直线的一般式方程和直线的交点坐标
直线系知识点总结
直线系知识点总结一、直线的基本概念1. 直线的定义直线是由无数个点连成的集合，它是最简单的几何图形，没有宽度和厚度。
直线是由无数个相邻的点依次排成的一条长度无限延伸的曲线，它具有无限多个点，同时也是最短的曲线。
直线通常用字母l、m、n来表示。
比如直线l，直线m。
2. 直线的表示方法直线可以用不同的方法来表示：（1）直线的一般式方程：Ax + By + C = 0（A和B不全为0）（2）直线的斜截式方程：y = mx + c（m和c为常数）（3）直线的点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)（m为斜率，（x1, y1）为直线上一点）（4）直线的两点式方程：（x - x1）/（x2 - x1） = （y - y1）/（y2 - y1）（（x1, y1）和（x2, y2）为直线上两点）3. 直线的方程相互转化在解析几何中，我们通常会遇到需要将直线的一般式方程转化为斜截式方程、点斜式方程或两点式方程的情况。
这需要根据不同的情况，利用直线的方程的性质和转化公式来进行转化。
4. 直线的斜率直线的斜率是衡量直线倾斜程度的大小，它的定义是直线上两点的y坐标的差与x坐标的差的比值。
直线的斜率m可以用下式表示：m = Δy / Δx，其中Δy表示y坐标的变化量，Δx表示x坐标的变化量。
5. 直线的截距直线与坐标轴的交点称为截距，它分为x轴截距和y轴截距。
直线与x轴的交点的坐标为（x，0），其中x称为直线在x轴上的截距；直线与y轴的交点的坐标为（0，y），其中y称为直线在y轴上的截距。
直线的斜截式方程和一般式方程可以通过截距的定义得到。
6. 直线的倾斜角直线与x轴的夹角称为倾斜角，倾斜角可以通过直线的斜率来计算。
直线斜率m的倾斜角θ可以用arctan(m)来表示。
7. 平行和垂直直线（1）平行直线：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行直线，记作l ∥ m；如果两条直线的斜率分别为m1和m2，且m1 = m2，则l ∥ m。
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
知道坐标怎么求方程
知道坐标怎么求方程坐标系是解决几何问题中不可或缺的一个重要概念。
在二维空间中，我们通常使用直角坐标系来描述点的位置。
求解直线或曲线的方程是数学中的一个基本问题，而了解如何通过已知点的坐标求出直线或曲线的方程，则是解决许多几何和代数问题的关键步骤之一。
直线的方程1. 一般式方程直线的一般式方程表达形式为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
对于已知两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，我们可以通过两点式求直线的一般式方程。
2. 截距式方程已知直线与x轴、y轴的交点坐标分别为(a, 0)和(0, b)，直线的截距式方程表达形式为：x/a + y/b = 1。
3. 斜截式方程已知直线的倾斜角为θ，斜率为k，截距为b，直线的斜截式方程表达形式为：y = kx + b。
曲线的方程1. 抛物线的方程抛物线是二次方程的图形，一般方程表达形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
确定抛物线方程需要已知顶点坐标、焦点坐标、或者至少三个点的坐标。
2. 圆的方程圆的一般方程表达形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
已知圆心坐标和半径，我们可以得到圆的方程。
3. 椭圆的方程椭圆的通用方程表达形式为：(x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1。
已知椭圆的中心、半长轴和半短轴，我们可以求解椭圆方程。
总结通过上述介绍，我们了解了如何根据已知点的坐标求解直线和曲线的方程。
对于直线，可以通过两点式、截距式或斜截式方程来求解；对于曲线，如抛物线、圆或椭圆，则需要更详细的信息来确定方程。
在解决数学问题时，熟练掌握坐标系和方程的求解方法将会极大地帮助我们理解和解决各种几何和代数问题。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版
3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
平面上两点间距离、点到直线距离公式
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
点A
A坐标(a,b)
直线L
L方程：Ax+By+C=0
点A在L上 直线L1∩L2=A
aA1 bB1 C1 0
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
x y
a b
直线上的点
y
l
2x y 3 0
P(x,y) x
(1)点（1，5）在直线上吗？ (2)点（2，7）在直线上吗？
A(0,0) B(a,0)
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 )
| AB |2 | BC |2 | CD |2 | AD |2 2(a2 b2 c2 )
结 论 L：3x=2的距离。
解1 : d | 3 (1) 0 2 | 5
|PA|的值。
解: 设P( x,0),则
| PA | ( x 1)2 (0 2)2 x2 2 x 5
| PB | ( x 2)2 (0 7 )2 | PA || PB |
x2 2 x 5 x2 4 x 11 解得: x 1, P(1,0)
x2 4 x 11
| PA | (1 1)2 (0 2)2 2 2
由2x 3 y 1 0令x 0得y 1 ; y 0得x 1
3
2
直线与x轴交于A( 1 ,0),与y轴交于B(0, 1 ).
