循环矩阵求特征值的方法

1、循环矩阵的定义

定义1 数域P 上的n ×n 阶矩阵

()==-110,,,n n c c c cric C ⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡------01

3211043223

10

1122

10c c c c c c c c c c c c c c c

c c c c c n n n n n n

，其中P c i ∈，称为n ×n 阶循环矩阵，或轮回矩阵。

如果取下面的基本循环矩阵A=⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡000

011000000100

0001

，则上面的n ×n 阶循环矩阵可

改写为

1122110--++++=n n n A c A c A c I c C （1） 正是由于此时的成立，才能使循环矩阵n C 得以顺利研究。

定理1 数域P 上n ×n 阶矩阵n C =()ij c 为循环矩阵的充分必要条件为，当

k=⎩⎨⎧<+-≥-u

v n u v u

v u v ,,时，k uv c c =，其中u ，v ，k ，=0，1，2，…，n-1。 2、循环矩阵的性质

由以上循环矩阵的基本矩阵可以得出循环矩阵的各种性质，对于简单的性质不再证明，较为复杂的可以查看参考文献[1]。

性质1 基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。 证明：

2

A =⎥⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡000

01

10000001000001

0 ⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000

01

10000001000001

=⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0001000001000000010

0 ，

3

A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡000

1

000010000000100 =⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡001

00

00010000000000

，

…

n

A =⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡010

00

00000000011000

，

显然，由线性相关的性质可以得出，基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。

性质2 任意n 阶循环矩阵n C 都可以用基本循环矩阵线性表示出，即

1

122110--++++=n n n A c A c A c I c C 。

性质3 n 阶基本循环矩阵的乘积仍为基本循环矩阵。 证明：性质1中已经证过，在次不再赘述。

定理2 数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为1A ，2A ，3A ，…，n A ，零向量为n 阶零方阵，负向量为-A 。

证明：对于数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理。

性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。

证明： 设B ，n C 都是循环矩阵，则有n C =∑=n

i i

i A c 1，∑==B n

j j j A b 1

，那么就有乘积

B n

C =∑=n

j j

j A

b 1

∑=n i i i

A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n

k k k

A I

1

其中k I =

∑=+=n

n

k j i j i j

i

b

c mo

d 1

,，则B n C 为循环矩阵。

定理3 循环矩阵的伴随矩阵是循环矩阵。

证明： 设n C 为n 阶循环矩阵群1122110--++++=n n n A c A c A c I c C ，下面分两种情况考虑。

（1）当n C 为可逆矩阵时，考察线性方程组X C n '=(n C ，0，…，0)'，其系数矩阵的行列式'n C =n C ≠0，故方程组存在唯一的解，设为()',,,21n b b b X =。

令n n A b A b A b +++=B 2211， 考虑B n C =∑=n

j j

j A

b 1∑=n i i i

A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n

k k k

A I

1

与'n C (n b b b ,,,21 )'=(n C ，0，…，0)'

作比较得，B n C =n C A ，从而B=n C 1-n C =*

n C ，显然B 为循环矩阵。

（2）当n C 为不可逆矩阵时，考虑tA C n -,其行列式()()tA C t f n -=det 为t 的n 次多项式，在域P 至多有n 个根，当t 大于最大的根0t 时，()()tA C t f n -=det ≠0，则矩阵tA C n -为可逆矩阵，再根据（1），可知伴随矩阵()()()t a tA C ij n =-*

为循环矩阵。所以当满足循

环矩阵的充分必要条件

k=⎩

⎨⎧<+-≥-u v n u v u

v u v ,,时，k uv c c =，有()()t a t a k uv =。

再根据多项式的性质，当0t t >,上面的多项式都是相等的，则对于整个实轴多项式都是相等的，特别当t=0时，即()*

*

=-n n C A C 0，为循环矩阵。

定理4 循环矩阵的逆矩阵时循环矩阵。

3、循环矩阵的逆及特征值

循环矩阵的逆矩阵是循环矩阵，即有

()1101

,,,--=n n b b b cric C ，

其中

()[]()()[]⎪⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫=-==∑∑-=--=--1

0100101

11,,2,1,1n k k k n k k k j n j f n b n f f n b λλλλ 这里的)1,,2,1,0(-=n k k λ为

n

k j n k e

j n

k k π

πλπ

2sin 2cos

2+== （k=0，1，…，n-1） （2）