运用函数巧解“找规律”题
高一高二高三数学必备：常见函数题型解题方法规律汇总及经典求法
⾼⼀⾼⼆⾼三数学必备：常见函数题型解题⽅法规律汇总及经典求法Hello，⼤家好，我是洪⽼师，⾼⼀很多都是刚刚学完必修⼀、必修四的内容的。
所以函数这块
的基础以及这些函数的题型的规律⽅法对⼤家来讲，是很有必要来巩固这个数学的基础的！
函数很重要，是⾼中数学的灵魂所在，很多⼤⼤⼩⼩的题型、重点难点都是必定要从这个函数
进⾏考的。
⽽其中最值和函数值域这样的题型必定要，⽽且还考得很多，有压轴难题也有这个常规的选择
题型，⾥⾯都考了这个函数。
下⾯是洪⽼师给⼤家整理⾼中数学⾼⼀⾼⼆
⾼三都应该掌握的⼀些常见函数题型解题⽅
法规律汇总及经典求法！
⽅法⼀观察法
解题模板：第⼀步观察函数中的特殊函数；
第⼆步利⽤这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
例题：
⽅法⼆分离常数法
解题模板：第⼀步观察函数类型，型如；
第⼆步对函数变形成形式；
第三步求出函数在定义域范围内的值域，进⽽求函数的值域.
例题：
⽅法三配⽅法
解题模板：第⼀步将⼆次函数配⽅成；
第⼆步根据⼆次函数的图像和性质即可求出函数的值域.
例题：
⽅法四反函数法
ˎ解题模板：第⼀步求已知函数的反函数；
第⼆步求反函数的定义域；
第三步利⽤反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域
例题：
⽅法五换元法
解题模板：第⼀步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第⼆步另新元代换整体，得⼀新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
其它⽅法还有：⽅法六判别式法、基本不等式法、单调性法、导数法！。
初一数学找规律方法
初一数学找规律方法初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,今天小编就此类题的解题方法为大家介绍。
初一数学找规律方法一、基本方法——看增幅(一)如增幅相等(此实为等差数列)：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6=6n-2(二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列).如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;2、求出第1位到第第n位的总增幅;3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：[3+(2n-1)]×(n-1)÷2=(n+1)×(n-1)=n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.(三)增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.(三)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等).此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧(一)标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是 .解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n 项是n2-1,第100项是1002-1.(二)公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,(),(),的第n为(2n-1)2 (三)看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：(n2-1)+2=n2+1(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,… ?(第一百个数)同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3).当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题.2、如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律3、如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······(1)第一组有什么规律?(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?2、观察下面两行数 2,4,8,16,32,64, (1)5,7,11,19,35,67 (2)根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.(要求写出最后的计算结果和详细解题过程.)3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差有关找规律的初中数学题1) 4,16,36,64,,144,196,… (第一百个数)2) 2,6,18,,162,486,3) 白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4) 3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式解答：1)2的平方,4的平方,6的平方,8的平方,(10的平方),12的平方,.(第一百个)(2*100)的平方=400002)2,2*3=6,2*3*3=18,(2*3*3*3=54),2*3*3*3*3=162,486,14583)18894)(N+2)^2-N^2=4N+4=888,再算出N223的平方-221的平方=888最全初中数学公式和规律最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数)根指(数)要互质，幂指比根指小一点.特殊点的坐标特征：坐标平面点(x，y)，横在前来纵在后;(+，+)，(-，+)，(-，-)和(+，-)，四个象限分前后;x轴上y为0，x为0在y轴.象限角的平分线：象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵确相反.平行某轴的直线：平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行x 轴，纵坐标相等横不同;直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧.对称点的坐标：对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，x轴对称y相反，y轴对称，x前面添负号;原点对称最好记，横纵坐标变符号.自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行.函数图象的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b，二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则可用下面的口诀“左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记，上正下负错不了”.一次函数的图象与性质的口诀：一次函数是直线，图象经过三象限;正比例函数更简单，经过原点一直线;两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y 增减;k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远.二次函数的图象与性质的口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点，它们确定图象现;开口、大小由a断，c与y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见.若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换.反比例函数的图象与性质的口诀：反比例函数有特点，双曲线相背离得远;k为正，图在一、三(象)限，k为负，图在二、四(象)限;图在一、三函数减，两个分支分别减.图在二、四正相反，两个分支分别增;线越长越近轴，永远与轴不沾边.巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用/隔开，再用下面的.一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：“正对鱼磷(余邻)直刀切.”正：正弦或正切，对：对边即正是对;余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻;切是直角边.三角函数的增减性：正增余减特殊三角函数值记忆：首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可.平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行.对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，对角相等也有用，“两组对角”才能成.梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线;平行移动一条腰，两腰同在“△”现;延长两腰交一点，“△”中有平行线;作出梯形两高线，矩形显示在眼前;已知腰上一中线，莫忘作出中位线.添加辅助线歌：辅助线，怎么添?找出规律是关键，题中若有角(平)分线，可向两边作垂线;线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线;三角形中有中线，延长中线翻一番.圆的证明歌：圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连.同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦.圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系.正多边形诀窍歌：份相等分割圆，n值必须大于三，依次连接各分点，内接正n边形在眼前.经过分点做切线，切线相交n个点.n个交点做顶点，外切正n边形便出现.正n边形很美观，它有内接、外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点，如果n值为偶数，中心对称很方便.正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单.函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键.。
初中数学找规律解题方法及技巧
初中数学找规律解题方法及技巧通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n 个数可以表示为：a1+(n-1)b ，其中a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第n 位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b 。
例：4、10、16、22、28……，求第n 位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n 位数是：4+(n-1) 6＝6n －2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n 位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n 位的增幅；2、求出第1位到第第n 位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n 位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
利用思维导图的思想在现实中解决规律题——用二次函数解决规律题的通项公式
利用思维导图的思想在现实中解决规律题——用二次函数解决规律题的通项公式摘要：在乡镇学校学生的学习条件处于相对困难的位置，尤其是在现实中我们常常会遇到一些规律题，这些规律题会让学生花费大量的时间去找寻它的通项公式。
在平时我们有大量的时间去思考，多尝试几种思路也许就解决了这些问题。
但在中考时我们的时间是有限的，在有限的时间内去花费大量的时间找一些特殊规律题的通项公式，就明显不符合我们要求。
那么，有没有一些特殊的方法使我们一看见一些特殊的规律题就知道用特殊的方法来解决呢。
像我们这种乡镇学校如果有较好的学习方法学生的做题速度以及学习成绩将得到大幅提升，在这里我们用思维导图方式给学生提供用二次函数的方法解一些特殊规律题的通项公式。
关键词：思维导图中考二次函数规律随着素质教育理念的不断深入人心，新课程教育改革的步伐也在逐步提速，传统的灌输式教学模式不再适合当前的教学需求，应基于学生的年龄特点以成长规律，培养学生的核心素养发展，思维导图最为重要的教学工具，避免了传统题海的机械式练习弊端，可以帮助学生提炼出教学内容中的关键点，同时也能通过逻辑推导，让知识点串联起来，对于培养学生的综合能力具有重要意义。
一、初中数学思维导图运用价值首先，思维导图是新型的教学模式，可以将数学知识点进行细化分解，然在将抽象化的知识内容以直观性的形态展示出来，打破了传统的教学桎梏，站在了学生角度分析问题和解决问题，尊重的学生的教育主体地位，对于促进学生的全面化知识体系框架构建具有积极意义。
另外，思维导图的推到过程具有逻辑性，可以帮助学生重新梳理知识脉络，并形成节点记忆，对于夯实基础知识尤为重要。
其次，初中数学知识内容丰富且知识点之间的关联性较强，随着学习的深入很容易遗忘，为了更好的帮助学生进行知识点总结和回顾，采用思维导图可以将文字知识点、图片知识点、符号知识点全部串联起来，而且信息丰富还具有逻辑推理性，可以快速吸引学生的注意力。
初中生已经具备了独立思考能力，传统教学模式单一枯燥，不能满足学生的学习特点和需求，思维导图不再是呆板的板书笔记，可以激发学生的实践操作能力，让学生在自主学习基础上进行归纳总结，促进新旧知识点的有效衔接。
人教版初中数学函数之平面直角坐标系技巧及练习题附答案解析
2．在平面直角坐标系中，长方形 ABCD的三个顶点 A(3，2), B(1，2),C 1, 1, 则第四个
顶点 D 的坐标是（ ）．
A． 2,1
B． (3, 1)
C． 2,3
D． (3,1)
【答案】B 【解析】 【分析】
根据矩形的性质（对边相等且每个角都是直角），由矩形 ABCD 点的顺序得到 CD⊥AD， 可以把 D 点坐标求解出来.
