随机过程基本概念

例4
具有随机初相位的简谐波 X (t ) a cos(0t Φ), - t ]上的均匀分布。
其中a与 0 是正常数，而 Φ 服从在区间[0，2
1
0.5
-4
-2 -0.5
2
4
-1
当t固定时,X(t)是随机变量,故{X(t), t>0}是一族随机变 量。另一方面，对随机变量 φ 做一次试验得一个试验值 就是一条样本曲线。 X (t ) a cos( t )
0
，
二、随机过程的概念
1 定义 参数集：设T是实数轴 (, ) 上的一个子集，且包含无限多 个数。随机过程是一族随机变量，可用 { X (t ), t T } 来表示。T称为
随机过程的参数集。
随机过程 { X (t ), t T } 还可以看成自变量是t，因变量是随机 变量的函数，所以随机过程亦称为随机函数。
四、随机过程的wenku.baidu.com布函数族
给定随机过程 {X (t ), t T }.
对固定的 t T , 随机变量 X (t ) 的分布函数一 般与 t 有关, 记为 FX ( x, t ) P{ X (t ) x}, x R.
随机过程的一维分布函数
{FX ( x, t ), t T } 一维分布函数族
{X (t ), t (, )}是一族随机变量,是随机过程.
样本函数的集合:{cosπt ,t}
状态空间:(, )
⒊分类
（1）离散参数、离散状态的随机过程。如例1，T={1,2,…}, 状态空间有0 和 1 两个数构成。 （2）离散参数、连续状态的随机过程。如独立标准正态随机 序列，T={1,2,…},状态空间为 (, ) 。 （3）连续参数、离散状态的随机过程。如例2，T=[0，∞]， 状态空间由0, 1, 2，…构成。 （4）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=[0，∞]， 状态空间为[-∞，∞]。 离散参数的随机过程亦称为随机序列。
( t ) k t P{X(t) k} e , k 0, 1,2,,( 0) k!
则{X(t)，t 0}构成了一个随机过程
注：上例中的每一条曲线或点图称为一个样本函数
注：随机过程实际上就是一族无限多个随机变量构成的集合
注：随机过程中，样本函数的出现是随机的
例3 热噪声电压
对随机过程 { X (t ) , t T } 进行一次试验 (即在 T 上进行一次全程观测 ) , 其结果是 t 的函数 , 记为 x(t ) , t T , 称它为随机过程的一个 样本函数 或
样本曲线 .
所有不同的试验结果构成一族样本函数.
随机过程
总 体
样本函数
个 体
三、随机过程举例
叫
次数是一个随机变量，记X(t)为[0,t]内的呼叫次数 在概率论中曾指出，在单位时间内一电话站接到的呼唤 次数可用一离散型随机变量 X()表示，且有
P{X( ) k}
k
k!
e , k 0, 1,2,,( 0)
在[0，t]时间内接到的呼唤次数,这一随机变量可记为X(t)。
随 机 过 程 课 件
第一节 随机过程的概念
一、问题的提出
二、随机过程的概念 三、随机过程举例
四、小结
一、问题的提出
例1 投硬币实验：某人仍一枚硬币，无限制的重复仍下去， 记正面为0，反面为1 ， Xn ={第n次仍的结果}
则{Xn，n 1}构成了一个随机过程
例2 电话总机服务实验：某电话总机在[0,t]时间内接到的呼
对固定的n, 称 {FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ), ti T}
为随机过程{X (t ), t T } 的 . n维分布函数族
对任一固定t∈T，任意两个固定的t1，t2∈T，任意固定的t1，
t2，…, tn∈T，对应的X(t), ( X (t1 ), X (t2 ))T ,( X (t1), X (t2 ),, X (tn ))T 具有 连续概率分布，那么， f ( x; t ) F ( x; t )
例1 抛掷一枚硬币的试验, 样本空间 S={H,T}, 现定义
cos πt ,当出现H , X (t ) 当出现T , t , t (, ),
其中P( H ) P(T ) 1 2.
对任意固定的t , X (t )是定义在S上的随机变量.
对不同的t , X (t )是不同的随机变量.
定义：设 (, F , P) 是一概率空间，T是一个实的参数集,若对 每一 t∈T ,均有定义在 (, F , P) 上的一个随机变量 X (t , ), ( )与 之对应，则称依赖于参数 t 的随机变量族 X (t , )为一随机过程。记 为 {X (t , ), t T , Ω};简记为 {X(t), t T},或 X 。 当t和 都固定时, X ( , t ) 是确定的实数,称为样本函数在t处 的数值。 随机过程可简记为 {X (t ) ,t T},通常不指出。 此时样本用函 数x(t)表示,进行多次试验所得的样本函数为 x1 (t ), x2 (t ), 。随机 过程X(t),当t固定时，为一随机变量，即是在t时刻的状态。随机 变量X(t)(t固定，t∈T ) 所可能取值构成实数集，称为随机过程 的状态空间或值域。每个可能取的值称为一个状态。
电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子) 的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压.
热噪声电压在任一确定时刻t的值是一随机变 量,记为V (t ).
对某无线电接收设备的热噪声电压在相同条
件下进行测量.得到如下的电压——时间曲线.
V1 (t ) V2 (t )
V3 (t )
{V (t ), t 0}是一族随机变量，则V (t )是一个随机过程
对任意 n ( n 2,3,) 个不同的时刻 t1,, tn T ,
引入 n 维随机变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )).
分布函数 FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (t2 ) x2},