《经济数学基础》微积分部分复习

《经济数学基础》微积分部分复习

第一篇 微分学 第一章 函数

一、本章考核点

1、掌握函数奇偶性的判定，掌握总成本、平均成本、收入、利润函数的概念及表达式，掌握五个基本初等函数的概念及表达式。

2、熟练掌握函数定义域、求函数值、复合函数的复合与分解的计算。 二、基本概念

基本初等函数、函数的奇偶性、总成本、平均成本、收入、利润函数

奇偶性：若f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数 若f(-x)=－f(x)，则函数f(x)为奇函数

若f(x)不满足上述两式，则函数f(x)为非奇非偶函数 总成本函数：10C C C +=

隐含条件：

)0(C C =

平均成本：q

C C =

总收入函数：pq R = 隐含条件：0)0(=R 总利润函数：C R L -=

基本初等函数： 常数：y=C 幂函数：α

x y = 指数函数：x

a y =

对数函数：x y log = 自然对数：x y ln = 三角函数：正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx 三、计算

1、求函数的定义域

重点是已知函数的解析式求函数的定义域——四个限制

已知函数的解析式求定义域，有以下几个限制：

①分式的分母不为零； ②对数的真数大于零； ③开偶次方的被开方数非负； ④2

tan

π

π+

≠=k x x y 中

πk x x y ≠=中c o t

其中k=0, ±1,2,3,…… 2、求函数值 3、复合函数的分解

第二章 极限、导数与微分

一、本章考核点

1、熟练掌握极限的计算、导数微分的计算。

2、掌握函数间断点的求法，判断分段函数分段点是否有极限、是否连续。 二、计算

1、极限——数列的极限、函数的极限

方法：利用四则运算性质、利用两个重要极限公式 2、导数和微分

方法：利用导数的四则运算法则和导数基本公式； 复合函数的导数；隐函数的导数；高阶导数 3、求函数的间断点——两种类型

初等函数：初等函数在其定义域内连续 ——函数无定义的点即为初等函数的间断点； 分段函数：分段函数的间断点存在于分段点中。 4、判断分段函数分段点是否有极限 根据性质：A x f x f A x f x x x x x

x ==⇔=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0

5、判断分段函数分段点是否是否连续 根据性质：A

x f x f A x f x x x x x

x ==⇔=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0

及函数连续的定义)

()(lim 00

x f x f x x =→

第三章 导数的应用

一、本章考核点

1、掌握极值点、驻点的概念及关系。

2、熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大、利润最大等）。掌握求边际函数、需求弹性的计算。 二、基本概念

1、极值点的概念：极大值点、极小值点统称为极值点。

2、驻点的概念：

若x 0满足f /(x 0 )=0 ，则称x 0为f(x)的驻点。

3、极值点驻点的关系：极值点存在于驻点和不可导点中。 三、计算

1、求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最 大、利润最大等）。

2、求边际函数 边际成本 MC=C ' 边际收入 MR=R '

边际利润 ML=L '

3、需求弹性)()

(/

p q p q p E p ⋅=

第二篇 一元函数积分学

第一章 不定积分

一、本章考核点

1、熟练掌握三种不定积分计算方法。会求当曲线的切线斜率已知且满足一定条件时的曲线方程。

2、理解原函数的概念。知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

二、基本概念及性质

1、原函数：设f(x)是定义在区间D 上的函数，若存在函数F(x)对于任何x ∈D 均有)

)()()(()(dx x f x dF x f x F =='或

则称F(x)为f(x)在区间D 上的原函数（简称为f(x)的原

函数）。

2、不定积分与导数（微分）之间的关系

()()dx x f dx x f d

x f dx x f )()()()(=

=

'

⎰⎰或

c x f x df c x f dx x f +=+='⎰⎰

)()()()(或

3、不定积分的性质

⎰⎰⎰±

=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

⎰⎰=dx x f k dx

x kf )()(

三、计算——不定积分的三种计算方法

1、直接法：利用不定积分运算性质和积分基本公式。

2、第一换元法（凑微分法）

常见的凑微分公式：

)

(1b ax d a

dx +=

x

d dx x

ln 1

=

2

2

1d x

x d x =

x d xdx x d xdx sin cos cos sin =-=

x

x de

dx e = x

d

dx x =2

1

x

d

dx x

112

=-

3、分部积分法

⎰⎰⎰⎰-='-=')()()()()()(x du x v x v x u x dv x u vdx

u uv dx v u

xdx

dv e u dx e dv x u x

x

sin ,,sin ====或

⎰xdx

e x

sin

dx

e dv x

u x

==,α

⎰dx

e x

x

α

dx x dv x u α

==,ln

⎰

xdx

x

ln α

xdx

dv x u sin ,==α

⎰

xdx

x

sin α

U(x)的选择

积分形式