∴ OA OP cos 5 3 3 ， 5
∴ PA OP2 OA2 =4，
∵点 P 在第二象限， ∴点 P 的坐标是（-3,4） 故选：B.
【点睛】
此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐 标的符号特点.
8．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形
A． (4, 2)
B． (2, 4)
C． (3, 2)
D． (2, 1)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据棋子“炮”和“車”的点坐标，推断出原点位置，进而可得出“馬”的点的坐标．
【详解】
如图所示，根据“車”的点坐标为 2, 0 ，可知 x 轴在“車”所在的横线上，
又根据“炮”的点坐标 1, 2 ，可推出原点坐标如图所示，
点的坐标为（）
A． 3, 4
B． 3,4
C． 4,3
D． 3, 5
【答案】B 【解析】 【分析】
过点 P 作 PA⊥x 轴于 A，利用 OP 5, cos 3 求出 OA，再根据勾股定理求出 PA 即可得 5
到点 P 的坐标. 【详解】 过点 P 作 PA⊥x 轴于 A，
∵ OP 5, cos 3 ， 5
上，可以得到点 A 的坐标. 【详解】
初一找规律经典题型(含部分答案)
精心整理图1 图2 图3初一数学规律题应用知识汇总“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，下面就此类题的解题方法进行探索：n 个n 位的例：4＝6n －2例1（1（2例2共有（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n 位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n 位的增幅；2、求出第1位到第第n 位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n 位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
例1.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。
妙题赏析：规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：1、设计类【例1】(2005年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。
（1）请你利用这个几何图形求的值为。
（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。
【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。
巧用函数找规律
巧用函数找规律随着新课标的实施,每年都有不少关于“图形”“数字”的规律题出现,规律型试题因它具有的直观性、可操作性更能考查学生的识图、分析、归纳、想象、动手操作、自主探究等多种能力而备受青睐.这类题既是规律题,那便有规律可循,解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确。
而现在主要向大家介绍另一种解决找规律问题的方法，那就是用二次函数的思想来解决，下面通过几个具体的例子说明这些问题.一、寻找图形的增减规律例1：观察图中正六边形网的变化规律：（1）、完成下表（2）、如果用n表示六边形网的圈数，m表示这个正多边形中小点的总数，那么m和n的关系是什么？这道题如果用观察、分析、归纳的办法来找规律就显得非常困难，因为在结果中n的次数是2次，下面我们就用二次函数来解，你会发现问题变得很容易下手，结论也易于得出。
解：（1）、填表（2）、在平面直角坐标系中描出点（1，6）、（2，18）、（3，36）、（4，60）、（5，90）、观察图中描出的点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，正多边形中小点的总数m 和六边形网的圈数n 的关系可以用二次函数来模拟，设m=an2+bn+c,在已知数据中，任取三组，如取（1，6）、（2，18）、（3，36）分别代入所设的函数关系式，得方程组，22261118223633a b c a b ca b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩解这个方程组得，3,3,0a b c === 所以，m=3n2+3n.再将点（4，60）、（5，90）分别代入检验，均成立。
因此，m 和n 的关系为m=3n2+3n 。
例2：（2004年泸州）把正方体摆放成如图的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，……，则第n 层有＿＿＿个正方体.解：观察图形中正方体的层数与正方体的个数之间存在这样的关系：第一层，1个；第二层，3个；第三层，6个；可猜测第四层，10个；第五层，15个，……，由此我们可以得到一组点的坐标（1，1），（2，3），（3，6），（4，10），（5，15），那么我们就可以设正方体的个数s 与正方体的层数n 之间的函数关系式为2s an bn c =++，再将任意3个点的坐标代入所设函数关系式，就能求出系数,,a b c 的值。
2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)
2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。
高中函数解题技巧
高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。
本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。
技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。
2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。
技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。
通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。
2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。
3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。
技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。
2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。
技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。
2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。
技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。
2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。
技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。
2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。
初二函数找规律练习题
初二函数找规律练习题1. 问题描述在初二数学学习中，函数是一个重要的概念。
函数可以帮助我们在数学问题中找到规律，并运用这些规律解决问题。
下面是一些初二函数找规律的练习题，帮助学生掌握函数的应用。
2. 题目一已知函数f(x)满足f(2)=4，f(3)=6，f(4)=8，求f(1)。
解析：我们观察题目中的输入和输出，可以发现函数的关系是每个输入都比前一个大2，而输出则比前一个大2。
根据这个规律，我们可以得出函数的表达式为f(x)=2x。
因此，f(1)=2*1=2。
3. 题目二函数g(x)的表达式为g(x)=3x-1，求g(5)和g(10)。
解析：根据函数的表达式g(x)=3x-1，我们可以计算出g(5)=3*5-1=15-1=14，以及g(10)=3*10-1=30-1=29。
4. 题目三函数h(x)的图像与y=x^2的图像关于y轴对称，请根据这个特性，求出h(x)的表达式。
解析：根据题目中的条件，我们可以观察到h(x)的图像在y轴的左右两侧是对称的。
而y=x^2的图像也是对称于y轴的，因此h(x)的图像也是类似的。
