工程力学15-压杆稳定详解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6
稳定平衡与不稳定平衡
V=Vmin—稳定平衡，V=Vmax—不稳定平衡，V=C—随遇平衡
7
结构失稳的特点和危害
1.工作应力低，通常低于比例极限，不是强度和 刚度问题。 2.与侧向干扰有关。（北京机场脚手架坍塌时正 在刮8级大风） 3.具有突发性，危害很大。
8
§15-2 稳定性的概念
一.稳定性问题的分类 1.压杆的稳定性。2.板壳的稳定性。 本课程只讨论压杆的稳定性。 二、压杆的稳定与失稳 1．压杆的稳定性：
3
§15-1 结构失稳的工程实例
2005年12月 04日首都机 场工地140 平方米脚手 架突然坍塌 。
4
§15-1 结构失稳的工程实例
2000年10月26 日南京电视台 在建大楼脚手 架突然倒塌， 有35人受伤， 5人死亡。
5
结构的垮塌与社会的发展历史和建筑材料的使用 有关,石材截面尺寸较大不会发生失稳
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
L
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
c
coskx
d
P
sin
kx
M
P
y d coskx c sin kx
M0 P
M0 边界条件为:
P
x0,yy0;xL,yy0
20
cM ,d0,kL2n 并 kLn
P
FN
5 2
F
150kN
2.CD杆的临界压力：
xA A
C
F
B
yA 2m
3m FN
I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9 106 m4
64
64
2.9106 mm4
16
Fcr
2
l
EI
2
2
200103 2.9 3.52 106
106
467103 N 467kN
类似.
17
Pcr
2 EImin L2
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr (2ELI)m2in
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
18
表15–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
l l 0.7l l 0.5l
l 2l
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
验算应力：
A (D2 d 2 ) 2 (1002 802 ) 106 2.8103 m2
4
4
2.8103 mm2
cr
Fcr A
467 103 2.8 103
167MPa p
使用欧拉公 式正确
Fcr 467 3.11 FN 150
称临界压力与工作压力之比为
安全系数,与强度的安全系数
态
FFF===FFFcccr
rr
b) 微
弯 F1
平 衡
F>FF>cFr cr
c)
失 稳
F1
干扰力去除后恢 复Hale Waihona Puke Baidu线状态
干扰力去除后 保持微弯
干扰力去除后继续 变形，直至倒塌
1．临界状态： 由稳定平衡向微弯平衡过度的状态。
2．临界载荷Fcr： 保 持 压 杆 稳 定 的 最 大 轴 向 压 力 ， 使 压 杆 失
稳的最小轴向压力（推导临界压力用） 11
§15-3 临界载荷的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
1、挠曲线近似微分方程： EIy" M(x) Fy
引用记号：k 2 F y" k 2 y 0 EI
2、该微分方程的通解为
y Asin kx Bcoskx
压 杆
式中A、B为积分常数
在
微
3、杆的边界条件
压杆维持其原有直线平衡状态的能力。 2. 压杆的失稳：
压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳定地工作，只 考虑在微弯状态下的平衡。 3．失稳原因： 轴线不直；加载偏心；材质不均；外界干扰。
9
压杆保持直线平衡状态能力的实例：撑杆跳高
10
三、中心受压直杆的临界压力
FF<<FFcc
rrr
a)
直
线F1F1
稳
一端固定 另端自由
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
2
Pcr
2EI
(0.7l)
2
Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr (22lE) 2I
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
19
[例1 ] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力
1
第十五章 压杆稳定
§15–1 压杆稳定性的概念 §15–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §15–3 超过比例极限时压杆的临界应力 §15-4 压杆的稳定校核及其合理截面
2
第十五章 压杆稳定
§15-1 结构失稳的工程实例
1907年加拿大 魁北克大桥在 剪彩前突然坍 塌，600米长， 19000吨重的大 桥和86名建桥 工人落入水中 ，只有11人生 还。
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL2
Pcr
4 2EI
L2
2EI
(L/2)2
= 0.5
21
[例2] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2E L22
x 0 y 0 x l y 0
弯 状
态
代入通解得 B 0
平
A
sin
kl
0
sin
kl
0
衡
F=Fcr
b) 微 弯 平 衡
干扰力去除后 保持微弯
12
kl
F l n EI
F
n2
2 l2
EI
( n 0，1，2)
4．两端铰支压杆的临界力： 临界力为非零最小压力
Fcr
2
l
EI
2
——欧拉公式
影响临界压力的因素分析：材料，惯性矩，杆长，约束 材料：钢材E值相同，使用高强度钢材没有作用， 惯性矩：I值大可以提高临界压力。 杆长：长杆的临界压力低于短杆的临界压力。
14
例15-1:图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的 钢管，其材料为Q235钢， E=200GPa,P=200MPa.设F=60kN,
试计算CD杆的临界压力和工作压力之比。
A
C
2m
F B
3m
D
15
解:1.CD杆的工作压力：取杆ACB为研究对象
由平衡方程
MA 0
得到：
F 5 FN 2 0
13
二．欧拉公式的导出条件和适用条件
1）推导欧拉公式时，使用了线性化的弯矩和曲率关系，应该 满足胡克定律和小变形的条件。使用变形后的尺寸计算弯矩 ，虽然是小变形，但不符合叠加原理的条件。 2）适用两端铰支约束的理想压杆（轴线为直线）。 3）没有用到截面形状特点，适合任何有纵向对称面的构件。 4）计算临界压力时不考虑截面的局部削弱。
稳定平衡与不稳定平衡
V=Vmin—稳定平衡，V=Vmax—不稳定平衡，V=C—随遇平衡
7
结构失稳的特点和危害
1.工作应力低，通常低于比例极限，不是强度和 刚度问题。 2.与侧向干扰有关。（北京机场脚手架坍塌时正 在刮8级大风） 3.具有突发性，危害很大。
8
§15-2 稳定性的概念
一.稳定性问题的分类 1.压杆的稳定性。2.板壳的稳定性。 本课程只讨论压杆的稳定性。 二、压杆的稳定与失稳 1．压杆的稳定性：
3
§15-1 结构失稳的工程实例
2005年12月 04日首都机 场工地140 平方米脚手 架突然坍塌 。
4
§15-1 结构失稳的工程实例
2000年10月26 日南京电视台 在建大楼脚手 架突然倒塌， 有35人受伤， 5人死亡。
5
结构的垮塌与社会的发展历史和建筑材料的使用 有关,石材截面尺寸较大不会发生失稳
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
L
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
c
coskx
d
P
sin
kx
M
P
y d coskx c sin kx
M0 P
M0 边界条件为:
P
x0,yy0;xL,yy0
20
cM ,d0,kL2n 并 kLn
P
FN
5 2
F
150kN
2.CD杆的临界压力：
xA A
C
F
B
yA 2m
3m FN
I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9 106 m4
64
64
2.9106 mm4
16
Fcr
2
l
EI
2
2
200103 2.9 3.52 106
106
467103 N 467kN
类似.
