知识点8功功率动能定理
描述动能定理和功率的计算公式
描述动能定理和功率的计算公式知识点：动能定理和功率的计算公式动能定理：动能定理是描述物体由于运动而具有的能量的定理。
它说明了物体动能的变化等于物体所受外力做功的总和。
动能定理的数学表达式为：[ W = KE ]其中，( W ) 表示外力做的总功，( KE ) 表示物体动能的变化量。
当物体受到外力作用，且外力的方向与物体运动方向相同时，外力对物体做正功，物体的动能增加；当外力的方向与物体运动方向相反时，外力对物体做负功，物体的动能减少。
功率的计算公式：功率是指单位时间内做功的多少，是描述做功快慢的物理量。
功率的计算公式为：[ P = ]其中，( P ) 表示功率，( W ) 表示做的功，( t ) 表示时间。
功率的单位是瓦特（W），1瓦特等于1焦耳/秒。
当物体受到的外力与物体的速度方向相同时，物体的功率等于外力与物体速度的乘积；当物体受到的外力与物体的速度方向相反时，物体的功率等于外力与物体速度的乘积的负值。
以上是动能定理和功率的计算公式的基本内容，希望对您有所帮助。
习题及方法：1.习题：一个物体质量为2kg，以10m/s的速度运动，求物体的动能。
解题方法：根据动能定理，物体的动能 ( KE = mv^2 )。
将质量 ( m = 2kg ) 和速度 ( v = 10m/s ) 代入公式，得到物体的动能 ( KE = 2 10^2 = 100J )。
2.习题：一个物体质量为3kg，以8m/s的速度运动，若物体受到一个恒力12N的作用，恒力的方向与物体运动方向相同，求物体在2秒内所做的功。
解题方法：根据动能定理，物体所做的功 ( W = KE )。
物体初始动能 ( KE_1 = mv_1^2 = 3 8^2 = 96J )，2秒后物体的速度 ( v_2 = v_1 + at = 8 + 12 2 = 20m/s )，2秒末的动能 ( KE_2 = mv_2^2 = 3 20^2 = 600J )。
物体在2秒内所做的功 ( W =KE_2 - KE_1 = 600J - 96J = 504J )。
动力学中的动能定理与功率
动力学中的动能定理与功率动能定理是力学中的一个基本定理，描述了物体的动能与其受到的外力之间的关系。
功率则是表示物体在单位时间内所做的功的大小。
在动力学中，动能定理和功率密切相关，可以通过它们来深入理解物体的运动和相互作用。
一、动能定理的概念与原理动能定理是由兰姆提出的一个基本原理，它指出：对于质量为m的物体，当物体克服阻力等外力做匀变速直线运动时，物体所获得的动能等于外力所做的功。
数学表达式为 K = W，其中K表示物体的动能，W表示外力所做的功。
根据动能定理，我们可以得出以下结论：1. 物体的动能大小与物体的质量和速度平方成正比。
2. 力对物体所做的功等于物体动能的增量。
二、功率的概念与计算方法功率是描述物体工作效率的物理量，表示单位时间内做功的大小。
功率的数值等于单位时间内做功的大小，可以用来衡量物体对外界做工的快慢。
数学表达式为 P = W / t，其中P表示功率，W表示物体所做的功，t 表示所用的时间。
通过功率的定义，我们可以得出以下结论：1. 在相同的时间内，功率越大则物体所做的功越大，代表工作效率越高。
2. 功率与做功的方式和时间密切相关，可以通过改变工作方式和时间来改变功率的大小。
三、动能定理与功率的关系动能定理与功率之间存在着密切的联系。
根据动能定理的定义，物体所获得的动能等于外力所做的功。
而功率表示单位时间内做功的大小，可以看作是外力对物体所做功的速率。
根据功率的定义，可以将动能定理改写为动力学方程：P = ΔK / t，其中ΔK表示动能的增量，t表示所用的时间。
由此可见，功率就是动能的变化率，可以通过功率来判断物体的能量转化情况和工作效率。
四、应用和实例动能定理和功率在物理学的研究和实践中有广泛应用。
以下是一些常见的应用和实例：1. 机械工程：通过动能定理和功率的计算，可以评估机械设备的性能，并优化工作方式，提高工作效率。
2. 运动学研究：通过动能定理和功率的分析，可以深入探究物体在运动过程中的能量转化和改变，了解物体的运动规律。
高三物理功、功率、动能定理知识精讲 鲁教版
高三物理功、功率、动能定理知识精讲一. 本周教学内容：功、功率、动能定理〔一〕功和功率1. 功功是力的空间积累效应。
它和位移相对应〔也和时间相对应〕。
计算功的方法有两种：〔1〕按照定义求功。
即：W ＝Fscos θ。
在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。
当20πθ<≤时F 做正功，当2πθ=时F 不做功，当πθπ≤<2时F 做负功。
这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。
〔2〕用动能定理W ＝ΔE k 或功能关系求功。
当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。
这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功〔或者说是合外力做的功〕。
这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。
如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。
例1. 如下列图，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。
在如下三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F 做的功各是多少？〔1〕用F 缓慢地拉；〔2〕F 为恒力；〔3〕假设F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。
可供选择的答案有A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL解：〔1〕假设用F 缓慢地拉，如此显然F 为变力，只能用动能定理求解。
F 做的功等于该过程抑制重力做的功。
选D〔2〕假设F 为恒力，如此可以直接按定义求功。
选B〔3〕假设F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。
选B 、D在第三种情况下，由θsin FL ＝()θcos 1-mgL ，可以得到2tan sin cos 1θθθ=-=mg F ，可见在摆角为2θ时小球的速度最大。
实际上，因为F 与mg 的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆〞。
动能定理和功率的计算公式是什么
动能定理和功率的计算公式是什么动能定理是物理学中的一个重要定理，描述了物体动能的变化与外力对其所做的功之间的关系。
功率则是描述能量转化速率的物理量。
本文将介绍动能定理和功率的计算公式，并探讨其在实际应用中的意义。
一、动能定理的计算公式动能定理是描述物体动能变化的定理。
它的数学表达式如下：动能变化量 = 外力所做的功ΔK = W其中，ΔK表示动能的变化量，W表示外力所做的功。
动能(K)定义为物体的质量(m)和速度(v)的平方的乘积的一半：动能 K = 1/2 mv²其中，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
在应用动能定理时，我们需要计算物体在作用力下的动能变化量。
比如，当一个物体受到一个外力的作用，使其速度发生变化时，我们可以通过动能定理来计算动能的变化量。
二、功率的计算公式功率是描述能量转化速率的物理量，表示单位时间内能量转化的大小。
功率的数学表达式如下：功率 P = W/t其中，P表示功率，W表示所做的功，t表示时间。
功（W）的计算可以通过力（F）和位移（d）之间的关系来计算，即：功 W = F·d其中，F表示作用在物体上的力，d表示物体的位移。
三、动能定理和功率的意义动能定理和功率的计算公式在实际应用中具有重要的意义。
它们能够帮助我们分析和解决各种与动力学相关的问题。
基于动能定理，我们可以分析物体在受到外力作用下的运动情况。
通过计算物体的动能变化量，我们可以了解外力对物体所做的功以及与之相对应的动能变化。
功率的计算公式可以帮助我们了解能量转化的速率。
在实际应用中，我们常常需要评估某个系统或设备的功率大小，以便确定其运行效率或性能。
功率的计算公式使得我们能够准确地量化能量的转化速率。
在工程领域，动能定理和功率的计算公式被广泛应用于机械、电气等方面。
它们不仅在设计和开发过程中起着重要作用，也在问题解决和性能评估中发挥着关键作用。
总结：动能定理和功率的计算公式为我们分析和解决与动力学相关的问题提供了便利。
功 功率和动能定理
功 功率和动能定理一、基础知识要记牢1、恒力．．做功的公式：W ＝Fl cos α 若力的方向时刻变化，但力的方向始终与运动方向相同或相反，则可用W ＝Fl 求此变力的功，其中l 为物体运动的路程。
2、功率(1)平均功率：P ＝W t＝F v cos α (2)瞬时功率：P ＝F v cos α3、输出功率：P ＝F v ，其中F 为机车牵引力。
4、的两种启动方式：(1)恒定功率启动（包含两个过程：变加速→匀速）。
(2)匀加速启动（包含三个过程：匀加速→变加速→匀速）5、定理表达式：W 合＝E k 2－E k 1说明：(1)W 合为物体在运动过程中外力的总功。