由此可知，h(x)的表达式为h(x)=x^2。
5. 题目四函数k(x)满足k(x+1)=k(x)+2，已知k(1)=3，请求出k(10)。
解析：根据题目中的条件k(x+1)=k(x)+2，我们可以逐步计算出k(x)的值。
由于k(1)=3，我们可以计算出k(2)=3+2=5，k(3)=5+2=7，以此类推，我们可以计算出k(10)=3+(10-1)*2=3+18=21。
通过以上的练习题，我们可以看到函数的应用在数学中是非常重要的。
函数可以帮助我们找到规律，并解决各种数学问题。
希望同学们在解决这些题目时，能够充分理解函数的概念和应用，提高数学解题的能力。
运用函数巧解“找规律”题
运用函数巧解“找规律”题◎杨立群 (宁波市鄞州区云龙镇中学 315137)【摘要】最近几年，全国多数地市的中考都有“找规律”题出现，各个学校开始重视这一类数学题的解题思路．但这类问题没有明确的知识方法可寻，解题思路多种多样．在此，作者就其中一类的“找规律”题和各位同仁交流，对解决这类问题作一个初步的探究．一、运用一次函数解题【期刊名称】数学学习与研究：教研版【年(卷),期】2012(000)003【总页数】1【关键词】一次函数;规律;巧解;解题思路;数学题;中考;学校最近几年，全国多数地市的中考都有“找规律”题出现，各个学校开始重视这一类数学题的解题思路．但这类问题没有明确的知识方法可寻，解题思路多种多样．在此，作者就其中一类的“找规律”题和各位同仁交流，对解决这类问题作一个初步的探究．一、运用一次函数解题1．(丹东)如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子______枚．解设第n个图案的棋子为s枚，得s=an+b．由第一个图案得，n=1时，s=5．由第二个图案得，n=2时，s=8．代入 s=an+b中，得所以，s=3n+2(n为正整数)．那么此题就是当n=100时，s=302．即第100个图案需棋子302枚．2．用边长为1 cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是________cm(用含n的代数式表示)．解设第n次所搭图形的周长是C cm，得C=an+b．由第一个图案得，n=1时，C=4．由第二个图案得，n=2时，C=8．代入C=an+b中，得所以，C=4n(n为正整数)．即第n次所搭图形的周长是4n cm．小结运用一次函数求解的“找规律”题，我们发现相邻之间的数据差相等．二、运用二次函数解题3．如下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了________块石子．解设第n个小房子用了s块石子，得s=an2+bn+c．由第一个图案得，n=1时，s=5．由第二个图案得，n=2时，s=12．由第三个图案得，n=3 时，s=21．代入s=an2+bn+C中，得所以，s=n2+4n(n为正整数)．即第n个小房子用了n2+4n块石子．4．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n 层的小正方体的个数为s．解答下列问题:解设第n层的小正方体的个数为s，得s=an2+bn+c．由第一个图案得，n=1时，s=1．由第二个图案得，n=2时，s=3．由第三个图案得，n=3 时，s=6．代入s=an2+bn+c中，得所以，s=0.5n2+0.5n(n为正整数)．即第n层的小正方体的个数为s=0.5n2+0.5n．小结:运用二次函数求解的“找规律”题，我们发现相邻之间的数据差等差．三、运用an类型函数解题5．(抚顺)观察下列图形(每幅图中最小的三角形都是全等的)，请写出第 n个图中最小的三角形的个数有________个．解第n个图中的三角形的个数有s个．得 s=2an－b．由第一个图案得，n=1时，s=1．由第二个图案得，n=2时，s=4．代入 s=2an－b中，得所以，s=22n－2(n 为正整数)．即第n个图中最小的三角形的个数有22n－2个．小结一般的运用an类型函数求解的“找规律”题，我们发现相邻之间的数据商相等．四、综合运用6．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表:那么，当输入数据是8时，输出的数据是( )．解由表格中的数据我们可以得知，分子是一次函数规律，分母是二次函数规律．所以，输出的数据(n为输入数据)．当n=8时，输出的数据为．即答案选C．。
变中不变找规律 函数特值试一试——对中考一类定值问题的探究
变中不变找规律㊀函数特值试一试对中考一类定值问题的探究陈㊀通(江苏省泗洪县洪泽湖路实验学校ꎬ江苏泗洪２２３９００)摘㊀要:中考中的定值问题ꎬ主要涉及三角形中的定值问题㊁圆中的定值问题和矩形中的定值问题.解决这类定值问题的方法主要是寻找变化中的不变量ꎬ先从特殊情形(比如特殊点或特殊位置)算出定值ꎬ再结合几何性质或者函数关系进行一般化的证明.关键词:中考ꎻ平面几何ꎻ定值问题ꎻ运动ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００３８－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:陈通(１９８６.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省泗洪县人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在一个给定的图形中ꎬ某些元素(如点㊁线㊁角㊁三角形等)按照一定的规律在运动变化ꎬ而在运动变化中ꎬ某几何量或几何量间的关系(如线段的长度㊁角的度数㊁图形的周长或面积的大小等)却始终保持固定的数值ꎬ这就是几何图形 变中不变 问题ꎬ也称 定值 问题[１].求解这类 定值问题 难度较大ꎬ解决的办法一般是将问题特殊化ꎬ即先从特殊情况入手ꎬ找出定值ꎬ然后再一般化处理.定值问题常见的题型有:线段㊁角度定值ꎻ周长定值ꎻ面积定值ꎻ线段的乘积定值等[２].比如ꎬ对于线段乘积为定值的问题ꎬ大多采用相似法ꎬ通过相似成比例把乘积问题转化为比例问题.此外ꎬ对于定值问题ꎬ还可以设变量ｘꎬ并用ｘ的代数式来表示其他变量ꎬ通过代数式变形计算解决问题.若计算结果中不含ｘ和其他变量ꎬ则为定值ꎬ否则不是.这种用 数 来研究 形 的方法ꎬ是研究定值问题的常用方法[３]ꎬ同时体现了转化思想与数形结合思想.１三角形中的定值问题例１㊀如图１ꎬ在等腰直角әＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬＯ是ＡＢ的中点ꎬ且ＡＢ＝６ꎬ将一块直角三角板的直角顶点放在点Ｏ处ꎬ始终保持该直角三角板的两直角边分别与ＡＣꎬＢＣ相交ꎬ交点分别为ＤꎬＥꎬ则ＣＤ＋ＣＥ＝(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.６图１㊀例１题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例１解析示意图分析㊀先探究特殊位置ꎬ当Ｅ是ＢＣ中点时ꎬＣＤ＋ＣＥ＝３ꎬ当Ｅ与点Ｃ重合时ꎬＣＤ＋ＣＥ＝３ꎬ因此只需说明点Ｅ在ＢＣ上任意位置ＣＤ＋ＣＥ的值是不变的.解㊀如图２ꎬ连接ＯＣ.ȵ等腰直角әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝６ꎬʑＢＣ＝６ˑｃｏｓ４５ʎ＝６ˑ２２＝３.ȵＯ是ＡＢ的中点ꎬʑＯＣ＝１２ＡＢ＝ＯＢꎬＯＣʅＡＢꎬʑøＣＯＢ＝９０ʎ.ȵøＤＯＣ＋øＣＯＥ＝９０ʎꎬøＣＯＥ＋øＥＯＢ＝９０ʎꎬʑøＤＯＣ＝øＥＯＢ.８３同理可得øＡＣＯ＝øＢꎬʑәＯＤＣɸәＯＥＢꎬʑＤＣ＝ＢＥꎬʑＣＤ＋ＣＥ＝ＢＥ＋ＣＥ＝ＢＣ＝３.点评㊀本题是一个选择题ꎬ我们可以通过点Ｅ的特殊位置快速选出答案.对于解答题探究定值ꎬ一般是先考虑特殊情况ꎬ得到定值ꎬ再一般化ꎬ确定求证途径.２圆中的定值问题例２㊀如图３ꎬ线段ＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬ延长ＡＢ至点Ｃꎬ使ＢＣ＝ＯＢꎬＥ是线段ＯＢ的中点ꎬＤＥʅＡＢ交☉Ｏ于点ＤꎬＰ是☉Ｏ上一动点(不与点ＡꎬＢ重合)ꎬ连接ＣＤꎬＰＥꎬＰＣ.(１)求证:ＣＤ是☉Ｏ的切线.(２)小明在研究的过程中发现ＰＥＰＣ是一个确定的值.回答这个确定的值是多少ꎬ并对小明发现的结论加以证明.㊀㊀图３㊀例２题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀例２分析示意图分析㊀如图４ꎬ先探究点Ｐ的特殊位置ꎬ当ＰＥʅＯＣ时ꎬ易得әＰＣＥ是含３０ʎ角的直角三角形ꎬ因此ＰＥＰＣ＝１２.最后再证明一般情况下比值不变即可.解㊀(１)如图５ꎬ连接ＯＤꎬＤＢꎬȵＤＥ垂直平分ＯＢꎬʑＤＢ＝ＤＯ.ȵＤＯ＝ＯＢꎬʑＤＢ＝ＤＯ＝ＯＢꎬʑәＯＤＢ是等边三角形ꎬʑøＢＤＯ＝øＤＢＯ＝６０ʎ.ȵＢＣ＝ＯＢ＝ＢＤꎬ且øＤＢＥ为әＢＤＣ的外角ꎬʑøＢＣＤ＝øＢＤＣ＝１２øＤＢＯ＝３０ʎ.