2
3
L过A关于y轴对称点( 1 ,0)和B点, L方程为
2
x 1
y 1
1即: 2x 3 y 1
0
23
2、已知L的方程：2x+3y+1=；则
（1）将L向上平移2个单位得：_________
直线的方程
练习1 根据下列条件写出直线方程， 并化成一般式
1 ( 1 )斜 率 是 ， 经 过 点 ( 8 ,2 ) A 2 ( 2 )经 过 点B( 4 ,2 ),平 行 于x轴 3 ( 3 )在x轴 和y轴 上 的 截距 分 别 是 ， 3 2 ( 4 )经 过 两 点 1 ( 3 ,2 ), P2 ( 5 ,4 ) P
若求过两点Ax1，y1 ，Bx2，y2 x1 x2 的直线方程呢？
直线方程的两点式：
已知直线l经过点Px1，y1 ，P2 x2，y2 x1 x2 . 1
求直线l的方程.
y 2 - y1 . 推导：直线l的斜率k x 2 - x1
当 y2 y 1时 ,方 程 可 写 成 y - y1 x - x1 .x 1 x 2 y1 y 2 y 2 - y1 x 2 - x 1
4 4 k 0 9k 2 9k 12 k k 4 2 当 且 仅 当 9k时,即k 时 取 最 小 值 . k 3 S 12
此时直线 l的方程为 2 x 3 y 12 0. :
2 2 2.截 距 和 2 3k 3 5 3k 5 2 6 k k 2 6 当 且 仅 当 3k 时,即k 时, k 3 截距和取到最小值为 2 6 :5
这 就 是 直 线 AB的 方 程 .
直 线 A C 过 A 5, 0、 C0, 2 点 ， 由 距式 得 两 截
整理得 x y 1， 5 2 2x 5y 10 0.
这就 是直线AC的方 程 .
注意恰当选取直线方程 的形式解题 .
练 习:
1.求 过 下 列 两 点 直 线 的 两 式 方 程 化 成 斜 截 式 方 程 点 ,再 . y 1 x2 1. p1 2,1, p2 0,3 ; 整理得y 2 x 3 31 0 2
直线的交点坐标与距离公式
4.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等, 则a的值为________. 【解析】由点到直线的距离公式可得 解得a= 1 或a=-4. 答案: 1 或-4
2 2
3a 2 1 a 1
2
a 4 1 a 1
2
，
【母题变式溯源】
题号 1 2 3 4
知识点 两条直线平行 点到直线的距离 两条直线的交点 点到直线的距离
2 k 3 2 3
2
【巧思妙解】选C.当k=3时,两直线平行,故排除B,D;当 k=1时,两直线不平行,排除A.
(2)选B.若以O为直角顶点,则B在x轴A= ，则b=a3≠0.若∠B= 2 3 a b 2 ，根据垂直关系可知a · =-1,所以a(a3-b)=-1, 2 a 1 3 即b-a =0.以上两种情况皆有可能,故只有B满足条 a
第二节
直线的交点坐标与距离公式
【教材基础回顾】
1.两条直线平行与垂直的判定
条件 两条不重 合的直线 l1,l2,斜率 分别为 k1,k2 两直线位置关系 斜率的关系 k1=k2 _____ k1与k2都不存在 k1k2=-1 _______
平行
垂直
k1与k2一个为零、另 一个不存在
2.两条直线的交点 (1)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共
A1x B1 y C1 0, 点的坐标与方程组 的解一一对应. A x B y C 0 2 2 2
唯一解 交点坐标就是方程组的解. (2)相交⇔方程组有_______, 无解 (3)平行⇔方程组_____. 无数个解 (4)重合⇔方程组有_________.
