第五节隐函数求导
微积分课件第5节隐函数的求导公式
z z dx dy. dz xz ( x z) y
2
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法 x z ex2.设 ln , 求dz. z y
解2 （全微分法） x z 原式两边微分得: d ( ) d (ln ) z y zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2 z z 整理得dz ( dx dy) xz y z z2 dx dy. xz ( x z) y
sin y x cos y y ye x ye x 0
sin y ye 所以, 得 y . x x cos y e
x
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性， 并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数 的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的
F F ( x , f ( x )) F F ( x , y ), y f ( x )
连 续函 数 y f ( x ), 且y0 f ( x0 ); Fx dy (2)有连续导数 （一元隐函数的求导公式） . dx Fy 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: x 将函数 y f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) 0 得 F dy F[ x, f ( x )] 0, 即Fx Fy 0, y dx 上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得
Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数
x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0
2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0
(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2
大学高数课件 6.5第五节 隐函数的求导公式
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
第五节 隐函数求导公式
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隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
隐函数的求导公式
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
第五节 隐函数的求导公式
等式两端同时对 x 求偏导, 得
F x 1 +F y 0 +Fz 0 + Fu
在Fu 0的条件下 解得 ,
u x
=0
u x
u z
Fx Fu
类似可得
u y
Fy Fu
Fz Fu
例题:见课本例2-5
Fy Gy Fv Gv
二、隐函数的求导法
下面，总假设隐函数存在且可导， 在此前提下来讨论
求隐函数的导数或偏导数的方法。 1、一个方程的情形 (1) F ( x , y ) 0 设该方程确定了函数: y y( x )即 F [ x , y( x )] 0 等式两端同时对 x 求导, 得
在F y 0的条件下 解得 ,
Fv Gv Fv Gv
Fu v x 1 ( F , G ) J ( u, x ) Gu Fu Gu
Fx Gx Fv Gv
Fy u y 1 ( F , G ) J ( y, v ) Gy Fu Gu
Fv Gv Fv Gv
(3)
Fu v y 1 ( F , G ) J ( u, y ) Gu Fu Gu
Fx 1 + F y
dy
+ Fz
dz
0
dx dz + Gz 0 dx
即 Fy dx
dy
+ Fz + Gz
dz dx dz dx
Fx
G dy y dx
Fy Gy Fz Gz
Gx
在
0的条件下 解得 ,
Fz Gz Fz Gz Fx Fz Gz Fz Gz
第五节 隐函数的求导方法 (P37)
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv Fu F 1 v 1 ( F , G ) y Fu Fv Gu G y J ( u, y ) y Gu Gv
例5.设函数
邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
( F , G) P (u, v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
有连续的一阶偏导数 , 分别由下列两式确定 :
e
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
x y 2 , e 0
dt ,
u
x y z
解得
因此
e x ( x z) z 1 sin( x z ) du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 dx x sin( x z )
第五节隐函数求导法则
x 0 y 1
0,
x d( ) 2 d y y xy y 2 dx dx y2
y x 2 y
x y
1 3, y
d2y dx2
x 0 y 1
1.
隐函数的求导方法可推 广到多个变量的情形 .
设 方 程 F ( x1 , x2 , , xn , z ) 0 确 定 了 z是x1 , x2 , , xn 的可微隐函数 z z( x1 , x2 , , xn ),
则有 Fxn Fx1 Fx2 z z z , , , x1 Fz x2 Fz xn Fz
2 z 2 2 2 例 2 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x 解1 利用公式
令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z , 则 Fx 2 x , Fz 2 z 4,
(F , G ) v ( u, y ) . (F , G ) y ( u, v )
特别地，方程组
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
可以确定函数 y y( x ), z z( x ), 且
(F ,G ) dy ( x, z ) dx (F ,G ) ( y, z )
x x 0 f1 ( 1) f 2 ( xz yz ), y y
整理得
x f1 xzf 2 , f1 yzf 2 y
把 y 看成 x , z 的函数对方程两边关于 z 求偏导数得
y y 1 f1 ( 1) f 2 ( xy xz ), z z
F u Gu
u F v F v x x x u G v G u x x x
第五节隐函数的求导
Fx Fz 或 yx , yz Fy Fy
7
例3（1） 解 设 则
z tanx yz 2
xy z
F x, y, z z tanx yz 2 xy z
2 xy z
z z ，求 , x y
z Fx sec2 x yz 2 xy （ln 2） y
则 Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2 z 4 z x z y , x 2 z y 2 z
