深圳市高中数学必修4模块测试试卷带答案

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高中数学人教A版必修四模块综合检测(C) pdf版含答案

图象重合，则 ω 的最小值为( )
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．已知 α、β 为锐角，且 a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当 a∥b 时，
α＋β＝________.
cos2α＋
3．A [∵|a|＝
4＝ 2 ，∴cos2α＝4.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－2.]
4．B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2 3.]
5．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
2
π
π
14．已知 cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则 cos(2α＋3)＝________.
15．若向量A→B＝(3，－1)，n＝(2,1)，且
n·A→C＝7，那么
B→C n· ＝________.
π
4
θ
16．若 θ∈[0，2]，且 sin θ＝5，则 tan 2＝________.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
20．(12 分)已知 x∈R，向量O→A＝(acos2x,1)，O→B＝(2， 3asin 2x－a)，f(x)＝O→A·O→B，a≠0. (1)求函数 f(x)的解析式，并求当 a>0 时，f(x)的单调增区间；
π (2)当 x∈[0，2]时，f(x)的最大值为 5，求 a 的值．

(完整版)高一数学必修4测试题及答案详解

BCCAB BDBDD BD(-2，-1) -6 -3 [-1，3] 根号2118解：（1）336tan )64tan()623tan(==+-=-ππππ……（4分）（2）原式=︒︒+︒︒=︒+︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(=42621222322+=⨯+⨯ ……（8分）19解：由已知有：３·2)cos(1B A +-＋2)cos(1B A -+＝２ ……（3分）∴－３cos(A ＋B)+cos(A －B)＝0,∴－３(cosAcosB －sinAsinB)+(cosAcosB ＋sinAsinB)＝0, ………（6分）∴cosAcosB ＝2sinAsinB, ∴tan ＡtanB=21…………（8分） 20解：设),(y x =，由题意得：⎩⎨⎧=--=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅)1,3()2,1(),(0)2.1(),(0λλy x y x ……（3分）)7,14(7142312=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=⇒y x y x yx λλ……（6分）)6,11(=-=……（8分）21解：（Ⅰ）)cos 23sin 21(2x x y +=＝)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +＝)3sin(2π+x……（2分）函数)(x f 的周期为T ＝π2，振幅为2。

……（.4分）（Ⅱ）列表：……（6分）图象如上（作图不规范者扣1分）。

……（8分）（Ⅲ）由)(232322Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ解得： )(67262Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以函数的递减区间为)(],672,62[Z k k k ∈++ππππ……（10分）22解：（Ⅰ）因为A （1,1），B （2,1）所以＝（1,1），＝（2,1）……（2分） cos ∠AOB 1010310121411)1,2()1,1(||||=+=+⋅+⋅=⋅OB OA . ……（4分）（Ⅱ）因为C （3,1），D （3，0），所以tan ∠BOD ＝21，tan ∠COD ＝31……（6分）所以 tan(∠BOD ＋∠COD)=CODBOD COD BOD ∠∠-∠+∠tan tan 1tan tan 1312113121=⋅-+= ……（8分）又因为∠BOD 和∠COD 均为锐角，故∠BOD ＋∠COD ＝45° ……（10分）考查向量数量积的几何意义，向量夹角求法，两角和的正切，。

高中数学人教A版必修4模块综合检测(二) Word版含解析

模块综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(北京高考)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝( )A ．(5,7)B ．(5,9)C ．(3,7)D ．(3,9)解析：选A 因为a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.2．点M (2，tan 300°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3，∴M (2，－3)．故点M (2，tan 300°)位于第四象限．3．已知OA ＝(2,3)，OB ＝(－3，y )，且OA ⊥OB ，则y 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选A ∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝－6＋3y ＝0，∴y ＝2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 5.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：选B 2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 6．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3. 7．已知函数f (x )＝2sin x ，对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π解析：选C ∵f (x )＝2sin x 的周期为2π，∴|x 1－x 2|的最小值为π.8．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3 D.22 解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x .而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所得函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )A ．2 3B ．3 3 C.32 D. 3 解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC ＝(x C －x B ，y C )，BD ＝(－x B,1)．∵BC ＝ 3 BD ，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC ＝((1－3)x B ，3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝ 3.12．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )A ．3B ．－3C ．0D ．2解析：选A 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.所以x －y ＝3. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10. 答案：1014．(江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3.答案：315．(山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________．解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π16．化简：sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α ＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)．(1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值．解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )，a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0.∴(a －b )⊥(a －c )．(2)|a |＝ (1＋cos x )2＋(1＋sin x )2 ＝3＋2(sin x ＋cos x )＝ 3＋22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 3＋22＝2＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1.18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2. 19．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－45，sin β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，β－α2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝35， cos ⎝⎛⎭⎫β－α2＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－α2＝1213. ∵⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝α＋β2， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫β－α2－sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213－35×513＝－6365. 20．(本小题满分12分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.21．(本小题满分12分)已知f (x )＝23cos 2x ＋sin 2x －3＋1(x ∈R)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求f (x )的值域．解：f (x )＝sin 2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)． ∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴f (x )∈[0,3]．22．(本小题满分12分)(陕西高考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12， ∴f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.。

必修1,4数学模块检测试卷(含详细答案)

