第三章 弹塑性本构关系
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塑性力学第三章 塑性本构关系
34
1 s s 1 1 2 s 1 2 s 2 s 2 s
‘ ’ ‘ ’
（3—24）
σ3 = 0 的平面（σ1，σ2 坐标面）与正六角柱屈
服曲面的交线为斜六边形 A B C D E F 。 方程组 （3 ‘ ’ ’ ‘ ’ ‘ ‘ ’ —24）中各式分别代表 A B 、D E 、F A 、C D 、 ’ ‘ ‘ ’ B C 、E F 各边。
3
与（3—18）式相比可知，Tresca 屈服条件和 Mises 屈 服条件在τs 和σs 的关系上有约 15％的差异。 因此，Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在单向
37
拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二者差异最 大，约为 15％。 （4）对于平面应力状态，σ3 = 0， （3—27）式化 为： 2 2 （3—29） 12 1 2 2 s 在应力空间中， σ3=0 平面 （ σ 1， σ2 坐标面） 与 Mises 屈服曲面的交线为一斜椭圆，它外接于 Tresca 屈服轨 迹的斜六边形。 §3.6 加载曲面和加载准则 （一）加载曲面（后继屈服面） 由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈 服以后，其应力保持常值。卸载后再重新加载时其屈 服应力的大小也不改变 （没有强化现象） 。 对于强化材 料，在开始屈服之后，随着塑性变形的发展其应力值 继续增加。卸载后再重新加载至原来开始屈服的应力 时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的应力，材 料才再次屈服。因此对于强化材料，重新加载时的屈 服应力要高于原始加载时的屈服应力，这就是强化现 象。而复杂应力状态与单向拉伸状态是类似的，即： 复杂应力状态下，理想塑性材料在应力空间中的 屈服曲面具有固定的大小和形状，屈服以后经过卸载 并重新加载，仍然保持原来的屈服曲面。 对于强化材料，我们把在应力空间中由屈服条件 规定的曲面叫做初始屈服曲面，记做Σ，若加载至超
2012.04 第3章 弹塑性力学 本构理论
（6）
将
代入，消去公因子 ( s ) ，得: s E s
即:
H E E H E EE H E E
E E E 1 E
（7）
证毕。显然当E→∞，由上述结论可知
EE lim H lim lim E E E E E
◆
固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 客观特性。
1、弹性变形特点
① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；
② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；
U 0 ( ij ) ij
ij
（3—17）
3、弹性常数间的关系
⑴、极端各向异性体
c mn c nm ; (m, n 1, 2 6)
对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。
变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：
{σ}=[D]{ε}
{σ}称为应力列阵；{ε}称为应变列阵；[D]称为弹 性矩阵。
2、弹性应变能函数
⑴ 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形
过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在 加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内， 此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性 应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能 原理。若弹性应变能用U 表示，外力功用 We 表示，则有：
则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 程中，弹性体整个体积的内力功为：
（3—12）
弹塑性力学讲义—本构关系
例2-1 对Mises屈服条件，证明
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0
弹塑性力学课件第三章
zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
2021/1/10
4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
2021/1/10
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第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
2021/1/10
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第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
2021/1/10
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第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念
非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
弹塑性力学本构关系
U 0 ij ij
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x c31 c14 c41
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
c12 c21 c15 c51
c56 c65
即
cmn cnm
x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x c31 c14 c41
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
c12 c21 c15 c51
c56 c65
即
cmn cnm
x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
塑性力学-塑性本构关系
第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。
Il’yushin(伊柳辛)理论。
•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。
Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。