直线的交点坐标及距离公式
第二节 直线的交点坐标与距离公式[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中．2.两点间距离公式是解析几何的一个根本知识点，点到直线的距离公式是高考考察的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考察.[归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，那么两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)假设方程组有唯一解，那么两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)假设方程组无解，那么两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝|－5|12＋22＝ 5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，那么AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，那么a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－02＋0－82＝36＋64＝10.3．假设三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，那么b ＝( ) A ．－1 B ．－12C ．2 D.12解析：选B 由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，那么直线l 1的方程为________． 解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，那么2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)两条直线的交点问题[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，假设l 1与l 2相交，那么实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0，即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R假设将本例(1)中条件“垂直〞改为“平行〞，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，那么有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1， 而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1， 即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．距离公式的应用[例2] 点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见， 过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 假设斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线， 因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归〞法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.对 称 问 题[例3] 直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，那么M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，那么由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的根本方法(1)点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，假设点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，那么k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，假设直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考察，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所表达的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·XX 模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，那么[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)． [解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如下图．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．此题有以下创新点(1)考察内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考察新定义、新概念的理解和运用的同时考察思维的创新，此题考察了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决此题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<k <3把四边形OABC 分成两局部，S 表示靠近x 轴一侧那局部的面积．(1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两局部． 解：(1)如下图，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎨⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14，解得交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ＋2，14k k ＋2. 因为点P 1到直线OA ：x －3y ＝0的距离为d ＝143k －110k ＋2，所以S ＝12|OA |·d ＝143k －1k ＋2；②当32≤k <3时，直线y ＝kx 与线段BC ：y ＝6相交于点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ，6，所以S △OP 2C ＝12|P 2C |·6＝63－k k.又因为S 四边形OABC ＝S △AOB ＋S △OBC ＝14＋6＝20，所以S ＝S 四边形OABC －S △OP 2C ＝26－18k.故S ＝f (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧143k －1k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13<k <32，26－18k ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤k <3.(2)假设要直线y ＝kx 平分四边形OABC 的面积，由(1)，知只需143k －1k ＋2＝10，解得k ＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分) 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12B.32 C.322 D.22解析：选C d ＝|1－－1×1＋1|12＋－12＝322.2．