循环矩阵求特征值的方法
四元数循环矩阵的特征值
（） ７
证 由 （ ２）式 及 Ｋ ｏ ｅｋ ｒ 法 的 性 质 ，得 ： ｒｐ ｃ ｅ 乘
（ ０ （ ， ） Ｉ Ｂ
＝
） ＝Ｚ（ Ｉ
） ０ ） 一［ ０ ＝∑（Ｂ，） （ ） ， ， ０
）
∑Ｂ ￣ ｉ （ ７ ．‘ ‘ ） ｄｇ∑Ｂ， ‘ ，． ‘ ‘ ） ｐ ｄｇ，ｐ，，ｐ ｎ ＝ｉ （ ∑Ｂ …， 日 １ 一 一一 ａ … 一 ．∑Ｂ 一一
Ｘ。足 ＝（ ｋ ．，） ｐ１ － ） （） １ ．０ （ ） １ 。 ， 一，． ． －（ ） ｑ
证 设 ， ＋ｙ， ， ∈Ｃ） ． ＝ Ｊ（ ｙ 。由复表示矩 阵 的性 质与上 引理 １ ，得
（ ０ —， ： ） ｄｇ （， （，， （） ， ）Ａ ｒ），０ ＝ｉ （ ｒ∑：）． ｒ ： （ （ ａ ￣ ） ｒ．∑ ） ． ．
引 言
对 于复 循 环矩 阵 的研 究 已有 不少 文献Ｉ 。然而 ， 目前 人们 对 四元数循 环矩 阵的 了解并 不 表 多 现 在我们 来讨论 这类 矩 阵的特征值 计算 及其对 角化 问题 。 设 Ｒ 是 实数域 ，Ｃ＝８ ０ 复数 域 ，Ｑ＝ｃ ） 四元 数体 （ ＝Ｊ （是 Ｏ是 ＝－ ， ＝－ ｉ ） １ ｊ 。用 示环 Ｋ上 ｍ×， 阵全体 。用 ， ｌ 矩 表示 Ｂ∈Ｑ一 的复 表示矩 阵 。［ ３ １
摘 要 ：文章给 出四元 数循环 矩 阵的左特 征值 与右特征 值 的一般表 达式 ，并给 出四元数循环
矩 阵 可 对 角化 的 一 个 充 要 条 件 。 关 键 词 ：四 元 数 ；循 环 矩 阵 ；左 （ ）特 征 值 右
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ １２ ５． 文 献 标 识 码 ：Ａ
循环逆M-矩阵的逆特征值问题
第 ６期
宜春学 院学报
Ｊ ｕ １０ ｃ ｕ ｏ ｅ ｅ ０ ｍａ ｆ Ｙｉｈ ｎ Ｃ ｕ ｇ
Ｖ０ ０． Ｎｏ ６ Ｌ３ ． Ｄｅ ． ｏ ｌ ｃ２ ｃ ８
２Ｏ ０ ８年 １ ２月
循 环 逆 Ｍ 一矩 阵 的逆 特征 值 问题
韩 凤萍 。严 宣辉 （ ．福建信 息 职业技 术 学院 ，福 建 １ 福州 ３０ ｌ ； ５０ ９ 福州 ３００ ） ５ｏ７
值 问题 定理 ，且 文章 中利用 Ｍａ ａ ． ｔ ｂ６ ５计算软件对 引理 以及部 分定理 编写程 序求矩 阵 ，用该 软件 中的特征 值 函 Ｌ
数ｅ 验证所 求的矩阵正是 所给的限制谱 下的矩阵 ，并相 应给 出了数 值例子。 关键词 ：循 环矩 阵；Ｍ一矩阵 ；逆 Ｍ一矩 阵；共轭偶 向量 ；逆特征值 问题 中图分类号 ：０ ４ ． 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１７ —３０ （ｏ ８ ６— ｏ ３— ４ ２ １６ ６ １ ８ Ｘ ２ ｏ ）０ ０ １ ０
ｔ ｒｓ ｅ ｏ ｌｘ ｐｃ ． ｅｎ ｈｌ，ｗ ｌ ｓ ｉｎｅ８ｆ ａ ｈ ｐｅｃ ｄｃｍｐｅ ｅｔ Ｍ ａ ｗ ｉ ｅａ ０ｕｅｓ ｅｃ ０ｌ —Ｍａ ａ ． ｏｐ ｌ ｂ ｕ ｓ ｅｋ ａａ ｄｔｅｒｍ， ｅ ｓ ｍｍ ｅ ｓ ｃ ｗ ｔ ｂ６５ｔ Ｉ ａ ｏｔ 锄 ｍｍ ｎ ０ｅ ｌ ｎ ｈ ｍ ｋｎ ｓ ｆｕ ｃ ０ ｅ ｔ ｔｓｆ ｔｅｄ ｈ ｆｈ ａ ｉ ｗｔ ｅｐｅｃ ｂｄｉ ｔ ｓｐｐｒＢ ８ ｅ ａ ｉ ｕｅｏ ｎｔ ｎ— ｏ ｅｔｙ ｈ ｇ ｔ ｅｍ ｔｘ ｉ ｔ ｒｓｄ ｅ ｌ ａｅ． ｅｉ ｓ，ｔｅｅｒ ｓ０ｄｎ ｅｉ １ ｘ ｇ ｆ ｉ ｉ ０ｔ ｒ ｈ ｈ ｎｌ ｉ ｄ ｈ ｏｒ ｐ ｎ 岫 ｒ ａ ｅ － ｅ ｃ
循环矩阵的性质及其应用概要
目录一。
相关概念................................................. - 2 -定义1.1 ............................................... - 2 -定义1。
2 .............................................. - 3 -定义1。
3 .............................................. - 3 -定义1.4 ............................................... - 3 -二. 循环矩阵的性质.......................................... - 3 -2.1 循环矩阵基本性质................................... - 3 -2。
2 关于循环矩阵的判定相关性质........................ - 5 -2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论....................... - 6 -2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论................... - 7 -2。
5 循环矩阵对角化相关性质............................ - 7 -2。
6 等比数列构成的循环矩阵相关性质.................... - 9 -2.7 循环矩阵行列式与特征值相关性质.................... - 10 -2。
8 循环矩阵的奇异性................................. - 12 -2。
9 循环矩阵与向量空间相关性质....................... - 12 -三．广义循环矩阵............................................ - 12 -定义3.1 .............................................. - 13 -定义3。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
循环矩阵的特征值
循环矩阵的特征值
循环矩阵是一种特殊的矩阵，它的每一行都是前一行向右移动一位得到的。
循环矩阵的特征值是非常有趣的，它们具有一些独特的性质。
循环矩阵的特征值可以用一个简单的公式来计算。
设循环矩阵的大小为n，那么它的特征值为：
λ_k = w_n^k
其中，w_n是n次单位根，k是一个整数。
这个公式的意义是，循环矩阵的特征值是n次单位根的k次幂。
这个公式非常简单，但它却包含了循环矩阵的所有特征值。
循环矩阵的特征值具有一些有趣的性质。
首先，它们都是复数。
循环矩阵的特征值还具有一些应用。
例如，它们可以用来解决循环卷积的问题。
循环卷积是一种特殊的卷积，它在信号处理和图像处理中非常常见。
循环卷积的问题可以通过将信号或图像转换为循环矩阵，并求解循环矩阵的特征值来解决。
循环矩阵的特征值是非常有趣的。
它们具有简单的计算公式、独特的性质和广泛的应用。
如果你对线性代数和信号处理感兴趣，那么循环矩阵的特征值一定值得你深入研究。
矩阵的特征值与特征向量 正文
引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。