3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。
第3章弹性与塑性应力应变关系修改
此式可用下式表示：
（3－7）（书：3－17）
（3－7）式说明：在弹性变形阶段，应力莫尔圆与应变莫尔圆是成比例的。
根据代数运算规则
由（3－7）式可得出：
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即本构方程。也就是反映可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。 下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。
当 时，为理想刚塑性模型(图c)；
当 时，没有线弹性阶段。
（c）理想刚塑性模型
卸载线
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*
在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小的多，因而可以忽略弹性应变，这时采用幂强化模型较合适。 对于“刚塑性力学模型” ，其假设为：在应力达到屈服极限之前应变为零。
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*
如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载，则卸载线为图3-1中的 ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变关系将沿着与OB平行的斜线 和 回到 点和 点。
如果由点 开始再加载，则加载过程仍沿 线进行，直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提高。
材料，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限用 表示。
（3－7）（书：3－17）
（3－7）式说明：在弹性变形阶段，应力莫尔圆与应变莫尔圆是成比例的。
根据代数运算规则
由（3－7）式可得出：
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即本构方程。也就是反映可变形固体材料应力和应变之间关系的方程。 下面我们仅以简单拉压为例来介绍一下本构方程。
当 时，为理想刚塑性模型(图c)；
当 时，没有线弹性阶段。
（c）理想刚塑性模型
卸载线
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*
在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小的多，因而可以忽略弹性应变，这时采用幂强化模型较合适。 对于“刚塑性力学模型” ，其假设为：在应力达到屈服极限之前应变为零。
*周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
*
如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载，则卸载线为图3-1中的 ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变关系将沿着与OB平行的斜线 和 回到 点和 点。
如果由点 开始再加载，则加载过程仍沿 线进行，直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提高。
材料，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限用 表示。
第三章 塑性状态下的本构关系
(a)复杂应力状态 图 3.7
(b) 单向拉伸应力状态
（2）等向硬化模型： 材料在一个方向上得到硬化，则在所有方向上（关于 o 点对称）都有同等硬化。 不考虑 Bauschinger 效应
同济大学水利工程系
李遇春编
初始屈服条件： 后继屈服条件：
f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = 0
f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) − k ( h) = 0
弹性状态：
（3.5）
f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) < 0
（2）硬化材料 见图 3.5，屈服面上（或加载函数） ：
（3.6）
f (σ 1 , σ 2 , σ 3 , k ) = 0
加载（向另一个屈服面过渡） ：
⎧ f (σ 1 , σ 2 , σ 3 , k ) = 0 ⎪ JK K ⎨d σ ⋅ n > 0 ⇒ ∂f dσ > 0 ⇒ ∂f dσ + ∂f dσ + ∂f dσ > 0 1 2 3 ij ⎪ ∂σ ij ∂σ 1 ∂σ 2 ∂σ 3 ⎩
同济大学水利工程系
李遇春编
(a) 图 3.3 硬化材料：因为材料硬化，后继屈服面变化≠初速屈服面。
(b)
⇓
硬化面（加载面） 后继屈服面：用来确定（某一点）材料的是处于弹性（处于面内） ，还是塑性（处于面内） 。 后继屈服函数（硬化函数，或加载函数）可以写为：
f (σ ij , k ) = 0
（3.1）
f (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = 0
⇓
（k=0,无硬化，加载函数=屈服函数）
初始屈服面 加载：由于应力增不上去（从单向应力可以直观看出） ，只能保持在屈服面上流动
清华大学研究生弹塑性力学讲义 4弹塑性_弹性材料的广义胡克定律
具有单值关系的弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有单值关系，而且当σ ∼ ε 具有线性关系
的线弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有线性关系。也就是说，上述比例极限、弹性极限都
是针对整个均匀变形状态的，而不是针对变形状态的某个应力、应变分量的。试验还
表明，在线弹性范围内横向收缩应变与轴向伸长应变之比是一个常数，即
3. 由于线弹性材料的应力张量与应变张量之间满足线性关系，因此应变能密度函数不 仅可以用应变分量来表示，还可以用应力分量来表示，试导出各向同性弹性材料用 应力分量表示应变能密度函数的公式。
4. 对于线弹性材料，试证明如下卡氏公式：
∂W ∂σ ij
= εij
5. 将应力张量和应变张量分别分解为球形张量和偏斜张量之和，即
⎪⎪σ
22
⎪ ⎪
⎢ ⎢
E E 2222
2233
0
0
0
⎥⎪ ⎥⎪
ε 22
⎪ ⎪
⎪⎪σ ⎨⎪σ
33 23
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢ ⎢
E3333
0
0
E2323
0
0 0
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎨⎪2εε3233
⎪⎪ ⎬ ⎪
(14)
⎪σ ⎪⎪⎩σ
31 12
⎪ ⎪ ⎪⎭
⎢ ⎢ ⎣⎢
sym.