17
Pcr
2 EImin L2
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr (2ELI)m2in
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
18
表15–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
l l 0.7l l 0.5l
l 2l
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
验算应力：
A (D2 d 2 ) 2 (1002 802 ) 106 2.8103 m2
4
4
2.8103 mm2
cr
Fcr A
467 103 2.8 103
167MPa p
使用欧拉公 式正确
Fcr 467 3.11 FN 150
称临界压力与工作压力之比为
安全系数,与强度的安全系数
态
FFF===FFFcccr
rr
b) 微
弯 F1
平 衡
F>FF>cFr cr
c)
失 稳
F1
干扰力去除后恢 复Hale Waihona Puke Baidu线状态
干扰力去除后 保持微弯
干扰力去除后继续 变形，直至倒塌
1．临界状态： 由稳定平衡向微弯平衡过度的状态。
2．临界载荷Fcr： 保 持 压 杆 稳 定 的 最 大 轴 向 压 力 ， 使 压 杆 失
稳的最小轴向压力（推导临界压力用） 11
§15-3 临界载荷的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
1、挠曲线近似微分方程： EIy" M(x) Fy
引用记号：k 2 F y" k 2 y 0 EI
2、该微分方程的通解为
y Asin kx Bcoskx
压 杆
式中A、B为积分常数
在
微
3、杆的边界条件
压杆维持其原有直线平衡状态的能力。 2. 压杆的失稳：
压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳定地工作，只 考虑在微弯状态下的平衡。 3．失稳原因： 轴线不直；加载偏心；材质不均；外界干扰。
9
压杆保持直线平衡状态能力的实例：撑杆跳高
10
三、中心受压直杆的临界压力
FF<<FFcc
rrr
a)
直
线F1F1
稳
一端固定 另端自由
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
2
Pcr
2EI
(0.7l)
2
Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr (22lE) 2I
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
19
[例1 ] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力
1
第十五章 压杆稳定
§15–1 压杆稳定性的概念 §15–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §15–3 超过比例极限时压杆的临界应力 §15-4 压杆的稳定校核及其合理截面
2
第十五章 压杆稳定
§15-1 结构失稳的工程实例
1907年加拿大 魁北克大桥在 剪彩前突然坍 塌，600米长， 19000吨重的大 桥和86名建桥 工人落入水中 ，只有11人生 还。
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL2
Pcr
4 2EI
L2
2EI
(L/2)2
= 0.5
21
[例2] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2E L22
x 0 y 0 x l y 0
弯 状
态
代入通解得 B 0
平
A
sin
kl
0
sin
kl
0
衡
F=Fcr
b) 微 弯 平 衡
干扰力去除后 保持微弯
12
kl
F l n EI
F
n2
2 l2
EI
( n 0，1，2)
4．两端铰支压杆的临界力： 临界力为非零最小压力
Fcr
2
l
EI
2
——欧拉公式
影响临界压力的因素分析：材料，惯性矩，杆长，约束 材料：钢材E值相同，使用高强度钢材没有作用， 惯性矩：I值大可以提高临界压力。 杆长：长杆的临界压力低于短杆的临界压力。
14
例15-1:图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的 钢管，其材料为Q235钢， E=200GPa,P=200MPa.设F=60kN,
试计算CD杆的临界压力和工作压力之比。
A
C
2m
F B
3m
D
15
解:1.CD杆的工作压力：取杆ACB为研究对象
由平衡方程
MA 0
得到：
F 5 FN 2 0
13
二．欧拉公式的导出条件和适用条件
1）推导欧拉公式时，使用了线性化的弯矩和曲率关系，应该 满足胡克定律和小变形的条件。使用变形后的尺寸计算弯矩 ，虽然是小变形，但不符合叠加原理的条件。 2）适用两端铰支约束的理想压杆（轴线为直线）。 3）没有用到截面形状特点，适合任何有纵向对称面的构件。 4）计算临界压力时不考虑截面的局部削弱。