2 z x 2 3 2 z 2 z 2 2 2 z y zy 2 z y2 z y 3 2 2 y y 2 z 2 z 2 z
y x
解 设
F x, y x y
y
x
则
Fx yx y 1 y x ln y
Fy x ln x xy
y x 1
所以
Fx yx y ln y y y x 1 Fy x ln x xy
x
6
y 1
定理2 设函数F x, y, z 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内具有连续 偏导数，且F x0 , y0 , z0 0, Fz x0 , y0 , z0 0, 则方程F x, y, z 0 在点 x0 , y0 , z0 的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函 Fy Fx z z 数z f x, y , 它满足z0 f x0 , y0 , 并且 , x Fz y Fz
z x 2 x x 2 z
2
2 z x zx
2
2
12
例6 设u f x, y, z 具有连续的一阶偏导数，又函数y y x ,
(完整)第五节 隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。
重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。
难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法. 作业：习题8－5（43P ）**1)3)2,4,7,8,10,11一．一个方程的情形在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(=y x F ，求它所确定y 是x 的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程y e xy e +=确定隐函数的偏导数为y Fdy yx F dx e xy∂∂=-=-∂+∂．如果0≠∂∂yF，则方程0))(,(=x f x F 两边对x 求导，有0=∂∂+∂∂=dx dyy F x F dx dF ，从中解出 yF x F dxdy ∂∂∂∂-=． 1．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 满足条件(1）在点000(,)P x y 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）0),(00=y x F ； (3）0),(00≠y x F y ,则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有导数公式yx F F dx dy-=． 说明：求偏导数x F 时，将函数),(y x F 中y 视为常数，对x 求偏导数； 求偏导数y F 时，将函数),(y x F 中x 视为常数,对y 求偏导数．例1．验证方程1+=yxe y 在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时1=y ，并求这函数的一阶与二阶导数在0=x 的导数值．解 设函数1),(+-=y xe y x F y,则 yx e F =，1-=yy xe F ，显然偏导数连续，且0)1,0(=F ，又01)1,0(≠-=y F ,因此由定理1可知方程1+=yxe y 在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时，1=y ．有导数12y yx yy F dy e e dx F xe y =-==--，e dxdy x ==0| 二阶导数为 222223(2)'(3)(3)'(2)(2)(2)y y y y d y e y y e y e y e y y dx y y y '-+--===--- 222023(31)|2(21)x d y e e dx =-==-． 如果函数),(y x F 的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式dx dy F F y F F x dxy d y x y x )()(22-∂∂+-∂∂=)(22yxyxyy y xy yxyx y xx F F F F F F F F F F F F -----= 3222yxyy y x xy y xx F F F F F F F F +--=．2．隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 满足条件（1）在点0000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数； (2）0),,(000=z y x F ； （3）0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续,且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有偏导数公式z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 公式的推导：由于0),,(=z y x F 确定二元函数),(y x f z =，将其代入方程0),,(=z y x F 中,得0)),(,,(=y x f y x F ,方程两边分别对x 和y 求偏导数得0=∂∂+xzF F zx ，0=∂∂+y z F F zy ， 由上面两式分别解出偏导数z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 说明：求偏导数x F 时，将函数(,,)F x y z 中,y z 视为常数，对x 求偏导数; 求偏导数y F 时，将函数(,,)F x y z 中,x z 视为常数，对y 求偏导数;求偏导数z F 时，将函数(,,)F x y z 中,x y 视为常数,对z 求偏导数．例2．设方程04222=-++z z y x ，求,z zx y ∂∂∂∂，yx z ∂∂∂2．解 方法1：设函数z z y x z y x F 4),,(222-++=．则x F x 2= ，42-=z F z ,y F y 2= 于是 z xz x x z -=--=∂∂2422，z y z y yz -=--=∂∂2422． 上式2z xx z∂=∂-再对y 求偏导数，得 2223()2(2)(2)(2)z yxx z xy y x x y z z z ∂∂∂-===∂∂---． 方法2：方程04222=-++z z y x 两边对x 求偏导，得 2240z z x z x x ∂∂+-=∂∂,解得zxz x x z -=--=∂∂2422， 通理得zy z y y z -=--=∂∂2422练习：设方程ln xz y z=+，求y x z ∂∂∂2．(用两种方法求一阶导(1)z z x x z ∂=∂+，1z z y z ∂=∂+）例3．设方程0),(=zyz x G 确定函数),(y x z z =，且),(v u G 偏导数存在,求y z x z ∂∂∂∂,．解 令(,,)(,)(,)x y F x y z G G u v z z ==，其中,x yu v z z==，z G F x 11⋅=，z G F y 12⋅= ，)()(2221z y G z x G F z -+-=)(1212yG xG z+-=，则2112121)(11yG xG zG yG xG z G z F F x z z x +=+=-=∂∂． 