E3131
0 E1212
⎥ ⎥ ⎦⎥
E
2(1 +ν
)
⎛ν ⎜⎝ 1 − 2ν
ε iiε
jj
+
ε ijε ij
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
(18)
独立常数
E= ν= λ= μ =G = K=
表 1 各向同性弹性体弹性常数间的关系
第三章弹塑性本构关系
O
张量（应力偏张量）的主方向保持不变，
这种加载方式称为简单加载或比例加载。 后继屈服曲面
在简单加载过程中，一点的应力状态在
(加载曲面)
应力空间中将沿矢径 移动，如图所示。
在复杂加载时，一点的应力张量各
分量不按比例增加， 在改变，应力张量
和应力偏张量的主方向也随之改变。一
点应力状态在应力空间中的运动轨迹就
第三章 弹塑性本构关系
3.1塑性位势理论 3.2硬化规律 3.3 弹塑性本构关系
3.1 塑性位势理论流动法则
模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
本节内容
3.1.1 加载与卸载准则
1 加载曲面(后继屈服面)
0 ij
)d
e
ij
0
0 ij
于是有：
WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
化时，称之为卸载过程，如果用φ (σij,Hα)=0表示后继屈服
条件，则：
卸载：ddH
0 0
ij
d ij
0
d
n
0
中性变载：ddH0 0 ijd ij
0
d
n
弹塑性力学-本构关系
xx C11 xx C12 yy C13 zz C16 xy C C C C 21 xx 22 yy 23 zz 26 xy yy zz C31 xx C32 yy C33 zz C36 xy yz C44 yz C45 zx zx C54 yz C55 zx xy C61 xx C62 yy C63 zz C66 xy
设弹性体内的位移矢量为：
线弹性本构关系
dA dt
u ui ei 体积力矢量为： f f i ei 面积力矢量为： F X i ei
考察微单元体上的体积力和面积力在单位时间内所 做的功为：
V
dV f u
dS F u
C16 C26 C36 C45 0
xx C11 xx C12 yy C13 zz C C C 21 xx 22 yy 23 zz yy C C C zz 31 xx 32 yy 33 zz yz C44 yz zx C55 zx 这种材料称为正交各向异性 材料，有9个独立的材料常数。 C xy 66 xy
S i i S ij j i V ij i , j
w ij dV dV ij 又： U wdV V t V V w w ij dw ij d ij ij ij t ij
dU dA dt dt
(
V
ij , j
i dV f i )u
xy xx , zz , zx , xy xx yy yy , zz yz yz , zx
第三章 塑性本构关系(续新(给学生)
第三章 塑性本构关系§3.1 概述一、单向拉伸条件下的塑性本构关系图3.1从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可发现如下现象：（1）σ＜σs 时，处于弹性阶段，无论加载还是卸载，都服从虎克定律σ=Eε。
（2）σ＞σs 时，进入塑性阶段。
在任何时刻加载与卸载都服从不同的规律。
继续加载：产生新的不可恢复的塑性变形，服从塑性变形规律（曲线SABF ），卸载：应力的减少量σ'与应变的减少量ε'之间服从弹性变形规律（虎克定律εσ'='E ）。
（3）进入塑性阶段后，设从某一点（例如图中的B 点）开始卸载，然后再重新加载。
开始阶段：Δσ=E Δε，即应力的增加量与应变的增加量之间仍符合弹性关系（虎克定律）直至卸载开始点（B 点）为止。
继续加载：重新进入塑性阶段，卸载开始点（B 点）的应力值相当于卸载后重新加载时的屈服应力，称为“后继屈服应力”，记做σh 。
理想塑性材料：σh =σs （原始屈服应力） 强化材料：σh ＞σs ，这就是强化现象。
由此可以看出，即使对单向拉伸这样比较简单的应力状态，其塑性应力应变关系也要比弹性复杂得多。
二、塑性本构关系的主要内容：研究一般的塑性力学问题必须注意把握以下几点：（1）必须首先判断材料是在弹性阶段还是在塑性阶段。
如为前者，直接应用虎克定律即可，如为后者，则需根据材料的塑性性质作进一步的考虑。
判断材料是否进入塑性阶段的条件称为屈服条件或屈服准则。
（2）如判断出材料已进入塑性阶段，则还应进一步判断是处于加载状态还是处于卸载状态。
如是前者，则必须应用塑性应力应变关系，如是后者，则其应力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（虎克定律）。