(2)动能增量E k 2－E k 1一定是物体在末初．．两状态动能之差。
二、方法技巧要用好1、功率启动(1)机车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速直线运动，速度图像如图2－1－5所示，当F ＝F 阻时，v m ＝P F ＝P F 阻。
(2)功能关系：Pt －F 阻x ＝12m v 2－0。
图2－1－5 2、加速度启动(1)速度图像如图2－1－6所示。
机车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后获得匀加速的最大速度v 1。
若再加速，应保持功率不变做变加速运动，直至达到最大速度v m 后做匀速运动。
(2)经常用到的公式： 图2－1－6 ⎩⎪⎨⎪⎧ F －F 阻＝ma P ＝F v P 额＝F 阻v m v 1＝at 其中t 为匀加速运动的时间3、动能定理解题的基本步骤巩固练习[以选择题的形式考查，常涉及功的正负判断、功的计算、平均功率与瞬时功率的分析与计算等]1、一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时速率为1 m/s。
从此刻开始在与速度平行的方向上施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2－1－1甲和乙所示，两图中F、v取同一正方向。
则()图2－1－1A．滑块的加速度为1 m/s2B．滑块与水平地面间的滑动摩擦力为2 NC．第1 s内摩擦力对滑块做功为－0.5 JD．第2 s内力F的平均功率为3 W2(2012·江苏高考)如图2－1－2所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。
第八动能定理
滚动摩擦力偶 M 的功
理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零.
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
§8-2 质点和质点系的动能
2、质点系的动能
由 两端乘dt,有
其中: 为力系主失, 为力系对质心的主矩.
当质心由 ,转角由 时,力系的功为
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
6. 常见的功为零的情况
（3）不可伸长的柔索所有内力作功之和
（1）作用在纯滚动刚体的滑动摩擦力的功
（2）刚体所有内力作功之和
（4）理想约束反力作功（铰链约束）
5. 摩擦力的功
3、机械效率
机械效率
多级传动系统
O
P
W
v
例 题 1
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。
求：重物下落的加速度
s
解：取系统为研究对象
主动力的功：
由动能定理得：
将上式对时间求导，并注意
解得：
例 题 2
已知： m ，R, f ， 。
质点
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
弹性力的功为
因
式中
得
即
弹性力的功也与路径无关
动能定理与功率
动能定理与功率动能定理是物理学中的一条基本定律，描述了物体运动时动能的变化规律。
功率则是描述物体完成单位时间内所做的功的大小。
本文将主要讨论动能定理与功率的概念、关系以及应用。
一、动能定理的概念与表达式动能定理是指一个物体的动能变化等于其所受的净功。
动能定理的数学表达式可以表示为：\[ΔK = W_{net}\]其中，ΔK表示物体动能的变化量，W_net表示物体所受到的净功。
二、功率的概念与表达式功率是描述物体完成单位时间内所做的功的大小。
功率的数学表达式可以表示为：\[P = \frac{W}{t}\]其中，P表示功率，W表示物体所做的功，t表示完成功的时间。
三、动能定理与功率的关系根据动能定理的表达式可知，物体的动能变化等于其所受的净功。
而功率则描述了单位时间内完成的功。
由功率的定义可知，功等于功率乘以时间，即W = P × t。
将其代入动能定理的表达式中可以得到：\[ΔK = P × t\]从上式可以发现，动能的变化量ΔK与功率P相乘的结果等于所用时间t。
这表明，动能的变化量与功率乘以时间成正比，即功率越大，或者功率作用的时间越长，物体的动能变化量越大。
四、动能定理与功率的应用动能定理与功率的关系在实际生活中有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用场景：1. 车辆行驶过程中的动能定理和功率在车辆行驶过程中，车辆的动能变化等于所受的净功。
而车辆的功率可以通过发动机的输出功率来表示。
根据动能定理和功率的关系，可以得出车辆动能的变化量与发动机输出功率和所用时间的乘积成正比。
这就意味着，如果要提高车辆的动能，可以增加发动机的功率或者延长运行的时间。
2. 运动员训练过程中的动能定理和功率在运动员的训练过程中，动能定理和功率也起到重要的作用。
运动员通过训练来提高身体的机能和爆发力，而运动员的功率则可以通过训练效果和所用时间来衡量。
根据动能定理和功率的关系，可以得出运动员的动能变化量与其所做功的大小和训练的时间成正比。
功,功率,动能定理知识点总结
功,功率,动能定理知识点总结一、功。
1. 定义。
- 一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
- 公式：W = Fxcosθ，其中W表示功，F是力的大小，x是位移的大小，θ是力与位移方向的夹角。
2. 功的正负。
- 当0≤slantθ <(π)/(2)时，cosθ> 0，力对物体做正功，力是动力，物体的能量增加。
- 当θ=(π)/(2)时，cosθ = 0，力对物体不做功，例如物体做圆周运动时向心力不做功。
- 当(π)/(2)<θ≤slantπ时，cosθ<0，力对物体做负功，力是阻力，物体的能量减少。
3. 合力的功。
- 方法一：先求出物体所受的合力F_合，再根据W = F_合xcosθ计算合力的功，这里的θ是合力与位移方向的夹角。
- 方法二：分别求出各个力做的功W_1,W_2,W_3,·s，然后根据W_合=W_1 + W_2+W_3+·s计算合力的功。
二、功率。
1. 定义。
- 功率是描述力对物体做功快慢的物理量。
- 公式：P=(W)/(t)，其中P表示功率，W是功，t是完成这些功所用的时间。
2. 平均功率和瞬时功率。
- 平均功率：P=(W)/(t)，也可以根据P = F¯vcosθ计算，其中¯v是平均速度。
- 瞬时功率：P = Fvcosθ，其中v是瞬时速度。
当F与v同向时，P = Fv。
3. 额定功率和实际功率。
- 额定功率：是发动机正常工作时的最大功率，通常在发动机铭牌上标明。
- 实际功率：是发动机实际工作时的功率，实际功率可以小于或等于额定功率，不能长时间大于额定功率。
三、动能定理。
1. 动能。
- 定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，表达式为E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
- 动能是标量，且恒为正。
2. 动能定理。
- 内容：合外力对物体做的功等于物体动能的变化。
知识点8功功率动能定理
• 功和功率 • 动能定理 • 实例分析 • 动能定理的拓展
01 功和功率
功的定义
总结词
功是力对位移的累积效应，表示 能量转化的量度。
详细描述
在物理学中，功被定义为力与物体 在力的方向上移动的位移的乘积。 公式表示为：W = F × s，其中W 表示功，F表示力，s表示位移。
动能定理的推导
总结词
动能定理的推导基于牛顿第二定律和运动学公式，通过数学运算得出。
详细描述
动能定理的推导过程首先根据牛顿第二定律F=ma，结合运动学公式 s=v0t+1/2at^2，通过数学运算和推导，可以得到合外力对物体所做的功的公式 W=ΔE_k=1/2mv^2-1/2mv0^2。由此可以得出动能定理的表述。
动能定理与能量守恒定律的关系
动能定理是能量守恒定律的一种表现形式。根据能量守恒定律，一个孤立系统的 总能量保持不变。当系统中的动能和势能发生改变时，总能量仍然保持不变。动 能定理描述了系统动能改变与做功之间的关系，是能量守恒定律的具体表现之一 。
动能定理和能量守恒定律共同构成了经典力学的基本原理，是描述物质运动和相 互作用的物理规律的基础。
撞和非弹性碰撞等问题。
03 实例分析
简单机械的功和功率
总结词
简单机械的功和功率是物理学中的基本概念，通过实例分析可以深入理解功、功率的计算方法和物理意义。
详细描述
简单机械的功是指力在力的方向上移动物体所做的功，可以用公式W=Fs计算，其中F是力的大小，s是物体在力 的方向上移动的距离。功率是指单位时间内完成的功，可以用公式P=W/t计算，其中W是功的大小，t是时间。 通过实例分析，可以了解不同简单机械的功和功率的计算方法，例如滑轮组、杠杆等。
功 功率 动能定理
