13-14.1隐马尔科夫模型
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隐马尔可夫模型
隐马尔可夫模型9
前向算法：
前向变量
α t ( i ) = P ( O1O 2 ... O t , q t = S i | λ )
1 2 t
给定模型的情况下，到时间t时输出观察序列为 O O ...O ，并 且时刻t的状态是S 的概率。
i
初始化：α 1 (i ) = π i bi (O1 ),1 ≤ i ≤ N 递推： α ( j ) = [∑ α (i)a ]b (O ),1 ≤ t ≤ T 1,1 ≤ 终止：
p ( B 1) = p ( B 2) = ... p(B
M
∑∑p a b
i =1 3 j =1 3 i ij
3
3
j1
∑∑p a b
i =1 j =1 i ij
j2
) =
∑∑p a b
i =1 j =1 i ij
3
3
jM
图中的HMM模型有3个隐状态S1、S2、S3，初始 分布概率为P=[p1,p2,p3];观察值空间有M个观察值 B=[B1,B2,…,BM]，转移概率矩阵为
隐马尔可夫模型
演讲人：李慧子
内容提要
背景 马尔可夫性 马尔可夫链 隐马尔可夫模型
背景
自20世纪80年代以来，HMM被应用于语音识别，取 得重大成功。到了90年代，HMM还被引入计算机文 字识别和移动通信核心技术“多用户的检测”。近年 来，HMM在生物信息科学、故障诊断等领域也开始 得到应用。
马儿可夫性
j =1
t = T 1, T 2 ,..., 1 1≤ i ≤ N
终止：
P (O | λ ) =
∑
N
β
i=1
1
(i)
隐马尔可夫模型11
《隐马尔可夫模型》课件
它是一种双重随机过程，包括一个状态转移的随 机过程和一个观测值生成的随机过程。
隐马尔可夫模型在许多领域都有应用，如语音识 别、自然语言处理、生物信息学和金融预测等。
隐马尔可夫模型的应用领域
01
语音识别
用于将语音转换为文本，或识别说 话人的意图。
生物信息学
用于分析基因序列、蛋白质序列和 代谢物序列等。
03 隐马尔可夫模型的建立
观察概率矩阵的确定
总结词
观察概率矩阵描述了在给定状态下，观察到不同状态的概率 分布。
详细描述
观察概率矩阵是隐马尔可夫模型中的重要组成部分，它表示 了在给定状态下，观察到不同状态的概率分布。例如，在语 音识别中，观察概率矩阵可以表示在特定语音状态下发出不 同音素的概率。
状态转移概率矩阵的确定
VS
原理
通过动态规划找到最大概率的路径，该路 径对应于最可能的隐藏状态序列。
05 隐马尔可夫模型的优化与 改进
特征选择与模型参数优化
要点一
特征选择
选择与目标状态和观测结果相关的特征，提高模型预测准 确率。
要点二
模型参数优化
通过调整模型参数，如状态转移概率和观测概率，以改进 模型性能。
高阶隐马尔可夫模型
初始状态概率分布表示了隐马尔可夫模型在初始时刻处于各个状态的概率。这个概率分布是隐马尔可 夫模型的重要参数之一，它决定了模型在初始时刻所处的状态。在某些应用中，初始状态概率分布可 以根据具体问题来确定，也可以通过实验数据来估计。
04 隐马尔可夫模型的训练与 预测
前向-后向算法
前向算法
用于计算给定观察序列和模型参 数下，从初始状态到某个终止状 态的所有可能路径的概率。
《隐马尔可夫模型》 ppt课件
隐马尔可夫模型在许多领域都有应用，如语音识 别、自然语言处理、生物信息学和金融预测等。
隐马尔可夫模型的应用领域
01
语音识别
用于将语音转换为文本，或识别说 话人的意图。
生物信息学
用于分析基因序列、蛋白质序列和 代谢物序列等。
03 隐马尔可夫模型的建立
观察概率矩阵的确定
总结词
观察概率矩阵描述了在给定状态下，观察到不同状态的概率 分布。
详细描述
观察概率矩阵是隐马尔可夫模型中的重要组成部分，它表示 了在给定状态下，观察到不同状态的概率分布。例如，在语 音识别中，观察概率矩阵可以表示在特定语音状态下发出不 同音素的概率。
状态转移概率矩阵的确定
VS
原理
通过动态规划找到最大概率的路径，该路 径对应于最可能的隐藏状态序列。
05 隐马尔可夫模型的优化与 改进
特征选择与模型参数优化
要点一
特征选择
选择与目标状态和观测结果相关的特征，提高模型预测准 确率。
要点二
模型参数优化
通过调整模型参数，如状态转移概率和观测概率，以改进 模型性能。
高阶隐马尔可夫模型
初始状态概率分布表示了隐马尔可夫模型在初始时刻处于各个状态的概率。这个概率分布是隐马尔可 夫模型的重要参数之一，它决定了模型在初始时刻所处的状态。在某些应用中，初始状态概率分布可 以根据具体问题来确定，也可以通过实验数据来估计。
04 隐马尔可夫模型的训练与 预测
前向-后向算法
前向算法
用于计算给定观察序列和模型参 数下，从初始状态到某个终止状 态的所有可能路径的概率。
《隐马尔可夫模型》 ppt课件
隐马尔可夫模型-完整
NLPLAB
19
分段K-均值算法
1、随机选个N个观察符号(每个符号用D维向量表示)，将给定的T 个D维向量分配到上面N个观察符号中去(聚类)，聚类的原则是将
T个中的每个向量分配到与自己欧氏距离最短的N个向量中的那个
向量中去。至此我们得到N个簇，每个簇代表一个状态。这个一开 始的聚类过程并不决定最后的HMM，而只是决定模型的训练次数。 2、计算起始概率和转移概率：
1i N
记忆回退路径： t(j)= arg max[ t-1(i) aij ] bj (Ot ), 2 t T ;1 i N
1i N
3.终结： QT= arg max[ T (i )]
1i N
P(QT ) max[ T (i )]
1i N
隐马尔科夫模型 Hidden Markov Model
NLPLAB
1
何为“隐”?