判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。
（3）如材料是处于塑性阶段的加载状态；则应根据材料是理想塑性材料还是强化材料建立相应的塑性应力应变关系。
（4）如材料是强化材料，还要弄清σh 与σs 以及其他因素的关系，即强化条件。
第三章 岩石的弹塑性本构关系
Es • 由 Ks 3(1 2vs )
• 得：
Es Gs 2(1 s )
vs 1 1 Es 6Gs 9K s
Es 2Gs (1 s )
• （2-1）式可以写成
1 1 1 ij ij ij kk 2Gs 6Gs 9 K s
i 1, j 1,2,3 i 2, j 1,2,3 i 3, j 1,2,3
3. 克罗尼克尔符号 ij
• 定义：
0 ij 1
• 故有：
i j i j
ij ji
• 例1：在笛卡尔直角坐标系中：
i i i j ij
• 例2：单位矩阵可表示为
q 1 3
1 p ( 1 2 3 ) 3
用剪应力和平均应力来表示
• 有限元计算中常用的应力空间有：
J 2 ~ I1 空间，
I1 1 2 3
2．应力路径（stress route） 1）定义：应力空间中用来表示应力状态变 化历史的一条曲线。 2）举例： ① 不同应力空间中常规三轴加载条件下的
• i) 用三个主应力来表示：
• ii) 用二个主应力来表示：
• iii) 用剪应力和平均应力来表示
用剪应力和平均应力来表示 • 应力分解：
0 1 m 0 0 1 0 0 m 0 2 m 0 0 2 0 0 m 0 0 0 0 0 0 m 0 0 3 m 3
i 1,2,3 j 1,2,3
• 例6：
im mj ij
4. 置换符号 • 1）定义：
ijk
0 ijk 1 1
• 得：
Es Gs 2(1 s )
vs 1 1 Es 6Gs 9K s
Es 2Gs (1 s )
• （2-1）式可以写成
1 1 1 ij ij ij kk 2Gs 6Gs 9 K s
i 1, j 1,2,3 i 2, j 1,2,3 i 3, j 1,2,3
3. 克罗尼克尔符号 ij
• 定义：
0 ij 1
• 故有：
i j i j
ij ji
• 例1：在笛卡尔直角坐标系中：
i i i j ij
• 例2：单位矩阵可表示为
q 1 3
1 p ( 1 2 3 ) 3
用剪应力和平均应力来表示
• 有限元计算中常用的应力空间有：
J 2 ~ I1 空间，
I1 1 2 3
2．应力路径（stress route） 1）定义：应力空间中用来表示应力状态变 化历史的一条曲线。 2）举例： ① 不同应力空间中常规三轴加载条件下的
• i) 用三个主应力来表示：
• ii) 用二个主应力来表示：
• iii) 用剪应力和平均应力来表示
用剪应力和平均应力来表示 • 应力分解：
0 1 m 0 0 1 0 0 m 0 2 m 0 0 2 0 0 m 0 0 0 0 0 0 m 0 0 3 m 3
i 1,2,3 j 1,2,3
• 例6：
im mj ij
4. 置换符号 • 1）定义：
ijk
0 ijk 1 1
第三章 弹塑性本构关系
d d p 0 d d p 0
d 0
C
D
d 0 B A
d 0
0 WI ( ij ij d ij )d ijp
1
2
WD d ij d ijp WD 0
2
1
① ②
0 ij ij 0时， 0 ( ij ij )d ijp 0
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
p p d ij D d ij
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
WI ij d ij 0
0 ij
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
可将Druker塑性公设改写成：
d
应变空间
3.1.2 德鲁克塑性公设
• 稳定材料与非稳定材料
• 德鲁克塑性公设的表述
• 德鲁克公设的重要推论
• 德鲁克塑性公设的评述
• 依留申塑性公设的表述
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
d 0
C
D
d 0 B A
d 0
0 WI ( ij ij d ij )d ijp
1
2
WD d ij d ijp WD 0
2
1
① ②
0 ij ij 0时， 0 ( ij ij )d ijp 0
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
p p d ij D d ij
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
WI ij d ij 0
0 ij
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