专题五 功 功率 动能定理——————[知识结构互联]——————[核心要点回扣]——————1．机车输出功率：P ＝F v ，其中F 为机车牵引力．2．机车启动匀加速过程的最大速度v 1(此时机车输出的功率最大)和全程的最大速度v m (此时F 牵＝F 阻)求解方法：(1)求v 1：由F 牵－F 阻＝ma ，P ＝F 牵v 1可求v 1＝P ma ＋F 阻. (2)求v m ：由P ＝F 阻v m ，可求v m ＝P F 阻. 3．动能：表达式E k ＝12m v 2.4．动能定理表达式中，W 表示所有外力做功的代数和．5．动能定理的适用范围(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．考点1 功 功率的分析与计算(对应学生用书第23页)■品真题·感悟高考……………………………………………………………·[考题统计] 五年4考：2017年Ⅱ卷T 14 2016年Ⅱ卷T 21 2015年Ⅱ卷T 17 2014年Ⅱ卷T 16[考情分析]1．本考点命题角度为功的定义式的理解及应用、机车启动模型的分析．2．常涉及公式W＝F·s cos α，P＝F·v，F－f＝ma，P＝f v m及机车启动的两种问题．3．匀加速过程的末速度不是机车启动的最大速度．4．恒定功率启动中功的计算可用W＝P·t计算．1．(功的理解与计算)(2017·Ⅱ卷T14)如图5-1所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环．小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力()图5-1A．一直不做功B．一直做正功C．始终指向大圆环圆心D．始终背离大圆环圆心A[光滑大圆环对小环只有弹力作用．弹力方向沿大圆环的半径方向(下滑过程先背离圆心，后指向圆心)，与小环的速度方向始终垂直，不做功．故选A.](2014·Ⅱ卷T16)一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F1、F2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则()A．W F2>4W F1，W f2>2W f1B．W F2>4W F1，W f2＝2W f1C．W F2<4W F1，W f2＝2W f1D．W F2<4W F1，W f2<2W f1C[根据x＝v＋v02t得，两过程的位移关系x1＝12x2，根据加速度的定义a＝v－v0t，得两过程的加速度关系为a1＝a22.由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即f1＝f2＝f，根据牛顿第二定律F－f＝ma得，F1－f1＝ma1，F2－f2＝ma2，所以F1＝12F2＋12f，即F1>F22.根据功的计算公式W＝Fl，可知W f1＝12W f2，W F1>14W F2，故选项C正确，选项A、B、D错误．]2．(功和功率的分析与计算)(多选)(2016·Ⅱ卷T21)如图5-2所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π2.在小球从M点运动到N点的过程中，()【导学号：19624059】图5-2A．弹力对小球先做正功后做负功B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差[题眼点拨]①“M、N两点处弹簧对小球的弹力大小相等且∠ONM＜∠OMN＜π”2说明M点弹簧处于压缩状态，N点弹簧处于伸长状态；②“弹簧长度最短”说明弹簧与竖直杆垂直．BCD[在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π2，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误．在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确．弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确．由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点的动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确．] 3．(机车启动问题)(2015·Ⅱ卷T17)一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图5-3所示．假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是()图5-3A[由P-t图象知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝F v得，当v增加时，F减小，由a＝F－fm知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，选项A正确．]在第3题中，若汽车在平直公路上匀速行驶，牵引力为F0.P随时间t的变化规律如图5-4所示，t2时刻汽车又恢复了匀速直线运动，则下列图象正确的是()图5-4A BC DD[由P＝F v可知，开始的时候P＝F0v0，功率降一半的时候，速度不能瞬间改变，所以瞬间变化的是力F，减小一半．由于一开始匀速，所以摩擦力等于F，故功率减半，导致牵引力减小，汽车开始减速，减速过程中，牵引力慢慢增大，减速的加速度越来越小，所以t1到t2时刻的速度图象慢慢变得平缓，t2时刻减速的加速度为零，故A、B错误；由于t1时刻，力突然减小，减速的加速度很大，速度快速的减小，根据P＝F v，力F增加的较快，待速度下降越来越慢时，F增加的速度也变慢，曲线逐渐变得平稳，故C错误，D正确．]■熟技巧·类题通法…………………………………………………………………·1．计算功、功率时应注意的三个问题(1)功的公式W＝Fl和W＝Fl cos α仅适用于恒力做功的情况．(2)变力做功的求解要注意对问题的正确转化，如将变力转化为恒力，也可应用动能定理等方法求解．(3)对于功率的计算，应注意区分公式P＝Wt和公式P＝F v，前式侧重于平均功率的计算，而后式侧重于瞬时功率的计算．2．分析机车启动问题的两技巧、四注意(1)机车启动模型中的两点技巧机车启动匀加速过程的最大速度v1(此时机车输出的功率最大)和全程的最大速度v m(此时F牵＝F阻)求解方法：①求v1：由F牵－F阻＝ma，P＝F牵v1可求v1＝PF阻＋ma.②求v m：由P＝F阻v m，可求v m＝P F阻.(2)解决机车启动问题时的四点注意①分清是匀加速启动还是恒定功率启动．②匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动过程的速度达到最大，但不是机车能达到的最大速度，但该过程中的最大功率是额定功率．③以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力的最小值等于阻力．④无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝F f v m，P为机车的额定功率．■对考向·高效速练…………………………………………………………………..·考向1功的理解与计算1．(2017·遵义一中押题卷)一物体放在水平地面上，如图5-5甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示．则()甲乙丙图5-5A．2～6 s时间内物体的加速度为0.5 m/s2B．物体的质量为1 kgC．整个过程中，物体所受摩擦力始终为2 ND．0～10 s时间内，物体克服摩擦力所做的功为30 JD[在速度-时间图象上，斜率表示加速度，由图丙可得2～6 s时间内物体的加速度为：a＝ΔvΔt＝36－2m/s2＝0.75 m/s2，故A错误．由图丙知，6～8 s内物体做匀速直线运动，由平衡条件得：f2＝F2＝2 N由图丙可得2～6 s物体做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：F1－f2＝ma联立代入数据解得：m＝43kg，故B错误．在0～1 s内物体静止不动，物体所受摩擦力f1＝F1＝1 N,2～10 s内物体所受摩擦力f2＝2 N，故C错误．在整个过程中通过的位移为：x ＝12×(2＋8)×3 m ＝15 m ，物体克服摩擦力做功：W ＝f 2x ＝2×15 J ＝30 J ，故D 正确．]考向2 功率的分析与计算2．(2017·东北三省四市教研联合体一模)如图5-6是滑雪场的一条雪道．质量为70 kg 的某滑雪运动员由A 点沿圆弧轨道滑下，在B 点以5 3 m/s 的速度水平飞出，落到了倾斜轨道上的C 点(图中未画出)．不计空气阻力，θ＝30°，g 取10 m/s 2，则下列判断正确的是( )【导学号：19624060】图5-6A ．该滑雪运动员腾空的时间为1 sB ．B 、C 两点间的落差为5 3 mC ．落到C 点时重力的瞬时功率为3 5007 WD ．若该滑雪运动员从更高处滑下，落到C 点时速度与竖直方向的夹角变小 A [运动员平抛的过程中，水平位移为x ＝v 0t竖直位移为y ＝12gt 2落地时：tan θ＝y x联立解得t ＝1 s ，y ＝5 m ．故A 正确，B 错误；落地时速度的竖直分量：v y ＝gt ＝10×1 m/s ＝10 m/s所以落到C 点时重力的瞬时功率为：P ＝mg ·v y ＝70×10×10 W ＝7 000 W ，故C 错误；根据落地时速度方向与水平方向之间的夹角的表达式：tan α＝gt v 0＝2×12gt 2v 0t ＝2·y x ＝2tan θ，可知到C 点时速度与竖直方向的夹角与平抛运动的初速度无关，故D错误．](2016·合肥市二模)如图所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v分别水平抛出和竖直向上抛出，下列说法正确的是()A．