ʑøＯＤＣ＝øＢＤＯ＋øＢＤＣ＝６０ʎ＋３０ʎ＝９０ʎꎬʑＣＤ是☉Ｏ的切线.图５㊀例２(１)问解析示意图(２)这个确定的值是１２.如图３ꎬ由已知可得ＯＰ＝ＯＢ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＯＥＯＰ＝ＯＰＯＣ＝１２.又ȵøＣＯＰ＝øＰＯＥꎬʑәＯＥＰʐәＯＰＣꎬʑＰＥＰＣ＝ＯＰＯＣ＝１２.点评㊀解决定值问题时ꎬ对于一些与定点㊁定长等有关的定值问题ꎬ定值一定和题目所给的 不变量 有关.因此ꎬ在 变化 的量中寻求 不变 的量是解决问题的关键.一般可先从特殊位置㊁极端位置或特殊数值入手ꎬ探究出这个定值ꎬ然后再借助特殊情况的思路作为探讨一般情况的基础ꎬ完成一般情况的证明.３矩形中的定值问题例３㊀如图６ꎬ在边长为３的正方形ＡＢＣＤ中ꎬ点Ｅ是ＣＤ边上一点ꎬ点Ｆ是ＣＢ延长线上一点ꎬＡＦ＝ＡＥꎬ连接ＥＦꎬ交ＡＢ于点Ｋꎬ过点Ａ作ＡＨʅＥＦ于Ｈꎬ延长ＡＨ交ＢＣ于点Ｇꎬ连接ＨＤꎬ若ＢＧ＝２ꎬ则ＡＫ ＤＨ＝.分析㊀可证ＲｔәＡＤＥɸＲｔәＡＢＦ(ＨＬ)ꎬ从而可得øＤＡＥ＝øＢＡＦꎬ再证әＡＤＨɸәＣＤＨ(ＳＳＳ)ꎬ可得әＡＥＦ为等腰直角三角形ꎬ从而可证әＡＫＦɸәＨＥＤꎬ可得ＡＫＥＨ＝ＡＦＤＨꎬ可证øＢＦＫ＝øＢＡＧꎬ可得ｔａｎøＢＦＫ＝ｔａｎøＢＡＧꎬ可求２３＝ＢＫＢＦꎬ设ＢＫ＝２ｘꎬＢＦ＝３ｘꎬ则ＡＫ＝３－２ｘꎬ可证әＡＫＨɸәＦＧＨ(ＡＳＡ)ꎬ可得３－２ｘ＝２＋３ｘꎬ即可求解.㊀㊀图６㊀例３题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３解析示意图解㊀ȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑＡＢ＝ＡＤꎬøＡＤＥ＝øＡＢＣ＝øＡＢＦ＝øＤＡＢ＝９０ʎꎬ在ＲｔәＡＢＦ和ＲｔәＡＤＥ中ꎬＡＢ＝ＡＤＡＦ＝ＡＥ{ʑＲｔәＡＤＥɸＲｔәＡＢＦ(ＨＬ)ꎬʑøＤＡＥ＝øＢＡＦꎬʑøＥＡＦ＝øＢＡＥ＋øＢＡＦ＝øＢＡＥ＋øＤＡＥ＝９０ʎꎬʑәＡＦＥ为等腰直９３角三角形ꎬȵＡＨʅＥＦꎬʑ点Ｈ是ＥＦ的中点ꎬʑＡＨ＝ＥＨ＝ＦＨ＝１２ＥＦꎬ如图７ꎬ连接ＣＨꎬȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑＣＤ＝ＡＤ.ȵ点Ｈ是ＥＦ的中点ꎬøＤＣＢ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝１２ＥＦꎬʑＡＨ＝ＣＨ.在әＡＤＨ和әＣＤＨ中ꎬＡＨ＝ＣＨＤＨ＝ＤＨＡＤ＝ＣＤìîíïïïꎬʑәＡＤＨɸәＣＤＨ(ＳＳＳ)ꎬʑøＡＤＨ＝øＣＤＨ＝４５ʎꎬȵәＡＥＦ为等腰直角三角形ꎬʑøＡＦＥ＝４５ʎꎬʑøＡＦＫ＝øＥＤＨ＝４５ʎꎬȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑøＢＫＦ＝øＣＥＨꎬʑøＡＫＦ＝øＤＥＨꎬʑәＡＫＦʐәＨＥＤꎬʑＡＫＥＨ＝ＡＦＤＨꎬʑＡＫ ＤＨ＝ＡＦ ＥＨ.在等腰直角三角形әＡＦＨ中ꎬＡＦ＝２ＦＨ＝２ＥＨꎬʑＥＨ＝２２ＡＦꎬȵøＢＡＧ＋øＡＧＢ＝øＡＧＢ＋øＢＦＫ＝９０ʎꎬʑøＢＦＫ＝øＢＡＧꎬʑｔａｎøＢＦＫ＝ｔａｎøＢＡＧꎬʑＢＧＡＢ＝ＢＫＢＦꎬ即２３＝ＢＫＢＦꎬ设ＢＫ＝２ｘꎬＢＦ＝３ｘꎬ则ＡＫ＝３－２ｘꎬ在әＡＫＨ和әＦＧＨ中ꎬøＢＡＨ＝øＧＦＨＡＨ＝ＦＨøＡＨＫ＝øＦＨＧìîíïïïꎬʑәＡＫＨɸәＦＧＨ(ＡＳＡ)ꎬʑＡＫ＝ＦＧꎬʑ３－２ｘ＝２＋３ｘꎬʑｘ＝１５ꎬʑＡＦ２＝ＡＢ２＋ＢＦ２＝３２＋３５æèçöø÷２＝２３４２５ꎬʑＡＫ ＤＨ＝ＡＦ ＥＨ＝２２ˑ２３４２５＝１１７２２５.点评㊀根据正方形和三角形的性质以及一般角的三角函数值等ꎬ找出ＡＫ＝ＦＧꎬ从而可得３－２ｘ＝２＋３ｘ是解题的关键.４平行四边形中的定值例４㊀如图８ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝２ꎬＢＣ＝３ꎬøＢＡＤ＝１２０ʎꎬＮ为ＡＢ上一点ꎬＥ为ＢＣ上一点ꎬＢＥ＝ＡＢꎬＡＢ＝４ＡＮꎬＰ㊁Ｍ分别为ＡＥꎬＢＣ上两点ꎬ当ＮＰ＋ＭＰ＝３时ꎬＡＰ＝.分析㊀本题主要考查了平行线之间的距离和等边三角形的判定和性质ꎬ先证明әＡＢＥ是等边三角形ꎬ再在ＡＤ上取点Ｑꎬ使ＡＱ＝ＡＮꎬ构造әＡＱＰɸәＡＮＰ(ＳＡＳ)ꎬ将折线线段和转化为平行线之间的距离ꎬ得出Ｍ㊁Ｐ㊁Ｑ在同一直线上ꎬ并且ＰＱʅＢＣꎬ通过解三角形求出ＡＰ.图８㊀例４题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例４解析示意图解㊀ȵ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＤ＝１２０ʎꎬʑøＢ＝６０ʎꎬ又ȵＢＥ＝ＡＢꎬʑәＡＢＥ是等边三角形ꎬʑøＢＡＥ＝øＤＡＥ＝６０ʎꎬ如图９ꎬ过点Ａ作ＡＨʅＢＣ垂足为Ｈꎬ在ＲｔәＡＢＨ中ꎬＡＨ＝ＡＢｓｉｎøＢ＝２ˑ３２＝３ꎬ在ＡＤ上取点Ｑꎬ使ＡＱ＝ＡＮꎬ即ＡＱ＝１４ＡＢ＝１２ꎬʑәＡＱＰɸәＡＮＰ(ＳＡＳ)ꎬʑＱＰ＝ＮＰꎬʑＮＰ＋ＭＰ＝ＱＰ＋ＭＰȡＡＨꎬȵＮＰ＋ＭＰ＝３ꎬ即:ＱＰ＋ＭＰ＝ＡＨꎬʑＭ㊁Ｐ㊁Ｑ在同一直线上ꎬ并且ＰＱʅＢＣꎬʑＡＰ＝ＡＱｃｏｓøＱＡＰ＝１２ːｃｏｓøＱＡＰ＝１.对于一些与定点㊁定长等有关的定值问题ꎬ可以将问题引向特殊情形ꎬ先求出这个定值ꎬ再进行证明ꎬ探索出的定值必须通过证明才能明确其正确性ꎬ要论证的问题就是特殊情形与一般情形的固定关系.也可直接设参数进行推理㊁计算ꎬ并在计算中消去参数ꎬ得到定值.得到了定值ꎬ做题时就有了明确的目标与方向ꎬ再证明一般情况下结论成立即可.参考文献:[１]吕小保.中考 定值 问题探究[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１０(０６):４１－４３.[２]刁琴ꎬ石勇国.中考热点题型 动点最值问题的反思[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２３(０１):５０－５１.[３]刘贤华.中考最值问题分析及解题技巧[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２２(１９):２９－３０.[责任编辑:李㊀璟]０４。
苏科版八年级数学上册 第六章一次函数 找规律问题训练
八上第六章一次函数找规律问题训练一、选择题A1A2A3…B1B2B3…y=x1.如图,在平面直角坐标系中,点,,,都在x轴上,点,,,在直线上,△OA1B1△B1A1A2△B2B1A2△B2A2A3△B3B2A3…,,,,,,都是等腰直角三角形,如果OA1=1B2018,则点的坐标是( )(22 018,22 018)(22 017,22 017)(22 016,22 016)(22 015,22 015)A. B. C. D.A1B1C1O A2B2C2C1A3B3C3C2….A1A2A3…C1C2 2.正方形,,,按如图的方式放置点,,,和点,,C3…y=x+1A6,分别在直线和x轴上,则点的坐标是( )(31,32)(32,33)(64,32)(63,64)A. B. C. D.l1⊥x(1,0)l2⊥x(2,0)l3⊥x(3,0)……3.如图,直线轴于点,直线轴于点,直线轴于点,直线l n⊥x(n,0).y=x l1l2l3…l n A1A2轴于点函数的图象与直线、、、、分别交于点、、A3…A n y=2x l1l2l3…l n B1B2B3、、；函数的图象与直线、、、、分别交于点、、、…B n.△OA1B1S1A1A2B2B1S2、如果的面积记作,四边形的面积记作,四边形A2A3B3B2S3…A n−1A n B n B n−1S n S2018=的面积记作,,四边形的面积记作,那么( )2017.52018.5A. B. 2018 C. D. 20194.如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点y=x(8,4)落在函数的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为,阴S1S2S3…S n S12()影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、,则的值为243244245246A. B. C. D.5.如图,在平面直角坐标系中,,,,都是等腰直角三角形其11OA P ∆212A A P ∆323A A P∆….直角顶点,,,均在直线上,,,的P 1(3,3)P 2P 3…y =−13x +4.11OA P ∆212A A P ∆323A A P∆…面积分别为,,,,根据图形所反映的规律, S 1S 2S 3…S 2019=()A.B. C. D. 9×(14)20189×(14)20199×(12)20189×(12)20196.如图,在x 轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,分5.