1. 如从四个盒子中各取一个球，开始从四个盒子随机选取一个盒子，从这 个盒子中随机抽出1个球，记录其颜色后，放回；然后从当前盒子随机 转移到下一个盒子，再取一个球；如此重复，直到取出四个球。这样可 以得到一个球的颜色的观测序列： 如：O={红，白，红，白}，在这个过程中观察者只能观测到球的颜色 序列，观测不到球是从哪个盒子中取出的，即观测不到盒子的序列。 2. 如在词性标注这样的应用中，对于给定的要标注单词词性的一个句子， 我们看不到单词的词性，只能观察到每个单词，必须从单词序列去推断 正确的标记。我们说词性标注序列是隐藏的。
NLPLAB
22
NLPLAB
2
首先给出符号表示： Q=q1q2...qN 状态序列
A=a11a12...an1...ann 转移概率矩阵A，aij表示从状态i转移到状态j的概率 O=o1o2...oT B=bi(ot) 观测序列，o1表示在状态q1观测到o1 符号发射概率矩阵B，表示在状态i观测到ot的概率 初始状态， i表示初始状态为i的概率
隐马尔可夫模型(有例子-具体易懂)课件
解决问题一—前向算法
定义前向变量为:
“在时间步t, 得到t之前的所有明符号序列, 且时间 步t的状态是Si”这一事件的概率, 记为 (t, i) = P(o1,…,ot, qt = Si|λ)
则
算法过程
HMM的网格结构
前向算法过程演示
t=1
t=2
t=3
t=4
t=5
t=T
t=6
t=7
问题 1 – 评估问题
给定
一个骰子掷出的点数记录
124552646214614613613666166466163661636616361651561511514612356234
问题
会出现这个点数记录的概率有多大? 求P(O|λ)
问题 2 – 解码问题
给定
一个骰子掷出的点数记录
124552646214614613613666166466163661636616361651561511514612356234
HMM的三个基本问题
令 λ = {π，A，B} 为给定HMM的参数， 令 O = O1,...,OT 为观察值序列，则有关于 隐马尔可夫模型（HMM）的三个基本问题: 1.评估问题: 对于给定模型，求某个观察值序列的概率P(O|λ) ； 2.解码问题: 对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列maxQ{P(Q|O,λ)}； 3.学习问题: 对于给定的一个观察值序列O，调整参数λ，使得观察值出现的概率P(O|λ)最大。
5点
1/6
3/16
6点
1/6
3/8
公平骰子A与灌铅骰子B的区别:
时间
1
2
3
4
5
6
7
骰子
A
A
定义前向变量为:
“在时间步t, 得到t之前的所有明符号序列, 且时间 步t的状态是Si”这一事件的概率, 记为 (t, i) = P(o1,…,ot, qt = Si|λ)
则
算法过程
HMM的网格结构
前向算法过程演示
t=1
t=2
t=3
t=4
t=5
t=T
t=6
t=7
问题 1 – 评估问题
给定
一个骰子掷出的点数记录
124552646214614613613666166466163661636616361651561511514612356234
问题
会出现这个点数记录的概率有多大? 求P(O|λ)
问题 2 – 解码问题
给定
一个骰子掷出的点数记录
124552646214614613613666166466163661636616361651561511514612356234
HMM的三个基本问题
令 λ = {π，A，B} 为给定HMM的参数， 令 O = O1,...,OT 为观察值序列，则有关于 隐马尔可夫模型（HMM）的三个基本问题: 1.评估问题: 对于给定模型，求某个观察值序列的概率P(O|λ) ； 2.解码问题: 对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列maxQ{P(Q|O,λ)}； 3.学习问题: 对于给定的一个观察值序列O，调整参数λ，使得观察值出现的概率P(O|λ)最大。
5点
1/6
3/16
6点
1/6
3/8
公平骰子A与灌铅骰子B的区别:
时间
1
2
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7
骰子
A
A
隐马尔可夫模型HiddenMarkovmodel
通俗的说，就是在已经知道过程“现在”的条 件下，其“将来”不依赖于“过去”。
2019/10/14
知识管理与数据分析实验室
7
马尔科夫链
• 时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科夫 链
• 记作{Xn = X(n), n = 0,1,2,…} – 在时间集T1 = {0,1,2,…}上对离散状态的过程相 继观察的结果
知识管理与数据分析实验室
17
向前算法及向后算法
向前算法及向后算法主要解决评估问题，即用来 计算给定一个观测值序列O以及一个模型λ时，由 模型λ产生出观测值序列O的概率 。
2019/10/14
知识管理与数据分析实验室
18
向前算法
向前变量
它的含义是，给定模型λ ，时刻t。处在状态i，并且部分
知识管理与数据分析实验室
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内容框架
1 隐马尔科夫模型的由来
2 隐马尔科夫模型的基本理论及实例 3 隐马尔科夫模型的三个基本算法 4 隐马尔科夫模型的应用
2019/10/14
知识管理与数据分析实验室
4
隐马尔可夫模型的基本理论
马尔可夫性
马尔可夫 过程
马尔可夫链
隐马尔可夫模型
2019/10/14
知识管理与数据分析实验室
根据以上结论可进行模型估算，反复迭代，直至参数收敛。
2019/10/14
知识管理与数据分析实验室
27
内容框架
1 隐马尔科夫模型的由来
2 隐马尔科夫模型的基本理论及实例 3 隐马尔科夫模型的三个基本算法 4 隐马尔科夫模型的应用
2019/10/14
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隐马尔科夫模型的应用
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马尔科夫链
• 时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科夫 链
• 记作{Xn = X(n), n = 0,1,2,…} – 在时间集T1 = {0,1,2,…}上对离散状态的过程相 继观察的结果
知识管理与数据分析实验室
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向前算法及向后算法