两小球落地时的速度相同B．两小球落地时，A球重力的瞬时功率较小C．从开始运动至落地，A球重力做功较大D．从开始运动至落地，重力对A小球做功的平均功率较小B[根据机械能守恒定律得，12m v2＋mgh＝12m v′2，两小球落地时速度大小v′是相同的，但两小球的速度方向不同，选项A错误；两小球落地时，A球重力瞬时功率mg v′cos α，B球重力瞬时功率mg v′，A球重力瞬时功率小于B球重力瞬时功率，选项B正确；从开始运动到落地，两球重力做功都是mgh，是相等的，选项C错误；从开始运动到落地，两球重力做功相等，A球下落时间较短，重力对A球做功的平均功率P＝Wt较大，选项D错误．]考向3机车启动问题3．(多选)(2017·揭阳市揭东一中检测)质量为400 kg的赛车在平直赛道上以恒定功率加速，受到的阻力不变，其加速度a和速度的倒数1v的关系如图5-7所示，则赛车()图5-7 A．速度随时间均匀增大B．加速度随时间均匀增大C．输出功率为160 kWD ．所受阻力大小为1 600 NCD [由图可知，加速度变化，故做变加速直线运动，故A 错误；a -1v 函数方程a ＝400v －4，汽车加速运动，速度增大，加速度减小，故B 错误；对汽车受力分析，受重力、支持力、牵引力和摩擦力，根据牛顿第二定律，有：F －f ＝ma其中：F ＝P v联立得：a ＝P m v －f m结合图线，当物体的速度最大时，加速度为零，故结合图象可以知道，a＝0时，1v ＝0.01 (m·s －1)－1，v ＝100 m/s ，所以最大速度为100 m/s由图象可知：f m ＝4，解得阻力大小为1 600 N当a ＝0时由a ＝P m v －f m .解得：P ＝160 kW ，故C 、D 正确．]考点2 动能定理的应用(对应学生用书第25页)■品真题·感悟高考……………………………………………………………·[考题统计] 五年4考：2016年Ⅰ卷T 25、ⅢT 20 2015年Ⅰ卷T 172013年Ⅱ卷T 24[考情分析]1．本考点命题角度多为应用动能定理解决变力做功及多过程问题，题目综合性较强．2．正确理解动能定理，灵活分析物体的受力特点、运动特点及做功情况是常用方法．3．功的计算过程中，易出现正、负功判断及漏功的现象．4．多过程问题中，要善于挖掘题目中的隐含条件，认清运动过程的衔接点．4．(动能定理求解变力做功)(2015·Ⅰ卷T17)如图5-8所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道，质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．则()【导学号：19624061】图5-8A．W＝12mgR，质点恰好可以到达Q点B．W>12mgR，质点不能到达Q点C．W＝12mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离D．W<12mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离[题眼点拨]①利用N点的压力分析计算N点的速度；②利用圆周运动速度越大压力越大的特点结合对称性分析摩擦力．C[设质点到达N点的速度为v N，在N点质点受到轨道的弹力为F N，则F N－mg＝m v2NR，已知F N＝F′N＝4mg，则质点到达N点的动能为E kN＝12m v2N＝32mgR.质点由开始至N点的过程，由动能定理得mg·2R＋W f＝E kN－0，解得摩擦力做的功为W f＝－12mgR，即克服摩擦力做的功为W＝－W f＝1 2mgR.设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为W′，则W′＜W.从N到Q的过程，由动能定理得－mgR－W′＝12m v 2Q－12m v2N，即12mgR－W′＝12m v2Q，故质点到达Q点后速度不为0，质点继续上升一段距离．选项C正确．] 5．(多过程应用动能定理)(2016·Ⅰ卷T25)如图5-9所示，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为56R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g.(取sin 37°＝35，cos 37°＝45)图5-9(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距72R、竖直相距R.求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．[题眼点拨]①“弹簧原长为2R，AC＝7R”说明BC＝5R；②“最低达E点”说明E点速度恰好为零；③“最高到达F点”说明F点速度为零．【解析】(1)根据题意知，B、C之间的距离l为l＝7R－2R ①设P 到达B 点时的速度为v B ，由动能定理得mgl sin θ－μmgl cos θ＝12m v 2B ②式中θ＝37°.联立①②式并由题给条件得v B ＝2gR . ③(2)设BE ＝x .P 到达E 点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为E p .P 由B 点运动到E 点的过程中，由动能定理有mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－12m v 2B ④E 、F 之间的距离l 1为l 1＝4R －2R ＋x ⑤P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0⑥联立③④⑤⑥式并由题给条件得x ＝R⑦ E p ＝125mgR . ⑧ (3)设改变后P 的质量为m 1.D 点与G 点的水平距离x 1和竖直距离y 1分别为x 1＝72R －56R sin θ⑨ y 1＝R ＋56R ＋56R cos θ ⑩式中，已应用了过C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实． 设P 在D 点的速度为v D ，由D 点运动到G 点的时间为t .由平抛运动公式有y 1＝12gt 2⑪ x 1＝v D t⑫联立⑨⑩⑪⑫式得v D ＝355gR ⑬ 设P 在C 点速度的大小为v C .在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒，有12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g (56R ＋56R cos θ)⑭ P 由E 点运动到C 点的过程中，同理，由动能定理有E p －m 1g (x ＋5R )sin θ－μm 1g (x ＋5R )cos θ＝12m 1v 2C ⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m 1＝13m .⑯【答案】 (1)2gR (2)125mgR(3)355gR 13m在第5题中，若将圆弧轨道和斜面的连接方式调为如图5-10所示，AB 是倾角为θ＝30°的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半径为R ，一个质量为m 的物体(可以看作质点)从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ.求：(1)物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程；(2)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D ，释放点P 距B 点的距离至少多大？图5-10【解析】 (1)对整体过程由动能定理得mgR ·cos θ－μmg cos θ·s ＝0所以s ＝R μ.(2)物体刚好到D 点，有mg ＝m v 2D R对全过程由动能定理得mgL ′sin θ－μmg cos θ·L ′－mgR (1＋cos θ)＝12m v 2D 得L ′＝3＋2cos θ2(sin θ－μcos θ)·R ＝(3＋3)R1－3μ. 【答案】 (1)R μ (2)(3＋3)R 1－3μ(多选)(2016·Ⅲ卷·T 20)如图所示，一固定容器的内壁是半径为R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m 的质点P .它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W .重力加速度大小为g .设质点P 在最低点时，向心加速度的大小为a ，容器对它的支持力大小为N ，则( )A ．a ＝2(mgR －W )mRB ．a ＝2mgR －WmRC ．N ＝3mgR －2W RD ．N ＝2(mgR －W )R AC [质点P 下滑到最低点的过程中，由动能定理得mgR －W ＝12m v 2，则速度v ＝2(mgR －W )m ，最低点的向心加速度a ＝v 2R ＝2(mgR －W )mR，选项A 正确，选项B 错误；在最低点时，由牛顿第二定律得N －mg ＝ma ，N ＝3mgR －2W R，选项C 正确，选项D 错误．] ■释疑难·类题通法…………………………………………………………………·1．