别过这些点作x 轴的垂线与三条直线,,y =ax y =(a +1)x 相交,其中则图中阴影部分的面积是(y =(a +2)x a >0. )A. 12.5B. 25C. 12.5aD. 25a二、填空题7.正方形,,按如图所示放置,点、、在直线A 1B 1C 1O A 2B 2C 2C 1A 3B 3C 3C 2…A 1A 2A 3…上,点、、在x 轴上,则的坐标是______．y =x +1C 1C 2C 3…A n8.在平面直角坐标系中,直线l ：与x 轴交于点,如图所示依次作正方形y =x−1A 1、正方形、、正方形,使得点、、、在直A 1B 1C 1O A 2B 2C 2C 1…A n B n C n C n−1A 1A 2A 3…线l 上,点、、、在y 轴正半轴上,则点的坐标是______．C 1C 2C 3…B n 9.赵爽弦图是由位于第一象限的四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴,大正方形的顶点、、、、、在直线上,顶点、B 1C 1C 2C 3…C n y =−12x +72D 1、、、在x 轴上,则第n 个阴影小正方形的面积为______．D 2D 3…D n10.如图,有一条折线,它是由过,,组成的折A 1B 1A 2B 2A 3B 3A 4B 4…A 1(0,0)B 1(2,2)A 2(4,0)线依次平移4,8,12,个单位得到的,直线与此折线恰有,且为整…y =kx +22n(n ≥1数个交点,则k 的值为______．)11.如图：在平面直角坐标系中,直线l ：与x 轴交于点,如图所示依次作正方y =x−1A 1形、正方形、、正方形,使得点、、、在A 1B 1C 1O A 2B 2C 2C 1…A n B n C n C n−1A 1A 2A 3…直线l 上,点、、、在y 轴正半轴上,则C 1C 2C 3…点的坐标是______．B 2018A1B1C1O A2B2C2C1A3B3C3C2A1A2A3…C1 12.将正方形,,按如图所示方式放置,点,,,和点,C2C3…y=x+1B2019,,分别在直线和x轴上,则点的横坐标是______．13.如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点y=x(8,4)落在函数的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为,阴S1S2S3…S n S n.(影三角形部分的面积从左向右依次记为、、、、,则的值为______用含n的代数式表示,n为正整数)△OAB1△B1A1B2△B2A2B3…14.如图所示放置的,,,都是边长为a的等边三角形,点AB1B2B3…A2016在x轴上,点O,,,,都在同一条直线上,则点的坐标是_____________．。
巧用函数找规律
巧用函数找规律广西藤县太平三中韦世松邮编543314寻找数学规律，多数是寻找函数的解析式。
此类题型解法多种，它可以用等差数列求解，也可以用观察法求解，还可以用函数法求解等。
却不易轻松发现其规律．笔者综合多年从教经验，粗略总结出这类题型的函数解法，其关键是根据变量和序号放在一起加以比较，就容易发现其中的奥秘。
即就是把序号作为自变量、每个变量作为自变量的函数。
例如：1、（2009年广西梧州市中考填空题）观察图中正六边形网的变化规律：………如果用n表示六边形网的个数，m表示这个正多边形中小点的总数，那么第n个正多边形中小点的总数m是＿。
解：观察图形的序号与点数有下列关系：1 2 3 ………6 18 36 ………设它的函数解析式是m=an2+bn+c∴把上面三组数据分别代入所设的函数解析式，得方程组6=a+b+c ⑴18=4a+2b+c⑵36=9a+3b+c⑶解这个方程组得，a=3,b=3,c=0∴第n个正多边形中小点的总数是m=3n2+3n。
解题时，如果题中隐去了序列号，要加上序列号，以便列出方程组求解。
2、下列一组数4 12 24 40 60 ……中，第50个数是多少？解：观察数据序号与每个数据有下列的关系：1 2 3 4 5 ……4 12 24 40 60 ……∴设它的函数解析式是y=ax²+bx+c任取上面三个数据代入所设的函数解析式，得方程组4=a+b+c ⑴12=4a+2b+c⑵24=9a+3b+c⑶解这个方程组得，a=2 ,b=2 , c=0∴这组数的变化规律是y=2x²+2x检验：当x=4时,y=40 ,正确。
∴第50个数是5100。
如果是4组以上的数据，就可以任取三个数据，用函数关系（y=ax²+bx+c)，列出方程组，分别求出a、b、c的值，再将第四组数据代入验证，如果不正确，说明不能用函数找规律。
初中数学规律题的公式和解题技巧
文章标题：深度探讨初中数学规律题的公式和解题技巧目录1. 前言2. 初中数学规律题的特点3. 常见的数学规律题类型4. 公式和解题技巧的应用5. 个人观点和总结## 1. 前言在初中数学学习过程中，学生常常会遇到各种规律题，这些题目的解答往往是考验学生对数学知识的掌握以及逻辑推理能力的好机会。
对于初中生来说，掌握一些公式和解题技巧是非常重要的。
在本文中，我将从深度和广度的角度出发，探讨初中数学规律题的公式和解题技巧。
## 2. 初中数学规律题的特点初中数学规律题是一种融合了数学知识和逻辑推理的题型，它要求学生通过观察、总结和归纳，找出其中隐藏的规律，然后运用所学的数学知识来解答问题。
这类题目不仅考验学生的记忆和理解能力，更加重视他们的逻辑思维和分析能力，因此是数学学习中非常重要的一环。
## 3. 常见的数学规律题类型初中数学规律题有很多种类型，比如数字规律、图形规律、字母规律等。
其中，数字规律是最为常见的类型之一。
在数字规律题中，往往能够看到一系列的数字排列，要求学生找出其中的规律并推断出下一个或缺失的数字。
图形规律题则要求学生观察一组图形的排列规律，找到规律并推断下一个或缺失的图形。
而字母规律题则是通过字母的排列规律来考察学生。
## 4. 公式和解题技巧的应用在面对初中数学规律题时，掌握一些公式和解题技巧是非常重要的。
要掌握数字的基本性质和运算规律，比如奇数和偶数的性质、倍数的规律等。
要熟练掌握一些常见的数列和等差数列的公式，以及一些简单的代数式的展开和因式分解。
对于图形规律题，要熟练掌握各种基本的图形的面积和周长的计算公式，以及图形的对称性质。
在解题过程中，要注意观察、总结和归纳，通过多加练习来提升自己的解题能力。
## 5. 个人观点和总结对于初中数学规律题的解题过程，我认为关键在于观察和逻辑推理能力。
通过不断地练习和总结，慢慢地培养自己的思维和分析能力，这样才能在考试中游刃有余地解答各种规律题。
专题13 一次函数中的找规律问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题13 一次函数中的找规律问题训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、选择题1．在平面直角坐标系中，点()11,1A -在直线y x b =+上，过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B ，作等腰直角三角形112A B B (2B 与原点O 重合)，再以12A B 为腰作等腰直角三角形212A A B ，以22A B 为腰作等腰直角三角形223A B B ，…按照这样的规律进行下去，那么2020A 的坐标为( )A ．()2019201921,2- B ．()2019201922,2- C ．()2020202021,2- D ．()2020202022,2- 【答案】B 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A 2（0，2），A 3（2，4），A 4（6，8），根据坐标的变化即可找出变化规律A n （2n -1-2，2n -1）．即可得出点A 2020的坐标． 【详解】解：∵点B 1、B 2、B 3、…、B n 在x 轴上，且A 1B 1=B 1B 2，A 2B 2=B 2B 3，A 3B 3=B 3B 4， ∵A 1（-1，1），∵A 2（0，2），A 3（2，4），A 4（6，8）， ，…，∵A n （2n -1-2，2n -1）．∵A 2020的坐标为（22019-2，22019）． 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出A n 坐标的变化规律，注意掌握解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】 解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+，设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又∵11OA B ，∵122B A B ，∵233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形， 2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．