向前算法及向后算法主要解决评估问题，即用来 计算给定一个观测值序列O以及一个模型λ时，由 模型λ产生出观测值序列O的概率 。
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知识管理与数据分析实验室
18
向前算法
向前变量
它的含义是，给定模型λ ，时刻t。处在状态i，并且部分
知识管理与数据分析实验室
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内容框架
1 隐马尔科夫模型的由来
2 隐马尔科夫模型的基本理论及实例 3 隐马尔科夫模型的三个基本算法 4 隐马尔科夫模型的应用
2019/10/14
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4
隐马尔可夫模型的基本理论
马尔可夫性
马尔可夫 过程
马尔可夫链
隐马尔可夫模型
2019/10/14
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根据以上结论可进行模型估算，反复迭代，直至参数收敛。
2019/10/14
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内容框架
1 隐马尔科夫模型的由来
2 隐马尔科夫模型的基本理论及实例 3 隐马尔科夫模型的三个基本算法 4 隐马尔科夫模型的应用
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隐马尔科夫模型的应用
《隐马尔可夫模型》课件
C R F 常用在文本分类、句法分析、命名实体识别等 领域。
HMM的局限性和改进方法
1
截断、尾部效应
加入上下文信息，使用长短时记忆网络。
2
自适应马尔可夫链
使用观测序列预测假设的状态转移矩阵。
3
深度学习方法
使用神经网络建立序列到序列的映射关系，消除符号表示造成的信息损失。
总结
HMM模型的优缺点
HMM模型可以识别长时序列，具有较好的泛化 性，但是对许多情况会做出错误HMM将会在自然语言处理、语音识别、图像识 别等领域继续发挥重要作用。
参考文献
• 《统计学习方法》- 李航 • 《Python自然语言处理》- 谢益辉 • 《深度学习》- Goodfellow等
附录
最近，HMM被用于音乐生成，允许他们生成具有旋律的曲子，相信HMM会在越来越多的领域展现其重要性。
隐马尔可夫模型PPT课件
在本课件中，我们将一起了解隐马尔可夫模型的基本概念，算法和应用领域。 无论您是机器学习新手，还是专业人士，这份PPT都能帮助您了解隐马尔可夫 模型的关键要素。
隐马尔可夫模型概述
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是 一种用于描述动态系统的概率模型。
马尔可夫假设
HMM 假设未来的状态只与当前状态有关，与历史状态无关，即是一个马尔可夫过程。
HMM的基本问题
1 问题1：给出模型和观测序列，如何计算观测序列出现的 概率？
通过前向，后向算法，或者前向-后向算法计算观测序列出现的概率。
2 问题2：给出模型和观测序列，如何预测其中的状态序列？
通过维特比算法预测概率最大的状态序列。
3 问题3：给出模型和观测序列，如何调整模型数使其最优？
《隐马尔科夫模型》课件
定义
HMM由观察序列和未知的隐含状态序列组成，可以用于概率计算、状态序列预 测、模型参数学习。
3
三个问题
一、概率计算：给定模型和观察序列，计算该序列的概率。二、状态序列预测： 已知观察序列和模型，预测未知的状态序列。三、模型参数学习：已知观察序列， 使得该序列下的模型参数最优。
模型
结构
HMM由初始状态概率、状态转移 概率和观测概率构成。
学习HMM模型
从有标注数据中学习模型参数， 用于词性标注等任务。
估计HMM模型
从无标注数据中估计模型参数， 用于关键词检测等任务。
实例
HMM在词性标注中的 应用
可以将不同词性看做不同的 隐状态，对未知词性的单词 进行标注。
HMM在语音识别中的 应用
将语音信号看作观察序列， 将不同的词语看作不同的状 态，进行识别。
隐马尔科夫模型
本课程将介绍隐马尔科夫模型的原理、应用和实例。
简介
1 什么是隐马尔科模型？
一种统计模型，用于描述含有隐含未知参数 的马尔科夫过程。
2 HMM的应用场景
语音识别、手写识别、自然语言处理、计算 机视觉等领域。
原理
1
马尔科夫过程
一种基于概率的状态转移模型，下一个状态仅与当前状态有关。
2
HMM在自然语言处理 中的应用
用于语言模型的建立、文本 分类、信息抽取等任务。
总结
1 HMM的优缺点
优点：模型表达能力强，能够处理一些复杂的实际问题。缺点：模型参数估计不够准确， 容易出现过拟合。
2 HMM的未来发展方向
结合深度学习等新技术，提高模型准确性和泛化性能。
隐马尔可夫模型课件
隐马尔可夫模型课 件
目录
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 隐马尔可夫模型简介 • 隐马尔可夫模型的基本概念 • 隐马尔可夫模型的参数估计 • 隐马尔可夫模型的扩展 • 隐马尔可夫模型的应用实例 • 隐马尔可夫模型的前景与挑战
01
隐马尔可夫模型简介
定义与特点
定义
隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，简称HMM）是 一种统计模型，用于描述一个隐藏的马尔可夫链产生的观测 序列。
观测概率
定义
观测概率是指在给定隐藏状态下，观测到某一特定输出的概率。在隐马尔可夫 模型中，观测概率表示隐藏状态与观测结果之间的关系。
计算方法
观测概率通常通过训练数据集进行估计，使用最大似然估计或贝叶斯方法计算 。
初始状态概率
定义
初始状态概率是指在隐马尔可夫模型中，初始隐藏状态的概率分布。
计算方法
05
隐马尔可夫模型的应用实 例
语音识别
语音识别是利用隐马尔可夫模型来识别连续语音的技术。通过建立语音信号的时间序列与状态序列之 间的映射关系，实现对语音的自动识别。
在语音识别中，隐马尔可夫模型用于描述语音信号的动态特性，将连续的语音信号离散化为状态序列， 从而进行分类和识别。
隐马尔可夫模型在语音识别中具有较高的准确率和鲁棒性，广泛应用于语音输入、语音合成、语音导航 等领域。
Baum-Welch算法
总结词
Baum-Welch算法是一种用于隐马尔可夫模型参数估计的迭代算法，它通过最大化对数似然函数来估计模型参数 。
详细描述
Baum-Welch算法是一种基于期望最大化（EM）算法的参数估计方法，它通过对数似然函数作为优化目标，迭 代更新模型参数。在每次迭代中，算法首先使用前向-后向算法计算给定观测序列和当前参数值下的状态序列概 率，然后根据这些概率值更新模型参数。通过多次迭代，算法逐渐逼近模型参数的最优解。