(2013·XX 模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，那么P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·XX 模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，那么P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )， 那么d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·XX 调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.那么l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎨⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，那么m 的取值X 围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如下图．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．那么m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋ 2－x2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12.即最小值为12.答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________． 解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，那么22＝|c ＋2|12＋－12，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六局部，那么实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3解析：三条直线将平面分为6局部，那么这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经历证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，那么由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如下图，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，那么易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.12．直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值． 解：(1)∵经过两直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，那么d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，那么M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2，故M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，12；直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}．故M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，12.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，122． A (3,1)、B (－1,2)，假设∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，那么AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎨⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝03．直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝3， 此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)， 截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1， 分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎨⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0. 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎨⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎨⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1. 法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段为5， 设直线l 与两平行线的夹为角θ，那么sin θ＝22， 所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或为零． 又因为直线l 过点D (3,1)， 所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程． 解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)， 由|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6，故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ， 由|k －3|k 2＋－12＝2，解得k ＝1或k ＝－7，故所求的直线方程为x－y＝0或7x＋y＝0.综上，所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0或x－y＝0或7x＋y＝0.。
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
直线方程的交点坐标怎么算
直线方程的交点坐标的计算方法在数学中，直线是一种非常重要的几何概念。
当我们面对两条直线时，我们经常需要求解它们的交点坐标。
本文将介绍如何计算两条直线的交点坐标。
要计算两条直线的交点坐标，我们需要知道两条直线的方程。
一般来说，直线可以用一般形式的方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数，而 x 和 y 分别是直线上的变量。
接下来，我们将介绍两种常见的求解直线交点坐标的方法。
1. 代入法代入法是一种常用的解直线交点坐标的方法。
首先，我们需要将两条直线的方程表示为标准形式或斜截式形式。
标准形式的直线方程为 Ax + By + C = 0，斜截式形式的直线方程为 y = mx + b，其中 m 表示直线的斜率，b 表示直线与 y 轴的交点坐标。
假设我们有直线 L1 和直线 L2，它们的方程分别为：L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2x + B2y + C2 = 0确定两条直线的方程后，我们可以使用代入法来求解它们的交点坐标。
首先，我们可以选择其中一条直线的方程，将其代入另一条直线的方程中，从而得到一个关于 x 的方程。