3．正方形1112A B C A ，2223A B C A ，3334A B C A ，…，按如图所示的方式放置，点123A A A ，…和点123B B B ，…分别在直线1y x =+和x 轴上．则点2020C 的纵坐标是（ ）A ．20202B ．20192C ．202021-D ．201921-【答案】B 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质确定点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5进而确定C 1，C 2，C 3，C 4，C 5的坐标并总结出点C n 的纵坐标的规律为2n -1（n 为正整数），将n=2030代入即可解答． 【详解】解：由题意可知，A 1纵坐标为1，A 2的纵坐标为2，A 3的纵坐标为4，A 4的纵坐标为8， A 1和C 1，A 2和C 2，A 3和C 3，A 4和C 4的纵坐标相同，∵C 1，C 2，C 3，C 4，,C 5,…C n 的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n -1 ∵2020C 的纵坐标为22020-1=22019． 故答案为B ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及找规律，找出C n 点纵坐标的规律为2n -1（n 为正整数）是解答本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……都是等腰Rt△，直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3……，均在直线y ＝﹣13x+4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……的面积分别为S 1，S 2，S 3……则S 2019的值为（ ）A ．201894 B ．201994 C ．401894 D ．401994【答案】A 【分析】分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D 、E ，∵P 1（3，3），且∵P 1OA 1是等腰直角三角形， ∵OC ＝CA 1＝P 1C ＝3， 设A 1D ＝a ，则P 2D ＝a ， ∵OD ＝6+a ，∵点P 2坐标为（6+a ，a ）， 将点P 2坐标代入y ＝﹣13x+4，得：﹣13（6+a ）+4＝a ， 解得：a ＝32，∵A 1A 2＝2a ＝3，P 2D ＝32， 同理求得P 3E ＝34、A 2A 3＝32，∵S 1＝12×6×3＝9、S 2＝12×3×32＝94、S 3＝12×32×34＝294、…… ∵S 2019＝201894．故选：A ． 【点睛】本题考查了几何类的规律题，掌握等腰直角三角形的性质、三角形面积的规律是解题的关键． 5． 已知：直线y=1n n +x+11n +（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2019（ ） A ．20182019B ．20192020C ．20182038D ．20194040【答案】D 【分析】依次求出S 1、S 2、S 3，就发现规律：S n =12×()11n n +，然后求其和即可求得答案．注意()11111n n n n =-++．【详解】解：∵当n=1时，直线为y=12x+12， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，12），（-1，0），∵S 1=12×1×12=14；当n=2时，直线为y=23x+13， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，13），（-12，0），∵S 2=12×12×13=12×()1221⨯+；当n=3时，直线为y=34x+14， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，14），（-13，0）， ∵S 3=12×13×14=12×()1331⨯+；…， S n =12×()11n n +， ∵S 1+S 2+S 3+…+S 2019=12×（1-12+1231-+1341-+…+12019-12020）=12⨯（1-12020）=20194040故选：D ． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键． 6．如图，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1、12，过点A 1（1，－12）作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，……，依次进行下去，则A 2019的横坐标为（ ）A ．－21007B ．21008C ．－21008D ．－21009【答案】D 【分析】可根据点A 1坐标结合两条直线的解析式求出点23456,,,,A A A A A 这几个点的坐标，找出其横坐标的变化规律，再确定A 2019的横坐标 【详解】解：2A 点的横坐标与1A 的横坐标相同均为1，将21A x =代入y ＝x 得21A y =，可得31A y =，代入y ＝－12x 得32A x =-，依次类推可得23456(1,1),(2,1),(2,2),(4,2),(4,4)A A A A A ----， 观察可知其规律为01122123456(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,4)A A A A A A ----，且一四象限点的横坐标相同，二三象限点的横坐标相同.所以先确定点2019A 的所在象限.20194504......3÷=∴点2019A 在第三象限与点2020A 的横坐标相同202021010÷=∴点2020A 的横坐标为10101100922--=-所以点2019A 的横坐标为10092- 故选：D 【点睛】本题是平面直角坐标系中点坐标规律的探究题，找准点的变化规律是解题的关键.二、填空题7．如图，点()12,2A 在直线y x =上，过点作11//A B y 轴交直线12y x =于点1B ，以点1A 为直角顶点，11A B 为直角边在11A B 的右侧作等腰直角111A B C △，再过1C 点作过点22//A B y 轴交直线y x =和直线12y x =于2A ，2B 两点，以点2A 为直角顶点，22A B 为直角边在22A B 的右侧作等腰直角222A B C △，…，按此规律进行下去，则等腰直角n n n A B C 的边长n n B C 为_____．（用含正整数n 的代数式表示）【答案】132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成32倍扩大． 【详解】 解：点1(2,2)A 在直线y x =上， ∴点1B 横坐标为2，将2x =代入12y x =得1y =， ∴点1B 坐标为(2,1)．∵111A B C 为等腰直角三角形，1111211A B AC ∴==-=，∴点1C 坐标为(3,2)．11B C过1C 点作22//A B y 轴，2A ∴，2B 的横坐标为3，将3x =分别代入y x =与12y x =中得2A ，2B 的纵坐标分别为3，32， 即2(3,3)A ，23(3,)2B ，2233322A B =-=，2222B C B ∴==．点2C 坐标为9(,3)2．同理可得333()2B C =443()2B C =3()2n n n B C -∴=故答案为：3()2n - 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征及等腰直角三角形的性质，解题关键是通过计算找出点及边长变化规律．8．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,,n A A A A 在x 轴上，点123,,,,n B B B B 在直线3y x =上．若1(1,0)A ，且1122231,,,n n n A B A A B A A B A +都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为123,,,,n S S S S ，则2021S 可表示为____．