隐马尔可夫模型
= (A , B, π) ，观测序列 O
输出： 观测序列概率 P (O; λ)
= 1,
i = 1, 2, ⋯ , N =1
对最终时刻的所有状态 qi ，规定 βT (i) 递推：对 t
= T − 1, T − 2, ⋯ , 1 :
N
βt (i) = ∑ a ijbj (ot+1 )βt+1 (j),
O 和 I 同时出现的联合概率为：
P (O, I ; λ) = P (O/I ; λ)P (I ; λ) = π i a i i a i i ⋯ a i b ( o ) b ( o ) ⋯ bi (oT ) 1 1 2 2 3 T −1 i T i 1 1 i 2 2 T
对所有可能的状态序列 I 求和，得到观测序列 O 的概率：
用极大似然估计的方法估计参数 预测问题（也称为解码问题）：已知模型 λ 最大的状态序列 I
= (A , B, π) 和观测序列 O = (o1 , o2 , ⋯ , oT ) ， 求对给定观测序列条件概率 P (I /O) = (i1 , i2 , ⋯ , iT ) 。即给定观测序列，求最可能的对应的状态序列
齐次性假设：即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻 t 的状态只依赖于它在前一时刻的状态，与其他时刻的状态和观测无关，也与时刻 t 无 关，即： P (it /it−1 , ot−1 , ⋯ , i1 , o1 )
= P (it /it−1 ),
t = 1, 2, ⋯ , T t = 1, 2, ⋯ , T
的概率记作： γ t (i)
8.给定模型 λ
= P (it = qi /O; λ)
P (O; λ) = ∑ P (O/I ; λ)P (I ; λ)
隐马尔可夫模型的原理与实现
隐马尔可夫模型的原理与实现隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种统计模型，广泛应用于序列数据分析、模式识别、自然语言处理等领域。
其基本原理是假设观测序列是通过一个不可见的状态序列产生的，通过观测序列预测状态序列或反向估计状态序列。
HMM包含三个基本组成部分：状态集合、观测集合和状态转移概率矩阵。
状态集合表示系统可能的状态，观测集合表示观测到的数据，状态转移概率矩阵表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
在HMM中，将一个观测序列用O表示，状态序列用Q表示，通过条件概率来描述观测序列和状态序列之间的关系。
观测序列O和状态序列Q的联合概率可以用如下公式表示：P(O,Q) = P(O|Q)P(Q)其中，P(O|Q)表示给定状态序列Q时观测序列O的概率，P(Q)表示状态序列Q的概率。
HMM的实现主要包括三个问题：观测序列概率计算问题、状态序列解码问题和模型参数学习问题。
1. 观测序列概率计算问题：给定一个HMM模型和观测序列O，计算观测序列O在该模型下的概率P(O)。
该问题可以通过前向算法和后向算法解决。
前向算法通过递推的方式计算从状态i观测到O中的第t个观测的概率，在t时刻在状态i的概率P(i, t)可以通过如下公式计算：P(i, t) = P(O_1, O_2, ..., O_t, q_t=i)其中O_1, O_2, ..., O_t表示观测序列中的前t个观测。
后向算法通过递推的方式计算从状态i观测到O中的第t+1个观测到最后一个观测的概率，在t时刻在状态i的概率P(i, t)可以通过如下公式计算：P(i, t) = P(O_t+1, O_t+2, ..., O_T|q_t=i)其中O_t+1, O_t+2, ..., O_T表示观测序列中的后t个观测。
观测序列概率计算问题的解决方法是前向-后向算法，通过前向算法计算前向概率α和后向算法计算后向概率β，然后计算任意时刻t时在状态i的概率P(i, t)，最终观测序列概率P(O)等于最后时刻在所有状态的概率之和。
隐马尔科夫模型简介
1i N
终结：
P * m ax[ T (i )])
1i N * qT arg m ax[ T (i )] 1i N
求S序列：qt* t 1 (qt*1 ), t T 1,T 2,...,1
解码问题—Viterbi算法
t (i) qmax P[q1q2 ...qt 1 , qt i, o1o2 ...ot | ] , q ...q
b (O1 )aq1 bq2 (O2 )aqT 1qT bqT (OT )
估计问题-前向算法
定义前向变量 t (i) P(O1, O2 ,Ot , qt i | ) 1 t T
t (i) 的含义是,已知模型 ,时刻t,过程处于状 态i，并且部分观察序列 O = O1O2O3 …Ot 为的概 率。 初始化: 1 (i) i bi (O1 ) 1 t T
马尔科夫链
时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马 尔科夫链。 设S是一个由有限个状态组成的集合。
S {q1, q 2, q3,...,qn 1, qn}
随机序列X在t时刻所处的状态为qt，其中qt ∈S，若 P(qt = j | q t-1 = i, q t2 = k,...)= P(qt = j | q t-1 = i) 则随机序列X构成一个一阶马尔科夫链。 令,a ij = P(qt = j | q t-1 = i) 1≤i,j≤n则对于所有 的i,j有下列关系 aij 0 ， a 1 。
学习算法-Baum-Welch算法
目的：给定观察值序列 O ，通过计算确定一个模 型 ， 使得最大P(O| ) 。 算法步骤：
终结：
P * m ax[ T (i )])
1i N * qT arg m ax[ T (i )] 1i N
求S序列：qt* t 1 (qt*1 ), t T 1,T 2,...,1
解码问题—Viterbi算法
t (i) qmax P[q1q2 ...qt 1 , qt i, o1o2 ...ot | ] , q ...q
b (O1 )aq1 bq2 (O2 )aqT 1qT bqT (OT )
估计问题-前向算法
定义前向变量 t (i) P(O1, O2 ,Ot , qt i | ) 1 t T
t (i) 的含义是,已知模型 ,时刻t,过程处于状 态i，并且部分观察序列 O = O1O2O3 …Ot 为的概 率。 初始化: 1 (i) i bi (O1 ) 1 t T
马尔科夫链
时间和状态都离散的马尔科夫过程称为马 尔科夫链。 设S是一个由有限个状态组成的集合。
S {q1, q 2, q3,...,qn 1, qn}