高中数学必修一四模块检测卷一．选择题（共10小题）1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁R N等于（）A． [﹣1，1] B．（﹣1，0）C． [1，3）D．（0，1）．C D．3．若，则tan2α=（）C．4．若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）．D5．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）．C D．6．将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin（x﹣）的图象，则φ等于（）．C D．7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）向右平移向右平移个单位长度向左平移向左平移个单位长度8．设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A． [﹣1，2] B． [0，2] C． [1，+∞）D． [0，+∞）9．函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的所有零点之和等于（）A．πB． 2πC． 3πD． 4π10．某学生对函数f（x）=xsinx进行研究，得出如下四个结论：①函数f（x）在上单调递增；②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；③函数f（x）在（0，π）无最小值，但一定有最大值；④点（π，11．若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为_________．12．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=_________．13．若向量=（x，2x）与=（﹣3x，2）的夹角是钝角，则x的范围是_________．14．函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则ω=_________，φ=_________15．设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0．②|f（）|＜|f（）|．③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．⑤存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是_________写出正确结论的编号）．三．解答题（共6小题）16．计算：（1）1.10﹣0.5﹣2+lg25+2lg2 （2）log2（46×25）+lg+2log510+log50.25（3）sin+cos+tan（﹣）17．已知f（x）=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x，（1）写出该函数在[0，π]上单调递减区间（2）求函数f（x）的最小正周期，并求其最值及取最值时x的取值；（3）怎样由y=sinx的图象通过函数图象的变换得到f（x）的图象？请写出变换过程．18．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和．19．已知函数．f（x）=Asin（φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜，y=f（x）的部分图象如图所示，点R（0，）是该图象上的一点，P，Q分别为该图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且=1．（1）求φ和A的值；（2）若f（）=，求cos（2α+）的値．20．已知函数f（x）=﹣x+log2．（1）求f（）+f（﹣）的值；（2）当x∈（﹣a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21．函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x m）=mf（x）．（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）若不等式f（x）+f（3﹣x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）2x．C D．=3．（2012•江西）若，则tan2α=（）C．解：∵===4．（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）．D（﹣）（）﹣（﹣）＜，﹣∴＜＜，＜＜+=﹣））+）﹣（﹣+（﹣+﹣）++）﹣（﹣）5．（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）．C D．=|同方向的单位向量为，∴||=则与向量6．（2009•湖南）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin（x﹣）的图象，则φ．C D．x+）=x+）7．（2007•山东）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）向右平移向右平移个单位长度向左平移向左平移个单位长度﹣﹣=cos[﹣（）（））的图象向右平移8．（2011•辽宁）设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（），9．（2013•浙江模拟）函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的所有零点之和等于（）（﹣=的交点关于点（（﹣y==的图象关于点（﹣，y=的图象也关于点（﹣y=的交点关于点（（﹣10．某学生对函数f（x）=xsinx进行研究，得出如下四个结论：①函数f（x）在上单调递增；②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；③函数f（x）在（0，π）无最小值，但一定有最大值；④点（π，）的奇偶性，即可判定在在④二．填空题（共5小题）11．（2013•安徽）若非零向量，满足||=3||=|+2|，则与夹角的余弦值为﹣．4=4|||=|||cos，＞，从而求得与夹角的余弦值．，且+4+4=∴||||=|||cos，，＞﹣，故答案为﹣12．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．=||||cos∴||cos OAP=2|OAP=2|由向量的数量积的定义可知，=||||cos13．若向量=（x，2x）与=（﹣3x，2）的夹角是钝角，则x的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，0）（，+∞）．和，＜，且=和，，且，或＞，﹣（﹣，）∪（﹣，与14．函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则ω=ω=2，φ=法，看出与第二个点对应的是解：∵=时，x=，15．（2011•安徽）设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0．②|f（）|＜|f（）|．③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．⑤存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是①，③写出正确结论的编号）．得到得到求出辅助角=asin2x+bcos2x=∵∴∴∴==0，故②|b|三．解答题（共6小题）16．计算：（1）1.10﹣0.5﹣2+lg25+2lg2（2）log2（46×25）+lg+2log510+log50.25（3）sin+cos+tan（﹣）+2log+cos）））﹣+cos ﹣﹣﹣﹣17．已知f（x）=sin2x﹣2sinxcosx+3cos2x，（1）写出该函数在[0，π]上单调递减区间，（2）求函数f（x）的最小正周期，并求其最值及取最值时x的取值；（3）怎样由y=sinx的图象通过函数图象的变换得到f（x）的图象？请写出变换过程．sin2x+cos2x=∵∴上的单调递减区间为，当）最小值为）18．（2013•枣庄二模）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和．﹣，最大值为=其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为=内的所有零点为：19．（2013•汕头一模）已知函数．f（x）=Asin（φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜，y=f（x）的部分图象如图所示，点R（0，）是该图象上的一点，P，Q分别为该图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且=1．（1）求φ和A的值；（2）若f（）=，求cos（2α+）的値．，）代入，可得（=）是φ，＜．+=，=，∵）x+））+++=）=1﹣．20．已知函数f（x）=﹣x+log2．（1）求f（）+f（﹣）的值；（2）当x∈（﹣a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．）（﹣2．）由22（﹣（）（﹣22）22＞221．函数f（x）（x∈R+）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x m）=mf（x）．（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）若不等式f（x）+f（3﹣x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．，即依题意，有∴。