可将Druker塑性公设改写成：
d
应变空间
3.1.2 德鲁克塑性公设
• 稳定材料与非稳定材料
• 德鲁克塑性公设的表述
• 德鲁克公设的重要推论
• 德鲁克塑性公设的评述
• 依留申塑性公设的表述
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
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F 卸载：F ( ij ) 0, dF d ij 0 d n 0 ij 加载：F ( ij ) 0, dF 弹性状态：F ( ij 0 F d ij =0 d n 0 ij
(2) 加工硬化材料的加载和卸载准则
在应力循环中，外载所作的 功为：
W 0 ij d ij 0
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
0 W d ij 0 ij ij 0
d
应变空间
3.1.2 德鲁克塑性公设
• 稳定材料与非稳定材料
• 德鲁克塑性公设的表述
• 德鲁克公设的重要推论
• 德鲁克塑性公设的评述
• 依留申塑性公设的表述
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
加工硬化材料的屈服面随着塑性变形的发展而不断地变 化，加工硬化材料的加载和卸载准则与理想弹塑性材料不同， 对加工硬化材料，当dσ指向屈服面之外时才算加载，而当dσ 正好沿着屈服面变化时，屈服面不会发生变化，这种变化过 程叫做中性变载。它对应于应力状态从一个塑性状态过渡到 另一个塑性状态，但不会引起新的塑性变形。对单向应力状 态或理想弹塑性材料没有这个过程，当dσ向着屈服面内部变 化时，称之为卸载过程，如果用φ (σij,Hα)=0表示后继屈服 条件，则：
d 0 卸载： d ij 0 d n 0 dH 0 ij d 0 中性变载： d 0 d n 0 ij dH 0 ij 加载：其余情况 d ij 0 d n 0 ij
应力空间
(3) 加工软化材料的加载和卸载准则
软化材料，应力变化矢量指向屈服面内部，须在应变空 间中判断加卸载
d ij 0 ij
d
d
卸载：
加载条件 ( ij , H ) 0
中性变载： d ij＝0 ij 加载： d ij 0 ij
2 简单加载和复杂加载
x t , y t , z t , xy t , yz t , zx t
0 x 0 y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx
初始屈服曲面 dσij
0 0 0 0 0 σij0 其中 xo , y 分别为某一定 , z , xy , yz , zx 值，t为由零开始的单调增函数。此时显 Σ' Σ O 然Lode应力参数 保持不变，从而使应力 张量（应力偏张量）的主方向保持不变， 这种加载方式称为简单加载或比例加载。 后继屈服曲面 在简单加载过程中，一点的应力状态在 (加载曲面) 应力空间中将沿矢径 移动，如图所示。 在复杂加载时，一点的应力张量各 分量不按比例增加， 在改变，应力张量 和应力偏张量的主方向也随之改变。一 点应力状态在应力空间中的运动轨迹就 不再是从原点开始的射线，如图所示。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则
理想弹塑性材料在应力空间中的屈服面位臵和形状是不 变的，当应力点保持在屈服面上时称之为加载，这时塑性变 形可任意增长(后面将证明，各塑性应变分量之间的比例不 是任意的，需要满足一定的关系)；当应力点从屈服面上改 变屈服面之内时称之为卸载。如果以F(σij)=0表示屈服面， 则可以把上述加载和卸载准则用数学形式表示如下：
3.1 塑性位势理论流动法则
模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值 本节内容
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
3.1.1 加载与卸载准则
1 加载曲面(后继屈服面) 由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈服以后，其 应力保持常值(屈服应力)，卸载后再重新加载时其屈服应力的大 小也不改变(没有强化现象)。对于强化材料则不同，在开始屈服 之后，随着塑性变形的发展其应力值继续增加。卸载后再重新加 载至开始屈服的应力时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的 应力，材料才再次屈服，因此重新加载时的屈服应力要高于原始 加载时的屈服应力，这就是强化现象。 与简单应力状态相同，当材料在复杂应力状态下进入塑性后 卸载，然后再次加载时，屈服函数也会随着发生过的塑性变形历 史而有所改变。当应力分量满足某种关系时，材料将重新进入塑 性状态而产生新的塑性变形。这种现象称为强化。材料在初始屈 服后再次进入塑性状态时，应力分量间所必须满足的函数关系称 为后继屈服条件或加载条件。该条件在应力空间中的图形称为后 继屈服曲面或加载曲面。
