小波分析原理

小波分析原理

1.1 小波变换及小波函数的多样性

小波是函数空间2()L R 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ：

2

ˆ().R C d ψψωωω+=<∞⎰ 式中，*{0}R R =-表示非零实数全体，ˆ()ψ

ω是()x ψ的傅里叶变换，()x ψ成为小波母函数。

对于实数对(,)a b ，参数a 为非零实数，函数

1

(,)()x b a b x a a ψψ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

称为由小波母函数()x ψ生成的依赖于参数对(,)a b 的连续小波函数，简称小波。其中：a 称为伸缩因子；b 称为平移因子。

对信号()f x 的连续小波变换则定义为

,1

(,)()(),()f a b R x b W a b f x dx f x x a a ψψ-⎛⎫==〈〉 ⎪⎝⎭

⎰ 其逆变换（回复信号或重构信号）为

*1

()(,)f R R x b f x W a b dadb C a ψψ⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭

⎰⎰ 信号()f x 的离散小波变换定义为

2(2,2)2()(2)j j j j f W k f x x k dx ψ+∞

---∞=-⎰

其逆变换（恢复信号或重构信号）为

(2,2)()(2,2)()j j j j f

k j k f t C W k x ψ+∞

+∞=-∞=-∞=∑∑ 其中，C 是一个与信号无关的常数。

显然小波函数具有多样性。在MATLAB 小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr 小波，Daubecheies （dbN ）小波系，Symlets （symN ）小波系，ReverseBior （rbio ）小波系，Meyer （meyer ）小波，Dmeyer （dmey ）小波，Morlet(morl)小波，Complex Gaussian(cgau)小波系，Complex morlet(cmor)小波系，Lemarie （lem ）小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。

1.2 小波的多尺度分解与重构

1988年Mallat 在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数2()()f x L R ∈都可以根据分

辨率为2N -的()f x 的低频部分（近似部分）和分辨率为2(1)j j N -≤≤下()f x 的高频部分（细节部分）完全重构。多尺度分析时只对低频部分作进一步分解，而高频部分则不予考虑，分解具有关系：

121()n n n f x A D D D D -=+++++

其中()x 代表信号，A 代表低频近似部分，D 代表高频细节部分，n 代表分解层数。 对信号采样后，可得到在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波多尺度分解，其实质就是把采到的信号分成两个信号，即高频部分和低频部分，而低频部分通常包含了信号的主要信息，高频部分则与噪音及扰动联系在一起。根据分析的需要，可以继续对所得到的低频部分进行分解，如此又得到了更低频部分的信号和频率相对较高部分的信号。信号分解的层数不是任意的，对于长度为N 德信号最多恩给你分成2log N 层。实际应用中，课根据实际需要选择合适的分解层数。