随机序列X在t时刻所处的状态为qt，其中qt ∈S，若 P(qt = j | q t-1 = i, q t2 = k,...)= P(qt = j | q t-1 = i) 则随机序列X构成一个一阶马尔科夫链。 令,a ij = P(qt = j | q t-1 = i) 1≤i,j≤n则对于所有 的i,j有下列关系 aij 0 ， a 1 。
学习算法-Baum-Welch算法
目的：给定观察值序列 O ，通过计算确定一个模 型 ， 使得最大P(O| ) 。 算法步骤：
隐马尔可夫模型及其应用课件
观测
观测是系统状态的可见输出，它们是由隐藏 状态生成的。
发射概率
描述在给定隐藏状态下生成观测的概率。
模型的参数
初始状态概率
隐藏状态的初始概率分布。
转移概率矩阵
描述隐藏状态之间转移的概率矩阵。
发射概率矩阵
描述在给定隐藏状态下生成观测的概率矩阵。
状态序列长度
隐藏状态序列的长度，通常根据具体问题确定。
02 隐马尔可夫模型的算法
隐马尔可夫模型及其应用课件
目录
CONTENTS
• 隐马尔可夫模型简介 • 隐马尔可夫模型的算法 • 隐马尔可夫模型的应用 • 隐马尔可夫模型的优缺点 • 隐马尔可夫模型的发展趋势与展望
01 隐马尔可夫模型简介
CHAPTER
定义与特性
隐马尔可夫模型（HMM）是一种统计模型，用于描述一个不可观测的马尔可夫过 程，也就是隐藏状态序列。
CHAPTER
前向-后向算法
前向算法
用于计算给定观察序列和模型参 数下，从初始状态到结束状态的 所有可能路径的概率。
后向算法
用于计算给定观察序列和模型参 数下，从结束状态到初始状态的 所有可能路径的概率。
维特比算法
• 维特比算法：是一种高效的寻找最大概率路径的算法，通过 动态规划的方式，在每个状态转移时选择概率最大的转移。
在生物信息学中的应用
基因序列分析
在生物信息学中，隐马尔可夫模 型被用于基因序列分析，如预测 基因结构、识别基因启动子等。 通过训练模型，可以学习基因序 列的统计特性，从而进行基因相 关的分析和预测。
蛋白质序列分析
隐马尔可夫模型也被应用于蛋白 质序列分析，如蛋白质二级结构 预测、蛋白质家族分类等。通过 分析蛋白质序列的统计规律，隐 马尔可夫模型能够提供对蛋白质 结构和功能的深入理解。
隐马尔可夫模型
使用HMM解决的问题 解决的问题 使用
已知模型λ和输出序列 测评问题 Evaluation :已知模型 和输出序列 ， 已知模型 和输出序列O， 求由λ生成 的概率 求由 生成O的概率 生成 已知模型λ和输出序列 和输出序列O， 译解问题 Decoding : 已知模型 和输出序列 ，求 最有可能生成O的状态转移序列 最有可能生成 的状态转移序列 学习问题 Learning : 已知模型λ和输出序列 ，求 已知模型 和输出序列O， 和输出序列 最有可能生成Ｏ 最有可能生成Ｏ的模型的参数
起始
—
0.05 0 0.015
结束
0.46 0.06
0.5
0.06
0.06 0.49
0.73 1
0.49
0.46
0.01
0.48
c
0.015 0.015
y
0.46 0.7 0.3 0.015
0.05 0.23
0.015
0.4
C
0.97
C
0.97
Y
Viterbi 算法中的矩阵
I0 A C C Y 0.12 0 0 0 I1 0 0.015 0 0 M1 0 0.046 0 0 I2 0 0 0 0 M2 0 0 0.485 0 I3 0 0 0 M3 0 0 0
Viterbi算法用了一个矩阵，矩阵的行由序列中的氨基 算法用了一个矩阵， 算法用了一个矩阵 酸残基组成，列由模型中的状态组成。 酸残基组成，列由模型中的状态组成。
HMM可由多条路径产生序列 可由多条路径产生序列ACCY 可由多条路径产生序列
0.3 0.3 0.4 0.5 0.48 0.48 0.27
1 0.8 0.2 — — — — —
2 0.6 0.4 — — — — —
隐马尔可夫模型简介PPT课件
ΩX = {q1,...qN}：状态的有限集合 ΩO = {v1,...,vM}：观察值的有限集合 A = {aij}，aij = p(Xt+1 = qj |Xt = qi)：转移概率 B = {bik}，bik = p(Ot = vk | Xt = qi)：输出概率 π = {πi}， πi = p(X1 = qi)：初始状态分布
病
症状(观察值)：发烧，咳嗽，咽喉肿痛，流涕 疾病(状态值)：感冒，肺炎，扁桃体炎 转移概率：从一种疾病转变到另一种疾病的概率 输出概率：某一疾病呈现出某一症状的概率 初始分布：初始疾病的概率 解码问题：某人症状为：咳嗽→咽喉痛→流涕→发烧
请问：其疾病转化的最大可能性如何？
2020/10/13
5
算法：向前算法（一）
P ( O |) P ( O , X |) P ( X |) P ( O |X ,)
X T
P(X| )X1 aXi1Xi i2
X
T
P(O|X,) bXiO i i1
定义前向变量为HMM在时间t输出序列O1…Ot， 并且位于状态Si的概率：
t( i ) P ( O 1 O t,X t q i|)
9
例子：词性标注
问题：
已知单词序列w1w2…wn，求词性序列c1c2…cn
HMM模型：
将词性为理解为状态 将单词为理解为输出值
训练：
统计词性转移矩阵[aij]和词性到单词的输出矩阵[bik]
求解：Viterbi算法
2020/10/13
10
应用
语音识别 音字转换 词性标注（POS Tagging） 组块分析 基因分析 一般化：任何与线性序列相关的现象
2020/10/13
3
问题
病
症状(观察值)：发烧，咳嗽，咽喉肿痛，流涕 疾病(状态值)：感冒，肺炎，扁桃体炎 转移概率：从一种疾病转变到另一种疾病的概率 输出概率：某一疾病呈现出某一症状的概率 初始分布：初始疾病的概率 解码问题：某人症状为：咳嗽→咽喉痛→流涕→发烧
请问：其疾病转化的最大可能性如何？
2020/10/13
5
算法：向前算法（一）
P ( O |) P ( O , X |) P ( X |) P ( O |X ,)
X T
P(X| )X1 aXi1Xi i2
X
T
P(O|X,) bXiO i i1
定义前向变量为HMM在时间t输出序列O1…Ot， 并且位于状态Si的概率：
t( i ) P ( O 1 O t,X t q i|)
9
例子：词性标注
问题：
已知单词序列w1w2…wn，求词性序列c1c2…cn
HMM模型：
将词性为理解为状态 将单词为理解为输出值
训练：
统计词性转移矩阵[aij]和词性到单词的输出矩阵[bik]
求解：Viterbi算法
2020/10/13
10
应用
语音识别 音字转换 词性标注（POS Tagging） 组块分析 基因分析 一般化：任何与线性序列相关的现象
2020/10/13
3
问题
隐马尔科夫模型
i P[s1 i],(1 i N )
i
1