【答案】2【分析】由等边三角形性质可知，A 1B 1∵A 2B 2…∵A n B n ，因为直线y =与x 轴的夹角∵B 1OA 1＝30°，∵OA 1B 1＝120°，可得出OA 1＝A 1B 1，A 1B 1＝1，∵OB 2A 2＝30°，…，∵OB n A n ＝30°，B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1，因为∵OB 1A 2＝90°，根据勾股定理可知B 1B 2=则S 1112=⨯=【详解】解：由等边三角形可知： A 1B 1∵A 2B 2∵…∵A n B n ， B 1A 2∵B 2A 3∵…∵B n A n +1，∵直线y =与x 轴的夹角∵B 1OA 1＝30°，∵OA 1B 1＝120°， ∵∵OB 1A 1＝30°， ∵OA 1＝A 1B 1， ∵A 1（1，0）， ∵A 1B 1＝1，同理∵OB 2A 2＝30°，…，∵OB n A n ＝30°， ∵B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1， 可知∵OB 1A 2＝90°，…，∵OB n A n +1＝90°，∵B 1B 2=B 2B 3＝…，B n B n +1＝2n ﹣∵S 1112=⨯S 2122=⨯⨯=，…，S n ＝22n ﹣∵当n =2021时，0202142S =故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一次函数函数图像点的坐标特征，合理利用函数图像上点的坐标规律是解决本题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，函数3y x =和yx =-的图象分别为直线1l ，2l ，过点(1,0)作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，…，依次进行下去，则点6A 的坐标为________；点2022A 的坐标为________．【答案】(27,27)-， ()101110113,3- 【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可找出点A 2022的坐标．【详解】解：当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∵点A 1的坐标为（1，3）；当y ＝﹣x ＝3时，x ＝﹣3，∵点A 2的坐标为（﹣3，3）；同理可得：A 3（﹣3，﹣9），A 4（9，﹣9），A 5（9，27），A 6（﹣27，27），A 7（﹣27，﹣81），…， ∵A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）．∵2022＝505×4+2，∵点A 2022的坐标为()101110113,3-， 故答案为：（﹣27，27），()101110113,3-． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）”是解题的关键．10．如图，直线y ＝x +4与y 轴交于A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3…在直线y ＝x +4上，点C 1，C 2，C 3，…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3…，S n ，则S n 的值为______（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】22n +1【分析】根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA 1，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．【详解】∵直线y ＝x +4的k ＝1，∵直线与x 轴的夹角为45°，∵直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x ＝0时，y ＝4，所以，OA 1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n 个正方形的边长为2n +1，∵S 1＝12×4×4＝422， S 2＝12×8×8＝622， S 3＝12×16×16＝822， …，S n ＝12×2n +1×2n +1＝2222n +＝22n +1． 故答案为22n +1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．11．如图，在平面直角坐标系中，点123n A A A A ⋯，，，，在 x 轴上，123n B B B B ⋯，，，，在直线 y x =上，若1(2,0)A ，且 1122231,,,n n n A B A A B A A B A +⋯都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 123,,,,n S S S S ⋯．则 n S 可表示为 _________ ．【答案】22n -【分析】直线y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=︒，可得2230OB A ∠=︒，⋯，30n n OB A ∠=︒，1290OB A ∠=︒，⋯，190n n OB A +∠=︒；根据等腰三角形的性质可知111A B =，2222B A OA ==，334B A =，⋯，12n n n B A -=；根据勾股定理可得12B B =23B B =⋯，1123n n n B B ，再由面积公式即可求解．【详解】解：∵112A B A 、∵223A B A ∵1n n n A B A +都是等边三角形，112233////////n n A B A B A B A B ，1223341////////n n B A B A B A B A ，直线3y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=︒，11120OA B ∠=︒， 1130OB A ∴∠=︒，111OA A B ，∵1(2,0)A ，112A B ，同理2230OB A ∠=︒，⋯，30n n OB A ∠=︒，2224B A OA ，338B A ，⋯，2n n n B A ，易得1290OB A ∠=︒，⋯，190n n OB A +∠=︒，1223B B ，2343B B ，⋯，12n n B B += 11223232S ，21443832S ，⋯，211223232n n n n S ；故答案是：22n -【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．12．正方形111A B C O ，2221A B C C ，2333A B C C 2333A B C C …按如图的方式放置，1A ，2A ，3A …和点1C ，2C ，3C …分别在直线2y x =+和x 轴上，则点3C 的横坐标是_________【答案】14【分析】先利用直线的解析式可求出点1A 的坐标，从而可得1OC 的长，再利用直线的解析式分别求出23,A A 的坐标，然后利用正方形的性质即可得．【详解】对于直线2y x =+，当0x =时，2y =，即1(0,2)A ，12OA ∴=，四边形111A B C O ，2221A B C C ，2333A B C C 都是正方形，11121223232,,OC OA C C C A C C C A ∴====，∴点2A 的横坐标为2，将2x =代入直线解析式得：224y =+=，即2(2,4)A ，12124C C C A ∴==，2112246OC OC C C ∴=+=+=，∴点3A 的横坐标为6，将6x =代入直线解析式得：628y =+=，即3(6,8)A ，23238C C C A ∴==，32236814OC OC C C ∴=+=+=，则点3C 的横坐标为14，故答案为：14．【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数图象上的点坐标等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．13．如图，已知直线a ：y=x ，直线b ：y=-12x 和点P(1，0)，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点P 1，过点P 1作x 轴的平行线交直线b 于点p 2，过点p 2作y 轴的平行线交直线a 于点p 3，过点p 3作x 轴的平行线交直线b 于点p 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的横坐标为_____________．【答案】10102【分析】点(1,0)P ，1P 在直线y x =上，得到1(1,1)P ，求得2P 的纵坐标1P =的纵坐标1=，得到2(2,1)P -，即2P 的横坐标为12(2)-=-，同理，3P 的横坐标为12(2)-=-，4P 的横坐标为24(2)=-，25(2)P =-，36(2)P =-，37(2)P =-，48(2)P =-⋯，求得221(2)n n n P P +==-，于是得到结论．