2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测含解析新人教B版必修第四册.doc

模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,a+=a-bi不一定为纯虚数;若a+=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0.2.△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( )A.4B.5C.5D.6【解析】选C.因为S△ABC=acsin B=2,所以c=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=25,所以b=5.由正弦定理得2R==5(R为△ABC外接圆的半径).3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)= ( )A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.====-i.4.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=1,sin B=,C=,则b的值为( )A.1B.C.或D.±1【解析】选C.在△ABC中,sin B=,0<B<π,所以B=或,当B=时,△ABC为直角三角形,所以b=a·sin B=;当B=时,A=C=,a=c=1.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos =3,所以b=.5.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M为CD的中点,则∠AMD的大小是( )A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】选D.如图,设正方形边长为a,作AO⊥BD,则AM===a,又AD=a,DM=,所以AD2=DM2+AM2,所以∠AMD=90°.6.如图,在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=120°,若把△ABC绕直线AB旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )A.11πB.12πC.13πD.14π【解析】选B.△ABC绕直线AB旋转一周,所形成的几何体如图所示.已知BC=4,∠ABC=120°,所以CO=2,所以几何体的体积V=·π·CO2·AB=12π.【补偿训练】在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为( ) A. B.C. D.【解析】选B.如图,过点A作AE⊥BD于点E,连接PE.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为AE∩PA=A,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥PE.因为AE==,PA=1,所以PE==.7.在△ABC中,三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(b-c)sin B=2csin C且a=,cos A=,则△ABC的面积等于( ) A. B. C.3 D.3【解析】选A.由正弦定理,得(b-c)·b=2c2,得b2-bc-2c2=0,得b=2c或b=-c(舍).由a2=b2+c2-2bccos A,得c=2,则b=4.由cos A=知,sin A=,S△ABC=bcsin A=×4×2×=.8.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64πC.144πD.256π【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时V O-ABC=V C-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.【补偿训练】如图,在三棱锥A-BCD中,V A-BPQ=2,V C-APQ=6,V C-DPQ=12,则V A-BCD等于( )A.20B.24C.28D.56【解析】选B.由===,所以=.所以V B-PDQ=V C-PDQ=4,因而V A-BCD=2+6+12+4=24.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知i是虚数单位,z=,则下列结论中正确的是( )A.z=-iB.z=iC.=-iD.|z|=1【解析】选BCD.z====i,所以=-i,|z|=1,故BCD正确.10.满足下列条件的三角形有两解的有( )A.b=3,c=4,B=30°B.a=5,b=8,A=30°C.c=6,b=3,B=60°D.c=9,b=12,C=60°【解析】选AB.选项A中csin B<b<c,故有两解;选项B中bsin A<a<b,故有两解;选项C中b=csin B,有一解;选项D中c<bsin C,无解.所以有两解的是选项AB.11.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则错误的是( )A.β内必存在直线与m平行且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选ABD.作两个相交平面,交线为n,使得直线m⊥α,假设β内一定存在直线a与m平行,因为m⊥α,而a∥m,所以直线a⊥α,而a⊂β,所以α⊥β,这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾,所以β内不一定存在直线a与m平行,因为直线m⊥α,n⊂α,又n⊂β,所以m⊥n,所以在β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直.【补偿训练】设a,b为两条直线,α,β为两个平面,则正确的命题是( )A.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b【解析】选D.A中,a,b可以平行或异面;B中,a,b可以平行或异面或相交;C中,α,β可以平行或相交.12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值可以为( ) A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选AB.因为S△ABC=2=bcsin A,sin A=,所以bc=6,cos A=,又因为a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知z0=2+2i,|z+z0|=,当z=__________时,|z|有最小值,最小值为__________. 【解析】因为|z+z0|=,所以复数z所对应的点Z在以C(-2,-2)为圆心,半径为的圆上,画出图形(图略),由图形知|z|的最小值为-=,此时,点Z是线段OC与圆的交点,线段OC的方程是y=x(-2≤x≤0),圆的方程是(x+2)2+(y+2)2=2,联立方程组解得所以复数z=-1-i.答案:-1-i14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,C=45°,1+=,则A=______,边c的值为__________.【解析】在△ABC中,因为1+=1+====.由正弦定理得=,所以cos A=,所以A=60°.又因为a=2,C=45°.由=得,=,所以c=2.答案:60°215.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a,b,c满足2b=a+c,B=,则cos A-cos C=________.【解析】因为2b=a+c,由正弦定理得2sin B=sin A+sin C,又因为B=,所以sin A+sin C=,A+C=.设cos A-cos C=x,可得(sin A+sin C)2+(cos A-cos C)2=2+x2,即sin2A+2sin Asin C+sin2C+cos2A-2cos Acos C+cos2C=2-2cos (A+C)=2-2cos =2+x2得x2=,所以cos A-cos C=±.答案:±16.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.【解析】由已知连接BD,B1D1,则BD=B1D1=2,取BB1和CC1的中点E,F.连接EF,D1E,D1F,则D1E=D1F=,故E,F在球面上.平面BCC1B1截球面的截面圆的圆心是B1C1的中点O,OE=OF=,球面与侧面BCC1B1的交线是侧面上以O为圆心,为半径的圆弧EF,的长为·2π=π.答案:π四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.(1)求cos ∠CBE的值;(2)求AE.【解析】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°.所以cos ∠CBE=cos 15°=cos (45°-30°)=.(2)在△ABE中,AB=2,由正弦定理,得=,故AE===-.18.(12分)已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数.(1)求m对应点的轨迹;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则==,因为为纯虚数,所以即所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,已知m=z-(3+3i),则|z-(3+3i)|=3.所以z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,3为半径的圆上.可知|z|的最大值为|3+3i|+3=9;最小值为|3+3i|-3=3.19.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,求V1∶V2的值.【解析】如图,延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到C2,且A1A=AA2,B1B=BB2,C1C=CC2,连接A2B2,B2C2,A2C2,则得到三棱柱ABC-A2B2C2,且=,延长B1E,C1F,则B1E与C1F 相交于点A2.因为A2A∶A2A1=1∶2,所以=.又==×==,所以V1=7=,故V1∶V2=7∶(12-7)=7∶5.20.(12分)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA=.(1)求角A的大小;(2)当a=时,求c2+b2的最大值,并判断此时△ABC的形状.【解析】(1)由已知及余弦定理,得=,sin A=,因为A为锐角,所以A=60°.(2)由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C=2sin(120°-B).c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]=4=4-cos 2B+sin 2B=4+2sin(2B-30°).由得30°<B<90°,所以30°<2B-30°<150°.当sin(2B-30°)=1,即B=60°时,(c2+b2)max=6,此时C=60°,△ABC为等边三角形.【一题多解】由余弦定理得()2=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=3.因为bc≤(当且仅当b=c时取等号),所以b2+c2-≤3,即b2+c2≤6(当且仅当b=c时取等号).故c2+b2的最大值为6,此时△ABC为等边三角形.21.(12分)如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【证明】(1)如图,设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG,因为EF∥CG,EF=CG=1,所以四边形CEFG为平行四边形,又因为CE=EF=1,所以▱CEFG为菱形,所以EG⊥CF.在正方形ABCD中,AC⊥BD.因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,所以BD⊥平面CEFG,所以BD⊥CF. 又因为EG∩BD=G,所以CF⊥平面BDE.【补偿训练】如图所示,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又因为==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF,所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知,BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=tan 60°=,所以AC==.由AB2=AE·AC,得AE=,所以λ==.22.(12分)如图所示,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.【一题多解】在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.。

高中数学模块综合检测(B)(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)

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模块综合检测（B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知sin α＝错误!，则cos 2α的值为( )A．－错误! B．－错误! C.错误! D。

错误!2．已知向量a＝（1,2）,b＝(x,－4），若a∥b，则a·b等于( )A．－10 B．－6 C．0 D．63．设cos（α＋π)＝错误!（π<α〈错误!)，那么sin(2π－α)的值为（）A.错误! B。

错误! C．－错误! D．－错误!4．已知tan(α＋β）＝3，tan（α－β)＝5，则tan 2α的值为( ）A．－错误! B.错误! C。

错误! D．－错误!5．下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x＝错误!对称的是（）A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝sin错误! D．y＝sin错误!6．若cos α＝－错误!，α是第三象限的角，则sin(α＋错误!）等于（)A．－错误! B。

错误! C．－错误! D。

错误!7．若向量a＝(1,x），b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，则|a－b|等于（）A．－2或0 B．2错误!C．2或2 5 D．2或108．函数f（x）＝sin2错误!－sin2错误!是（）A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数C．周期为2π的偶函数 D．周期为2π的奇函数9．把函数f（x)＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位可以得到函数g（x)的图象,则g错误!等于（）A．－错误! B.错误! C．－1 D．110．已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ),θ∈［－错误!，错误!］，则|a＋b｜的取值范围是（)A．[0，2］ B．［0,2）C．[1，2] D．［错误!,2］11．已知|a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!12．函数f(x）＝3cos(3x－θ）－sin（3x－θ)是奇函数，则tan θ等于( )A。