自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。
近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。
另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。
可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题。
因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。
矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。
线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。
求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。
一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。
特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。
eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。
随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。
特征方程的根与特征值的计算方法
特征方程的根与特征值的计算方法特征方程常常在矩阵计算和微分方程中出现。
在这两个重要的数学领域中，特征方程的使用是非常重要的。
对于矩阵问题，特征方程的解决有助于找到矩阵的特征值，而针对微分方程，它可以用来描述一个微分方程的稳定性。
在本篇文章中，我们将会介绍特征方程的根与特征值的计算方法。
一、特征方程的定义特征方程是指一个矩阵减去一个标量矩阵后的行列式，表示为det(A-λI)=0。
其中，A是一个n阶方阵，λ是一个标量，I是一个n 阶单位矩阵。
二、特征值与特征向量在特征方程中，一个标量λ称为矩阵A的特征值，而特征向量则是指矩阵A与它的特征值所对应的非零向量。
特征方程的根与特征值有很大的关联性，因为特征值就是特征方程的根。
三、特征方程的解法要求解特征方程，必须要先计算出它的根，也就是特征值。
一般来说，根据求解特征值的方式，可以将特征方程的计算方式分为以下两种：1. 直接求解根据特征方程的定义，即求出A-λI的行列式，并令其等于0。
这个过程中，λ相当于是一个未知的变量，因此该方程式是一个关于λ的一元多项式，而根据代数基本定理，不存在大于n阶的关于λ的一元多项式。
因此，该方程式的根的个数正好等于它的次数。
举个例子：对于一个2阶矩阵的特征方程det(A-λI)=0，可以列出一个2次的关于λ的一元多项式。
这个方程式的根有可能是实数，但也有可能是复数。
对于一个n阶矩阵来说，这个特征方程是一个n次的关于λ的一元多项式，它也有可能有实数根与复数根。
2. 利用迭代计算法求解以幂迭代法为例来说明。
Step 1：初始化随机生成一个n维向量x0，并将其归一化。
不妨先令i=0，然后执行以下的迭代计算法：Step 2：迭代求解i. 计算矩阵和向量的乘积。
y=Axiii. 求得y中的最大值yi和对应的下标iiii. 创建一个新的向量x，并计算x=1/yi*yiv. 计算向量x与扰动项之和的范数，并判断其是否已经收敛若范数小于一个给定的精度，则停止迭代计算法；反之，则转到Step 2并令i=i+1，继续循环迭代计算。
循环矩阵的性质及其应用
循环矩阵的性质及其应⽤\S 1循环矩阵的定义及多项式表⽰设\mathbb{K}为数域. 任取\mathbb{K}中n个数a_1,a_2,\cdots,a_n,下列矩阵称为\mathbb{K}上的n阶循环矩阵:A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}.\quad(1)取a_2=1, a_1=a_3=\cdots=a_n=0, 则可得到如下基础循环矩阵:J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}.\quad(2)由复旦⾼代⽩⽪书的例 2.1 可知, J^k=\begin{pmatrix} 0 & I_{n-k} \\ I_k & 0 \\ \end{pmatrix}\,(1\leq k\leq n), 从⽽A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}.\quad(3)令g(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n-1}, 则g(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 使得A=g(J), 这就是循环矩阵关于基础循环矩阵的多项式表⽰.记C_n(\mathbb{K})为\mathbb{K}上所有n阶循环矩阵构成的集合, 容易验证: 在矩阵的加法和数乘下, C_n(\mathbb{K})是⼀个n维线性空间, 它的⼀组基为\{I_n,J,\cdots,J^{n-1}\}. 再任取循环矩阵B=h(J), 其中h(x)是\mathbb{K}上次数不超过n-1的多项式, 则利⽤多项式乘法和J^n=I_n可知AB=g(J)h(J)仍然是⼀个循环矩阵 (参考⾼代⽩⽪书的例 2.12). 因此, C_n(\mathbb{K})是\mathbb{K}上的n维交换代数, 同构于\mathbb{K}[x]/(x^n-1).\S 2循环矩阵的性质下⾯将依次研究循环矩阵的特征值、特征向量和可对⾓化等性质, 由此可得循环矩阵的⾏列式、秩和⾮异性等信息. 这些内容包含在⾼代⽩⽪书的例 2.52, 例 6.9, 例 6.32 和例 6.39 的推论中.容易计算出基础循环矩阵J的特征多项式|\lambda I_n-J|=\lambda^n-1, 从⽽J在复数域中有n个不同的特征值, 即n次单位根\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1), 因此J在复数域上可对⾓化. 经计算可知, 特征值\omega_k的特征向量是\alpha_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\cdots,\omega_k^{n-1})'. 将这些特征向量按列分块拼成⼀个矩阵: P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & \omega_1 & \omega_2 & \cdots & \omega_{n-1} \\ 1 & \omega_1^2 & \omega_2^2 & \cdots & \omega_{n-1}^2 \\ \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \omega_1^{n-1} & \omega_2^{n-1} & \cdots & \omega_{n-1}^{n-1} \\ \end{pmatrix},\quad(4)则由Vandermonde ⾏列式或特征值特征向量的性质可知, P是⾮异阵, 并且满⾜P^{-1}JP=\mathrm{diag}\{1,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{n-1}\},\quad(5)从⽽P^{-1}AP=P^{-1}g(J)P=g(P^{-1}JP)=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}.