（ 6） F：系统终了状态的集合。 Markov模型没有终了状态的概念，只 是在语音识别里用的Markov模型要设定终 了状态。
这样，可以记一个HMM为 M={S,O,A,B, ,F}，为了便于表示，常用下 面的形式表示一个HMM，即简写为 M={A,B, }。HMM可以分为两部分，一个 是Markov链，由 ，A描述，产生的输出为 状态序列。另一个随机过程，由B描述，产 生的输出为观察符号序列。
1 1 1 2 2
T 1sT
bsT (oT )
(11)
T
根据上式，要计算 p(O| ) ，需要 2T N 规 模的计算量。如果对于 N=5（状态数）， T=100(观察量)， 需要 2*100*5100 1072 次计 算。
前向－后向算法
定义前向概率为: t (i) = P(o1o2 ot , st i | )
t
s 2 ，……， s t ， S1t s1t 表示 S1 s1 ，
S 2 s 2 ，……， S t st 。特别的当如下
式成立时，则称其为1阶Markov过程， 又叫单纯马尔可夫过程。
t P(S t 1 st 1 | S1t s1 ) P(S t 1 st 1 | S t st )
最合适的模型，使得 P(O | ) 最大。
第一个问题的求解
给定观察序列 O={ o1 , o 2 …… oT } 和 模型 {A, B, } ，求解 P(O | ) ，最直接的 方法就是通过穷举所有的长度为 T 状态序 列。共有 N T 个状态序列，考虑其中一个： S (s1s2 ...sT ) ，s1 是初始状态。给定 S，观察 序列 O 出现的概率为
隐马尔科夫模型教学PPT
隐马尔科夫模型可以用五个元素来描述
λ=(N , M, A, B, π )
其中：
N= {q1,...qN}：状态的有限集合，隐状态的数目 M = {v1,...,vM}：观察值的有限集合，可能的观测值 A = {aij}，aij = p(Xt+1 = qj |Xt = qi)：状态转移概率 B = {bik}，bik = p(Ot = vk | Xt = qi)：观察值状态分布 π = {πi}， πi = p(X1 = qi)：初始状态空间概率分布
状态转移概率矩阵
隐马尔科夫概括和简介
• 隐马尔可夫模型是马尔可夫链的一种，它的状态不能直接 观察到，但能通过观测向量序列观察到，每个观测向量都 是通过某些概率密度分布表现为各种状态，每一个观测向 量是由一个具有响应概率密度分布的状态序列产生。所以， 隐马尔可夫模型是一个双重随机过程 ----具有一定状态数 的隐马尔可夫链和显示随机函数集。自20世纪80年代以来， HMM被应用于语音识别，取得重大成功。到了90年代， HMM还被引入计算机文字识别和移动通信核心技术“多 用户的检测”。近年来，HMM在生物信息科学、故障诊 断等领域也开始得 到应用。
Reestimate :
aˆij
expected count expected
of transitions from count of stays at i
i
to
j
t (i, j)
t
t (i, j)
tj
bˆj (k) expected
number of times in state j and observing expected number of times in state j
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序列的每个位置可看做是一个时刻。
8/66
隐马尔科夫模型的贝叶斯网络
请思考：
在z1未给定的前提下，x1和z2独立吗？x1和x2独 立吗？
9/66
HMM的确定
HMM由初始概率分布π、状态转移概率分布 A以及观测概率分布B确定。
A, B,
10/66
HMM的参数
Q是所有可能的状态的集合
2/66
贝叶斯网络分析
1+2+2+4+4=13 vs 2^5
3/66
复习：特殊的Байду номын сангаас叶斯网络
M个离散结点形成一条链，每一个结点有K 个状态，则需要K-1+(M-1)K(K-1)个参数。 这是关于长度M的线性函数。
别忘了，如果是全连接，需要KM-1个参数，是 关于M的指数函数。
这个网络被称作马尔科夫模型。
对所有可能的状态序列I求和，得到观测序 列O的概率P(O|λ)
P O P O, I P O I , P I
i1 ,i2 ,iT
I
I
i bi o ai i bi o ai
1 1 1 12 2 2
T 1iT
biT oT
23/66
按照下面的方法抽取小球，得到球颜色的观测序列： 按照(0.2,0.4,0.4)的概率选择1个盒子，从盒子随机 抽出1个球，记录颜色后放回盒子；按照A给定的概 率选择新的盒子，重复上述过程；最终得到观测序 列：“红红白白红”。
16/66
该示例的各个参数
状态集合：Q={盒子1，盒子2，盒子3} 观测集合：V={红，白} 状态序列和观测序列的长度T=5 0.2 初始概率分布π： 状态转移概率分布A： 0.4 0.4 观测概率分布B：
隐马尔科夫模型HMM
北京10月机器学习班 邹博 2014年12月7日
复习：贝叶斯网络
x1和x2独立 x6和x7在x4给定的条件下独立 x1,x2,…x7的联合分布：
July注解：贝叶斯网络详细复习参见下述链接
/v_july_v/article/details/40984699
齐次假设： Pit it 1, ot 1, it 2 , ot 2 i1, o1 Pit it 1
观测独立性假设：
Pot iT , oT , iT 1, oT 1 i1, o1 Pot it
15/66
HMM举例
假设有3个盒子，编号为1、2、3，每个盒子都装有 红白两种颜色的小球，数目如下：
按照概率公式，列举所有可能的长度为T的 状态序列 I i1, i2 ,iT ，求各个状态序列I 与观测序列 O o1 , o2 ,oT 的联合概率 P(O,I|λ)，然后对所有可能的状态序列求和， 从而得到P(O|λ)
21/66
直接计算法
状态序列 I i1, i2 ,iT 的概率是：
35/66
前向后向概率的关系
根据定义，证明下列等式
Pit qi , O t i t i
PO t i t i
N i 1
36/66
单个状态的概率
求给定模型λ和观测O，在时刻t处于状态qi的 概率。 记： i P i q O,
4/66
复习：通过贝叶斯网络判定条件独立—1
P(a,b,c)=P(c)*P(a|c)*P(b|c) 则：P(a,b|c)=P(a,b,c)/P(c) 带入，得到： P(a,b|c)=P(a|c)*P(b|c) 即：在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)， 是独立的。
条件独立：tail-to-tail
33/66
后向算法
初值： T i 1
