第五节隐函数求导

d ( ex y ) dx cos y x
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
问题：(1) 没有统一的公式; (2) 没有回答隐函数是否一定存在.
隐函数的微分法可以看成复合函数微分法 的一个应用.在一元函数中，我们已经用复合函 数求导法，求出方程F(x,y)=0所确定的隐函数 y=f(x)的导数. 现在从另一个角度，即根据多元 复合函数的求导法来导出隐函数的求导公式.
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
第五节
第九章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
由方程 F ( x , y ) 0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 d x
例如： y x e y x 0
两边对 x 求导
d y d (x e y)
1 0
dx dx
dy dx
( e y x e y d y ) 1 0 , dx
dy dx
e y 1 1 xe y
例3. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
例3.
设
x2
y2
z2
4z
0
,
求
2z x2
.
解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
Fx
Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
例1. 验证方程 可确定一连续导数的隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
问题的提出
在一元函数微分学中我们已经提出了隐函 数的概念，并且通过举例的方法指出了不经过 显化直接由方程
F(x, y) 0
求出它所确定的隐函数的导数的方法。
然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程 可以唯一确定函数
y y(x) 并且函数 y y( x)是可导的？
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续 导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
三个条件、三个结论 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在一个可
导的隐函数
且
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y
F(x, y) sin y ex xy 1,
dx2 x 0
Fx ex y, Fy cos y x
则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z)2 (2 z)3
x
2
例4 设函数 z z( x由, y方) 程 z e2确x定3z 。2 y
求 3 z z 。
x y
解 法一(利用隐函数求导法则)
z
1
2 3e 2x3z
z e2x3z 2 y
法二(利用全微分公式)
dz de2x3z d(2y) e2x3z d (2x 3z) 2dy
e2x3z (2dx 3dz) 2dy
(1 3e2x3z )dz 2e2x3z dx 2dy
设 F(x, y, z) e2x3z 2y z 0
则有 F 2e2x3z
x
F 2 y
F 3e2x3z 1 z
于是 z F
x x z F y y
从而有 3 z z
x y
F z
2e2x3z 1 3e2x3z
F 2 z 1 3e2x3z
2
3
1
2e 2x3z 3e2x3
则 两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
dy Fx
dx Fy 问题：如何给出 d
2
y
的计算公式？
d x2
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
例2
已知ln
x2 y2 arctan y ，求
dy
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同理可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
x
1 ln( x2 y 2 ) arctan y
2
x
则
Fx ( x,
y)
x x2
y y2
,
Fy( x, y)
y x2
x y
2
,
dy Fx x y . dx Fy y x
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0