\quad(6)由 (6) 式可知循环矩阵A=g(J)具有如下基本性质:(P1) A的特征值为g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1}), 对应的特征向量是\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1};(P2) |A|=g(1)g(\omega_1)g(\omega_2)\cdots g(\omega_{n-1});(P3) 循环矩阵A可对⾓化;(P4) r(A)=\sharp\{0\leq k\leq n-1\mid g(\omega_k)\neq 0\};(P5) A⾮异当且仅当g(\omega_k)\neq 0\,(0\leq k\leq n-1), 也即当且仅当(\lambda^n-1,g(\lambda))=1.定理 1 n阶复循环矩阵全体C_n(\mathbb{C})与n阶复对⾓矩阵全体D_n(\mathbb{C})之间存在⼀个⾃然的代数同构\xi.证明n阶复对⾓矩阵全体在矩阵的加法、数乘和乘法下成为复数域上的代数. 我们通过 (6) 式来定义映射\xi, 即\xi: C_n(\mathbb{C})\toD_n(\mathbb{C})定义为\xi(A)=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}. 容易验证\xi保持矩阵的加法、数乘和乘法, 从⽽是⼀个代数同态. 对任⼀\Lambda=\mathrm{diag}\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1}\}, 利⽤ Lagrange 插值公式可知, 存在次数不超过n-1的复系数多项式h(\lambda), 使得h(\omega_k)=\lambda_k(0\leq k\leq n-1). 令B=h(J), 则\xi(B)=\Lambda, 即\xi是满射. ⼜\dim C_n(\mathbb{C})=\dim D_n(\mathbb{C})=n, 从⽽\xi是⼀个线性同构, 从⽽是代数同构. \Box推论 2 n阶复矩阵B可对⾓化的充要条件是B相似于某个循环矩阵.证明由定理 1 中的代数同构\xi是通过相似变换实现的即得结论. \Box推论 3 设A\in C_n(\mathbb{K}), 则A^*也是循环矩阵.证法 1 由 (6) 式可知P^*A^*(P^*)^{-1}=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*仍为对⾓阵. 注意到P^*=|P|P^{-1}, 故上述等式可化为P^{-1}A^*P=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*.因此由定理 1 可知, A^*=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^*\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由⾼代⽩⽪书的例 6.62 可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^*=h(A). 设A=g(J), 则A^*=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=(a_{ij})的代数余⼦式为A_{ij}\,(1\leq i,j\leq n), 要证A^*是循环矩阵, 根据定义只要证明: 对任意的1\leq i,j\leq n,A_{ij}=A_{i+1,j+1}成⽴即可, 其中若i+1>n或j+1>n, 则需要把i+1或j+1换成i+1-n或j+1-n. 证明A_{ij}=A_{i+1,j+1}只需要简单的⾏列式计算即可. ⽐如先把A_{ij}的最后⼀列经过n-2次相邻对换换⾄第⼀列, 再把得到⾏列式的最后⼀⾏经过n-2次相邻对换换⾄第⼀⾏, 最后就能得到A_{i+1,j+1}. 我们把验证的细节留给读者完成. \Box推论 4 若A\in C_n(\mathbb{K})是⾮异阵, 则A^{-1}也是循环矩阵.证法 1 由定理 1 可知, A^{-1}=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^{-1}\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由 Cayley-Hamilton 定理可知, 存在多项式h(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得A^{-1}=h(A) (参考⾼代⽩⽪书的例 6.61). 设A=g(J), 则A^{-1}=h(A)=h(g(J))仍为J的多项式, 从⽽是循环矩阵.证法 3 设A=g(J), 则由A⾮异可知(\lambda^n-1,g(\lambda))=1. 由互素多项式的性质可知, 存在u(\lambda),v(\lambda)\in\mathbb{K}[\lambda], 使得(\lambda^n-1)u(\lambda)+g(\lambda)v(\lambda)=1. 令\lambda=J, 代⼊上式可得g(J)v(J)=I_n, 从⽽A^{-1}=v(J)也是循环矩阵.证法 4 由A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*以及推论 3 即得结论. \Box推论 5 \mathbb{K}上的n阶⾮异循环矩阵全体GC_n(\mathbb{K})在矩阵乘法下成为⼀个 Abel 群.推论 6 设A为n阶复循环矩阵, f(z)是收敛半径等于+\infty的复幂级数, 则f(A)也是循环矩阵.证法 1 注意到f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P, 从⽽f(A)=\xi^{-1}\bigg(f(\xi(A))\bigg)也是循环矩阵.证法 2 由可知, 存在多项式h(z), 使得f(A)=h(A)也是循环矩阵.证法 3 设f(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i, f_p(z)=\sum\limits_{i=0}^p a_iz^i为f(z)的部分和多项式. 设A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}, 则f_p(A)=b^{(p)}_1I_n+b^{(p)}_2J+b^{(p)}_3J^2+\cdots+b^{(p)}_nJ^{n-1}. 