高中数学必修4模块综合测试卷

高中数学必修4模块综合测试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1、下列各角中与3π-终边相同的是（）A ．35π-B ．32πC ．34πD ．35π2、=-)611cos(π（） A ．21 B ．21- C ．23- D ．23 3、已知),0(,53cos παα∈-=，则=αtan （）A ．34B ．34-C ．34±D ．43±4、函数x y sin =的图象（） A ．关于点)1,2(π对称 B ．关于直线π=x 对称C ．关于点)0,(π对称D ．关于y 轴对称 5、函数x y 2cos 21=的周期为（） A ．π B ．π2 C ． π4 D ．4π 6、函数)4tan(π+=x y 的单调增区间为（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-4,43ππππk k B ．)4,43(ππππ+-k k C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2,2ππππk k D ．)2,2(ππππ+-k k7、在△ABC 中，a＝，b＝B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150°8、9、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①::=4:5:6a b c②::a b c ③=2,=2.5,=3a cm b cm c cm ④::=4:5:6A B C 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个9、化简θθ44sin cos - 的结果为（）A ．θ4sinB ．θ4cosC ．θ2sinD ．θ2cos 10、在ABC ∆中，若B A B A cos cos sin sin <，则ABC ∆一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形二、填空题（每小题5分，共20分）11、=+167cos 43sin 77cos 43cos _______________. 12、在△ABC中，=2,=a c B 150°，则b ＝13、在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为______________.14、把函数)62s i n (π-=x y 的图象向左平移3π个单位，所得图象的函数解析式为_____________________________. 三、解答题15．已知，在△ABC 中，A=45°，C=30°，c=10cm ，求a 、b 和B 。

强烈推荐高一数学必修4模块测试题及答案(人教A版)

高一数学必修4模块测试题（人教A 版）强烈推荐时间：120分钟满分：150分班级：姓名：学号：第I 卷（选择题, 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．0sin 390=( )A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,]22ππ-D ．[,2]ππ3．下列函数中，最小正周期为2π的是( )A ．sin y x =B ．sin cos y x x =C ．tan 2xy = D ．cos 4y x =４．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( )A ．－1B ．－9C ．9D ．1 ５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- ６．要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )A ．向左平移23π个单位B ．向右平移23π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( )A B C ．3 D ．10８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 则点P 的坐标为 ( ) A ．(2,7)-B ．4(,3)3C ．2(,3)3D ．(2,11)-9．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( ) A ．16 B ．2213 C ．322 D ．131810．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（）A. ,24ππωϕ==B. ,36ππωϕ==C. ,44ππωϕ==D. 5,44ππωϕ==第II 卷（非选择题, 共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为 13．函数y =的定义域是 .14. 给出下列五个命题： ①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数 ④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（本小题满分12分） (1)已知4cos 5a =-，且a 为第三象限角，求sin a 的值 (2)已知3tan =α，计算 ααααs i n 3c o s 5c o s2s i n 4+- 的值16（本题满分12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----．（１）化简()fα（２）若31cos()25πα-=，求()f α的值17（本小题满分14分）已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =, (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.18（本小题满分14分）已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， (1) ka b +与3a b -垂直？(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？19（本小题满分14分）某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：经过长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+ （1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？20（本小题满分14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b = (1) 求函数()f x 的解析式; (2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.参考答案:一、ACDAD DDDCC二、11.3π 12.(0,9) 13. [2,2]k k πππ+k Z ∈ 14. ①④ 三、15.解：（1）∵22cos sin 1αα+=，α为第三象限角 ∴3sin 5α===- （2）显然cos 0α≠∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337cos αααααααααααα---⨯-====++++⨯16.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- （2）∵31cos()25πα-= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=-又α为第三象限角∴cos α== 即()f α的值为5-17.解： (1) 1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2) 22||()a b a b +=+22242113a ab b=-+=-⨯+=所以||3a b +=18.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反。

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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0，所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．因为a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，所以1×m －2×(－2)＝0，所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( )A.22B．32C. 2 D．2解析：选C.因为A＋B＋C＝180°，所以原式＝3sin A－cos(180°－A)＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角等于() A．30°B．60°C．120°D．90°解析：选C.设a，b的夹角为θ，由c⊥a，c＝a＋b⇒(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0⇒a·b＝－1⇒cos θ＝a·b|a||b|＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C.7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于() A．3π4B．2π3C．π4D．π3解析：选C.因为β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，因为图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2，从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sin π4x .所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D . 11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .因为AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排除C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排除B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan (3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan (3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：因为∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )，所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2，所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：因为 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；因为 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误；因为 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；因为 BC →＝b ，故④正确；因为 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标．解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.(2)设P (m ，n )，因为P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又因为OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－13＋21＋23＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2015·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域．解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43， θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45.(2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值．解：(1)因为OA →＝(cos α，sin α)，所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5.因为m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0，所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得sin α＝－55，cos α＝－255，所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)因为cos(β－π)＝210，所以cos β＝－210，又0＜β＜π，所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又因为sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.11。