2122122)(11yG xG zG yG xG z G z F F y z z y +=+=-=∂∂． 也可以用方法2求偏导数．练习题 设方程(,,)0G xy y z xz +=确定函数),(y x z z =，而(,,)G u v w 偏导数存在,且230G xG +≠,求yz x z ∂∂∂∂,． 二．方程组的情况1．方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数),(),,(y x v v y x u u ==,将其代入⑴中，得(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ==，将上式两边分别对x 求偏导数，得00x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,这是关于x v x u ∂∂∂∂,的线性方程组，可以从中解出x vx u ∂∂∂∂,，也可用行列式求解．见下面定理3． 隐含数存在定理3设函数),,,(v u y x F ，),,,(v u y x G 满足下列条件（1）在点00000(,,,)P x y u v 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）0),,,(0000=v u y x F ,0),,,(0000=v u y x G ；（3）函数v u G F ,,对的偏导数所组成的函数行列式（或雅可比行列式)0),(),(≠=∂∂=vu vuG G F F v u G F J ,在点00000(,,,)P x y u v 则方程组0),,,(=v u y x F ,0),,,(=v u y x G 在点0P 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==,满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v = 并有偏导数公式),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂ ,),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂ ， ),(),(1y u G F J x v ∂∂-=∂∂．例4．设方程0=-yv xu ，1=+xv yu ，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解 将所给方程的两边对x 求偏导数并移项,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x u x x u y u xu y x ux在022≠+=-=y x xyy x F 条件下，2222y x yv xu y x x v yu x u ++-=+---=∂∂;2222y x xvyu y x v y ux x v +--=+--=∂∂． 同理,方程的两边对y 求偏导数，解方程组得22y x yu xv y u +-=∂∂， 22yx yvxu y v ++-=∂∂． 2．由方程组0),,(=z y x F ,0),,(=z y x G 可确定两个一元函数)(),(x z z x y y ==， 的导数公式．方程 0))(),(,(=x z x y x F ，0))(),(,(=x z x y x G 两边对x 求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++x z y x z y z y x z y x G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dyF dx dzG dx dy G G dx dz F dx dy F F 00，从中解出zyz y z xz xG G F F G G F F dxdy-= ，zyz y x y x y G G F F G G F F dxdz -=．例5．设0=++z y x ,1222=++z y x ,求dxdz dx dy ,． 解 方程0=++z y x ，1222=++z y x 两边对x 求导,得102220dy dz dx dx dy dz x y z dx dx ⎧++=⎪⎪⇒⎨⎪++=⎪⎩ 1dy dz dx dxdy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩， 因为011≠-==y z zy J ， 于是z y x z y z zx dx dy --=---=11 ， zy yx y z xy dx dz --=---=11． 例6．若函数)(u F z =可微，又12sin ()x yu u t dt ϕ+=+⎰，ϕ为连续函数,求xz∂∂． 解 因为x u u F x z ∂∂'=∂∂)(, 又)(cos 2y x x u u x u ++∂∂=∂∂ϕ， 所以 u y x x u cos 2)(-+=∂∂ϕ, 于是 uy x u F x z cos 2)()(-+'=∂∂ϕ，（2cos 0u -≠）． 例7．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,函数，其中F f ,都具有一阶连续偏导数，试证明tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=．(完整)第五节 隐函数的求导公式解 因为))((dxdy y t x f t f x f dx dy ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=,从中解出yt t f x t t f x f dxdy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 ，又因为),(y x t t =由方程0),,(=t y x F 确定,所以tF x F xt ∂∂∂∂-=∂∂,t F y F y t ∂∂∂∂-=∂∂于是 y F t f t F x F t f t F x f tFy F t f t F x Ftfx f dxdy ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂=)(1)(． 例8．设函数),(y x z z =由方程组v u e x +=,v u e y -=，uv z =确定,求,z zx y∂∂∂∂． 解 函数uv z =对x 求偏导数，得x v u x u v x z ∂∂+∂∂=∂∂, 方程v u e x +=对x 求偏导数得)(1xv x u e v u ∂∂+∂∂=+， 方程v u e y -=对x 求偏导数得)(0xv x u e v u ∂∂-∂∂=-, 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂--0x v x u e xv x u vu ,得 v u e x v x u --=∂∂=∂∂21，于是)(21v u e x z v u +=∂∂--．(完整)第五节 隐函数的求导公式同理 )(21u v e y z vu -=∂∂--．思考题1．若方程0),,(=z y x F 确定了z 为y x ,的函数，那么如何求二阶偏导数yx z∂∂∂2?。
第五节隐函数的求导公式 F y0 ) 0
∂x ( xf1′ − 1)(2 yvg′2 − 1) − f 2′ ⋅ g1′
∂v =
g1′
(
xf
′
1
+
uf
′
1
−
1)
.
