系统模型化原理

机理法
• 在研究系统运行机理的基础上提出假设，然后构建模 型。
图解法
例4-4 市场经济中的蛛网模型
现 象
在市场供求规律和市场竞争压力的作用下，商品价格背离 均衡点最终可能要向均衡点靠拢，达到所谓的市场均衡。
但是，有很多商品价格背离均衡点，却并不向均衡点靠拢。
图解法
问 题
建立一个简化的数学模型描述这种现象。
D 与v不是线性关系
机理法
经验模型
D = dr(反应距离 )+dB(刹车距离 ) dr = v(英尺) 经转换： logd B logv c logv logk
logdB
logd B 2logv log0.05
幂函数形式为 ：
2
· · ·
logv
1 2
d B kv 0.05v
0 供应曲线变为竖直 2. 使β尽量小，如β=0 p 靠经济实力控制商品数量不变 S D
0
q0
q
拟合法
（一）趋势曲线
按照现有趋势去预测未来是系统分析中最常用的方式。
• • • •
x 准线性型 指数型 L x S型 1 be ct O 双指数型
x
x L L/2
logx
x
t O t （b） t
今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8，而今年患病、明年转
为健康状态的概率为0.7。
若某人投保时健康，问10年后他仍处于健康状态的概率。
例4-3 莱氏(Leslie)人口模型
年龄分组：假设女性人口按年龄分为 [0,Δ],[Δ,2Δ],…,[(n-1)Δ,nΔ]各组。 符号表示：令Fi(t)表示t时刻第i年龄组即 [iΔ,(i+1)Δ]区间的女性人口，则人口的年龄分 布向量F(t) = [F0(t), F1(t), …, Fn-1(t)]T。
20
F(Δ)=
30
F(2Δ)=
45
40 80
（a）
60 80
（b）
60 120
（ c）
动物种群直方图
§4-2 常用建模方法
图解法
• 主要用于变量不多（2～3个）而信息也不充分的条件 下分析变量之间的定性关系。
拟合法
• “理论”导向。 • 首先根据某种假设选择一种模型，若所收集到的数据 说明假设基本合理，则再进一步确定模型参数。
ˆ 0.86(logP) 0.04 V
ˆ 0.9(14.5)V P
机理法
例4-7 最短停车距离模型
问题：汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车； 车速越快，停车距离越长； 停车距离与车速之间是什么关系？(线性、…) 停车距离：从司机决定刹车到车完全停止这段 时间内汽车行驶的距离。
机理法 问题分析 停车距离: 反应距离 + 刹车距离
商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定。
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定。
图解法
价格p
D p2
p1 O C M B E
S
A
q2
q3 q1
商品量q
供给关系：S曲线，增函数 需求关系：D曲线，减函数 M：平衡点(q0, p0)
需求曲线D与供应曲线S （稳定情况）
q1->p1->q2->p2->…, qk->q0, pk->p0，A->B->C->…->M，稳定
2.27 3.85 5.21 3.70
拟合法 第五列：V=50/T 为了能够用直线拟合，进行转换：PlogP 线性转换函数常在“幂阶梯”中选择： 1 1 1 2 ...Z , Z , Z , log Z , , , 2 ,... Z Z Z 直线方程形式：V=b(logP)+a 用最小二乘法等方法确定参数。
蛛网理论:考察价格波动对下一周期生产的影响，及由此产 生的供求均衡变动情况，反映了市场价格与产量周期性波动规 律。这种用需求曲线和供给曲线分析市场经济稳定性的图解法， 称为蛛网模型。
图解法 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 以行政手段控制商品价格不变 需求曲线变为水平 p S p0 D q
第四章 系统模型化原理
L/O/G/O
§4-1 系统模型化概述
一、模型的定义
模型是对实体的特征及其变化规律的一种表征或者抽象。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
二、模型的分类
物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机…
符号模型：地图、电路图、分子结构图…
数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出 必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构。
X（期中考试成绩）
72
Y（期末考试成绩）
84
50
81 74 94 86 59 83 65 33 88 81
63
77 78 90 75 49 79 77 52 74 90
拟合法 对于非多项式趋势，如何拟合？
例4-6 城市人口和“生活节奏”的关系
城 市 1 2 人口数P 341 948 1 092 759 logP 5.53 6.04 平均时间T(s) 10.4 8.5 平均速度V(英尺/s) 4.81 5.88
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。 技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则。
想象力
洞察力
判断力
图示模型
什么是马尔科夫链——例1 人口转移模型
1/2 1 1/16 3/8 1/16 2/10 3 3/4 1/16 1/6 3/10 1/8 1/4 1/4 1/10 5 4/10 4 1/3 1/2 1/4 1/4 2
图解法
(1)收敛型蛛网：
需求曲线的斜率绝对值kD < 供给曲线的斜率绝对值kS
（2）发散型蛛网：
需求曲线斜率绝对值 >供给曲线的斜率绝对值
(3)封闭型蛛网：
需求曲线斜率绝对值 =供给曲线的斜率绝对值
D
P2 P3 P1
t3 t2 S
t1
S
P2
D t1 t 3
P1 P3
S
P2
t1 t2
Q2 Q1
D
S
t2
Q2 Q1 Q3
P1
D
Q2 Q Q 3 1
P
P0
t
图解法 结果解释
α——商品数量减少1单位,价格上涨增量，即kD
β——价格上涨1单位,(下时段)供应的增量，即1/kS α ~消费者对需求的敏感程度，α小, 有利于经济稳定 β ~生产者对价格的敏感程度，β小, 有利于经济稳定 kD < kS α β < 1 经济稳定
m1 0 p1 0
m2 0 0 0
pn 2
mn 1 F0 t 0 F1 t 0 Fn 1 t 0
莱氏矩阵 M
F (t ) MF (t )
一般形式：