2019版高中数学人教A版必修4：模块综合检测含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.cos 660°等于()A.-B.-C.D.解析:cos 660°=cos(-60°+2×360°)=cos(-60°)=cos 60°=,故选C.答案:C2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:由已知得tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.答案:C3.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为()A. B. C. D.解析:由题意,得扇形的半径为.又由扇形的面积公式,得该扇形的面积为×2×.答案:A4.已知△ABC的边BC上有一点D满足=2,则可表示为()A. B.C. D.解析:由题得)=.答案:C5.已知a=,b=-,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1解析:c=--,d=(0,1).,cos--解得k=-3或-.答案:C6.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A. B.C. D.解析:y=cos x+sin x=2cos-,向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=2cos-的图象.因为该图象关于y轴对称,所以m-=kπ(k∈Z),即m=kπ+,故当k=0时,m取得最小值.答案:B7.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.答案:B8.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.解析:由-又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其图象的一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.答案:D9.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1]解析:由题意知,=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=---=-=-∈[-],即||∈[2-1,2+1].答案:C10.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P 的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2C.1D.2解析:函数f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.-答案:A11.若动直线x=a与函数y=sin-和y=sin的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为()A.1B.C. D.2解析:|MN|=--=---=|cos 2a|≤.答案:C12.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.解析:因为α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=-.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=-,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=--.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.解析:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=2r.又l+2r=8,∴2r+2r=8,即r=2(cm).∴扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).答案:4 cm214.函数y=3-的定义域为.解析:由2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).答案:-(k∈Z)15.已知非零实数a,b满足关系式-=tan ,则的值是.解析:由题可得-=tan=tan =tan,其中sin θ=,cos θ=,所以θ=+kπ,k∈Z,所以=tan θ=tan=tan .答案:16.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则A,B--,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin-.(1)求sin α的值;(2)求---的值.解:(1)∵sin+sin-, ∴sin α=.∴sin α=.(2)∵---=--=--,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么ω的最小正整数值是多少? 解:(1)因为周期T=2×--,ω==150π.又A=300,所以I=300sin(150πt+φ).将点-的坐标代入上式,得sin-=0.因为|φ|<,所以φ-=0,φ=,即所求的解析式为I=300sin.(2)如果t在任意一个长度为的区间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值,那么必须满足,即ω≥300π≈942,所以ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.(1)证明由已知得|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.(2)解由|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:由已知得cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=-,sin β=-.∴tan α=7,tan β=.=-3.(1)tan(α+β)=--(2)∵tan 2β=,--∴tan(α+2β)==-1.--∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=--,||=--.由||=||,得sin α=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.解:(1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=-sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。

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模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13，则cos 2α＝( )A.429B ．－429C.79D ．－79D [cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，故选D.]2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A.8π3B.43 C ．2πD.4π3D [扇形的面积S ＝12×2π3×22＝4π3.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值等于( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－13，故选C.] 4．设向量a ＝(2tan α，tan β)，向量b ＝(4，－3)，且a ＋b ＝0，则tan(α＋β)＝( ) A.17 B ．－15C.15D ．－17A [∵a ＋b ＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋4＝0，tan β－3＝0，∴tan α＝－2，tan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]5．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝2cos x ，动直线x ＝t 与f (x )和g (x )的图象分别交于A ，B 两点，则|AB |的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0，2]C ．[0,2]D ．[1，2]B [题意得|AB |＝|f (t )－g (t )|＝|sin t －cos t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4∈[0，2]．故选B.]6．已知tan θ2＝23，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ的值为( )A.23 B ．－23C.32D ．－32A [1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝23.]7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只要把函数y ＝2cos 2x 图象上所有的点( )A ．向左平行移动π8个单位长度B ．向右平行移动π8个单位C.向左平行移动π4个单位长度D ．向右平行移动π4个单位B [只要把函数y ＝ 2 cos 2x 图象上所有的点，向右平行移动π8个单位，可得函数y ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，故选B.]8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4 B ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3 C.f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 D ．f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x －π3B [由图象知函数的最大值为A ＝4，T 4＝π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3π8.即T ＝3π2＝2πω，即ω＝43，即f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋φ，由五点对应法得43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，得φ＝π3，得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋π3，故选B.]9．已知f (x )＝1＋sin 2x2，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 0.2)，则下列正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1C [∵b ＝f (lg 0.2)＝f (－lg 5)，∴f (x )＋f (－x )＝1＋sin 2x 2＋1＋sin －2x2＝1，∴a ＋b ＝f (lg 5)＋f (－lg 5)＝1.]10．如图，设P 为△ABC 内一点，且AP →＝14AB →＋15AC →，BM →＝34BA →，CN →＝45CA →，则△PMB 的面积与△ABC 的面积之比等于( )A ．1∶5B ．2∶5C ．3∶20D ．7∶20C [由题可知AM →＝14AB →，AN →＝15AC →，则AP →＝AM →＋AN →，由平行四边形法则可知NP →∥AB →，AN →∥MP →，所以S △PMB S △ABC ＝|PM →|·|MB →||AB →|·|AC →|＝15×34＝320.]11．函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π A [函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，令－π2＋2k π≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－5π6＋2k π≤x ≤2k π＋π6，当k ＝0时，函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6.故选A.]12．在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，当f (B )－m ＜2恒成立时，实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1D [f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B ·1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立， ∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立，即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π， ∴0＜sin B ≤1，∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知OA →＝(－2,1)， OB →＝(0,2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是． (－2,6) [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，B C →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．]14．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为．y ＝sin 4x [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上的所有点向右平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 4x .]15．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝ .247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0，因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 16．如图，在等腰△ABC 中，D 为底边BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ，若AD ＝BC ＝4，则AB →·CF →＝ .－8 [以点D 为原点，以BC 为x 轴建立平面直角坐标系；则A (0,4)，B (－2,0)，C (2,0)，E (0,2)，直线AC 的方程为2x ＋y －4＝0；直线BE 的方程为x －y ＋2＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0x －y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝83，向量AB →＝(－2，－4)，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，83，则AB →·CF →＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4×83＝－8，所以AB →·CF →＝－8.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．[解] (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)知，P 在单位圆上，∴由余弦函数定义得cos α＝45，∴原式＝54.18．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，a·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2.[解] ∵a·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－351－45＝－10 2.19．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →.(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点；(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值． [解] (1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12AE →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →－110AC →＝－14AB 2→＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos 60°＝－25.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 4x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋cos 2x －sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π，118π的图象(只作图不写过程)．[解] f (x )＝1－2sin 22x －1－2sin 2x ＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则2k π＋π4≤2x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (2)图象如下：21．(本小题满分12分)如图，已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设Z 是直线OP 上的一动点．(1)求使ZA →·ZB →取最小值时的OZ →；(2)对(1)中求出的点Z ，求cos∠AZB 的值． [解] (1)∵Z 是直线OP 上的一点， ∴OZ →∥OP →.设实数t ，使OZ →＝tOP →， ∴OZ →＝t (2,1)＝(2t ，t )，则ZA →＝OA →－OZ →＝(1,7)－(2t ，t ) ＝(1－2t,7－t )，ZB →＝OB →－OZ →＝(5,1)－(2t ，t ) ＝(5－2t,1－t )，∴ZA →·ZB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8. 当t ＝2时，ZA →·ZB →有最小值－8，此时OZ →＝(2t ，t )＝(4,2)．(2)当t ＝2时，ZA →＝(1－2t,7－t )＝(－3,5)，|ZA →|＝34，ZB →＝(5－2t,1－t )＝(1，－1)，|ZB →|＝ 2. 故cos∠AZB ＝ZA →·ZB→|ZA →||ZB →|＝－834×2＝－417＝－41717.22．(本小题满分12分)(2019·钦州高一期末)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．[解] (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，设X ＝2x －π3，则X ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，f (x )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有两个不相等的实数根，即g (X )＝2sin X ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根，由图象知g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin 2π3＝2×32＝3，则要使g (X )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上有两个不相等的实数根，则3≤m ＜2，即实数m 的取值范围是[3，2)．。