应用动能定理解题的两条线索(1)明确研究对象→进行受力分析→对各力进行做功分析→求出总功；(2)明确研究过程→进行运动过程分析→物体始末状态分析→求出动能状态量→求出动能变化量；最后结合两条线索列出动能定理方程求解．2．应用动能定理解题应注意的3个问题(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不牵扯加速度及时间，比动力学研究方法要简洁．(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的．(3)物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑；当所求问题不涉及中间的速度时，也可以对全过程应用动能定理求解．■对考向·高效速练…………………………………………………………………..·考向1动能定理与图象的结合4．(2017·江苏高考)一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处．物块初动能为E k0，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能E k与位移x关系的图线是()【导学号：19624062】C[设斜面倾角为θ，根据动能定理，当小物块沿斜面上升时，有－(mg sin θ＋f)x＝E k－E k0，即E k＝－(f＋mg sin θ)x＋E k0，所以E k与x的函数关系图象为直线，且斜率为负．当小物块沿斜面下滑时根据动能定理有(mg sin θ－f)(x0－x)＝E k－0(x0为小物块到达最高点时的位移)，即E k＝－(mg sin θ－f)x＋(mg sin θ－f)x0所以下滑时E k随x的减小而增大且为直线．综上所述，选项C正确．]泥石流是在雨季由于暴雨、洪水将含有沙石且松软的土质山体经饱和稀释后形成的洪流．泥石流流动的全过程虽然只有很短时间，但由于其高速前进，具有强大的能量，因而破坏性极大．某课题小组对泥石流的威力进行了模拟研究，他们设计了如图甲的模型：在水平地面上放置一个质量为m ＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下从静止开始运动，推力F随位移变化如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g取10 m/s2.则：甲乙(1)物体在运动过程中的最大加速度为多少？(2)在距出发点多远处，物体的速度达到最大？(3)物体在水平面上运动的最大位移是多少？【解析】(1)当推力F最大时，加速度最大，由牛顿第二定律，得：F m －μmg＝ma m可解得：a m＝15 m/s2.(2)由图象可知：F随x变化的函数方程为F＝80－20x速度最大时，合力为0，即F＝μmg所以x＝3 m.(3)位移最大时，末速度一定为0由动能定理可得：W F－μmgx＝0由图象可知，力F做的功为W F＝12F m x m＝12×80×4 J＝160 J所以x＝8 m.【答案】(1)15 m/s2(2)3 m(3)8 m考向2多过程应用动能定理5．(2017·清远市田家炳实验中学一模)用长为l、不可伸长的细线把质量为m的小球悬挂于O点，将小球拉至悬线偏离竖直方向α角后放手，运动t时间后停在最低点．则在时间t内()图5-11A．小球重力做功为mgl(1－cos α)B．空气阻力做功为－mgl cos αC．小球所受合力做功为mgl sin αD．绳拉力做功的功率为mgl(1－cos α)tA[小球从开始运动到停止的过程中，下降的高度为：h＝l(1－cos α)，所以小球的重力做功：W G＝mgh＝mgl(1－cos α)，故A正确．在小球运动的整个过程中，重力和空气阻力对小球做功，根据动能定理得：W G＋W f＝0－0，所以：空气阻力做功W f＝－W G＝－mgl(1－cos α)．故B错误；小球受到的合外力做功等于小球动能的变化，所以：W合＝0－0＝0.故C错误；由于绳子的拉力始终与运动的方向垂直，所以绳子的拉力不做功．绳子的拉力的功率为0.故D错误．](2016·河南豫南九校联盟联考)如图所示，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v0冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R＝0.4 m，L＝2.5 m，v0＝6 m/s，物块质量m＝1 kg，与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.4，轨道其他部分摩擦不计．取g＝10 m/s2.求：(1)物块第一次经过圆形轨道最高点B时对轨道的压力；(2)物块仍以v0从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度L，当L长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．【解析】(1)对物块，第一次从A点运动到B点，由动能定理得－mg·2R＝1 2m v 2B－12m v2在B点，有：N1＋mg＝m v2BR解得：N1＝40 N根据牛顿第三定律知，物块对轨道的压力大小为40 N，方向竖直向上．(2)对物块，从A点到第二次到达B点，由动能定理得，－μmg·2L－mg·2R＝12m v B′2－12m v20在B点，有：mg＝m v B′2R解得：L＝1 m.【答案】(1)40 N方向竖直向上(2)1 m规范练高分| 动能定理的综合应用类问题(对应学生用书第26页)[典题在线](2016·湖南十校联考T25,18分)为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L1＝2 3 m的倾斜轨道AB，①通过微小圆弧与长为L2＝32m的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个②竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图5-12所示．现将一个小球从距A点高为h＝0.9 m的水平台面上以一定的初速度v0水平弹出，③到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知④小球与AB和BC间的动摩擦因数均为μ＝33.g取10 m/s2，求：⑤图5-12(1)小球初速度v0的大小；(2)小球滑过C点时的速度v C；(3)要使⑥小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件．[信息解读]①长度忽略不计且此处无碰撞和能量损失．②注意小球竖直平面内圆周运动的处理方法．③可在A点分解速度求解v0.④小球在AB和BC上运动时，受摩擦力作用，存在摩擦力做功．⑤由图可知，小球运动是“平抛＋斜面＋圆周”的组合．⑥可在竖直平面内通过圆周最高点或在竖直平面内上升的高度不超过其半径．[考生抽样][阅卷点评]点评内容点评1该生在第(1)(2)步上分析及解析比较规范，能得全分(8分).点评2在第(3)步中，该生对“小球不离开轨道”的理解不全面，只考虑了完整圆周运动的情况，故只能得到5分.【解析】(1)小球做平抛运动到达A点，由平抛运动规律知竖直方向有：v2y＝2gh ①(2分)即：v y＝3 2 m/s ②(1分)因为在A点的速度恰好沿AB方向，21。
功 功率 动能定理
机械能功 功率 动能定理一、功1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功．2．必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移． 3．物理意义：功是能量转化的量度． 4．计算公式(1)恒力F 的方向与位移l 的方向一致时：W ＝Fl .(2)恒力F 的方向与位移l 的方向成某一夹角α时：W ＝Fl cos α. 5．功的正负(1)当0≤α<π2时，W >0，力对物体做正功．(2)当π2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．(3)当α＝π2时，W ＝0，力对物体不做功．6．一对作用力与反作用力的功7.一对平衡力的功一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零．二、功率1．定义：功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢． 3．公式：(1)P ＝Wt ，P 为时间t 内物体做功的快慢．(2)P ＝F v①v 为平均速度，则P 为平均功率． ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．③当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解． [深度思考] 由公式P ＝F v 得到F 与v 成反比正确吗？ 答案 不正确，在P 一定时，F 与v 成反比． 三、动能 动能定理 1．动能(1)定义：物体由于运动而具有的能叫动能． (2)公式：E k ＝12m v 2.(3)矢标性：动能是标量，只有正值．(4)状态量：动能是状态量，因为v 是瞬时速度． 2．