以 L1 为例，我们将 L1 的方程代入 L2 的方程中，得到：A2x + B2y + C2 = 0将 L1 的方程代入上式后，我们可以得到关于 x 的方程：A2x + B2(-A1x/B1 - C1/B1) + C2 = 0接下来，我们可以解这个关于 x 的方程，得到 x 的值。
将求得的 x 的值代入 L1 的方程中，我们可以求得 y 的值。
经过以上步骤，我们就可以得到两条直线的交点坐标。
2. Cramer’s Rule (克莱默法则)除了代入法之外，我们还可以使用克莱默法则来求解直线的交点坐标。
克莱默法则是一种基于行列式的解方程方法。
假设我们有直线 L1 和直线 L2，它们的方程分别为：L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2x + B2y + C2 = 0我们可以将这两个方程转化为矩阵形式：A1 B1 | | x | | -C1 || x | = | | |A2 B2 | | y | | -C2 |现在，我们可以使用克莱默法则来求解交点坐标。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
高中数学直线方程的知识重点总结
高中数学直线方程的知识重点总结高中数学直线方程的知识重点总结直线方程作为高中数学的重点内容之一，是数学学科中最基础的章节之一。
在高中阶段中，学生需要学习如何确定直线的坐标、直线的斜率、使用不同的方法确定直线方程等等。
在这篇文章中，我们将对高中数学直线方程的知识点进行总结，以便更好地掌握和复习这一重要内容。
一、基础概念(1) 直线的坐标在数学中，直线也称为一条“线段”。
直线的坐标通常用两个点来表示。
例如，一条直线通过坐标系上的点A(2,3)和B(4,7)，则可以表示为直线AB。
(2) 直线的斜率斜率也常被称为“坡度”。
它是两个点之间高度差和水平距离之比。
其计算公式为：斜率=（y2-y1）÷（x2-x1）例如，一条直线通过坐标系上的点A(2,3)和B(4,7)，则可以计算斜率为（7-3）÷（4-2）=2。
(3) 直线的截距“截距”指的是一条直线与x轴和y轴相交时的两个交点。
具体来说，截距可以分为x轴截距和y轴截距。
二、直线方程的求解(1) 一般形式直线的一般形式为：Ax+By+C=0其中，A、B和C均为常数，x和y为未知数。
(2) 截距式直线的截距式通常表示为：y=kx+b其中，k为斜率，b为y截距。
(3) 斜截式直线的斜截式通常表示为：y-y1=k(x-x1)其中，k为斜率，（x1，y1）为直线上的一点。
(4) 点斜式直线的点斜式通常表示为：y-y1=k(x-x1)其中，k为斜率，（x1，y1）为直线上的一点。
三、直线方程的性质(1) 平行线的斜率相同。
对于两条平行线，它们的斜率是相同的。
(2) 垂直线的斜率为相反数。
对于两条垂直的直线，它们的斜率是相反数。
(3) 两个点确定一条直线。
通过任意两个不同的点，我们可以确定一条直线。
(4) 一般情况下，两直线交点的坐标可以通过联立两直线方程求解。
总之，直线方程是高中数学中最基础的内容之一。
理解直线方程的基本知识，并掌握直线方程的求解方法和性质，可以帮助学生更好地应用相关数学知识，提高应对各种数学问题的能力。
高中直线方程知识点总结
高中直线方程知识点总结一、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的差值与横坐标的差值的比值。
直线的斜率可以通过斜率公式来计算，斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
其中，m表示直线的斜率，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示直线上的两个点的坐标。
二、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，并且A和B不能同时为0。
一般方程中的A、B、C可以通过直线的斜率和截距来确定。
三、直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点。
直线与x轴的交点称为x截距，直线与y轴的交点称为y截距。
直线的截距可以通过一般方程的形式来确定。
四、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是指通过直线上的一个点和直线的斜率来确定直线方程的形式。
点斜式方程的形式为：y - y1 = m(x - x1)。
其中，(x1, y1)为直线上的一个点的坐标，m为直线的斜率。
五、直线的斜截式方程直线的斜截式方程是指通过直线的斜率和y截距来确定直线方程的形式。
斜截式方程的形式为：y = mx + b。
其中，m为直线的斜率，b为直线的y截距。
六、直线的法线方程直线的法线方程是指与直线垂直的直线的方程形式。
设直线的斜率为m，法线的斜率为-k（k为任意实数），则法线方程的斜率为-k。
法线方程的形式为：y - y1 = -k(x - x1)。
其中，(x1, y1)为直线上的一个点的坐标。
七、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等。
两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。
八、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与x轴正方向之间的夹角。
直线的倾斜角可以通过直线的斜率来确定。
斜率为k的直线的倾斜角可以通过arctan(k)来计算。
九、直线与圆的交点直线与圆的交点可以通过将直线方程代入圆的方程来求解。
将直线方程代入圆的方程后，可以得到一个关于x的二次方程，通过解这个二次方程可以求得直线与圆的交点的x坐标，再将x坐标代入直线方程可以求得对应的y坐标。
高三数学直线的交点坐标与距离公式
的所有直线．显然当直线过点P时距离最小
【方法规律】
• 1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把 几何问题转化为代数问题． • 2．要理解“点点距”、“点线距”、“线
线距”之间的联系及各公式的特点．
• 特别提示：求两平行线间的距离时，一
• (本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已
知矩形 ABCD 的长为 2， 宽为 1， AB、 AD边 分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原 点重合 ( 如图所示 ) ． 将矩形折叠 ， 使A 点落
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组 若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方 求得，
• 【例 1】 直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交
在线段DC上．
【答题模板】
• 解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′， 则折痕EF所在直线的斜率
• k≤0.当k＝0时，A′与D重合，EF所在直线方程 为 y＝
• 当k＜0时，线段EF垂直平分OA′.故直线OA′的
• (2) 由 (1) 知 线 段 EF 的 方 程 为 y ＝ kx ＋
求过点P(－1,2)且与点A(2,3)和B(－4,5)
的距离相等的直线l的方程． • 解答：解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x ＋1)，
• 即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝
• 解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－
两条直线的交点作标
