第三章 弹塑性本构关系

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应变空间
3.1.2 德鲁克塑性公设
• 稳定材料与非稳定材料
• 德鲁克塑性公设的表述
• 德鲁克公设的重要推论
• 德鲁克塑性公设的评述
• 依留申塑性公设的表述
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
F 卸载：F ( ij ) 0, dF d ij 0 d n 0 ij 加载：F ( ij ) 0, dF 弹性状态：F ( ij ) 0 F d ij =0 d n 0 ij
(2) 加工硬化材料的加载和卸载准则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则
理想弹塑性材料在应力空间中的屈服面位臵和形状是不 变的，当应力点保持在屈服面上时称之为加载，这时塑性变 形可任意增长(后面将证明，各塑性应变分量之间的比例不 是任意的，需要满足一定的关系)；当应力点从屈服面上改 变屈服面之内时称之为卸载。如果以F(σij)=0表示屈服面， 则可以把上述加载和卸载准则用数学形式表示如下：
3.1 塑性位势理论流动法则
模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值 本节内容
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
3.1.1 加载与卸载准则
1 加载曲面(后继屈服面) 由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈服以后，其 应力保持常值(屈服应力)，卸载后再重新加载时其屈服应力的大 小也不改变(没有强化现象)。对于强化材料则不同，在开始屈服 之后，随着塑性变形的发展其应力值继续增加。卸载后再重新加 载至开始屈服的应力时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的 应力，材料才再次屈服，因此重新加载时的屈服应力要高于原始 加载时的屈服应力，这就是强化现象。 与简单应力状态相同，当材料在复杂应力状态下进入塑性后 卸载，然后再次加载时，屈服函数也会随着发生过的塑性变形历 史而有所改变。当应力分量满足某种关系时，材料将重新进入塑 性状态而产生新的塑性变形。这种现象称为强化。材料在初始屈 服后再次进入塑性状态时，应力分量间所必须满足的函数关系称 为后继屈服条件或加载条件。该条件在应力空间中的图形称为后 继屈服曲面或加载曲面。
在应力循环中，外载所作的 功为：
W 0 ij d ij 0
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
0 W d ij 0 ij ij 0
应力空间
(3) 加工软化材料的加载和卸载准则
软化材料，应力变化矢量指向屈服面内部，须在应变空 间中判断加卸载
d ij 0 ij
d
d
卸载：
加载条件 ( ij , H ) 0
中性变载： d ij＝0 ij 加载： d ij 0 ij
d 0 卸载： d ij 0 d n 0 dH 0 ij d 0 中性变载： d 0 d n 0 ij dH 0 ij 加载：其余情况 d ij 0 d n 0 ij
加工硬化材料的屈服面随着塑性变形的发展而不断地变 化，加工硬化材料的加载和卸载准则与理想弹塑性材料不同， 对加工硬化材料，当dσ指向屈服面之外时才算加载，而当dσ 正好沿着屈服面变化时，屈服面不会发生变化，这种变化过 程叫做中性变载。它对应于应力状态从一个塑性状态过渡到 另一个塑性状态，但不会引起新的塑性变形。对单向应力状 态或理想弹塑性材料没有这个过程，当dσ向着屈服面内部变 化时，称之为卸载过程，如果用φ (σij,Hα)=0表示后继屈服 条件，则：
2 简单加载和复杂加载
x t , y t , z t , xy t , yz t , zx t
0 x 0 y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx
初始屈服曲面 dσij
0 0 0 0 0 σij0 其中 xo , y 分别为某一定 , z , xy , yz , zx 值，t为由零开始的单调增函数。此时显 Σ' Σ O 然Lode应力参数 保持不变，从而使应力 张量（应力偏张量）的主方向保持不变， 这种加载方式称为简单加载或比例加载。 后继屈服曲面 在简单加载过程中，一点的应力状态在 (加载曲面) 应力空间中将沿矢径 移动，如图所示。 在复杂加载时，一点的应力张量各 分量不按比例增加， 在改变，应力张量 和应力偏张量的主方向也随之改变。一 点应力状态在应力空间中的运动轨迹就 不再是从原点开始的射线，如图所示。