刚体角速度和角加速度的矢量表示
理论力学6—刚体的基本运动
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系
〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。
[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。
和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。
因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。
1 角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。
一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。
显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。
同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。
合成后,L _p 的方向大致如图2所示。
而且随着杆的转动,L _p 也转动。
可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。
同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。
下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。
过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。
于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。
第七章 刚体力学
R / 2 cos y R
因 dy tan dx
(1)
又 1 tan 2 sec2
故得所求曲线的方程
dy 2 2 1 ( ) [ ( R y )]2 dx R
(2)
采用
sec ，（1）式变成
dy 2 R / 2 y R, 又有1＋（ ） 2 dx dy dy d R d dx d dx 2 dx
令t 0，刚体在一瞬刻的运动情况可以这样来描述：刚 体随着基点 A 以速度 v A 平动（ v A 即基点A的速度），并以角 速 ω绕基点 A 转动，平动的速度 v即基点的速度，与基点的选 取有关，转动的角速度ω则与基点的选取无关。 基于以上论述，可将刚体平面运动视为随基点的平动与绕
基点的转动的合成，事实上，平动与转动是同时进行的。
匀变速转动 =常量
0 (t )dt
0
t
0 t
1 2 0 t t 2 2 0 2 2（ 0）
与质点匀变速直线运动公式相对应.
(6) 角量与线量的关系
线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a 角量——描述刚体转动整体运动的 ，，
(2)组内任意两点间的距离保持不变.
§7.1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运
动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
§7.1.1 刚体的平动
平动——如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向 始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升 降、活塞的往返等都是平动。
Δ d lim Δt 0 Δt dt
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
2010大学物理学——5.刚体的转动
c a b
(2) 刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径 圆周运动， 的 圆周运动 ， 且在相同时间内转过相 同的角度(角速度相同 角速度相同)。 同的角度 角速度相同 。
at v an
o
θ
v vv
s
S = Rθ v = Rω at = Rα 2 an = Rω
R
dθ ω = dt 2 α = dω = d θ 2 dt dt
= 6bt −12ct
2
Note:
角速度的矢量表示法： 角速度的矢量表示法：
ω
v
大小： 大小：ω 方向： 转轴 转轴, 方向：//转轴 符合右手螺旋
ω
r⊥
v
v v
v v v 线速度： 线速度：v = ω × r
验证： 验证：
v r Ｏ
v v ω×r
大小： 大小： r⊥ ω 方向： 方向： 圆周切向
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy) 1.力矩的功 力矩的功
v F ⊥
F⊥t
ω
对于θ →θ +dθ，有
例5-8 已知：圆盘转动惯量J，初角速度ω0 已知：圆盘转动惯量 ， 阻力矩M=-kω (k为正的常量 为正的常量) 阻力矩 为正的常量 所需的时间. 求：角速度从ω0变为ω0/2所需的时间 所需的时间 dω 转动定律： 解：转动定律： − kω = J dt t ω0 / 2 dω k → ∫ − dt = ∫ 0 ω0 J ω k ω /2 J ln 2 →− t = (ln ω) ω →t = J k [思考 思考] 思考
2
dm ∫
2
O
R
= mR
刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系
刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系角动量（angular momentum）是描述刚体旋转运动的物理量，它与角速度（angular velocity）、力矩（torque）和角加速度（angular acceleration）之间存在密切的关系。
在本文中，将详细介绍刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度之间的关系。
刚体的角动量通常用字母L表示，它定义为刚体的质量m乘以角速度ω乘以刚体对轴线的距离r，即L = m * ω * r。
这个表达式可以理解为角动量是由刚体的旋转速度和旋转半径所确定的。
角动量的单位是千克·米^2/秒（kg·m^2/s）。
刚体的角速度是描述刚体旋转状态的物理量，通常用字母ω表示。
角速度体现了刚体单位时间内旋转的角度，其定义为角度改变量Δθ除以时间间隔Δt的极限值，即ω = dθ/dt。
角速度的单位是弧度/秒（rad/s）。
根据以上定义，可以推导出刚体的角动量与角速度的关系。
假设刚体的质量分布在一圆盘上，半径为r，质量为m，以轴线为中心沿竖直方向旋转。
则角动量L = m * ω * r。
这个关系表明角动量与角速度成正比，当角速度增加时，角动量也随之增加，反之亦然。
刚体的力矩是描述刚体受力情况的物理量，通常用字母τ表示。
力矩可以定义为力F作用在刚体上，力矩的大小等于力F乘以力臂r的长度，即τ = F * r。
力臂指的是力F作用点到轴线的垂直距离。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
力矩与角动量之间存在着密切的关系。
根据牛顿第二定律的角动量形式（τ = dL/dt），力矩可以表示为角动量对时间的变化率。
换句话说，力矩是角动量随时间的变化率，或者说是角动量的导数。
力矩导致角动量的改变，当存在力矩时，角动量将发生变化。
角加速度是描述刚体旋转加速度的物理量，通常用字母α表示。
角加速度可以定义为角速度的改变量Δω除以时间间隔Δt的极限值，即α = dω/dt。
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体的平面运动动力学课后答案
其中： 是从速度瞬心 引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中： 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用 表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度 ，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中： ，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为 ，圆盘上与板
角速度及角加速度的矢量表示
矢量积 r的大小及方向都与速度 v 的大
小及方向相同，即
v r （5-17）
转动刚体内任一点的速度，可由刚体的角速 度矢量与该点矢径的矢量积来表示。
图5-19
为了求出加速度 a 与 和 的关系式，取式（5-17）对于时间
的导数，得
a dv d ( r) d r dr
dt dt
dt
dt
但已知 因此得
d
dt
dr ， dt
v
a r v （5-18）
上式右边的第一项的大小为 | r | r sin R
如图5-20（a）所示，于是切向加速度可写为
aτ r
转动刚体内任一点M 的切向加速度矢量等于刚体的角加速度矢量与 该点矢径的矢量积。 式（5-18）右边的第二项的大小为
理论力学
角速度及角加速度的矢量表示
为了指明转轴在空间的方位，规定角速度矢量 和角加速度矢
量 均沿转动轴线，它们的模分别表示该瞬时刚体角速度和角
加速度的大小，用 k 表示沿轴线 Oz 的正方向的单位矢量，则
k d k
dt
d d k k
dt dt
当 0 ， 0 时， 及 均沿z轴的正向，说明刚体在加速转动， 如图5-18（a）所示；当 0 ， 0 时， 沿正向而 沿z轴的负
向，说明刚体在做减速转动，如图5-18（b）所示。
（a） 图5-18
（b）
从转轴上任一点 O作矢量 ，再作矢径 r OM ，如图5-19所示。以
表示 r 与z轴间夹角，点O1表示 M点描绘的圆周的中心， R 是该圆周
的半径，于是速度 v 的大小是 R 。由直角三角形 OMO1 可知 ，所
以 M点的速度的大小为
附 速度与加速度的矢量表示
补充知识：
以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示速度与加速度
1
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
1、角速度
d 大小： dt
转向： 满足右手法则
作用线：
沿轴线的滑动矢量
ω k
2
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
2、角加速度
dω d α k = k dt dt
3
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
3、用矢积表示刚体上点的速度
v = ω ×r
大小：
v
ω
v ω r sin
R
方向： 右手定则
ω ×r
4
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
4、用矢积表示刚体上点的加速度
v = ω ×r
an
α
at
ω
v
dv dω dr a r ω dt dt dt
αr
ω v
ωv
Байду номын сангаасαr
= at
an
at = α r ：M点的切向加速度 an = ω v ：M点的法向加速度
5
附*： 角速度、角加速度、速度与加速度的矢量表示
5.