(2) 加工硬化材料的加载和卸载准则
在应力循环中，外载所作的 功为：
W 0 ij d ij 0
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
0 W d ij 0 ij ij 0
d
应变空间
3.1.2 德鲁克塑性公设
• 稳定材料与非稳定材料
• 德鲁克塑性公设的表述
• 德鲁克公设的重要推论
• 德鲁克塑性公设的评述
• 依留申塑性公设的表述
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
加工硬化材料的屈服面随着塑性变形的发展而不断地变 化，加工硬化材料的加载和卸载准则与理想弹塑性材料不同， 对加工硬化材料，当dσ指向屈服面之外时才算加载，而当dσ 正好沿着屈服面变化时，屈服面不会发生变化，这种变化过 程叫做中性变载。它对应于应力状态从一个塑性状态过渡到 另一个塑性状态，但不会引起新的塑性变形。对单向应力状 态或理想弹塑性材料没有这个过程，当dσ向着屈服面内部变 化时，称之为卸载过程，如果用φ (σij,Hα)=0表示后继屈服 条件，则：
d 0 卸载： d ij 0 d n 0 dH 0 ij d 0 中性变载： d 0 d n 0 ij dH 0 ij 加载：其余情况 d ij 0 d n 0 ij
应力空间
(3) 加工软化材料的加载和卸载准则
软化材料，应力变化矢量指向屈服面内部，须在应变空 间中判断加卸载
d ij 0 ij
d
d
卸载：
加载条件 ( ij , H ) 0
中性变载： d ij＝0 ij 加载： d ij 0 ij
2 简单加载和复杂加载
x t , y t , z t , xy t , yz t , zx t
0 x 0 y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx
初始屈服曲面 dσij
0 0 0 0 0 σij0 其中 xo , y 分别为某一定 , z , xy , yz , zx 值，t为由零开始的单调增函数。此时显 Σ' Σ O 然Lode应力参数 保持不变，从而使应力 张量（应力偏张量）的主方向保持不变， 这种加载方式称为简单加载或比例加载。 后继屈服曲面 在简单加载过程中，一点的应力状态在 (加载曲面) 应力空间中将沿矢径 移动，如图所示。 在复杂加载时，一点的应力张量各 分量不按比例增加， 在改变，应力张量 和应力偏张量的主方向也随之改变。一 点应力状态在应力空间中的运动轨迹就 不再是从原点开始的射线，如图所示。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则
理想弹塑性材料在应力空间中的屈服面位臵和形状是不 变的，当应力点保持在屈服面上时称之为加载，这时塑性变 形可任意增长(后面将证明，各塑性应变分量之间的比例不 是任意的，需要满足一定的关系)；当应力点从屈服面上改 变屈服面之内时称之为卸载。如果以F(σij)=0表示屈服面， 则可以把上述加载和卸载准则用数学形式表示如下：
3.1 塑性位势理论流动法则
模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值 本节内容
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
3.1.1 加载与卸载准则
1 加载曲面(后继屈服面) 由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈服以后，其 应力保持常值(屈服应力)，卸载后再重新加载时其屈服应力的大 小也不改变(没有强化现象)。对于强化材料则不同，在开始屈服 之后，随着塑性变形的发展其应力值继续增加。卸载后再重新加 载至开始屈服的应力时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的 应力，材料才再次屈服，因此重新加载时的屈服应力要高于原始 加载时的屈服应力，这就是强化现象。 与简单应力状态相同，当材料在复杂应力状态下进入塑性后 卸载，然后再次加载时，屈服函数也会随着发生过的塑性变形历 史而有所改变。当应力分量满足某种关系时，材料将重新进入塑 性状态而产生新的塑性变形。这种现象称为强化。材料在初始屈 服后再次进入塑性状态时，应力分量间所必须满足的函数关系称 为后继屈服条件或加载条件。该条件在应力空间中的图形称为后 继屈服曲面或加载曲面。