动能定理(1)内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量． (2)表达式：W ＝12m v 22－12m v 12＝E k2－E k1.(3)适用条件：①既适用于直线运动，也适用于曲线运动． ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功．③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．(4)应用技巧：若整个过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．[深度思考] 物体的速度改变，动能一定改变吗？ 答案 不一定．如匀速圆周运动．[基础题组自测]1．(粤教版必修2P67第5题)用起重机将质量为m 的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种？( ) A ．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零 B ．重力做负功，拉力做正功，合力做正功 C ．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零 D ．重力不做功，拉力做正功，合力做正功2．(粤教版必修2P77第2题)(多选)一个物体在水平方向的两个恒力作用下沿水平方向做匀速直线运动，若撤去其中的一个力，则( ) A ．物体的动能可能减少 B ．物体的动能可能不变 C ．物体的动能可能增加 D ．余下的力一定对物体做功3．(多选)关于功率公式P ＝Wt 和P ＝F v 的说法正确的是( )A ．由P ＝Wt 知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率B ．由P ＝F v 既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率C ．由P ＝F v 知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限增大D ．由P ＝F v 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比4．(人教版必修2P59第1题改编)如图1所示，两个物体与水平地面间的动摩擦因数相等，它们的质量也相等．在甲图中用力F 1拉物体，在乙图中用力F 2推物体，夹角均为α，两个物体都做匀速直线运动，通过相同的位移．设F 1和F 2对物体所做的功分别为W 1和W 2，物体克服摩擦力做的功分别为W 3和W 4，下列判断正确的是( )图1A ．F 1＝F 2B ．W 1＝W 2C ．W 3＝W 4D ．W 1－W 3＝W 2－W 45.有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示．若由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是()A．木块所受的合外力为零B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零C．重力和摩擦力的合力做的功为零D．重力和摩擦力的合力为零命题点一功的分析与计算1．常用办法：对于恒力做功利用W＝Fl cosα；对于变力做功可利用动能定理(W＝ΔE k)；对于机车启动问题中的定功率启动问题，牵引力的功可以利用W＝Pt.2．几种力做功比较(1)重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．(2)滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．(3)摩擦力做功有以下特点：①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值．③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝F f x相对．例1(2014·新课标Ⅱ·16)一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F1、F2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则()A．W F2>4W F1，W f2>2W f1B．W F2>4W F1，W f2＝2W f1C．W F2<4W F1，W f2＝2W f1D．W F2<4W F1，W f2<2W f1物体从静止开始经过同样的时间．判断力是否做功及做正、负功的方法1． 看力F 的方向与位移l 的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形． 2． 看力F 的方向与速度v 的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形．3． 根据动能的变化：动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W 合＝ΔE k ，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时合外力做负功．1.如图所示，质量为m 的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a 沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m 与斜面体相对静止．则关于斜面对m 的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( )A ．支持力一定做正功B ．摩擦力一定做正功C ．摩擦力可能不做功D ．摩擦力可能做负功2．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为F ，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为( ) A ．0 B ．－Fh C ．Fh D ．－2Fh命题点二 功率的理解和计算 1．平均功率与瞬时功率 (1)平均功率的计算方法 ①利用P ＝Wt.②利用P ＝F v cos α，其中v 为物体运动的平均速度． (2)瞬时功率的计算方法①利用公式P ＝F v cos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度． ②P ＝F v F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度． ③P ＝F v v ，其中F v 为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力．2．机车的两种启动模型3.机车启动问题常用的三个公式 (1)牛顿第二定律：F －F f ＝ma . (2)功率公式：P ＝F ·v . (3)速度公式：v ＝at .说明：F 为牵引力，F f 为机车所受恒定阻力．例2 在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40m/s ，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F 与对应速度v ，并描绘出如图4所示的F －1v 图象(图线ABC 为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB 、BO 均为直线)．假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC ：图4(1)求该汽车的额定功率；(2)该汽车由静止开始运动，经过35s 达到最大速度40m/s ，求其在BC 段的位移．①最大速度在图象中对应的力；②AB 、BO 均为直线．1．求解功率时应注意的“三个”问题(1) 首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；(2) 平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；(3) 瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率． 2．机车启动中的功率问题(1) 无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P F min ＝PF 阻(式中F min 为最小牵引力，其值等于阻力F 阻)．(2) 机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v ＝P F <v m ＝PF 阻.3.一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图5所示．假定汽车所受阻力的大小F f 恒定不变．下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )图54．