2
1
O
2
最短停车距离模型为：
D v 0.05v
刹车距离和车 速的转换关系曲线
§4-3 系统模型体系
四 个 假 设
生存率：设pi为生存率，则Fi+1(t+Δ) = piFi(t)。
生育率：令mi表示每个i年龄组的人在Δ年内的生育率，
则在t+Δ时刻新婴孩数为：F0 (t ) mi Fi (t )
i 0 n 1
m0 F0 t p0 F1 t 0 Fn 1 t 0
多项式回归： 可以转换为线性多元回归。
ˆ ab X b X 2 b X3 Y 1 2 3
定义新变量：X 1 X
X2 X 2
X3 X 3
下表给出学生的期中和期末考试成绩。

拟合法
绘数据图。X和Y看上去具有线性联系吗？ 使用最小二乘法，求由学生的期中成绩预测学生的期末成绩的方程式。 预测期中成绩为86分的学生的期末成绩。
反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离 刹车距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离
反应 距离
反应时间 车速 制动器作用力 车重、车速 道路、气候…
司机状况 制动系统灵活性
刹车 距离
最大制动力与车质量成正比, 使汽车作匀减速运动
机理法 实验数据：
车速v (英里/小时) 30 50 70 反应距离dr (英尺) 30 50 70 刹车距离dB (英尺) 45 125 245 停车距离D (英尺) 75 175 315
O
L/（1+b） O
（a）
双指数型曲线 t S型曲线
O
t
指数型曲线 准线性型曲线
拟合法
（二）最小二乘法
回归方程： 设 令 解得
ˆ a bX Y
ˆ 为因变量的拟合值。 其中X为自变量的观察值，Y
ˆ ) 2 (Y a bX ) 2 F (a, b) (Y Y
F 0, a F 0 b
XY nXY b X 2 nX 2 a Y bX
百度文库
有a和b，即可写出回归方程。
拟合法
例4-5 使用最小二乘法的线性回归
X 大学毕业后工作年数
3
Y 年薪（＄1000）
30
8
9 13
57
64 72
3
6 11 21 1 16
36
43 59 90 20 83
预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为多少？
随机矩阵：
1 2 P3 4 5 1/ 2 1/ 4 1/16 0 3/10 1/8 1/ 4 0 1/ 2 1/10 3/ 8 0 3/ 4 1/ 6 2 /10 0 1/ 4 1/16 1/ 3 4 /10 0 1/ 4 1/8 0 0
3
4 5
5 491
49 875 1 340 000
3.74
4.69 6.13
15.1
10.2 8.9
3.31
4.90 5.62
6
7 8 9 10
365
2 500 78 200 867 023 14 000
2.56
3.40 4.89 5.94 4.15
18.1
22.0 13.0 9.6 13.5
2.76
居民流动权重有向图
条件概率：pij=p(j|i)，在给定起始状态
i的条件下，下一步出现j状态的概率。
镇1 镇2 镇5 镇3 镇4
镇1 -2 -3 -镇1 -2 -4 -5 -镇1 -3 -4 -5 -镇2 -3 -4 -第 3年 第 4年 第 n年
第 1年
第 2年
马尔可夫链：传递概率矩阵（亦称随机矩阵）的每行各 元素之和为1。 该模型可用于计算事件的未来状态。
晴天 晴天 阴天 下雨 0.50 0.375 0 阴天 0.25 0.25 0 下雨 0.25 0.375 1
例4-2 人的健康状态转变的马尔可夫模型
人的健康状态随着时间的推移会随机的发生转变。保险公司要对投
保人未来的健康状态作出估计，以制定保险金和理赔金的数额。
人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，
拟合法
ˆ a bX 表示工作年数和年薪之间的关系。 用方程 Y
以上数据

x 9.1 ， y 55.4 a=23.6, b=3.5
ˆ 23.6 3.5 X Y
预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为 ＄58.6K。
ˆ ab X b X Y 1 1 2 2
多元回归：
F (k) M k F (0)
k = 0,1,2,…
练习 预测生物种群数
设Δ年后，F2全部死亡，F0和F1分别有1/4死亡，生育率m0=0, m1=1, m2=2。设某一时刻年龄段F0、F1、F2的数量分别为80、40、20， 试求Δ年、2 Δ年后该生物种群按年龄分布的向量。 莱氏矩阵M=
F2 F1 F0

马尔可夫过程 一类时间、状态均为离散的动态随机系统，从一时期 到下时期的状态按一定概率转移；下时期状态只取决于本
时期状态和转移概率。
马尔可夫性质：马尔可夫链是随机变量X1, X2, X3, …的一个数列。如果Xn+1对于过去状态的条件概 率分布仅是Xn的一个函数，则 P(Xn+1=x∣X0,X1,X2,…，Xn)=P(Xn+1=x∣Xn)