2019-2020学年高中数学人教版必修四模块综合检测(一) Word版含答案

模块综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．－1 120°角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同．又320°角为第四象限角，故选D.2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C. 4.1－sin 20°＝( ) A ．cos 10°B ．sin 10°－cos 10° C.2sin 35°D ．±(sin 10°－cos 10°)解析：选C ∵1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin 235°， ∴1－sin 20°＝2sin 35°.5．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10 C ．－ 5D. 5解析：选D 因为a· b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5.6．(山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B. 7．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.9．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝ 23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14，故选B. 10．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( ) A ．k π，(k ∈Z) B ．k π＋π6，(k ∈Z) C ．k π＋π3，(k ∈Z) D ．－k π－π3，(k ∈Z) 解析：选 D f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6.由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得θ＝－k π－π3(k ∈Z)，故选D.11．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( ) A ．12P P ·13P PB ．12P P ·14P PC ．12P P ·15P PD ．12P P ·16P P解析：选A 由于12P P ⊥15P P ，故其数量积是0，可排除C ；12P P 与16P P 的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则12P P ·13P P ＝|12P P |·|13P P |·cos 30°＝32a 2，12P P ·14P P＝|12P P |·|14P P |·cos 60°＝a 2. 12．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b (a <0)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝2，b ＝－5B ．a ＝－2，b ＝2C ．a ＝－2，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－2解析：选C f (x )＝－a (cos 2x ＋3sin 2x )＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b . 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1. ∵－5≤f (x )≤1，a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－5，－2a ＋2a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.答案：1214．(北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝xAB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→.又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．(重庆高考)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB ＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析：因为AB ＝OB －OA ＝(1，k －1)，且OA ⊥AB ，所以OA ·AB ＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.答案：416．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则y 的表达式为________．解析：由图象，知A ＝2，由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π6.答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |； (2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a·b ＝|a||b |cos θ＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝22＋22＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin(2ωx ＋π6)＋a2＋b (x ∈R ，a >0，ω>0)的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是34.(1)求ω、a 、b 的值； (2)指出f (x )的单调递增区间．解：(1)由函数最小正周期为π，得2π2ω＝π，∴ω＝1，又f (x )的最大值是74，最小值是34，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b ＝74，－a ＋a 2＋b ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝12sin(2x ＋π6)＋54，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)时，f (x )单调递增， ∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)． 19．(本小题满分12分)(天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋k π，k∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d . 解：(1)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， ∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－－－＝0，－＋－＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝20＋55，5＋255或d ＝20－55，5－255. 21．(本小题满分12分)如图所示，是一个半径为10个长度单位的水轮，水轮的圆心离水面5 2 个长度单位．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为d －k b ＝sin(t －h a)．(1)求正弦曲线的振幅和周期；(2)如果从P 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； (3)在(2)的条件下，求P 首次到达最高点所用的时间．解：(1)A ＝r ＝10.T ＝604＝15(s)． (2)由d －k b ＝sin t －h a ，得d ＝b sin t －ha＋k .b ＝A ＝10，T ＝2π1a＝2πa ＝15，∴a ＝152π. 由于圆心离水面52个长度单位， ∴k ＝5 2. ∴d ＝10sin2π－15＋5 2.将t ＝0，d ＝0代入上式，得sin(2π15h )＝22，2π15h ＝π4， ∴d ＝10sin(2π15t －π4)＋5 2.(3)P 到达最高点时d ＝10＋5 2.∴sin(2π15t －π4)＝1，得2π15t －π4＝π2，t ＝458(s)．即P 首次到达最高点所用时间为458s. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