由于矩阵序列\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)收敛到f(A), 故每个数列\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i都收敛. 若设\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i=b_i\,(1\leq i\leq n), 则f(A)=\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)=b_1I_n+b_2J+b_3J^2+\cdots+b_nJ^{n-1}仍为循环矩阵. \Box\S 3循环矩阵的应⽤下⾯我们给出循环矩阵的⼀个应⽤.命题 7 设有\mathbb{K}中n^2\,(n\geq 2)个不同的数, 则存在⼀个全排列, 记为a_1,\cdots,a_{n^2}, 使得\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_{n+1} & a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+1} & a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0.证明对n进⾏归纳. n=2时, 先取到a_1,a_2, 使得a_1+a_2\neq 0, 从⽽\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_1 \\ \end{vmatrix}=(a_1-a_2) (a_1+a_2)\neq 0, 于是B=\{(a_1,a_2),(a_2,a_1)\}是\mathbb{K}^2的⼀组基. 注意到(a_3,a_4)\neq 0, 故由基扩张定理, 必可从基B中选取⼀个基向量, 不妨设为(a_1,a_2), 使得\{(a_1,a_2),(a_3,a_4)\}成为\mathbb{K}^2的⼀组新基, 因此\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\\end{vmatrix}\neq 0. 设n-1时结论成⽴, 现证n的情形.证法 1 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2\omega_k+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}\neq 0对0\leq k\leq n-1都成⽴. 这⼀定能做到, ⽐如先选定a_2,\cdots,a_n, 则不满⾜上述条件的a_1最多只有n个, 从⽽可取到满⾜上述条件的a_1. 由循环矩阵的性质可知, (1) 式中的循环矩阵A是⾮异阵, 特别地, A的n个⾏向量\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}是\mathbb{K}^n的⼀组基. 由归纳假设, 可从剩下n^2-n个数中选出(n-1)^2个数的全排列, 使得\begin{vmatrix} a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\\end{vmatrix}\neq 0,后⾯随便选取a_{n+1},\cdots,a_{n^2-n+1}, 均可使n-1个⾏向量(a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})线性⽆关 (参考复旦⾼代教材的习题 3.4.9). 因此由基扩张定理, 必可从基\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}中选出⼀个基向量, 不妨设为\beta_1, 使得\{(a_1,a_2,\cdots,a_n), (a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n}), \cdots, (a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})\}构成\mathbb{K}^n的⼀组新基, 从⽽结论得证.证法 2 ⽤反证法, 设对n^2个数的所有全排列, 对应的⾏列式都等于零, 我们来推出⽭盾. 先取到a_1,a_2,\cdots,a_n, 使得a_1+a_2+\cdots+a_n\neq 0, 再由归纳假设, 不妨设取到的⾏列式中, a_1的代数余⼦式A_1\neq 0. 设其余元素a_i的代数余⼦式为A_i\,(2\leq i\leq n), 因此a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=0. 在取到的⾏列式中, 对换第⼀⾏的a_1与a_i\,(2\leq i\leq n), 其余n^2-2个元素保持不变, 则有a_iA_1+\cdots+a_1A_i+\cdots+a_nA_n=0. 由此可得(a_1-a_i)(A_1-A_i)=0, 但a_1\neq a_i, 从⽽A_1=A_i\,(2\leq i\leq n). 最后,0=a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)A_1\neq 0, ⽭盾. \Box注 1 命题 7 的证法 1 是构造性的, 利⽤这⼀证法可以给出满⾜条件的全排列的总个数的⼀个粗略估计. 命题 7 的证法 2 由复旦数学学院 16 级本科⽣朱民哲提供.注 2 本⽂的主要结论还可以推⼴到特征零的域或者特征p>0的域 (要求p\nmid n) 及其分裂域或代数闭包上. 另外, ⾼代⽩⽪书第⼆章的解答题 13 还给出了b-循环矩阵的推⼴. 有兴趣的读者可以⾃⾏学习和验证这些结论.参考⽂献[1] ⾼代教材: 姚慕⽣, 吴泉⽔, 谢启鸿编著, ⾼等代数学 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2014.[2] ⾼代⽩⽪书: 姚慕⽣, 谢启鸿编著, 学习⽅法指导书: ⾼等代数 (第三版), 复旦⼤学出版社, 2015.Processing math: 0%。
任意循环矩阵对角化证明
任意循环矩阵对角化证明任意循环矩阵对角化证明引言在线性代数中，矩阵是一种广泛使用的数学工具，用于描述线性变换。
对于某些矩阵而言，可以通过对角化来简化其计算和分析。
本文将探讨任意循环矩阵的对角化问题。
定义循环矩阵是指在每行或每列上将该行或该列向右移动一个单位得到的矩阵。
具体而言，若$A$为$n\times n$的循环矩阵，则其可以写成如下形式：$$A=\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_2 & a_3 & \cdots & a_n & a_{n-1} \\a_{n-1} & a_n & \cdots & a_2& a_1\end{pmatrix}$$其中$a_i$表示第$i$行和第$i+1$列的元素。
证明首先，我们需要证明任意循环矩阵都可以对角化。
具体而言，我们需要找到一个可逆矩阵$P$和一个对角矩阵$D$，使得$A=PDP^{-1}$。
由于循环矩阵的特殊性质，我们可以通过观察其特征向量来解决这个问题。
