留数定理在定积分中的应用

留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分

()()1

:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =．

1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：

设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C

f z dz =⎰．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …

,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分）

()()1

2Re k

n

z a k C

f z dz i s f z π===∑⎰． （1）

证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得

()()1k

n

k C

f z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，

由留数的定义，有

()()2Re k

k

z a f z dz i s f z π=Γ=⎰．

特别地，由定义得 ()2Re k

k

z a f z dz i s π=Γ=⎰，

代入（1）式得 ()()1

2Re k

n

z a k C

f z dz i s f z π===∑⎰．

2．留数定理在定积分中的应用

利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．

2．1 形如

()20

cos ,sin f x x dx π

⎰型的积分

这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ix z e =，则dz izdx =，

21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21cos 22ix ix e e z x z

-++== 得

()222

10

11cos ,sin ,22z z z dz

f x x dx f z iz iz

π

=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎰

⎰

()1

2Re k n

z z k i s f z π===∑．

例1 计算20

53cos d I π

θ

θ

=

+⎰

．

解 令i z e θ=，则

()2210

2

53cos 3103z d I dz i z z π

θ

θ

==

=

+++⎰

⎰

()()121

313z dz i

z z ==

++⎰

()()13

21

2Re 3

13z i s i z z π=-⎡⎤=

⋅⎢⎥++⎣⎦

32π=

． 例2

计算()

22

2dx

I x

π

=

+

⎰

．

解 ()

22

210

2

1222z dx

dz

I iz x

z z π

==

=

⎛⎫

+

+ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎰

⎰ ()

2

1

2

443z z

dz i

z z ==

+

⎰

1244

31

3

z zdz

i

z z ==

++⎰， 由于分母有两个根12z z ==121,1z z <>， 因此 I =

14

2Re 43z z i s i

ππ=⋅=．

2．2 形如

()f x dx +∞

-∞

⎰型的积分

把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：()()

()

P z f z Q z =

，其中()P z ，()Q z 均为关于z 的多项式，且分母()Q z 的次数至少比分子()P z 的次数高两次；第二：()f z 在半平面上的极点为k z （k ＝1，2，3，…，

n ），在实轴上的极点为k x （k ＝1，2，3，…，n ）则有

()()12Re k

n z z k f x dx i s f z π+∞

==-∞

⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

∑⎰

．

例3 计算2

42

1x I dx x x +∞

-∞

=++⎰． 解 取()()()

22

4222111z z f z z z z

z z z ==

+

+-+++，

孤立点为12341111,,,2222z z z z =

+=-=-=--，其中落在上半平面的为1z ，3z ，故