递推：对于t=T-1,T-2…,1
N t i aijb jot1 t 1 j j 1
最终： PO b i i io1 1
N i 1
34/66
24/66
借鉴算法的优化思想
最长递增子序列 KMP中next数组的计算
25/66
前向算法
定义：给定λ，定义到时刻t部分观测序列为 o1,o2…ot且状态为qi的概率为前向概率，记 做：
t i Po1, o2 ,ot , it qi
可以递推的求得前向概率αt(i)及观测序列概 率P(O|λ)
32/66
后向算法
定义：给定λ，定义到时刻t状态为qi的前提 下，从t+1到T的部分观测序列为ot+1,ot+2…oT 的概率为后向概率，记做： t i Pot 1, ot 2 ,oT it qi , 可以递推的求得后向概率βt(i)及观测序列概 率P(O|λ)
直接计算法
对于最终式
P O P O, I P O I , P I
i1 ,i2 ,iT
I
I
i bi o ai i bi o ai
1 1 1 12 2 2
T 1iT
biT oT
分析：加和符号中有2T个因子，I的遍历个 数为NT，因此，时间复杂度为O(T NT)，过 高。
t
t
i
37/66
单个状态的概率
根据前向后向概率的定义，
Pit qi , O t i t i
Pit qi , O PO
t i Pit qi O,
t i t i t i t i t i N PO t i t i
i 1
38/66
γ的意义
在每个时刻t选择在该时刻最有可能出现的状 态it*，从而得到一个状态序列I*={i1*, i2*… iT*}， 将它作为预测的结果。 给定模型和观测序列，时刻t处于状态qi的概 率为： i i i i
P(a,b, c) = P(a)* P(b)* P(c| a, b)
c c
P(a, b) P(a)* P(b)
在c未知的条件下，a，b被阻断(blocked)，是 独立的： head-to-head
7/66
隐马尔科夫模型的定义
隐马尔科夫模型(HMM, Hidden Markov Model)是关于时序的概率模型，描述由一个 隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态 随机序列，再由各个状态生成一个观测而产 生观测随机序列的过程。 隐马尔科夫模型随机生成的状态的序列，称 为状态序列；每个状态生成一个观测，由此 产生的观测随机序列，称为观测序列。
18/66
HMM的3个基本问题
概率计算问题
给定模型 A, B, 和观测序列O o1 , o2 ,oT ，计算 模型λ下观测序列O出现的概率P(O| λ)
学习问题
已知观测序列O o1 , o2 ,oT ，估计模型 A, B, 的参 数，使得在该模型下观测序列P(O| λ)最大
预测问题
即解码问题：已知模型 A, B, 和观测序列 O o1 , o2 ,oT ，求对给定观测序列条件概率P(I|O)最大的 状态序列I
19/66
概率计算问题
直接算法
暴力算法
前向算法 后向算法
这二者是理解HMM的重点
20/66
直接计算法
i
πi是时刻t=1处于状态qi的概率。
13/66
HMM的参数总结
HMM由初始概率分布π、状态转移概率分布 A以及观测概率分布B确定。π和A决定状态 序列，B决定观测序列。因此，HMM可以用 三元符号表示，称为HMM的三要素：
A, B,
14/66
HMM的两个基本性质
28/66
例
考察盒子球模型，计算观测向量O=“红白红” 的出现概率。
0.2 0.4 0.4
0 . 5 0 . 2 0 . 3 A 0 . 3 0 . 5 0 . 2 0. 2 0. 3 0 . 5
0. 5 0 . 5 B 0.4 0.6 0.7 0.3
5/66
复习：通过贝叶斯网络判定条件独立—2
P(a,b,c)=P(a)*P(c|a)*P(b|c)
即：在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)，是独 立的。
条件独立：head-to-tail
6/66
复习：通过贝叶斯网络判定条件独立—3
P(a,b,c) = P(a)*P(b)*P(c|a,b)
26/66
前向算法
初值： 1 i ibio 1
递推：对于t=1,2…T-1
N t 1 i t j a ji biot1 j 1
最终： PO i T
N i 1
27/66
前向算法
思考：前向概率算法的时间复杂度是O(TN2)
12/66
A aij
N N
HMM的参数
B是观测概率矩阵 B bik N M 其中，bik Pot vk it qi
bik是在时刻t处于状态qi的条件下生成观测vk的 概率。
π是初始状态概率向量： 其中， i Pi1 qi
PI i1 ai1i2 ai2i3 aiT 1iT
对固定的状态序列I，观测序列O的概率是：
PO I , bi1o1 bi2o2 biT oT
22/66
直接计算法
O和I同时出现的联合概率是：
P O, I P O I , P I i1 bi1o1 ai1i2 bi2o2 aiT 1iT biT oT
8/66
隐马尔科夫模型的贝叶斯网络
请思考：
在z1未给定的前提下，x1和z2独立吗？x1和x2独 立吗？
9/66
HMM的确定
HMM由初始概率分布π、状态转移概率分布 A以及观测概率分布B确定。
A, B,
10/66
HMM的参数
Q是所有可能的状态的集合
2/66
贝叶斯网络分析
1+2+2+4+4=13 vs 2^5
3/66
复习：特殊的Байду номын сангаас叶斯网络
M个离散结点形成一条链，每一个结点有K 个状态，则需要K-1+(M-1)K(K-1)个参数。 这是关于长度M的线性函数。
别忘了，如果是全连接，需要KM-1个参数，是 关于M的指数函数。
这个网络被称作马尔科夫模型。
对所有可能的状态序列I求和，得到观测序 列O的概率P(O|λ)
P O P O, I P O I , P I
i1 ,i2 ,iT
I
I
i bi o ai i bi o ai
1 1 1 12 2 2
T 1iT
biT oT
23/66
按照下面的方法抽取小球，得到球颜色的观测序列： 按照(0.2,0.4,0.4)的概率选择1个盒子，从盒子随机 抽出1个球，记录颜色后放回盒子；按照A给定的概 率选择新的盒子，重复上述过程；最终得到观测序 列：“红红白白红”。
16/66
该示例的各个参数
状态集合：Q={盒子1，盒子2，盒子3} 观测集合：V={红，白} 状态序列和观测序列的长度T=5 0.2 初始概率分布π： 状态转移概率分布A： 0.4 0.4 观测概率分布B：
隐马尔科夫模型HMM
北京10月机器学习班 邹博 2014年12月7日
复习：贝叶斯网络
x1和x2独立 x6和x7在x4给定的条件下独立 x1,x2,…x7的联合分布：