泊松公式
角速度：ω 动系O1 x y z 绕 z轴转动 单位向量： i , j,k
考察三维定轴转动刚体 z P3 vP3
k
z
vP2 P2
j
y
di v P 1 ω ×i dt
P1 i O1 x O
vP1 y
x
dj v P 2 = ω ×j dt dk v P 3 = ω ×k dt
刚体角速度和角加速度的矢量表示
１、 运动方程：
因为动点在空间旳位置可用坐标唯一旳拟定，而坐 标s又是t旳单值连续旳矢量函数，故可表示如下：
S f (t) (5 13)
——运动方程
S
M
()
O
()
2、运动速度：
公式推导
v dr = dr ds dt ds dt
而 dr ＝ lim r 1 ds s0 s
an
v d
dt
d (v
dt
lim v t 0 t
lim v j
t 0
t
lim v j s
t 0
s t
v lim j lim s
t 0 s t 0 t
(5 18)
v
r
ds dt
v 2
r
——沿轨迹的法线（曲率半径）指向曲率的中心。
&y&
az
d 2z dt 2
&z&
合加速度大小
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
— ( 5 10 )
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度旳方向由其方向余弦拟定
co（ s a, i） ax a
co（ s a,
j）
ay a
(5 12)
co（ s a, k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法旳代数运算。
速度矢端图旳
作用：拟定瞬时加
速度方向。
o
M
M
v v
a
速度矢端图
总结
动点旳速度等于其矢径对时间旳一阶导数，方向沿 轨迹在该点旳切线方向，指向与动点运动方向一致。
动点旳加速度等于它旳速度对时间旳一阶导数, 等于 位矢 对时间旳二阶导数。其方向 为v旳极限方向
《理论力学》课件 第5章
因而 dBA/dt 0 ，于是得
vA vB
将上式再求一次导数，则得
aA aB
例5-1
如图5-4所示的曲柄滑道机构，当曲柄 OA 在平面上绕定轴 O 转动 时，通过滑槽连杆中的滑块 A 的带动，可使连杆在水平槽中沿直
线往复滑动。若曲柄 OA 的长为 r ，曲柄与 x 轴的夹角为 t，
其中 是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
根据上述结论，可作出截面上各点的加速度的分布图，在通过轴心的 直线上，各点的加速度按线性分布，将加速度矢的端点连成直线，此 直线通过轴心，如图5-10（b）所示。
（a）
图5-10
（b）
例5-3
如图5-11所示，一半径 R 0.2 m 的圆轮绕定轴O 的转动方程
为 t2 4t ， 单位为rad， t单位为s。求 t 1 s 时，轮
*
t
当 t 趋近于零时，刚体转动的瞬时角加速度为
lim * lim d
t 0
t0 t dt
刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，
或等于转角对于时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是 rad/s2
若 与 的符号相同，则角速度的绝对值随时间而增加，这 时称为加速转动；反之，若 与 的符号相反，则角速度
例
设有平动的刚体，在刚体上任取两点 A 和 B ，并连成一直线如
图5-3所示。运动开始时 AB 线在 A0B0 的位置；经过极短时间间 隔 t 之后，移至 A1B1 ；依次再继续移至 A2B2 ， ，AnBn 等。
首先证明这两个任意点的轨迹形状是完全 相同的，根据刚体的定义得知 A，B 两点间 的距离保持不变。 因此 AB A0B0 A1B1 A2B2 AnBn
刚体转动公式
刚体转动公式刚体转动公式是指描述刚体在定轴转动时的物理量之间的关系的公式。
刚体是指在任何外力作用下都不发生形变的理想化物体，可以看作由无限多个彼此间距离保持不变的质点组成的质点系。
刚体的运动可以分解为平动和转动两种基本形式，其中转动是指刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动，这条直线称为转轴。
刚体转动公式涉及到以下几个基本物理量：角度θ：表示刚体在转动过程中某一参考线与某一固定方向之间的夹角，单位为弧度（rad）。
角速度ω：表示刚体在单位时间内转过的角度，单位为弧度每秒（rad/s）。
它是一个矢量，方向沿转轴并遵循右手螺旋法则。
角加速度α：表示刚体角速度在单位时间内的变化量，单位为弧度每秒平方（rad/s2）。
它也是一个矢量，方向同样沿转轴并遵循右手螺旋法则。
力矩M：表示外力对刚体产生转动效果的大小和方向，单位为牛顿米（N⋅m）。
它等于力F与力臂r的叉乘，即M=r×F⊥，其中F⊥是力在刚体所在平面内的分量。
它也是一个矢量，方向同样沿转轴并遵循右手螺旋法则。
角动量L：表示刚体转动状态的大小和方向，单位为牛顿米秒（N⋅m⋅s）。
它等于刚体上任意一质点的角动量之和，即L=∑ni=1m i v i r i=∑n i=1m iωi r2i，其中m i,v i,r i,ωi分别表示第i个质点的质量、速度、到转轴距离和角速度。
它也是一个矢量，方向同样沿转轴并遵循右手螺旋法则。
转动惯量J：表示刚体对转动状态改变的惯性大小，单位为千克米平方（kg⋅m2）。
它等于刚体上任意一质点的质量与其到转轴距离平方之积之和，即J=∑ni=1m i r2i。
它是一个标量，只与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴位置有关，而与刚体的运动状态无关。
刚体转动定律根据以上物理量之间的定义和关系，我们可以得到以下几个描述刚体定轴转动规律的公式：角速度和角加速度的关系：ω=ω0+αt，其中ω0是初始角速度，t是时间。