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THANKS
总结词
利用斜率法求解交点是基于两条直线斜率相等原理的方法。
详细描述
如果两条直线在某点相交，那么这两条直线的斜率在交点处应该相等。因此，我 们可以先写出两条直线的斜率，然后令它们相等，解出交点的x和y坐标。这种方 法适用于直线斜率存在的情况。
利用参数方程求解交点
总结词
参数方程法是通过引入参数来表示直 线上的点，然后解出参数值得到交点 坐标的方法。
二次方程的判别式
判别式 (Δ = b^2 - 4ac)，用于判断二次方程的根的 性质。
参数方程表示直线
参数方程表示直线
参数方程的一般形式为 ({begin{matrix} x = x(t) y = y(t) end{matrix})，其中 (t) 是参数。
参数方程的应用
在某些情况下，使用参数方程表示直线更为方便，例如在极坐标系 中。
在解析几何中的应用
求解方程组
通过两条直线的交点坐标，可以联立方 程组求解未知数。
VS
判断直线位置关系
通过两条直线的交点，可以判断两条直线 的位置关系（平行、相交或垂直）。
在实际生活中的应用
交通路线规划
在地图上，通过两条直线的交点，可以确定 交通路线的起点和终点。
建筑结构设计
在建筑结构设计中，通过两条直线的交点， 可以确定梁、柱等结构的连接点。
斜率都不存在
如果两条直线中有一条是垂直于x轴的，另一条是水平的，则它们垂直。
直线斜率的计算
01
02
03
定义
直线斜率是直线在x轴上 单位长度内对应的y轴的 变化量。
公式
对于直线y=kx+b，斜率 k=y/x。当x=0时，斜率 不存在。
直线的一般式方程 y截距
直线的一般式方程 y截距直线的一般式方程y截距是描述直线与y轴交点的一种方式。
在平面几何中，直线可以用不同的方程形式来表示，而一般式方程是其中一种常见的表达方式之一。
本文将围绕直线的一般式方程y截距展开讨论。
我们来了解一下什么是直线的一般式方程。
一般式方程是直线的一种标准表达形式，它的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
在这种方程形式中，A和B分别代表直线的斜率和y轴截距，C则是常数项。
通过观察一般式方程的形式，我们可以发现y截距是直线方程中的一个重要参数。
y截距指的是直线与y轴的交点的纵坐标，也就是直线与y轴的截距。
在一般式方程中，当x=0时，我们可以得到直线与y轴的交点的纵坐标，即y截距。
因此，y截距可以直观地反映出直线与y轴的关系。
在解析几何中，我们可以通过已知直线上的两个点来确定直线的一般式方程。
假设已知直线上的两个点为P(x1, y1)和Q(x2, y2)，我们可以根据这两个点的坐标来求解直线的斜率和y截距。
我们可以通过斜率的定义来求解直线的斜率。
斜率可以用直线上两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来表示。
即斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
在一般式方程中，斜率A就等于直线的斜率k。
接下来，我们可以利用已知点P(x1, y1)来求解直线的y截距。
根据一般式方程的形式，当x=0时，我们可以得到直线与y轴的交点的纵坐标。
代入已知点P的坐标可以得到C=y1-Bx1。
将斜率A和y 截距C代入一般式方程，就可以得到直线的一般式方程。
除了通过已知点来求解直线的一般式方程，我们还可以通过已知斜率和y截距来确定直线的方程。
已知直线的斜率k和y截距b，我们可以直接将它们代入一般式方程的形式中，得到直线的一般式方程为y = kx + b。
直线的一般式方程y截距在几何学中具有重要的意义。
通过y截距，我们可以直观地了解直线与y轴的关系，进而推断出直线的走向和斜率的正负。
同时，一般式方程也为我们提供了一种简洁的方式来描述直线的性质和特征。
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乌审旗高级中学高一数学系列学案 制作时间：2016-11-9 乌审旗高级中学高一数学系列学案 制作时间：2016-11-9
主备人: 余洁娜 备课组成员: 郝志琴 郭晓斌 郭玉虎 余洁娜 审核人：高一年级组 主备人: 余洁娜 备课组成员: 郝志琴 郭晓斌 郭玉虎 余洁娜 审核人：高一年级组
1
3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
（3）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； 自主学习 阅读课本97页--99页，完成下列任务
1.直线的一般式方程是________________________
2.完成99页练习1，100页练习2
3.完成101页11,114页B 组1
4.完成98页探究，100页练习3
5.完成109页2
6.完成101页B 组4, 109页A 组3, 114页A 组4、5、6、7
3.3.1两条直线的交点坐标
学习目标
1．会求相交直线的交点坐标；
2．能根据二元一次方程组解的情况判断两条直线的位置关系； 3．理解，归纳出过定点直线系方程。
一、阅读课本102-104，完成下列问题
1.填写102页的表格，完成104练习1、2，109页A 组1
2.完成109页5,110页B 组1 二、直线系方程
1.求直线022:,0243:21=++=-+y x l y x l 交点P 的坐标
2.上面所求的交点P 是否在直线0)22(243=+++-+y x y x λ上？
3.当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形，图形有何特点？
4.方程0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示什么图形？
试一试：1.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R),则直线l 过定点____________.
2.无论m 取任何实数时，直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0均恒过定点，请求出定点的坐标.
3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
（3）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； 自主学习 阅读课本97页--99页，完成下列任务
1.直线的一般式方程是________________________
2.完成99页练习1，100页练习2
3.完成101页11,114页B 组1
4.完成98页探究，100页练习3
5.完成109页2
6.完成101页B 组4, 109页A 组3, 114页A 组4、5、6、7
3.3.1两条直线的交点坐标
学习目标
1．会求相交直线的交点坐标；
2．能根据二元一次方程组解的情况判断两条直线的位置关系； 3．理解，归纳出过定点直线系方程。
一、阅读课本102-104，完成下列问题
1.填写102页的表格，完成104练习1、2，109页A 组1
2.完成109页5,110页B 组1 二、直线系方程
1.求直线022:,0243:21=++=-+y x l y x l 交点P 的坐标
2.上面所求的交点P 是否在直线0)22(243=+++-+y x y x λ上？
3.当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形，图形有何特点？
4.方程0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示什么图形？
试一试：1.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R),则直线l 过定点____________.
2.无论m 取任何实数时，直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0均恒过定点，请求出定点的坐标.。