第12章数的开方3

第12章 数的开方

知识网络图示

基本知识要点总结

(一)主要概念

1．平方根

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．用符号表示：a 的平方根为 (0).a a ≥

2．立方根

如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．用符号表示：a 的立方根为 a （a 为任意数)．

3．无理数 无限不循环小数叫做无理数．

4．实 数 有理数与无理数统称为实数．

(二)主要性质

1．平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；

(2)零的平方根是零；

(3)负数没有平方根．

2．立方根的性质

(1)正数有一个正的立方根；

(2)零的立方根是零；

(3)负数有一个负的立方根．

3．实数的性质

(1)绝对值：⎩

⎨⎧<-≥=);0(),0(||a a a a a (2)相反数：a 的相反数为－a ；

(3)倒数：a 的倒数为).0(1=/a a

(三)主要运算

1．平方根和立方根的运算

平方根和立方根的运算依据是：

(1)定义； (2)开平方和开立方分别与平方和立方互为逆运算．

2.2a 的化简

2(0),||(0).a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 33.3a 的化简 33(a a a =为任意数)．

解题方法指导

(一)思维方法——逆向思维

本章第三节内容中对“无理数2的引入”的探究，及教材复习题中对正方形剪拼的探究，都用到了逆向思维的方法．

例1 有一个十字形，它由五个边长为l 的正方形组成(如图12—1)，你能把它切成三块，拼成一个长是宽的两倍的长方形吗?

解析 直接切拼显然比较困难，我们从反面去思考：假设切成三块，能拼成一个长是宽的两倍的长方形．由此去寻找规律，并通过计算长方形的长与宽的值确定切拼的方法．

答案 设拼成的长方形的长为x ，则宽为.2

1x 由切拼前后图形面积相等得 .10,52

12==x x 通过本章的学习，我们知道长方形的长恰为中间一排三个正方形所组成的长方形的对角线AB 的长．由图形的对称性可知，图中十字形的一角顶点M 与A ，B 是一等腰直角三角形的顶点，则AB 的中点N 到A ，B ，M 三点的距离都等于,2

1AB 所以沿AB ，MN 将十字形切成三块，并将图中I 与Ⅱ这两块，分别移到l '与Ⅱ'处，就拼成了一个长是宽的两倍的长方形．

点评 像这种拼图问题，若直接切拼则往往无从下手，所以应从反面思考，即从已经切拼好的图形入手，分析数量关系和各部分的联系，寻求解题的方法及途径，这样做的确会另辟蹊径，开阔我们的思路，使问题得到巧妙解决．

(二)解题方法——定义法

本章涉及的重要概念有平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数，掌握它们的概念，利用它们的定义解题是一种重要的解题方法．

例2 (1)下列实数中为无理数的是 ( )

7

22.A 9.B π.C D ．1.732 (2)若a ，b 是无理数，a+b ＝2，则a ，b 的值可以是 ．(填上一组满足条件的值即可) 解析 (1)判断一个实数是否为无理数，主要应根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数．因为

7

22是一个分数，所以是有理数；39=是有理数；1．732是有限小数，所以是有理数；π是无限不循环小数，所以是无理数． (2)本题是一道开放题，答案不唯一．解决本题一定要注意所应满足的条件．

答案 (1)C (2)答案不唯一，如2,22-=+=b a 等．

例3 (1)9的平方根是 ，16-的算术平方根是 ．

(2)若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m= ．

(3)已知(2x －1)3＝－27，则x ．

解析 (1)本题可根据平方根及算术平方根的定义求解，要注意平方根与平方的区别以及平方根与算术平方根的区别．

(2)本题可能存在两种情况：①2m －4和3m －1表示同一个平方根，则2m －4＝3m －1，m ＝－3；②2m －4和3m －1表示两个不同的平方根，则它们互为相反数，所以2m －4+3m －1＝0，m ＝1．

(3)因为(2x －1)3＝－27，所以2x －1是－27的立方根，又－27的立方根是－3，所以2x －1＝－3，x ＝－l ．

答案 (1)±3；4 (2)－3或 1 (3)－1

点评 波利亚在《怎样解题》中提到解题的最基本方法——回到定义中去，即根据定义来解决问题，这种方法是解决与概念有关的问题的最根本、最普遍的方法．

(三)思想方法——从特殊到一般

许多特例中往往蕴含着一般性规律和结论，数学史上很多重要的结论就是在观察特例的基础上，猜想归纳出一般性结论，然后通过严格的论证得到的．

例4

(1)(填“>”、“<”或“一”)； (2)由此你可发现什么规律?把你所发现的规律用含n 的式子(n 为大于1的整数)表示出来．

解析 借助计算器可知,151514141

31312122222-->-⋅->-->--根据这一结果，可猜测⋅-->--1

200612006120051200522在观察这些特例的基础上，可猜想出一般性

n >为大于1的整数)．

答案 见解析．

点评 运用“从特殊到一般”这一思想方法，可帮助我们类比猜想出许多重要的结论，但所得到的结论仅仅只是一种猜想，不一定正确，因此运用这一思想方法时，还需对所得结论进行理论上的论证．

◆综合探究案例

小强同学在学习了本章的内容后设计了如下问题：

定义：把形如,a a a b +-为有理数，优为正整数且开方开不尽)的两个实数称为共轭实数．

(1)请你举出一对共轭实数： ．

在与? ；

32-与? ．(填“是”或“不是”)

(3)共轭实数b a m b a -+,有理数还是无理数? ．

(4)你发现共轭实数m b a +与m b a -的和、差有什么规律? 。

解析 这道题目综合了本章的各知识点，下面是几名同学的探究过程：

小松：(1)取a ＝5，b ＝2，m ＝3，可得一对共轭实数：325+与.325-

小海：(2)因为23与32的被开方数不相同，所以23与32不是共轭实数；而

⋅-32与32的被开方数都是3，即a ＝0，b ＝2，m ＝3，所以- 实数．

小阳：(3)因为m 开方开不尽，所以.m 为无理数，而b 是有理数，所以m b 是无理数，有理数a 加上或减去无理数,m b 其结果仍然是一个无理数．

小慧：(4)由于+=-++=<-++a a m b m b a a m b a m b a (,2)())()(

,2)()()()m b m b m b a a m b m b m b a m b =++-=+-+=--αα所以它们的和是一个有理数，等于2a ；它们的差仍是一个无理数，等于.2m b

点评 本题涉及的探究内容比较简单，读懂“共轭实数”的定义是探究的关键，在探究的过程中要注意弄清概念、定义，理解实数的定义及其运算特点．