∂x ( xf1′ − 1)(2 yvg2′ − 1) − f 2′ ⋅ g1′
六、du = dxf x′ −f x′ ⋅ g′x g′y
+
f y′ ⋅ g′z ⋅ h′x g′y ⋅ hz′
∂F ∂F
J
=
∂(F ,G) ∂ (u, v )
=
∂u ∂G
∂v ∂G
∂u ∂v
在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) = 0、 G( x, y,u,v) = 0
在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一 确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
解 令 F(x, y) = x2 + y2 − 1
则 Fx = 2x, Fy = 2 y,
F (0,1) = 0, Fy (0,1) = 2 ≠ 0, 依定理知方程 x2 + y2 − 1 = 0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且 x = 0时 y = 1的 函数 y = f ( x)．
且∂g ≠ 0, ∂h ≠ 0,求 du .( f , g, h均可微)
∂y ∂z
dx
七、设 y = f ( x, t),而 t 是由方程 F ( x, y, t) = 0 所确定的
x, y 的函数,求 dy . dx
八、设 z = z( x, y)由方程F ( x + x , y + z )=0 所确定, yx
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
隐函数求导
xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业： 作业：
P130 习题 习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习： 练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得 方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ， 解得
x y′ = − . y
比较： 显化后, 比较： 显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2
第五节 隐函数的求导公式
x2 y2 z2 6 例 1 设 确定 y y( x )， z z ( x )， x y z 0 dy dz 求 ， . dx dx
解1
直接代入公式.
解2 运用公式推导的方法. 将所给方程的两边分别对 x 求导， 视 y y( x ) , z z ( x ).
2. 推广到三元以上
隐函数存在定理 2
F ( x, y, z ) 0
设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 ,
y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y ,
z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) ， 并有
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z z 例 3 设方程 x y z 3 xyz 0，求 和 . y x
0 的点的某邻域内能唯一确定一个单值可导的函 数 y y( x )．
Fx dy 2 . dx Fy 2 cos y
e x y xy 0 前述引例: 令 F ( x,y) e x y xy 0,
当 Fy ( x,y ) e x y x 0 时,
2
2z z 由上式解出 2 并将 代入求出结果. x x 2z 2z 类似地，可求得 . 2 及 xy y
二、方程组的情形
隐函数存在定理 3
F ( x, y, z ) 0 (1) G ( x , y , z ) 0
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d ( ex y ) dx cos y x
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2
3
x0
y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
问题：(1) 没有统一的公式; (2) 没有回答隐函数是否一定存在.
隐函数的微分法可以看成复合函数微分法 的一个应用.在一元函数中，我们已经用复合函 数求导法，求出方程F(x,y)=0所确定的隐函数 y=f(x)的导数. 现在从另一个角度，即根据多元 复合函数的求导法来导出隐函数的求导公式.
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
第五节
第九章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
由方程 F ( x , y ) 0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 d x
例如： y x e y x 0
两边对 x 求导
d y d (x e y)
1 0
dx dx
dy dx
( e y x e y d y ) 1 0 , dx
dy dx
e y 1 1 xe y
例3. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
例3.
设
x2
y2
z2
4z
0
,
求
2z x2
.
解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z
Fx
Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
例1. 验证方程 可确定一连续导数的隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
问题的提出
在一元函数微分学中我们已经提出了隐函 数的概念，并且通过举例的方法指出了不经过 显化直接由方程
F(x, y) 0
求出它所确定的隐函数的导数的方法。
然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程 可以唯一确定函数
y y(x) 并且函数 y y( x)是可导的？
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续 导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
三个条件、三个结论 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在一个可
导的隐函数
且
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y
F(x, y) sin y ex xy 1,
dx2 x 0
Fx ex y, Fy cos y x
则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z)2 (2 z)3
x
2
例4 设函数 z z( x由, y方) 程 z e2确x定3z 。2 y
求 3 z z 。
x y
解 法一(利用隐函数求导法则)
z
1
2 3e 2x3z
z e2x3z 2 y
法二(利用全微分公式)
dz de2x3z d(2y) e2x3z d (2x 3z) 2dy
e2x3z (2dx 3dz) 2dy
(1 3e2x3z )dz 2e2x3z dx 2dy
设 F(x, y, z) e2x3z 2y z 0
则有 F 2e2x3z
x
F 2 y
F 3e2x3z 1 z
于是 z F
x x z F y y
从而有 3 z z
x y
F z
2e2x3z 1 3e2x3z
F 2 z 1 3e2x3z
2
3
1
2e 2x3z 3e2x3
则 两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
dy Fx
dx Fy 问题：如何给出 d
2
y
的计算公式？
d x2
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
例2
已知ln
x2 y2 arctan y ，求
dy
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
z x
0
同理可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
x
1 ln( x2 y 2 ) arctan y
2
x
则
Fx ( x,
y)
x x2
y y2
,
Fy( x, y)
y x2
x y
2
,
dy Fx x y . dx Fy y x
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0