角度和角速度的关系：θ=θ0+ω0t+12αt2，其中θ0是初始角度。
第四章刚体的定轴转动
L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2： 求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴 的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内 无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，
角加速度介绍
t 0
θ θ0
10
ω = ω 0 + βt 1） （ ）
1 2 ） θ θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
）、（2） 由（1）、（ ）式消 t得： ）、（ 得
2 2 0
ω = ω + 2 β (θ θ 0 ) （3） ）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系： 与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
ω t dω 由 β = 有： ω = βdt 两边积分 ∫ dω = ∫ βdt d ω0 0 dt ω ω 0 = βt ω = ω 0 + βt （1） ）
ω = ω0
dθ 由 ω = 有： θ = ωdt 两边积分 d dt
∫ dθ = ∫ ωdt = ∫ (ω 0 + βt )dt 1 2 ） θ θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
p′ r
R
θ
v1 P
θxLeabharlann θ ω= t转/分，rev/min 分
6
刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 单位：弧度 秒 单位：弧度/秒，rad/s,
2π 1rev/min = rad/s 60
平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。 平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。 2.角速度 . 用平均角速度代替变化的角速度； ①.用平均角速度代替变化的角速度； 用平均角速度代替变化的角速度
dθ ω= dt
t → 0
取极限； 取极限；
2 ω dω d θ β = lim = = 2 t → 0 t dt dt
角加速度为角速度对 的一次导数， 时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。 的二次导数。
刚体转动方程的矢量式
刚体转动方程的矢量式
欧拉矢量转动方程（Euler Vector Rotation Equation）是一项重要的物理学计算工具，它可以被用来计算物体在任意方向上运动或转动时，其速度和加速度的变化。
物体运动时，通常要考虑物体重心、它的重力中心、以及它周围的外力。
使用欧拉矢量转动方程，可以更准确地确定物体的移动特性、方向和角加速度，从而更好得把控行驶方向及物体运动轨迹。
欧拉矢量转动方程的表达式为：ω=Ω+Δω，Ω 是指物体的角加速度，Δω 指的是角加速度的偏差，而ω则表示物体运动时的角速度。
式中，Ω和Δω可以分别在 x、y、z 坐标轴上看做方向矢量。
Δω即为偏差矢量，可以用来衡量物体转动情况的任何偏移量。
欧拉矢量转动方程广泛应用于导航系统中，它可以准确地计算出行至下一个定位点的正确航向，以便确保到达目标地点。
欧拉矢量转动方程在不断定位技术中也有着重要应用，它可以根据物体移动情况，准确地确定物体的位置。
此外，欧拉矢量转动方程还可以应用于飞行控制及机器人导航系统等领域。
欧拉矢量转动方程可以用来测量物体移动及转动的精确特性，它们具有多种用途和重要应用，因此是计算物理学中一项基本的也是重要的公式。
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六、运动学中与位置相关的 重要概念——参考体
参考体：描述物体的运动之前所选取的作为 参照物的物体。
参考系：将所选取的参考体经抽象化处理， 以坐标系的形式出现。（坐标系， 参考坐标系）
内容提要
1、点的运动的表示方法 ——三种：矢径表示法， 笛卡儿坐标表示法， 弧坐标表示。
2、刚体的基本运动 ——两种：刚体的平行移动， 刚体的定轴转动。
&x&
ay
d 2y dt 2
&y&
az
d 2z dt 2
&z&
合加速度大小
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
— ( 5 10 )
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定
co（ s a, i） ax a
co（ s a,
j）
ay a
(5
12)
co（ s a, k )
平均速度
v r t
瞬时速度
P(t)
S （v
r P'(t+t) r
O
r' v
v lim r dr r& —（5 2） t0 t dt
速度单位
米 / 秒(m / s)
３、加速度：
平均加速度
a v t
瞬时加速度
P(t)
S （v
r P'(t+t) r
O
r' v
v a lim
t 0 t
dv dt
3、定轴轮系的传动比 ——两种：齿轮传动， 带轮传动。
4、刚体角速度和角加速度的矢量表示 ——角速度矢、角加速度矢
5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示
6、泊松公式
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
P、P——动点
v、v ——动点的瞬时速度
S
r、r ——动点的瞬时矢径