具体而言，我们可以通过以下步骤来证明：Step 1：求出$A$的特征值。
对于任意循环矩阵$A$，其有$n$个特征值，分别为：$$\lambda_1=\sum_{i=1}^na_i,\quad\lambda_2=a_1+a_n+\sum_{i=2}^{n-1}a_i,\quad \cdots,\quad \lambda_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$$其中$\lambda_i$表示第$i$个特征值。
第5章矩阵特征值和特征向量
C C2 1
C0 C0
C
a a (k1) (k1)
pp
2a
(k 1) pq
tan
C
sgn(C) C2 1
t
cos 1
1 t2
sin t cos
if
a ( k -1) pq
a ( k -1) pp
a ( k -1) qq
,
we take t as
t
1 2C
a ( k 1) pq
sin
ai(pk -1)
另外，实际问题中的具体要求不同，有时只要求A 的绝对值最大的特征值（主特征值）及相应的特征 向量；有时又要求全部的特征值及特征向量。根据 这两种不同要求，求矩阵的特征值与特征向量的方 法也大致分为两类：迭代法（幂法反幂法）、变换 法。
关于矩阵特征值及特征向量的一些结论：
Th1. i （i=1,…,n）为A的特征值，则有
n 1
n
n 1
xn
k
xn
k
x1 max(
x1
)
对应1的特征向量x1 的规范化向量
vk
Ak v0 max Ak1v0
1k
1x1
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
k1 1
max
1
x1
2
2 1
k 1
x2
n
n 1
k
1
xn
max
vk
1k
max
1x1
做迭代 u0 v0
vk Auk1
uk
vk
max vk
有
uk
x1 ,
max x1
pca循环的名词解释
pca循环的名词解释PCA（Principal Component Analysis）是一种用于降维和数据压缩的数据分析方法，也被广泛应用于图像处理、模式识别等领域。
在本文中，我们将对PCA循环的名词进行解释，并探讨其在实际问题中的应用。
PCA循环可以分为三个部分：数据中心化、协方差矩阵的计算和主成分的提取。
首先，数据中心化是指将原始数据转化为均值为零的形式，即将每个特征的均值减去整个数据集的均值。
这一步骤的目的是消除特征之间的偏差，使得数据在各个维度上的分布更集中。
接下来，通过计算协方差矩阵来衡量特征之间的相关性。
协方差矩阵是一个方阵，其中的元素代表了两个特征之间的关系强度。
对于一个具有m个样本和n个特征的数据集，协方差矩阵的大小为n×n。
通过对协方差矩阵进行特征值分解，我们可以得到特征值和特征向量。
特征值表征了每个特征的重要性，而特征向量则是描述相应特征的方向。
特征值越大，说明相应的特征在原始数据中的方差越大，即对数据集的贡献越大。
因此，我们可以根据特征值的大小来选择最重要的特征。
最后，我们提取出了最重要的特征，即主成分。
主成分是原始数据在特征空间中的投影，通过这种方式，我们可以将高维数据转化为低维表示，从而实现数据的降维。
通过选择最重要的主成分，我们可以保留大部分数据的信息，并且减少数据的冗余。
在实际问题中，PCA循环被广泛应用于数据挖掘、图像处理和模式识别等领域。
例如，在数据挖掘中，PCA循环可以用于发现隐藏在数据背后的主要模式。
在图像处理中，PCA循环可以用于减少图像的维度，并提取出最具代表性的特征。
而在模式识别中，PCA循环可以用于减少特征空间的维度，从而提高模型的准确性和效率。
总之，PCA循环是一种用于降维和数据压缩的重要方法。
通过对数据进行中心化、计算协方差矩阵和提取主成分，我们可以实现对数据的降维和提取出最重要的特征。
在实际应用中，PCA循环被广泛应用于数据挖掘、图像处理和模式识别等领域，具有重要的应用价值。
循环子空间的维数
循环子空间的维数一、循环子空间的概念1.定义及特点循环子空间是指在线性代数中，由一组循环向量组成的子空间。
循环向量是指线性组合中，系数循环出现的向量。
例如，<3x+2y, -x+4y, 2x-y>是一个三维循环向量。
循环子空间的特点是具有周期性，这在信号处理、图像处理等领域具有很大的应用价值。
2.与向量空间的关系循环子空间是向量空间的一个子集，具有更特殊的结构。
向量空间中的向量可以看作是循环向量和非循环向量的集合。
循环子空间可以看作是向量空间中一部分具有特定结构的向量组成的子空间。
二、循环子空间的维数1.维数的定义及计算方法循环子空间的维数是指该子空间中的线性无关向量的最大数量。
计算方法有两种：一种是通过求解线性方程组来确定循环子空间的维数；另一种是通过计算矩阵的特征值和特征向量来确定。
2.不同维数循环子空间的性质与应用不同维数的循环子空间具有不同的性质和应用。
一般来说，低维循环子空间具有更简单的结构，便于分析和处理。
高维循环子空间在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用，如傅里叶变换、小波变换等。
三、循环子空间的求解方法1.线性方程组的解法对于给定的线性方程组，可以通过高斯消元法、矩阵求逆法等方法求解。
求解过程中，可以利用循环子空间的特性，减少计算量。
2.矩阵的特征值和特征向量对于给定的矩阵，可以通过求解特征值和特征向量来得到循环子空间的基。
这一方法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用，如在信号分解、图像重构等方面。
四、循环子空间在实际应用中的案例分析1.信号处理在信号处理中，循环子空间可以用于表示信号的周期性特征。
例如，在语音信号处理中，利用循环子空间可以提取语音信号的基频信息，从而实现自动语音识别。
2.图像处理在图像处理中，循环子空间可以用于表示图像的频域特征。
例如，在图像滤波、图像重构等领域，利用循环子空间可以提高算法的性能。
3.通信系统在通信系统中，循环子空间可以用于表示多址接入技术中的信号空间。
循环矩阵 傅里叶
循环矩阵傅里叶循环矩阵在信号处理和通信系统中起着重要作用。
傅里叶理论在信号和图像处理中也有广泛应用。
本文将阐述循环矩阵和傅里叶理论的基本概念，并讨论它们在信号处理和通信系统中的应用。
一、循环矩阵的定义$$\begin{bmatrix}c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} & c_n \\c_n & c_1 & \cdots & c_{n-2} & c_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\c_2 & c_3 & \cdots & c_n & c_1\end{bmatrix}$$$c_1, c_2, \cdots, c_n$ 是循环矩阵的第一行元素。
可以通过移位操作将第一行变换为任意行。
1. 循环矩阵是一种稠密矩阵，因为它的每一行都包含了 $n$ 个元素。
2. 循环矩阵是一个 Toeplitz 矩阵，因为它的每一条从左上到右下的对角线都具有相同的元素。
3. 循环矩阵的转置等于它自身的逆矩阵。
4. 循环矩阵可以通过傅里叶变换来计算其特征值和特征向量。
