三角形中的几何计算

4．若coasA＝cobsB＝cocsC，则△ABC 的形状为 __________ ．
[答案] 等边三角形
[解析] 解法一：由正弦定理得csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC， 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C， ∴△ABC 为等边三角形．
[分析] 要求 sinA 的值，需根据“ D 是 AC 的中点”这个 条件，取 BC 的中点 E，连结 DE，则 DE∥AB，所以∠ ABE＋ ∠BED＝180°，根据题目中的条件 cos∠ABC＝ 66，进而求得 cos∠BED＝－ 66.又由 DE 綊12AB，得 DE＝12×4 36＝236.在△
第二章 解三角形
第二章 §2 三角形中的几何计算
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 本节思维导图
3 易混易错点睛
5 课时作业
课前自主预习
我国南宋数学家秦九韶 (约 1202～
1261) 独立地发现了求三角形面积的方
法．他把三角形的三边分别叫作大斜、
中斜、小斜 (如图)，他在著作《数书九章》卷五中记述：“以
(4)三角形内的诱导公式 sin(A＋B)＝___s_in_C___，cos(A＋B)＝_－__c_o_s_C__，
tan(A＋B)＝_－__t_a_n_C__，sinA＋2 B＝__c_o_s_C2___， 1
cosA＋2 B＝__si_n_C2____，tanA＋2 B＝__ta_n_C2____； (5)在△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＝__ta_n_A__·t_a_n_B_·_ta_n_C___.
求出∠ADB，在△ABD中，利用正弦定理求出AB．
[解析] 在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得 cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2
＝1002＋×3160－ ×1696 ＝－ 12，∵∠ ADC∈(0，π)
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦
＝
2＋ 4
6 .
(2)在△OBC 中，sin∠OCOBC＝sin∠BCBOC，
∴BC＝sin∠BOC·sin∠OCOBC＝
2＋ 4
6·sin620°＝1＋
3 3.
∴线段
BC
的长为
1＋
3 3.
利用正、余弦定理求角度问题
在△ABC中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66， AC 边上的中线 BD＝ 5，求 sinA 的值．
3．三角形的两边长为 3cm、5cm，其夹角的余弦是方程 5x2
－7x－6＝0 的根，则此三角形的面积是( )
A．6cm2
B．125cm2
C．8cm2
D．10cm2
[答案] A
[解析] 解方程 5x2－7x－6＝0，得 x1＝－35或 x2＝2. 由题意，得三角形的两边长为 3cm、5cm，其夹角的余弦 为－35，∴夹角的正弦为 45， 故三角形的面积 S＝12×3×5×45＝6cm2.
解法二：由正弦定理得 a＝2RsinA，b＝2RsinB， c＝2RsinC，代入 coasA＝cobsB＝cocsC得： csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC， 由csoinsAA＝csoinsBB得，sinAcosB－sinBcosA＝0， ∴sin(A－B)＝0.又－π<A－B<π.
∴A－B＝0 得 A＝B．同理得 B＝C，∴A＝B＝C．
所以△ABC 为等边三角形．
5．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3， b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值为________．
[答案]
61 2
[解析] bccosA＋cacosB＋abcosC
＝bc·b2＋2cb2c－a2＋ca
1.已知△ABC 周长为 20，面积为 10 3，A＝60°，则 BC 边
长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
[答案] C [解析] 由题设 a＋b＋c＝20，12bcsin60°＝10 3，
∴bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
∴a＝7.
定理得 sin∠ABADB＝sAinDB，
∴AB＝AD·ssinin∠BADB＝10sisnin4650°°＝10×2
3 2 ＝5
6.
2
[方法总结 ] 解决这类问题的关键是待求量纳入三角形 中，看已知条件是什么，还缺少哪些量，这些量又在哪个三角 形中，应选择正弦定理还是余弦定理求解.
对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角 形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．构造三角形时，要 注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．
如图，△AOB是等边三角形，∠ AOC＝45°，OC＝，A， B，C三点共线．
(1)求sin∠BOC的值． (2)求线段BC的长．
[解析] (1)∵△AOB 是等边三角形，∠ AOC＝45°， ∴∠BOC＝45°＋60°.
∴ sin ∠ BOC ＝ sin(45°＋ 60°) ＝ sin45°cos60°＋ cos45°sin60°
·c2＋2ac2a－b2＋ab
a2＋b2－c2 · 2ab
＝a2＋b22＋c2＝32＋422＋62＝621.
课堂典例讲练
三角形中基本量(如长度、高度、角度等)的 计算问题 在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一 点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
[分析] 在△ADC中，利用余弦定理求出∠ ADC，从而可
小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于以；以小斜幂乘大
斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”用
今天的符号来表示即是 S＝
Baidu Nhomakorabea
1 4[a
2c2－?c2＋a22－b2?2]，你能用所
学的知识证明这个结论吗？
三角形中的常用结论 (1)A＋B＋C＝__1_8_0_°___； (2)在三角形中大边__大__角____，反之大角对__大__边____； (3)任意两边之和__大__于____第三边，任意两边之差__小__于____ 第三边；
2．在△ABC中，已知 B＝45°，c＝2 2，b＝433，则 A 的
值是( )
A．15°
B．75°
C．105°
D．75°或 15°
[答案] D
[解析] ∵sibnB＝sincC，
∴sinC＝csibnB＝2
2sin45°＝ 43
23.
3
∵0°＜C＜180°.∴C＝60°或 120°，∴A＝75°或 15°.