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的功率达到最大值P ，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v 2匀速上升，重物上升的高度为h ，则整个过程中，下列说法正确的是( ) A ．钢绳的最大拉力为Pv 2B ．钢绳的最大拉力为mgC ．重物匀加速的末速度为PmgD ．重物匀加速运动的加速度为Pm v 1－g命题点三 动能定理及其应用 1．动能定理 (1)三种表述①文字表述：所有外力对物体做的总功等于物体动能的增加量； ②数学表述：W 合＝12m v 2－12m v 02或W 合＝E k －E k0；③图象表述：如图6所示，E k －l 图象中的斜率表示合外力．图6(2)适用范围①既适用于直线运动，也适用于曲线运动； ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功；③力可以是各种性质的力，既可同时作用，也可分阶段作用．2．解题的基本思路(1) 选取研究对象，明确它的运动过程； (2) 分析受力情况和各力的做功情况；(3) 明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2；(4) 列动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解．例3(2016·天津理综·10)我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图7所示，质量m＝60kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a ＝3.6m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度v B＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48m，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530J，取g＝10m/s2.图7(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力F f的大小；(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大．5．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105N；弹射器有效作用长度为100m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则()A．弹射器的推力大小为1.1×106NB．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108JC．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107WD．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32m/s26．(多选)如图8所示为一滑草场．某条滑道由上下两段高均为h ，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ.质量为m 的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．则( )图8A ．动摩擦因数μ＝67B ．载人滑草车最大速度为2gh 7C ．载人滑草车克服摩擦力做功为mghD ．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35g7．如图9所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P ，小船的质量为m ，小船受到的阻力大小恒为F f ，经过A 点时的速度大小为v 0，小船从A 点沿直线加速运动到B 点经历时间为t 1，A 、B 两点间距离为d ，缆绳质量忽略不计．求：图9(1)小船从A 点运动到B 点的全过程克服阻力做的功W f ； (2)小船经过B 点时的速度大小v 1； (3)小船经过B 点时的加速度大小a .求解变力做功的五种方法一、用动能定理求变力做功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．典例1如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为()A．FL cosθB．FL sinθC．FL(1－cosθ)D．mgL(1－cosθ)二、利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．典例2如图所示，在一半径为R＝6m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8kg的物块(可看成质点)．用大小始终为F＝75N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求这一过程中：(1)拉力F做的功；(2)桥面对物块的摩擦力做的功．三、化变力为恒力求变力做功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究对象，有时可化为恒力做功，可以用W ＝Fl cos α求解，此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．四、用平均力求变力做功在求解变力做功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即为均匀变化，则可以认为物体受到一大小为F ＝F 1＋F 22的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末状态所受到的力，然后用公式W ＝F l cos α求此力所做的功．五、用F －x 图象求变力做功在F －x 图象中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图)．典例3 轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m ＝0.5kg 的物块相连，如图12甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x 轴，现对物块施加水平向右的外力F ，F 随x 轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x ＝0.4m 处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g ＝10m/s 2)( )图12A ．3.1JB ．3.5JC ．1.8JD ．2.0J[课后作业]题组1 功和功率的分析与计算1．一个成年人以正常的速度骑自行车，受到的阻力为总重力的0.02倍，则成年人骑自行车行驶时的功率最接近于( ) A ．1WB ．10WC ．100WD ．1000W2. (多选)一质量为1kg 的质点静止于光滑水平面上，从t ＝0时刻开始，受到水平外力F 作用，如图1所示．下列判断正确的是( )图1A ．0～2s 内外力的平均功率是4WB ．第2s 内外力所做的功是4JC ．第2s 末外力的瞬时功率最大D ．第1s 末与第2s 末外力的瞬时功率之比为9∶43．如图所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时F 所做的总功为( )A ．0 B.12F m x 0 C.π4F m x 0 D.π4x 02 题组2 动能定理及其简单应用4.如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则小球从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )A ．mgh －12m v 2B.12m v 2－mgh C ．－mghD ．－(mgh ＋12m v 2)5．(多选)质量为1kg 的物体静止在水平粗糙的地面上，在一水平外力F 的作用下运动，如图4甲所示，外力F 和物体克服摩擦力F f 做的功W 与物体位移x 的关系如图乙所示，重力加速度g 取10m/s 2.下列分析正确的是( )图4A ．物体与地面之间的动摩擦因数为0.2B ．物体运动的位移为13mC ．物体在前3m 运动过程中的加速度为3m/s 2D ．x ＝9m 时，物体的速度为32m/s6．(多选)如图5所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离为l ，子弹进入木块的深度为d ，若木块对子弹的阻力F f 视为恒定，则下列关系式中正确的是( )图5A ．F f l ＝12M v 2B ．F f d ＝12M v 2C ．F f d ＝12m v 02－12(M ＋m )v 2D ．F f (l ＋d )＝12m v 02－12m v 2题组3 动能定理在多过程问题中的应用7．(2014·福建·21)如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB 段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC 在B 点水平相切．