r r ——t时间间隔内矢径改变量
速度的笛卡儿坐标轴上的投影式
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
x&
y&
z&
合速度大小
(5 6 )
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
(5 7 )
合速度方向 合速度的方向由其方向余弦确定
co（ s v, i） vx v
co（ s v,
j）
vy v
(5
8)
co（ s v, k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐 标对时间的一阶导数。
动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的 速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二 阶导数。
三、弧坐标表示法： 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图） ❖火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（右图）
O
i
x
r
j
y
M
z
y
x
2、运动速度： 速度的笛卡儿坐标表达式
z r= ix + jy + k z
r
k j
O
i
y
x
M
z
y
x
将式 r=ix+jy+kz 对时间求一阶导数，并注意到 i、j、k 是常矢量，然后再将其代入公式（5-2），即 可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：
v r& (x&i y&j z&k) —（5 5）
变矢为变矢量 A(t) 端点的速度u。
二、笛卡儿坐标表示法：
1、运动方程（运动规律）：
z r= ix+ jy+ k z
由于动点在空间的位置
可用坐标唯一的确定，而坐
标x、y、z又是t的单值连续
的矢量函数，故可表示如下：
k
x f1(t) y f2 (t) ( 5 4) z f3(t)
——运动方程
z
y
x
01-5-12
24
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
S —— 弧坐标、O点至动点M的弧长。是时间ｔ 的单值函数。
正负号—— 规定参考点的一侧方向为正向，相应部 位的弧长为正值；另一侧方向为负向，相 应部位的弧长为负值。
S
M
()
O
()
自然轴系
// ，
P
MM
P平面趋于一极限位置，
即空间曲线在M点的密切面。
三、运动学的建立基础
由于经典力学中空间、时间与物体运动的 无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在 欧几里德几何学公理的基础上。
四、运动学中的两种力学模形：
点： 不计尺寸大小的物体。 刚体：形状和大小都不变化的物体。
五、运动学中与时间相关的两个 重要概念——瞬时和时间间隔
瞬 时： 时间间隔：
在整个时间流逝过程中的某一时刻。 在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间 轴上的一个点。开始计算时间的瞬时 称为初瞬时 两个瞬时之间流逝的时间。
d2 dt
r
2
& r&
—（5 3）
加速度单位
米 / 秒2 (m / s2 )
讨论：速度矢端图
点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的 始端画在同一点O′，按照时间顺序，这些速度矢量的末端 将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端图。
如图所示，速度 为v 时的加速度方向 为M点的切线方向。 指向速度矢变化的方 向。
S ——动点运动轨迹，矢径端图
o ——参考点
O
P
v
r P'
r' v
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
1、运动方程（运动规律）：
由于矢径r的大小与
方向均随时间t而变，是
S
t的单值连续的矢量函数，
故可表示如下：
r
r r(t) (5 1)
——运动方程
O
P(t)
（
r
v
P'(t+t)
r' v
2、运动速度：
vz v
2、运动加速度： 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
a dv v& & r& & x&i & y&j & z&k dt
—（5 9）
加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式
ax
d 2x dt 2
速度矢端图的
作用：确定瞬时加
速度方向。
o
M
M
v v
a
速度矢端图
总结
动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿 轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。
动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数, 等于 位矢 对时间的二阶导数。其方向 为v的极限方向
变矢量 A(t) 对时间t的导数 dA(t)dt 为一新变矢。此新
第七章 点的一般运动、刚体的基本运动
引言
一、空间、时间与物质运动的关系
1、物体的运动速度接近光速或超越光速时， 空间、时间与物质的运动是相互关联的。
2、经典力学范围内，认为空间、时间与物 质的运动无关。
二、运动学的研究对象
经典力学中的运动学在被认为在与运动无 关的空间和时间中研究物体运动的几何性质
，为切向单位矢量
() O
s A
P
M
() B
M
由于M点附近的微小弧段 可以可以近似的看成为一条 在密切面内的平面曲线，因 此对平面曲线而言，密切面 就是该曲线所在的平面。