循环矩阵求特征值的方法
1、循环矩阵的定义
定义1 数域P 上的n ×n 阶矩阵
()==-110,,,n n c c c cric C ?????
??
????
?????------01
3211043223
10
1122
10c c c c c c c c c c c c c c c
c c c c c n n n n n n
，其中P c i ∈，称为n ×n 阶循环矩阵，或轮回矩阵。
如果取下面的基本循环矩阵A=???
?
???
??????
???000
011000000100
0001
，则上面的n ×n 阶循环矩阵可
改写为
1122110--++++=n n n A c A c A c I c C （1） 正是由于此时的成立，才能使循环矩阵n C 得以顺利研究。
定理1 数域P 上n ×n 阶矩阵n C =()ij c 为循环矩阵的充分必要条件为，当
k=???<+-≥-u
v n u v u
v u v ,,时，k uv c c =，其中u ，v ，k ，=0，1，2，…，n-1。 2、循环矩阵的性质
由以上循环矩阵的基本矩阵可以得出循环矩阵的各种性质，对于简单的性质不再证明，较为复杂的可以查看参考文献[1]。
性质1 基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。 证明：
2
A =???
?
?
????????
???000
01
10000001000001
0 ???
?
???
?????????000
01
10000001000001
=???
?
?????????
???0001000001000000010
0 ，
3
A =?????????????
???000
1
000010000000100 =???
?
???
????
??
???001
00
00010000000000
，
…
n
A =???
?
???
??????
???010
00
00000000011000
，
显然，由线性相关的性质可以得出，基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。
性质2 任意n 阶循环矩阵n C 都可以用基本循环矩阵线性表示出，即
1
122110--++++=n n n A c A c A c I c C 。
性质3 n 阶基本循环矩阵的乘积仍为基本循环矩阵。 证明：性质1中已经证过，在次不再赘述。
定理2 数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为1A ，2A ，3A ，…，n A ，零向量为n 阶零方阵，负向量为-A 。
证明：对于数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理。
性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。
证明： 设B ，n C 都是循环矩阵，则有n C =∑=n
i i
i A c 1，∑==B n
j j j A b 1
，那么就有乘积
B n
C =∑=n
j j
j A
b 1
∑=n i i i
A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n
k k k
A I
1
其中k I =
∑=+=n
n
k j i j i j
i
b
c mo
d 1
,，则B n C 为循环矩阵。
定理3 循环矩阵的伴随矩阵是循环矩阵。
证明： 设n C 为n 阶循环矩阵群1122110--++++=n n n A c A c A c I c C ，下面分两种情况考虑。
（1）当n C 为可逆矩阵时，考察线性方程组X C n '=(n C ，0，…，0)'，其系数矩阵的行列式'n C =n C ≠0，故方程组存在唯一的解，设为()',,,21n b b b X =。
令n n A b A b A b +++=B 2211， 考虑B n C =∑=n
j j
j A
b 1∑=n i i i
A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n
k k k
A I
1
与'n C (n b b b ,,,21 )'=(n C ，0，…，0)'
作比较得，B n C =n C A ，从而B=n C 1-n C =*
n C ，显然B 为循环矩阵。
（2）当n C 为不可逆矩阵时，考虑tA C n -,其行列式()()tA C t f n -=det 为t 的n 次多项式，在域P 至多有n 个根，当t 大于最大的根0t 时，()()tA C t f n -=det ≠0，则矩阵tA C n -为可逆矩阵，再根据（1），可知伴随矩阵()()()t a tA C ij n =-*
为循环矩阵。所以当满足循
环矩阵的充分必要条件
k=?
??<+-≥-u v n u v u
v u v ,,时，k uv c c =，有()()t a t a k uv =。
再根据多项式的性质，当0t t >,上面的多项式都是相等的，则对于整个实轴多项式都是相等的，特别当t=0时，即()*
*
=-n n C A C 0，为循环矩阵。
定理4 循环矩阵的逆矩阵时循环矩阵。
3、循环矩阵的逆及特征值
循环矩阵的逆矩阵是循环矩阵，即有
()1101
,,,--=n n b b b cric C ，
其中
()[]()()[]???
?
?
??=-==∑∑-=--=--1
0100101
11,,2,1,1n k k k n k k k j n j f n b n f f n b λλλλ 这里的)1,,2,1,0(-=n k k λ为
n
k j n k e
j n
k k π
πλπ
2sin 2cos
2+== （k=0，1，…，n-1） （2）
它是n 次二项式方程
01=-n λ
的n 个n 次单位根；而)(x f 是
)(x f =112210--++++n n x c x c x c c （3）
由以上可以看出，循环矩阵可逆的条件是)(k f λ≠0 （k=0，1，…，n-1）。 使用式（3）可把式（1）改写为
)(A f C n =
如果x Ax λ=，则有
x f x C n )(λ=
此式表明，求n C 的特征值)(λf 的问题可转化为求A 的特征值，它们有相同的特征向量x 。
00
1
1000000
10
000
01
----=
-E λλλλλA
01=-=n λ
上式表明A 的n 个特征值恰是式（2）中的数k λ（k=0，1，…，n-1），相应于k λ的特征向量（可实、可复）是
T
-=),,,,1(12n k k k k x λλλ （k=0，1，…，n-1） （4）
因j i ≠时，j i λλ≠，所以由式（4）可知n C 有完备的特征向量系。再由矩阵可对角化的理论知，n 阶复矩阵
()?????
??
?
???
?????=-------111110
2
22
120
110
110111
,,n n n n n n n n V λλλλλλλλλλλλ
使得
())(,),(),(1101--=n n n n f f f diag V C V λλλ （5）
以上两式表明，在复数域C 中，能用一个可逆矩阵n V ，使C 上的所有循环矩阵n C 同
时与对角矩阵相似。
式（5）表明)(k f λ（k=0，1，…，n-1）是n C 的特征值。 由式（5）可求的()∏-==1
0det n k k n f C λ以及n C 的对角元素0c 的表达式为
()∑-==1
01n k k f n c λ
需要指出的是此式可以作为检查计算出的n C 的特征值是否正确之用。
4、利用循环矩阵求特征值的方法求Jacobi 矩阵的特征值
在数值代数研究中，有时得到如下形式的n 阶Jacobi 矩阵
()??
?
????
?????????==a c d d a c d a d a c J n
n 1
,, 实行添加一行和一列的方法，可得到如下的n+1阶循环矩阵
()?????????
?
????
?
??
???=a c
d d a c d d a c c d a c d a circ 0000,0,,0,,
这样一来，我们可以使用循环矩阵的某些结果来获得n J 的一些结果。
下面我们使用循环矩阵求特征值的结果来求n J 的特征值。 记
()11,,0,,--++==n n A c dA aI D c d a circ
则()A f D =
如果x Ax λ=，则有()x f Dx λ=