一、填空题则解读

一、填空题则p =

13

。 2．设随机变量X 服从正态分布()

20,N σ，且已知X

则

σ=12π

。

3. 设随机变量X 服从泊松分布()P λ, 且(1)(2),(31)P X P X E X ===-= 5 。

4. 设随机变量,X Y 都服从均匀分布(1,1)U -， 且X 与Y 相互独立, 则随机变量()

,X Y 的联合分布密度(,)p x y =1

, 11,11

4

0, x y ⎧

-≤≤-≤≤⎪

⎨

⎪⎩

其他

。 5. 若随机变量X 与Y 相互独立，且()19X N 服从正态分布，，()216Y N 服从，，则

X Y +服从()325N ，分布.

er 、计算与应用题：

1. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个， 直到取到新球为止。求抽取次数X 的概率分布。

解：设X 为抽取的次数，由题意只有3个旧球, 所以X 的可能取值为：1234，，，

由古典概型，得

{}93

1124

P X ==

= {}3992121144P X ==⨯=

{}32993121110220P X ==⨯⨯=

{}3219

1

41211109220

P X ==⨯⨯⨯= 故抽取次数X 的概率分布为

2. 某种电子元件的寿命X 是随机变量，其概率密度为2,100()0,

100C

x p x x x ⎧≥⎪

=⎨⎪<⎩，

求（1）常数C ；

（2）若将3个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用150小时后仍能正常工作的概率。

解：（1）由

2

()11C p x dx dx x

+∞

+∞

-∞

-∞

==⎰⎰

，则 ， 可得 100=C

（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用A 表示“线路正常工作”，则

()()3

150P A P X =⎡>⎤⎣⎦

而 {}2

150

100

2

1503

P X dx x +∞>==

⎰

故 ()3

28327P A ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

即串联线路使用150小时正常工作的的概率是8

27

。

3. 设某校一年级学生期末数学成绩X 服从正态分布(75,100)N , 如果85分以上为优秀,则数学成绩优秀的学生占全体学生人数的百分之几? ()(1)0.8413Φ= 解: 设X 表示某校一年级学生期末数学成绩，

(

) (75,100),(0,1)

()

85(1)0.8413

(85)1(85)10.84130.1587

X N N P x x P X P P X P X ⎫

∴≤=Φ⎪⎭

∴≤==Φ=>=-≤=-=由题意服从服从故 即数学成绩优秀的学生占全体学生人数的15.87 ％。

4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为λ>0的指数分布，平均无故障工作 的时间（EX ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作

两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y )。

解： 设X 的分布参数为λ，由题意知λ

1=EX ，可见1

5λ=，由于设备在无故障的情况下

工作两小时便关机，显然 Y = min (X , 2) （即每次开机无故障工作时间取2与X 的最小者）

对于y < 0 , 有 F(y ) = P (Y ≤ y ) = 0

对于y ≥ 2 , 有 F(y ) = P (Y ≤ y ) = P {min(X , 2) ≤ y } = 1

对于0 ≤ y < 2 , 有 F(y ) = P ( Y ≤ y ) = P (min( X , 2) ≤ y )= P ( X ≤ y } = 5

1y

e --

故每次开机无故障工作时间Y 的分布函数为

50, 0()1,021, 2y

y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩

5. 一汽车沿一街道行使，需要通过三个均设有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以X 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求：（1）X 的概率分布；（2）1

1E X ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

。 解：（1）X 的可能取值为03，1，2，且由题意, 可得

{}102

P X ==

{}111

1224P X ==⨯=

{}1111

22228P X ==⨯⨯=

{}1111

32228

P X ==⨯⨯=

故汽车未遇红灯而连续通过的路口数X 的概率分布为

（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有

{}{}{}{}111110123110

111213E P X P X P X P X X

⎛⎫=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=

⎪

+++++⎝⎭

11111112243848=

+⨯+⨯+⨯67

96

=

6. 将2个球随机地放入3个盒子，设X 表示第一个盒子内放入的球数，Y 表示有球的盒 子个数. 求二维随机变量()X Y ，的联合概率分布.

解：由题意X 的可能取值为012，，；Y 的可能取值为12， 注意到将2个球随机的放入3个盒子共有2

3种放法, 则有

{}1

222

0,139

C P X Y ====

{}{}22!2

0,2,1,1039

P X Y P X Y ===

==== {}112224

1,239

C C P X Y ====

{}{}211

2,1,2,2039

P X Y P X Y ===

==== 即 ()X Y ，的联合分布律为

7. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为

()3400

(,)0x y Ae x y p x y -+⎧>>⎪

=⎨

⎪⎩

，，，其它

（1）确定常数A 的值；（2）求 {}01,02P X Y ≤≤≤≤. 解：（1）由联合概率密度的性质，有

()

343400

(,)x y x

y

p x y dxdy A e

dxdy A e

dx e dy +∞+∞+∞

+∞+∞+∞-+---∞-∞==⨯⎰⎰⎰⎰⎰

⎰