【详解】 解：点(1,0)P ，1P 在直线y x =上， 1(1,1)P ∴，12//PP x 轴，2P ∴的纵坐标1P =的纵坐标1=， 2P 在直线12y x =-上， 112x ∴=-， 2x ∴=-，2(2,1)P ∴-，即2P 的横坐标为12(2)-=-，同理，3P 的横坐标为12(2)-=-，4P 的横坐标为24(2)=-，25(2)P =-，36(2)P =-，37(2)P =-，48(2)P =-⋯，221(2)n n n P P +∴==-，令212021n +=，则1010n =2021P ∴的横坐标为10101010(2)2=-，故答案为：10102．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点)A ，点()0,1B ，作第一个正方形111OA C B 且点1A 在OA 上，点1B 在OB 上，点1C 在AB 上；作第二个正方形1222A A C B 且点2A 在1A A 上，点2B 在12AC 上，点2C 在AB 上…，如此下去，其中1C 纵坐标为______，点n C 的纵坐标为______．n⎝⎭【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b则有：1bb+==⎪⎩，解得：31kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线仍的解析式是：y=1x-+设C1的横坐标为x，则纵坐标为y=1x-+∵正方形OA1C1B1∵x=y，即1x x=+，解得x==∵点C1同理可得：点C2=232⎛-⎝⎭∵点C n的纵坐标为n⎝⎭．n⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．。
用函数图象解决等差、等比数列问题
我们知道，函数图象知识在解决函数问题中地位十分重要，而数列是特殊的函数，因此在解决数列问题中也应注重函数图象知识的应用.在数列问题中利用函数的图象，可以起到化抽象为直观，化繁为简的效果，可以拓宽解题思路，使各部分知识形成有机的整体。
一、从函数角度看等差数列1．等差数列的通项公式a n =f （n ）=a 1+（n-1）·d=d ·n+（a 1-d ）.若公差d ≠0，则a n 是关于n 的一次函数.当d >0时{a n }为递增数列，当d <0时{a n }为递减数列，图象为直线上一些离散的点.2．等差数列前n 项和S n =g （n ）=na 1+d=d ·n 2+（a 1- ）·n ，若d ≠0，则Sn 是关于n 的二次函数，且常数项为0，因此图象为抛物线上一些离散.若公差d 不为0，可将Sn 化为Sn=d ·（n-k ）2+j 的形式（其中k =-），图象所在抛物线的对称轴为直线n =k .根据S n =g （n ）的图象所在抛物线过原点和具有对称性的特点，可以得出：（1）当d >0时：若a 1≥0，则k ≤，由于自变量n ≥1，故S n 为关于n 的增函数，则有S 1最小；若a 1<0，则k >，S n 的图象如图1中曲线②所示，通常情况下其单调性为先减后增，则n 取与k 最接近的正整数时对应的S n 最小（但是当k ≤即d ≥-a 1时例外）.若S l =S m ，则n 取与最接近的正整数时对应的Sn 最小.若S l =0（l ≥2），则n 取与最接近的正整数时对应的S n 最小.（2）当d <0时：若a 1≤0，则k ≤，S n 为关于n 的减函数，则有S 1最大；若a 1>0，则k>，S n 的图象如图2中曲线④所示，通常情况下其单调性为先增后减，则n 取与k 最接近的正整数时对应的S n 最大（但是当k ≤即d ≤-a 1时例外）.若S l =S m ，则n 取与最接近的正整数时对应的S n 最大.若S l =0（l ≥2），则n 取与最接近的正整数时对应的S n 最大.二、从函数角度看等比数列对于等比数列，这里只简单讨论一下a n 的图象.等比数列{a n }的通项公式a n =f （n ）=a 1q n-1=·q n ，令=c ，则a n =f （n ）=c ·q n（c 、q 为不等于0的常数）.当a 1>0且q>1时其图象如图3所示曲线⑤上一些离散的点；●张成用函数图象解决等差、等比数列问题3334西藏教育用函数图象解决等差、等比数列问题作者：张成作者单位：拉萨中学刊名：西藏教育英文刊名：TIBET EDUCATION年，卷(期)：2009，""(7)被引用次数：0次本文链接：/Periodical_xzjy200907018.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：5ca6b772-6781-4088-9cbb-9dcb01751ed1下载时间：2010年8月7日。
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotα ，
∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（8 ，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(理)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例 1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,. 【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.练习1.【湖北2019重点中学联考】若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．（0，1] B． [0，1） C．（0，1）∪（1，4] D．（0，1）【答案】D【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．（二）抽象函数的隐含条件陷阱例 1. 【2019福建联考】已知定义在上的函数满足:，若, 则A． B． C． D．【答案】D【解析】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15，令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，解得f（4）=3，再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，解得f（2）=1．故选：D．【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．练习 1.设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（）A． 0 B． 2018 C． 2 017 D． 1【答案】B【解析】令,利用 ,求出,再利用，令,求的解析式，从而可得结果.【详解】，令，得，，令，又，，，故选B.【点评】本题主要考查抽象函数的解析式，属于中档题. 解抽象函数的解析式问题，往往利用特值法：（1）；（2）；（3）. （三）定义域和值域为全体实数陷阱例3．【山东省师大附中2019第二次模拟考】函数的值域为，则实数的范围（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分段函数的值域为R，则函数y=f（x）在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.【详解】因为函数的值域为所以解得：故选C【点评】本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R上是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.练习1.已知函数y＝f（x）的定义域是R，值域为[-1，2]，则值域也为[-1，2]的函数是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的值域为[-1，2]，即，即可求出，以及的范围，从而找出正确选项．【点睛】本题考查分段函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 练习 1.若函数在上有意义，则实数的取值范围是______ ．【答案】.【解析】使用换元令t=2x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．练习2．已知．（1）求的值域．（2）若对任意和都成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t 的取值范围求得函数的值域。