July注解：贝叶斯网络详细复习参见下述链接
/v_july_v/article/details/40984699
齐次假设： Pit it 1, ot 1, it 2 , ot 2 i1, o1 Pit it 1
观测独立性假设：
Pot iT , oT , iT 1, oT 1 i1, o1 Pot it
15/66
HMM举例
假设有3个盒子，编号为1、2、3，每个盒子都装有 红白两种颜色的小球，数目如下：
按照概率公式，列举所有可能的长度为T的 状态序列 I i1, i2 ,iT ，求各个状态序列I 与观测序列 O o1 , o2 ,oT 的联合概率 P(O,I|λ)，然后对所有可能的状态序列求和， 从而得到P(O|λ)
21/66
直接计算法
状态序列 I i1, i2 ,iT 的概率是：
35/66
前向后向概率的关系
根据定义，证明下列等式
Pit qi , O t i t i
PO t i t i
N i 1
36/66
单个状态的概率
求给定模型λ和观测O，在时刻t处于状态qi的 概率。 记： i P i q O,
4/66
复习：通过贝叶斯网络判定条件独立—1
P(a,b,c)=P(c)*P(a|c)*P(b|c) 则：P(a,b|c)=P(a,b,c)/P(c) 带入，得到： P(a,b|c)=P(a|c)*P(b|c) 即：在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)， 是独立的。
条件独立：tail-to-tail
33/66
后向算法
初值： T i 1
递推：对于t=T-1,T-2…,1
N t i aijb jot1 t 1 j j 1
最终： PO b i i io1 1
N i 1
34/66
24/66
借鉴算法的优化思想
最长递增子序列 KMP中next数组的计算
25/66
前向算法
定义：给定λ，定义到时刻t部分观测序列为 o1,o2…ot且状态为qi的概率为前向概率，记 做：
t i Po1, o2 ,ot , it qi
可以递推的求得前向概率αt(i)及观测序列概 率P(O|λ)
32/66
后向算法
定义：给定λ，定义到时刻t状态为qi的前提 下，从t+1到T的部分观测序列为ot+1,ot+2…oT 的概率为后向概率，记做： t i Pot 1, ot 2 ,oT it qi , 可以递推的求得后向概率βt(i)及观测序列概 率P(O|λ)
直接计算法
对于最终式
P O P O, I P O I , P I
i1 ,i2 ,iT
I
I
i bi o ai i bi o ai
1 1 1 12 2 2
T 1iT
biT oT
分析：加和符号中有2T个因子，I的遍历个 数为NT，因此，时间复杂度为O(T NT)，过 高。
t
t
i
37/66
单个状态的概率
根据前向后向概率的定义，
Pit qi , O t i t i
Pit qi , O PO
t i Pit qi O,
t i t i t i t i t i N PO t i t i
i 1
38/66
γ的意义
在每个时刻t选择在该时刻最有可能出现的状 态it*，从而得到一个状态序列I*={i1*, i2*… iT*}， 将它作为预测的结果。 给定模型和观测序列，时刻t处于状态qi的概 率为： i i i i
P(a,b, c) = P(a)* P(b)* P(c| a, b)
c c
P(a, b) P(a)* P(b)
在c未知的条件下，a，b被阻断(blocked)，是 独立的： head-to-head
7/66
隐马尔科夫模型的定义
隐马尔科夫模型(HMM, Hidden Markov Model)是关于时序的概率模型，描述由一个 隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态 随机序列，再由各个状态生成一个观测而产 生观测随机序列的过程。 隐马尔科夫模型随机生成的状态的序列，称 为状态序列；每个状态生成一个观测，由此 产生的观测随机序列，称为观测序列。
18/66
HMM的3个基本问题
概率计算问题
给定模型 A, B, 和观测序列O o1 , o2 ,oT ，计算 模型λ下观测序列O出现的概率P(O| λ)
学习问题
已知观测序列O o1 , o2 ,oT ，估计模型 A, B, 的参 数，使得在该模型下观测序列P(O| λ)最大
预测问题
即解码问题：已知模型 A, B, 和观测序列 O o1 , o2 ,oT ，求对给定观测序列条件概率P(I|O)最大的 状态序列I
19/66
概率计算问题
直接算法
暴力算法
前向算法 后向算法
这二者是理解HMM的重点
20/66
直接计算法
i
πi是时刻t=1处于状态qi的概率。
13/66
HMM的参数总结
HMM由初始概率分布π、状态转移概率分布 A以及观测概率分布B确定。π和A决定状态 序列，B决定观测序列。因此，HMM可以用 三元符号表示，称为HMM的三要素：
A, B,
14/66
HMM的两个基本性质
28/66
例
考察盒子球模型，计算观测向量O=“红白红” 的出现概率。
0.2 0.4 0.4
0 . 5 0 . 2 0 . 3 A 0 . 3 0 . 5 0 . 2 0. 2 0. 3 0 . 5
0. 5 0 . 5 B 0.4 0.6 0.7 0.3
5/66
复习：通过贝叶斯网络判定条件独立—2
P(a,b,c)=P(a)*P(c|a)*P(b|c)
即：在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)，是独 立的。
条件独立：head-to-tail
6/66
复习：通过贝叶斯网络判定条件独立—3
P(a,b,c) = P(a)*P(b)*P(c|a,b)
26/66
前向算法
初值： 1 i ibio 1
递推：对于t=1,2…T-1
N t 1 i t j a ji biot1 j 1
最终： PO i T
N i 1
27/66
前向算法
思考：前向概率算法的时间复杂度是O(TN2)
12/66
A aij
N N
HMM的参数
B是观测概率矩阵 B bik N M 其中，bik Pot vk it qi
bik是在时刻t处于状态qi的条件下生成观测vk的 概率。
π是初始状态概率向量： 其中， i Pi1 qi
PI i1 ai1i2 ai2i3 aiT 1iT
对固定的状态序列I，观测序列O的概率是：
PO I , bi1o1 bi2o2 biT oT
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直接计算法
O和I同时出现的联合概率是：
P O, I P O I , P I i1 bi1o1 ai1i2 bi2o2 aiT 1iT biT oT