高中数学模块综合测评(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A ．12iB ．－12iC ．12D ．－12C [i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12B ．22C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12.]3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列选项不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥β C ．AB ∥βD ．AC ⊥mB [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ，又AB ∥l ，∴AB ∥m ，则A 一定成立．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，则D 一定成立．∵AB ∥l ，AB ⊄β，l ⊂β，∴AB ∥β，则C 一定成立．若C ∉α且AC ⊥α，∵l ⊂α，∴AC ⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴AC ∥β，则B 不一定成立．故选B ．]4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10πB [因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]5．复数i1－i的共轭复数为( )A ．－12＋12iB ．12＋12iC ．12－12iD ．－12－12iD [因为i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，所以其共轭复数为－12－12i.故选D ．]6．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形C [∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，∴a c ＝sin B ，sin B ＝22.∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B ＝π4，∴ac ＝sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝2⎝⎛⎭⎫22cos C ＋22sin C ， ∴cos C ＝0.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，∴A ＝π－B －C ＝π4，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连接BC 1和DC 1(图略)，因为BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，而PC 1⊂平面C 1BD ，所以PC 1∥平面AB 1D 1.选D ．]8．已知三棱锥P -ABC 的各棱长均相等，O 是△ABC 的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为( )A ．23 B ．73 C ．12 D ．13A [设底面边长为a ，连接CO 并延长交AB 于F ，过点D 作DE ∥PO 交CF 于点E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，因为PO ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以△BDE 是直角三角形，设三棱锥P -ABC 的各棱长均为a ，则， BD ＝CF ＝32a ，CO ＝23BD ＝33a ，所以PO ＝a 2－13a 2＝63a ，因为点D 为侧棱PC 的中点，所以DE ＝12PO ＝66a ，所以cos ∠BDE ＝DE BD ＝66a32a ＝23，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为23. ]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) A ．若ab ＞c 2，则C ＜π3B ．若a ＋b ＞2c ，则C ＜π3C ．若(a ＋b )c ＜2ab ，则C ＞π2D ．若(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，则C ＞π2AB [对于A ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞2ab －ab 2ab ＝12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故A 正确；对于B ，因为a ＋b ＞2c ，所以(a ＋b )2＞4c 2，c 2＜(a ＋b )24，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞a 2＋b 2－(a ＋b )242ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故B 正确；对于C ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a ＋b )c ＜2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78＞0，所以C ＜π2，故C 错误；对于D ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34＞0，所以C ＜π2，故D 错误．故选AB ．] 10．下列各式的运算结果不是纯虚数的是( ) A ．i·(1＋i)2B ．i 2·(1－i) C ．(1＋i)2D ．i·(1＋i)ABD [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．]11．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α B ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βC．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αD．若α⊥β，α∥γ，则β⊥γBD[对于A，由α⊥β，l⊥β，得l⊂α或l∥α，故A错误；对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，l还可能与α相交，故C错误；对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n⊂γ，所以γ⊥β，故D正确．] 12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”时，z1≻z2.按上述定义的关系“≻”，下列命题为真命题的是()A．若z1≻z2，则|z1|＞|z2|B．若z1≻z2，z2≻z3，则z1≻z3C．若z1≻z2，则对于任意z∈C，z1＋z≻z2＋zD．对于复数z≻0，若z1≻z2，则zz1≻zz2BC[对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，但|z1|＝5，|z2|＝10，不满足|z1|＞|z2|，故A为假命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1≻z2，z2≻z3可得“a1＞a3”或“a1＝a3且b1＞b3”，即z1≻z3，故B为真命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋b i(a1，a2，a，b1，b2，b∈R)，由z1≻z2可得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，显然有“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，从而z1＋z≻z2＋z，故C为真命题；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1≻zz2，故D为假命题．故选BC．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知实数a，b满足a＋b i＝i2 019(i为虚数单位)，则a＋b的值为_______．－1[由i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以a＋b i＝i2 019＝(i4)504·i3＝－i，得a＝0，b＝－1.∴a＋b＝－1.]14．已知在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．6[在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋42－(27)22AB ·4＝12，解得AB ＝6或－2(舍去)．因为Rt △ADB 与Rt △ADC 有公共边AD ，所以62－BD 2＝42－(27－BD )2，解得BD ＝1277，所以CD ＝277，所以BDCD＝6.]15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．(本题第一空2分，第二空3分)图1 图2262－1[依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.] 16．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)．若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．322[由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2.∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝⎛⎭⎫a －322＋92，∴当a ＝32时，z *z －取得最小值，为322.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，某某数a ，b 的值．[解]z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i.因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．[解](1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由底面ABCD 为长方形，得BC ⊥CD ．而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ．又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB ． (2)由已知，PD 是阳马P -ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ．由(1)知，DE 是鳖臑D -BCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ，于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PDCE ·DE＝4.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解](1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.20．(本题小题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：BD ⊥EG ；(3)求多面体ADBEG 的体积．[解](1)证明：∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC ．又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG . (2)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE . 又AE ⊥EB ，EB ∩EF ＝E ，EB ，EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE .过D 作DH ∥AE 交EF 于H ，连接BH ，EG ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH ⊥EG .∵AD ∥EH ，DH ∥AE ，∴四边形AEHD 为平行四边形，∴EH ＝AD ＝2， ∴EH ＝BG ＝2，又EH ∥BG ，EH ⊥BE ，BE ＝2，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，又BH∩DH＝H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG.(3)∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴AD⊥平面AEB，由(2)知四边形BGHE为正方形，∴BE⊥BC．∴V ADBEG＝V D﹣AEB＋V D﹣BEG＝13S△ABE·AD＋13S△BEG·AE＝43＋43＝83.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里．[解]如图所示，连接A1B2.因为A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形．所以A1B2＝A1A2＝10 2.又因为A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h)．即乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PC ，AC ，BC 两两垂直，BC ＝PC ＝1，AC ＝2，E ，F ，G 分别是AB ，AC ，AP 的中点．(1)证明：平面GFE ∥平面PCB ；(2)求二面角B -AP -C 的正切值；(3)求直线PF 与平面P AB 所成角的正弦值．[解](1)证明：因为E ，F ，G 分别是AB ，AC ，AP 的中点，所以EF ∥BC ，GF ∥CP .因为EF ⊄平面PCB ，GF ⊄平面PCB ，所以EF ∥平面PCB ，GF ∥平面PCB ．又EF ∩GF ＝F ，所以平面GFE ∥平面PCB ．(2)如图，过点C 作CH ⊥P A ，垂足为H ，连接HB ．因为BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥P A ．又P A ⊥CH ，CH ∩BC ＝C ，所以P A ⊥平面BCH ，所以HB ⊥P A ，所以∠BHC 是二面角B -AP -C 的平面角，依条件容易求出CH ＝25，所以tan ∠BHC ＝125＝52，所以二面角B -AP -C 的正切值是52. (3)如图，设PB 的中点为K ，连接KC ，AK .因为△PCB 为等腰直角三角形，所以KC ⊥PB ．又AC ⊥PC ，AC ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面PCB ，所以AC ⊥PB ．又PB ⊥KC ，AC ∩KC ＝C ，所以PB ⊥平面AKC ．又PB ⊂平面P AB ，所以平面AKC ⊥平面P AB ．在平面AKC 内，过点F 作FM ⊥AK ，垂足为M .因为平面AKC ⊥平面P AB ，所以FM ⊥平面P AB ．连接PM ，则∠MPF 是直线PF 与平面P AB 所成的角．易得PF ＝2，FM ＝13，所以sin ∠MPF ＝132＝26，即直线PF 与平面P AB 所成角的正弦值是26.。

高中数学模块综合测试(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知角α的终边过点P (sin(－30°)，cos(－30°))，则角α的一个值为( D ) A ．30° B ．－30° C ．－60°D ．120°解析：P ⎝⎛⎭⎫－12，32，点P 在第二象限，sin α＝32，cos α＝－12，∴120°为角α的一个值．2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( B )A ．－53B ．－19C ．19D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.3．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是单调递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．4．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C ． 5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6， cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.6．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝13，则cos2α的值是( C )A ．179 B ．－223C ．－179D ．179或－179解析：∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，即2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2sin αcos α＝－173，∴cos2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－179. 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：y ＝sin(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin2x ，为奇函数．故选B ．8．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( C )A ．1B ．－1C ．2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.9．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( A ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，∴sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2cos x ，22sin x ，b ＝⎝⎛⎭⎫22sin x ，2cos x ，f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将f (x )的图象( C ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：f (x )＝a ·b ＝sin x cos x ＋sin x cos x ＝sin2x . 而y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，于是只需将f (x )的图象向左平移π6个单位．故选C ．11．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是( C )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π－π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移π6个单位，平移后的图象所对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由题图象知，⎝⎛⎭⎫7π12＋π6ω＝3π2，所以ω＝2.所以平移后的图象所对应的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.12．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( C ) A ．内心、重心、垂心 B ．重心、内心、垂心 C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上的单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝43.解析：设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －A ．代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.14．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为2 . 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2.15．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0,2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝4 030 .解析：由最大值为3知A ＝2，f (x )＝2cos 2(ωx ＋φ)＋1＝cos(2ωx ＋2φ)＋2，由交点(0,2)及0<φ<π2知φ＝π4.∴f (x )＝2－sin2ωx . 又周期为4，∴ω＝π4.∴f (x )＝2－sin π2x ，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝503×8＋6＝4 030.16．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是①④.解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错；③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1 866°－sin(－606°)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·B ．解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]， ∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间．解：(1)由题图象可知A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∵|φ|<π，∴φ＝34π.∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0.即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25.即sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.21．(12分)如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，(1)若BF →＝－34AB →＋110AC →，求证：点F 为DE 的中点．(2)在(1)的条件下，求BA →·EF →的值．解：(1)证明：因为BF →＝－34AB →＋110AC →，所以AF →＝BF →－BA →＝14AB →＋110AC →，又AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以AF →＝12AD →＋12A E →，所以F 为DE 的中点．(2)由(1)可得EF →＝12ED →＝12(AD →－AE →)，因为AB →＝2AD →，AC →＝5AE →，所以EF →＝14AB →－110AC →，所以BA →·EF →＝－AB →·⎝⎛⎭⎫14AB →－110AC → ＝－14AB →2＋110AB →·AC →＝－14×4＋110×2×6×cos60°＝－25.22.(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值X 围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.word11 / 11 (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值X 围为[－1－2，2－2]．。