三、傅里叶变换的定义$$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-2\pi i\frac{kn}{N}}$$$k = 0, 1, \cdots, N-1$，$i$ 为虚数单位。
$X_k$ 表示频率为 $k$ 的正弦和余弦函数的振幅，$x_n$ 表示信号或函数在时间 $n$ 的值。
1. 循环卷积循环矩阵可以用来处理循环卷积（Circular Convolution）问题。
循环卷积是指两个循环信号间的卷积运算。
这种数学运算在数字信号处理、图像处理和通信系统中经常用到。
我们可以用循环矩阵来表示循环卷积的卷积核，然后通过矩阵乘法来求解卷积结果。
矩阵特征值求解
矩阵特征值求解的分值算法12组1．1 矩阵计算的基本问题(1)求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得b Ax = （(2)线性最小二乘问题,即给定一个n m ⨯阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得},min{n R y b Ay b Ax ∈-=- （(3)矩阵的特征问题,即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量,也就是求解方程x Ax λ= （一对解(λ,x ),其中)(),(n n C R x C R ∈∈λ,即λ为矩阵A 的特征值,x 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用,如大型桥梁或建筑物的振动问题:机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题;无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题.又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。
在科学上,计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题,最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用,因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。
1.2 矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个n n ⨯阶实(复)矩阵A,它的特征值问题,即求方程(,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题.为了求(λ,一个简单的想法就是显式地求解特征方程0)det(=-I A λ （除非对于个别的特殊矩阵,由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得,既使能精确计算出特征方程的系数,在有限精度下,其特征多项式)det()(I A f λλ-=的根可能对多项式的系数非常敏感.因此,这个方法只能在理论上是有意义的,实际计算中对一般矩阵是不可行的.首先,若矩阵A 的阶数较大,则行列式)det(I A λ-的计算量将非常大;其次,根据Galois 理论,对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法,基于上述原因,人们只能寻求其它途径.因此,如何有效地!精确地求解矩阵特征值问题,就成为数值线性代数领域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类:一类称为变换方法,另一类称为向量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理,通过一系列相似变换,使之变换成一个易于求解特征值的形式,如Jacobi 算法,Givens 算法,QR 算法等。
循环矩阵的特征值
循环矩阵的特征值循环矩阵，指具有特定循环结构的方阵。
具体而言，对于一个大小为$n$的循环矩阵$A$，其元素满足：$A_{i,j}=a_{(i-j)\ \mathrm{mod}\ n}$其中$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}$为矩阵$A$的一个周期，即$a_k=a_{k\ \mathrm{mod}\ n}$，$i$和$j$分别表示行和列的下标。
循环矩阵在数学和工程领域有广泛的应用，例如在图像处理、通信、线性代数等方面。
对于循环矩阵而言，其特征值的求解是一个重要的问题。
本文将首先介绍循环矩阵的性质，然后通过矩阵的特殊结构来导出其特征值，最后给出一些实际应用中的例子。
一、循环矩阵的性质对于循环矩阵$A$而言，有以下性质：1. 循环矩阵是厄米矩阵（Hermitian matrix），即满足$A=A^\dagger$，其中$A^\dagger$表示$A$的共轭转置矩阵。
证明：考虑循环矩阵的元素$A_{i,j}$和$A_{j,i}$，有：其中$*$表示复共轭。
因此，循环矩阵$A=A^\dagger$。
2. 循环矩阵的特征向量具有特殊性质。
令$\boldsymbol{x}$为循环矩阵$A$的一个特征向量，对应的特征值为$\lambda$。
则有：对于任意$i=1,2,\cdots,n$，有：$\frac{\lambda}{x_i}=\sum_{j=1}^na_{i,j}\frac{x_{j}}{x_i}$由于$x_i\neq 0$，所以$\frac{x_j}{x_i}$与$\frac{x_{j'}}{x_i}$的值相等，当且仅当$i\equiv j\equiv j'\pmod n$。
因此，有：即$\lambda$为循环矩阵的一个周期和。
基于循环矩阵的性质，我们可以比较容易地推导出循环矩阵的特征值。
假设循环矩阵的一个周期和为$w$，即$a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}=w$。
证明循环矩阵可对角化
证明循环矩阵可对角化循环矩阵是指由一个向量 $x$ 循环移位得到的矩阵，即$$A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0&1\\1& 0& \cdots&\cdots&0\end{bmatrix}$$循环矩阵在线性代数中具有广泛的应用，例如在图论中描述环路、在信号处理中描述旋转、在密码学中描述置换等等。
因此，对于循环矩阵的性质和特点进行深入的研究具有重要意义。
在本篇文章中，我们将证明循环矩阵可对角化。
首先，我们需要证明循环矩阵是可对角化的。
根据线性代数基本定理，一个 $n$ 阶方阵 $A$ 可以分解为以下形式：$$A=PDP^{-1}$$其中 $D$ 是一个对角矩阵，$P$ 是一个可逆矩阵。
因此，我们需要找到一个可逆矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$，使得 $A=PDP^{-1}$。
考虑循环矩阵 $A$ 的特点，我们可以发现它具有以下性质：1. $A^n=I$，其中 $I$ 是单位矩阵。
2. $A$ 的特征多项式为 $\lambda^n-1=0$。
