Deformation Yu-Wei Zhang, Yi-Qi Zhou, Xue-Lin Li, Hui Liu, and Li-Li Zhang

2.相关工作

许多研究都关注了上述问题。在这些研究中，大多数现存的方法运转在图像空间中。height field of the input object是第一个代表在不同的坐标中。然后，运用特殊的几何处理技术到处理梯度属性，并且，运用泊松重建获得想得到的height field。当解决least-squares sense最优化问题时这些基于梯度的方法可以达到预期的结果。然而，不同于直接处理已有的网格，基于图像的方法把rendering of 3D 对象作为输入，但是在Z轴方向的深度信息的表现取代了基于常规的像素取样。因此，输出的拓扑结构是完全不同于输入的网格。统一的图像过程导致全部浅浮雕表面表现出一种恒定的分辨率，这可能会限制一些局部重要特点的强调。

在这篇论文中，我们提出了一个新的浅浮雕生成和形状编辑的方法。我们的方法和基于图像的方法不同之处在于它直接操作三角形的网格，并且保证了网格拓扑结果保持不变在几何处理过程中。这种不统一的输出网格使浅浮雕能够表现的更合理和灵活的方式。为了我们更好的学习，这个论文是第一次运用gradient domain mesh deformation 为了浅浮雕生成和形状编辑。通过不明显的变形输入网格穿过梯度操作，我们的方法适用于平滑的浅浮雕生成表面和弯曲的浅浮雕生成表面。此外，我们为局部形状修正提供两种类型的编辑工具同样也运用基于梯度网格变形。尽管这些工具不是那么尽如人意的对所有不同类型的应用，我们认为对于形状编辑重要的第一步从本质上解决了，允许进一步地完成3D网格处理过程技术随着对浅浮雕产品处理的注意。

这篇论文其余部分组织安排如下所示。

2.相关工作

关于从3D网格生成浅浮雕第一个做出的贡献的可以追朔到Cignoni。作者通过角度透视使那些距离观察者更近的对象比那些距离观察者更远的对象更突出。然而，a straightforward linear compression of objects导致一个严重的突出形状特点的丢失和很大的降低了浅浮雕生成的质量。

最近，保持看得见重要细节这点得到了更多的关注。目前主要有两种对保持这些细节的解决策略。一个策略是通过在range区域使用过滤机制提取细小的细节。然后，多规模压缩功能正在被用作在最后的浅浮雕中增加细节的比例。另一个策略是在图像空间中运用基于梯度处理，这样就可以解决sparse linear least-squares问题从而弥补高区域。Weyrich通过运用基于直接热轧制概念完成了在梯度量级上的非线性功能。

3.数学基础

基于梯度的网格变形和泊松方程狄利克雷边界条件高度相关的，公式如下：

Δf=∇∙ω，f|ðΩ=f∗|ðΩ（1）

式中：f——未知标量函数；

∆=∇2是拉普拉斯算子，∇∙是散度算子。

一个新的标量函数f∗可以重构通过一个引导向量场ω在∂Ω范围上。对于三角网格，要得到变形将要通过编辑标量坐标的梯度区域得到。

微分操作。让f i作为和三角网格M的顶点v i联系的标量值。一个M的网格数量场被看做一个分段直线的组合：f v=∑f iϕi v（v是M的点），在这里ϕi∙是一个分段直线三角基本函数，也就是在v i顶点值为1和在其他所有顶点值为0。在三角网格M中的f(v)的离散梯度表示为：∇f v=∑f i∇∅i v

（2）

i

如果(v0,v1,v2)是三角形T j的顶点，梯度的三角函数∇∅0，∇∅1，∇∅2由下式表示：

(∇∅0，∇∅1，∇∅2)=v0−v2T

v1−v2T

n T

−1

10−1

01−1

000

，（3）

式中：n——三角的单位法线。从（2）式得出三角网格M的梯度向量场ω在每一个三角中有常数值。

在顶点v i离散分歧ω被定义为

(div ω)(v i)=∑ω(T j)∙∇∅i(v i)|T j∙A(T j)

T J∈N T(v i)

，（4）

在这里A(T j)表示三角T j的面积，∇∅i(v i)是三角T j的梯度，N T(v i)是顶点v i的环邻域相邻三角形。在顶点v i数量场f的离散拉普拉斯算子由下式表示：

∆f(v i)=∑1

2(cotαj+cotβj)(f i−f j)

v j∈N v(v i)

（5）

式中：αj和βj是边(v i,v j)对应的两个角；

N v(v i)是环邻域顶点v i的相邻顶点。

泊松重建。基于上述的对不同操作的定义，我们可以修改坐标函数f的梯度为一个新形式ω`和通过离散泊松方程解决重建网格数量场

∆f=div ω`（6）

这个方程等于一个有指定的边界条件的稀疏线性方程组

Lx=b（7）

式中：未知量x——未知坐标；

L——由式（5）和M决定的系数矩阵；

向量b相当于一个已知的有边界条件的向量场。

4.平面浅浮雕生成

这部分描述的是平面浅浮雕生成的基本流程。首先，我们应用基于梯度的网格变形到高度场的构建。其次，我们通过减弱高边的高梯度来提高浮雕面的连续性。最后，我们通过增加梯度大小的结构修复细节。

4.1输入网格变形

首先需要输入三维对象的大小和和方向因为不是所有的网格三角是从当前视角是可见的，原始对象不能直接的变换到其底层基础平面。在预处理这一步，我们通过统一采用再啮合原始对象以便移除没用的后台和封闭的三角形。然后，我们应用网格简化算法减少网格三角到一个特定的数目。作为结果的网格将会出现在一个不均匀的结构中。图1a和1b展示了从原始对象到输入网格的转换。尽管他们结构不同，但正面是几乎相同的。

下一步，我们确保的网格边界和基准面是相匹配的。因为每一个输入网格的边界边缘仅有一个相邻的三角形，这很方便去查看边界顶点和它们的狄利克雷条件。我们仅需完成z轴方向重建，同时保持x 轴和y轴不变。通过解开泊松方程式（7），产自the boundary deformation是平稳的传播到余下的顶点。网格边界是向下拖到基础平面，并且网格内部的点转换成新的坐标。

对于给定的厚度，一个线性组合函数应用到变形后的网格

z i=β∙(z i−z min)/(z max−z min)（8）

式中：z min和z max——顶点的z值得最小值和最大值；

β是用户定义在0-1之间的参数，控制了浅浮雕的总厚度；

图1c展示了三个压缩浅浮雕的正视图。

在图2中对比压缩网格（β=0.3）输入网格。底纹图片表明压缩网格和输入的网格在外貌上是高度相似。然而，网格拓扑实际上和其他的很不同。

在我们的框架中，基准面代表性地设置为边缘目标在在网格压缩期间。这个默认设置对一般情况是适用的，但是可能不是对有大深度差异的边界顶点合适。当过度变形是被迫的，边界区域的不自然印象将不可避免的发生，就像在图3a的底部。为了避免这种情况，我们为局部深度值的设置提供一个基于草图的工具。指导用户选择边界的起点，结束点和插值点。然后，用户被要求画等深线的素描穿过插值