人教A版数学必修四全册模块检测试卷及解析

模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限解析 sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角．答案 D2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )． A ．4 cm 2 B.6 cm 2 C ．8 cm 2D.16 cm 2解析由题意得⎩⎨⎧ 2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎨⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．答案 A3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )． A ．1 B. 2 C ．2D.4解析由于2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，即(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，解得n ＝±3.所以a ＝(1，±3)，所以|a |＝1＋(±3)2＝2. 答案 C4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4 解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴y 的单调增区间即解下列不等式2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，即2k π＋34π≤x ≤2k π＋74π，k ∈Z .当k ＝－1时，即得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54π，－π4为其增区间的一个．故选C.答案 C5．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )． A ．－72 B.－12 C.12D.72解析原等式可化为cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，化简，可得sin α＋cos α＝12.答案 C6．已知α是锐角，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( )．A ．15° B.45° C ．75°D.15°或75°解析 ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin 2α＝12. 又∵α为锐角，∴0°<2α<180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案 D7．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于( )． A.22 B.－22 C.32D.－32解析原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°) ＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝22. 答案 A8．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为( )． A ．0 B.－1 C ．0或－1D.－1或1解析由夹角公式：cos 45°＝x ＋1－x 2 (x ＋1)2＋x 2＝22，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1. 答案 C9．如图，已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4.若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )． A.152 B.152 C ．7D.18解析 ∵D 为BC 中点，∴CD →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋12(AB →－AC →)＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12(6p －q )2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×(22)2－12×22×3×cos π4＋32＝152.答案 A10．函数y ＝sin α＋cos α的图象的一个对称中心是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 解析 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，令x ＋π4＝k π(k ∈Z )，则x ＝－π4＋k π(k ∈Z )．故函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，0(k ∈Z )，当k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0.答案 C11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )．A ．2 B.2＋ 2 C ．2＋2 2D.－2－2 2解析由图象可知，f (x )＝2sin π4x ，其周期为8，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2. 答案 C12．(江苏扬州模拟)已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )．A.13 B.27 C.17D.23解析 a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________．解析 sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝31＋9＝310.答案 31014．要得到函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象，可以将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象沿x轴________．解析 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4――→向左平移π8y ＝3sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2. 答案向左平移π8个单位15．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析如图，作OC ⊥AB ，且平分AB ， ∴AC ＝32，OA ＝1，∴OC ＝12. ∴∠AOC ＝60°，则∠AOB ＝120°，OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos 120°＝－12. 答案－1216．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sinθ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1. 其中，正确的命题是________．解析 ①由正切曲线，知点(k π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0是正切函数的对称中心．故正确．②f (x )＝sin|x |不是周期函数．故错误．③∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z ，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2.当k ＝2n ＋1，k ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.故错误．④y＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1.故正确．答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本小题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ，|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．解 (1)a ＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)， b ＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)， a ·b ＝3×4＋(－2)×1＝10.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋20＋|b |2＝13＋20＋17＝50，∴|a ＋b |＝5 2.(2)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1013·17＝10221221. 19．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数m 满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．解 (1)∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则这三点共线，∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )＝2－m ， ∴m ＝12即为满足的条件．(2)由题意，△ABC 为直角三角形，①若∠A ＝90°，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，∴m ＝74.②若∠B ＝90°，则AB →⊥BC →，∵BC →(－1－m ，－m )，∴3(－1－m )＋(－m )＝0，∴m ＝－34. ③若∠C ＝90°，则BC →⊥AC →，∴(2－m )(－1－m )＋(1－m )(－m )＝0，∴m ＝1±52. 综上可得，m ＝74或－34或1±52.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图象按向量d 平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .解由题意，得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos 2x －sin 2x ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋34π.(1)f (x )的最大值为2＋2，最小正周期是2π2＝π.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋34π＝0，得2x ＋3π4＝k π，即x ＝k π2－3π8，k ∈Z .于是，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－k π2，－2，|d |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－3π82＋4(k ∈Z )．因为k 为整数，要使|d |最小，则只要k ＝1，此时d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－2即为所求．21．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 ∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α，|BC →|＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α.(1)由|AC →|＝|BC →|，得sin α＝cos α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin α(sin α＋cos α)1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59. 22．(本小题满分12分)已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1，x ∈R .(1)求它的振幅、周期和初相； (2)用五点法作出它的简图；(2)该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的振幅为A ＝12，周期为T ＝2π2＝π，初相为φ＝π6.(2)令x 1＝2x ＋π6，则y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54＝12sin x 1＋54，列出下表，并描出如下图象：(3)法一将函数图象依次作如下变换：函数y ＝sin x 的图象―――――――――――→向左平移π6个单位函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象――――――――――――――――――――→各点横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象――――――――――――――――――――→各点纵坐标缩短到原来的12 (横坐标不变)函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象――――――――――――――→向上平移54个单位函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图象．即得函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的图象．法二函数y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――――――――→各点横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)函数y ＝sin 2x 的图象――――――――――――――→向左平移π12个单位函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象――――――――――――――――――――――――→各点纵坐标缩短到原来的12 (横坐标不变)y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象――――――――――――→向上平移54个单位y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图象．即得函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的图象．。