基于这些性质，我们可以构造出一个对角化的过程。
具体来说，我们首先需要求出循环矩阵 $A$ 的特征值。
由于 $\lambda^n-1=0$，因此循环矩阵 $A$ 的特征值可以表示为$$\lambda_k=e^{\frac{2\pi ik}{n}},k=0,1,\cdots,n-1$$其中 $i=\sqrt{-1}$。
这是因为根据欧拉公式，$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$我们可以将 $\lambda_k$ 表示为$$\lambda_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$$接下来，我们需要找到与每个特征值 $\lambda_k$ 相应的特征向量。
3阶循环群的特征标表
3阶循环群的特征标表
首先，我们知道3阶循环群是一个阶为3的循环群，它的元素
可以表示为{e, a, a^2}，其中e是单位元，a是生成元，满足a^3
= e。
接下来我们将讨论3阶循环群的特征标。
对于3阶循环群，其特征标可以表示为一个3x3的矩阵，记为
χ(g, ρ)，其中g表示群的元素，ρ表示表示的矩阵。
由于3阶
循环群只有3个元素，我们可以列举出每个元素对应的特征标矩阵。
首先是单位元e，它对应的特征标矩阵为：
χ(e, ρ) =。
1 1 1。
1 1 1。
1 1 1。
接下来是生成元a，它对应的特征标矩阵为：
χ(a, ρ) =。
1 ω ω^2。
1 ω^
2 ω。
1 1 1。
这里，ω是复数单位根，满足ω^3 = 1。
最后一个元素a^2的特征标矩阵与a相同。
特征标矩阵的每一列对应一个不可约表示，而每个不可约表示对应一个特征标。
在这里，我们得到了3阶循环群的特征标表，其中包含了所有不可约表示对应的特征标矩阵。
总结一下，3阶循环群的特征标表包括了单位元和生成元对应的特征标矩阵，这些矩阵描述了群的表示及其特征值。
特征标表在表示论和群论中有着广泛的应用，能够帮助我们理解群的结构和性质。
希望这个回答能够满足你对3阶循环群特征标表的了解。
矩阵的特征值和特征向量
bpq
bqp
a pq
cos 2
a pp
aqq 2
sin 2
0
数学系
University of Science and Technology of China
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
记 s aqq app ,t tan
2a pq
则
s 0 , t 2 2ts 1 0 的按模较小根 t
数学系 University of Science and Technology of China
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
（2）若： 1 2 3 n , 1 2
x(k)
1k 1v1
1k2v2
n 1
k
nvn
则k足够大时，有
x(k) 1k 1v1 1 k 2v2
所以：x(2k 2) / x(2k ) 12
x(2k 1) / x(2k 1)
2 1
所以： v1 x(k1) 1x(k )
v2 x(k1) 1x(k )
数学系 University of Science and Technology of China
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
改进－幂法的规范运算
x(k 1) Ay (k )
y
(
k
1)
x(k 1) /
x(k 1)
则，易知：
y
(
k
)
Ay(k 1)
/
x(k)
L
Ak y(0) /
x(k) L
y(k ) 1
所以，有：
关于K(r_1,r_2)—分块循环矩阵的特征值
关于K(r_1,r_2)—分块循环矩阵的特征值
郑强
【期刊名称】《齐鲁师范学院学报》
【年(卷),期】1998(0)6
【摘要】本文给出了 K(r_1,r_2)—分块循环矩阵的新概念,并给出这类特殊矩阵可逆的充要条件。
从结论上看,K(r_1,r_2)—分块循环矩阵仍保持与普通循环矩阵平行的性质。
【总页数】4页(P77-80)
【关键词】r—分块循环矩阵;K(r<sub>1</sub>,r<sub>2</sub>)—分块循环矩阵;关联矩阵
【作者】郑强
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
【相关文献】
1.二重 (r_1,r_2 )-循环矩阵求逆的一种新算法(英文) [J], 王建民
2.关于n阶(n_1,n_2)型二重(r_1,r_2)-循环矩阵求逆及相乘的计算方法 [J], 沈光星;卢诚波
3.(n_1,n_2)型二重(r_1,r_2)——循环矩阵及有关算法的计算复杂性 [J], 沈光星
4.计算(2^(k_1),2^(k_2))型二重(r_1,r_2)-循环矩阵全部特征值的快速算法 [J], 沈
光星;潘红
5.ADiscr(n_1,n_2,…,n_k)型k重(r_1,r_2,…,r_k)——循环矩阵非异性的一个判定(英文) [J], 江兆林;刘三阳;赵红星
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1、循环矩阵的定义
定义1 数域P 上的n ×n 阶矩阵
()==-110,,,n n c c c cric C ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡------01
3211043223
10
1122
10c c c c c c c c c c c c c c c
c c c c c n n n n n n
，其中P c i ∈，称为n ×n 阶循环矩阵，或轮回矩阵。
如果取下面的基本循环矩阵A=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000
011000000100
0001
，则上面的n ×n 阶循环矩阵可
改写为
1122110--++++=n n n A c A c A c I c C （1） 正是由于此时的成立，才能使循环矩阵n C 得以顺利研究。
定理1 数域P 上n ×n 阶矩阵n C =()ij c 为循环矩阵的充分必要条件为，当
k=⎩⎨⎧<+-≥-u
v n u v u
v u v ,,时，k uv c c =，其中u ，v ，k ，=0，1，2，…，n-1。
2、循环矩阵的性质
由以上循环矩阵的基本矩阵可以得出循环矩阵的各种性质，对于简单的性质不再证明，较为复杂的可以查看参考文献[1]。
性质1 基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。
证明：
2
A =⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000
01
10000001000001
0 ⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000
01
10000001000001
=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0001000001000000010
0 ，
3
A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000
1
000010000000100 =⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡001
00
00010000000000
，
…
n
A =⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡010
00
00000000011000
，
显然，由线性相关的性质可以得出，基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。
性质2 任意n 阶循环矩阵n C 都可以用基本循环矩阵线性表示出，即
1
122110--++++=n n n A c A c A c I c C 。
性质3 n 阶基本循环矩阵的乘积仍为基本循环矩阵。
证明：性质1中已经证过，在次不再赘述。
定理2 数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为1A ，2A ，3A ，…，n A ，零向量为n 阶零方阵，负向量为-A 。
证明：对于数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理。
性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。
证明： 设B ，n C 都是循环矩阵，则有n C =∑=n
i i
i A c 1，∑==B n
j j j A b 1
，那么就有乘积
B n
C =∑=n
j j
j A
b 1
∑=n i i i
A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n
k k k
A I
1
其中k I =
∑=+=n
n
k j i j i j
i
b
c mo
d 1
,，则B n C 为循环矩阵。
定理3 循环矩阵的伴随矩阵是循环矩阵。
证明： 设n C 为n 阶循环矩阵群1122110--++++=n n n A c A c A c I c C ，下面分两种情况考虑。
（1）当n C 为可逆矩阵时，考察线性方程组X C n '=(n C ，0，…，0)'，其系数矩阵的行列式'n C =n C ≠0，故方程组存在唯一的解，设为()',,,21n b b b X =。
令n n A b A b A b +++=B 2211， 考虑B n C =∑=n
j j
j A
b 1∑=n i i i
A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n
k k k
A I
1
与'n C (n b b b ,,,21 )'=(n C ，0，…，0)'
作比较得，B n C =n C A ，从而B=n C 1-n C =*
n C ，显然B 为循环矩阵。
（2）当n C 为不可逆矩阵时，考虑tA C n -,其行列式()()tA C t f n -=det 为t 的n 次多项式，在域P 至多有n 个根，当t 大于最大的根0t 时，()()tA C t f n -=det ≠0，则矩阵tA C n -为可逆矩阵，再根据（1），可知伴随矩阵()()()t a tA C ij n =-*
为循环矩阵。
所以当满足循
环矩阵的充分必要条件
k=⎩
⎨⎧<+-≥-u v n u v u
v u v ,,时，k uv c c =，有()()t a t a k uv =。
再根据多项式的性质，当0t t >,上面的多项式都是相等的，则对于整个实轴多项式都是相等的，特别当t=0时，即()*
*
=-n n C A C 0，为循环矩阵。
定理4 循环矩阵的逆矩阵时循环矩阵。
3、循环矩阵的逆及特征值
循环矩阵的逆矩阵是循环矩阵，即有
()1101
,,,--=n n b b b cric C ，
其中
()[]()()[]⎪⎪⎭
⎪
⎪
⎬⎫=-==∑∑-=--=--1
0100101
11,,2,1,1n k k k n k k k j n j f n b n f f n b λλλλ 这里的)1,,2,1,0(-=n k k λ为
n
k j n k e
j n
k k π
πλπ
2sin 2cos
2+== （k=0，1，…，n-1） （2）
它是n 次二项式方程
01=-n λ
的n 个n 次单位根；而)(x f 是
)(x f =112210--++++n n x c x c x c c （3）
由以上可以看出，循环矩阵可逆的条件是)(k f λ≠0 （k=0，1，…，n-1）。
使用式（3）可把式（1）改写为
)(A f C n =
如果x Ax λ=，则有
x f x C n )(λ=
此式表明，求n C 的特征值)(λf 的问题可转化为求A 的特征值，它们有相同的特征向量x 。
00
1
1000000
10
000
01
----=
-E λλλλλA
01=-=n λ
上式表明A 的n 个特征值恰是式（2）中的数k λ（k=0，1，…，n-1），相应于k λ的特征向量（可实、可复）是
T
-=),,,,1(12n k k k k x λλλ （k=0，1，…，n-1） （4）
因j i ≠时，j i λλ≠，所以由式（4）可知n C 有完备的特征向量系。
再由矩阵可对角化的理论知，n 阶复矩阵
()⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=-------111110
2
22
120
110
110111
,,n n n n n n n n V λλλλλλλλλλλλ
使得
())(,),(),(1101--=n n n n f f f diag V C V λλλ （5）
以上两式表明，在复数域C 中，能用一个可逆矩阵n V ，使C 上的所有循环矩阵n C 同
时与对角矩阵相似。
式（5）表明)(k f λ（k=0，1，…，n-1）是n C 的特征值。
由式（5）可求的()∏-==1
0det n k k n f C λ以及n C 的对角元素0c 的表达式为
()∑-==1
01n k k f n c λ
需要指出的是此式可以作为检查计算出的n C 的特征值是否正确之用。
4、利用循环矩阵求特征值的方法求Jacobi 矩阵的特征值
在数值代数研究中，有时得到如下形式的n 阶Jacobi 矩阵
()⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==a c d d a c d a d a c J n
n 1
,, 实行添加一行和一列的方法，可得到如下的n+1阶循环矩阵
()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=a c
d d a c d d a c c d a c d a circ 0000,0,,0,,
这样一来，我们可以使用循环矩阵的某些结果来获得n J 的一些结果。
下面我们使用循环矩阵求特征值的结果来求n J 的特征值。
记
()11,,0,,--++==n n A c dA aI D c d a circ
则()A f D =
如果x Ax λ=，则有()x f Dx λ=。