点A 距水面的高度为H ，圆弧轨道BC 的半径为R ，圆心O 恰在水面．一质量为m 的游客(视为质点)可从轨道AB 的任意位置滑下，不计空气阻力．(1)若游客从A 点由静止开始滑下，到B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面D 点，OD ＝2R ，求游客滑到B 点时的速度v B 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功W f ；(2)某游客从AB 段某处滑下，恰好停在B 点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P 点后滑离轨道，求P 点离水面的高度h .(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F 向＝m v 2R )8．如图甲所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O 位置．质量为m 的物块A (可视为质点)以初速度v 0从距O 点右方x 0处的P 点向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O ′点位置后，A 又被弹簧弹回．A 离开弹簧后，恰好回到P 点．物块A 与水平面间的动摩擦因数为μ.求：(1)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，克服摩擦力所做的功．(2)O 点和O ′点间的距离x 1.(3)如图乙所示，若将另一个与A 完全相同的物块B (可视为质点)与弹簧右端拴接，将A 放在B 右边，向左推A 、B ，使弹簧右端压缩到O ′点位置，然后从静止释放，A 、B 共同滑行一段距离后分离．分离后物块A 向右滑行的最大距离x 2是多少？9．如图8所示，半径R＝0.5m的光滑圆弧面CDM分别与光滑斜面体ABC和斜面MN相切于C、M点，斜面倾角分别如图所示．O为圆弧圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度．斜面体ABC固定在地面上，顶端B安装一定滑轮，一轻质软细绳跨过定滑轮(不计滑轮摩擦)分别连接小物块P、Q(两边细绳分别与对应斜面平行)，并保持P、Q两物块静止．若PC间距为L1＝0.25m，斜面MN足够长，物块P的质量m1＝3kg，与MN间的动摩擦因数μ＝13，重力加速度g＝10m/s2，求：(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)图8(1)小物块Q的质量m2；(2)烧断细绳后，物块P第一次到达D点时对轨道的压力大小；(3)物块P在MN斜面上滑行的总路程．1 答案 C2 答案 ACD3 答案 BD4 答案 D5 答案 C 例1答案 C解析 根据x ＝v ＋v 02t 得，两过程的位移关系x 1＝12x 2，根据加速度的定义a ＝v －v 0t ，得两过程的加速度关系为a 1＝a 22.由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即F f1＝F f2＝F f ，根据牛顿第二定律得，F 1－F f1＝ma 1，F 2－F f2＝ma 2，所以F 1＝12F 2＋12F f ，即F 1>F 22.根据功的计算公式W ＝Fl ，可知W f1＝12W f2，W F 1>14W F 2，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误． 1 答案 B解析 支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功．而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a ＝g tan θ，当a >g tan θ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a <g tan θ时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，B 选项是错误的．2 答案 D解析 阻力与小球速度方向始终相反，故阻力一直做负功，W ＝－Fh ＋(－Fh )＝－2Fh ，D 选项正确．例2答案 (1)8×104W (2)75m解析 (1)由图线分析可知：图线AB 表示牵引力F 不变即F ＝8000N ，阻力F f 不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC 的斜率表示汽车的功率P 不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40m/s ，此后汽车做匀速直线运动．由图可知：当最大速度v max ＝40m/s 时，牵引力为F min ＝2000N由平衡条件F f ＝F min 可得F f ＝2000N 由公式P ＝F min v max 得额定功率P ＝8×104W.(2)匀加速运动的末速度v B ＝PF ，代入数据解得v B ＝10m/s汽车由A 到B 做匀加速运动的加速度为 a ＝F －F f m＝2m/s 2设汽车由A 到B 所用时间为t 1，由B 到C 所用时间为t 2，位移为x ，则t 1＝v Ba ＝5s ，t 2＝35s－5s ＝30sB 点之后，对汽车由动能定理可得Pt 2－F f x ＝12m v C 2－12m v B 2，代入数据可得x ＝75m.3 答案 A解析 当汽车的功率为P 1时，汽车在运动过程中满足P 1＝F 1v ，因为P 1不变，v 逐渐增大，所以牵引力F 1逐渐减小，由牛顿第二定律得F 1－F f ＝ma 1，F f 不变，所以汽车做加速度减小的加速运动，当F 1＝F f 时速度最大，且v m ＝P 1F 1＝P 1F f .当汽车的功率突变为P 2时，汽车的牵引力突增为F 2，汽车继续加速，由P 2＝F 2v 可知F 2减小，又因F 2－F f ＝ma 2，所以加速度逐渐减小，直到F 2＝F f 时，速度最大v m ′＝P 2F f ，此后汽车做匀速直线运动．综合以上分析可知选项A 正确． 4 答案 D解析 加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为Pv 2，故A 错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B 错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于Pmg ，故C 错误；重物匀加速运动的末速度为v 1，此时的拉力为F ＝Pv 1，由牛顿第二定律得：a ＝F －mg m ＝P m v 1－g ，故D 正确．例3答案 (1)144N (2)12.5m解析 (1)运动员在AB 上做初速度为零的匀加速运动，设AB 的长度为x ，则有v B 2＝2ax ① 由牛顿第二定律有mg Hx－F f ＝ma② 联立①②式，代入数据解得F f ＝144N③(2)设运动员到达C 点时的速度为v C ，在由B 到达C 的过程中，由动能定理得 mgh ＋W ＝12m v C 2－12m v B 2④设运动员在C 点所受的支持力为F N ，由牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2CR⑤ 由题意和牛顿第三定律知F N ＝6mg⑥联立④⑤⑥式，代入数据解得R ＝12.5m. 5 答案 ABD解析 设总推力为F ，位移x ＝100m ，阻力F 阻＝20%F ，对舰载机加速过程由动能定理得Fx －20%F ·x ＝12m v 2，解得F ＝1.2×106N ，弹射器推力F 弹＝F －F 发＝1.2×106N －1.0×105N ＝1.1×106N ，A 正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F 弹·x ＝1.1×106×100J ＝1.1×108J ，B 正确；弹射器对舰载机做功的平均功率P ＝F 弹·0＋v 2＝4.4×107W ，C 错误；根据运动学公式v 2＝2ax ，得a ＝v 22x＝32m/s 2，D 正确．6 答案 AB解析 对滑草车从坡顶由静止滑下，到底端静止的全过程，得mg ·2h －μmg cos45°·hsin45°－μmg cos37°·h sin37°＝0，解得μ＝67，选项A 正确；对经过上段滑道过程，根据动能定理得，mgh －μmg cos45°·h sin45°＝12m v 2，解得v ＝2gh7，选项B 正确；载人滑草车克服摩擦力做功为2mgh ，选项C 错误；载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为a ＝μmg cos37°－mg sin37°m ＝335g ，选项D 错误． 7 答案 (1)F f d (2) v 20＋2m(Pt 1－F f d ) (3)P m 2v 20＋2m (Pt 1－F f d )－F f m解析 (1)小船从A 点运动到B 点克服阻力做功 W f ＝F f d①(2)小船从A 点运动到B 点，电动机牵引缆绳对小船做功 W ＝Pt 1②由动能定理有W －W f ＝12m v 12－12m v 02③由①②③式解得v 1＝v 20＋2m(Pt 1－F f d ) ④(3)设小船经过B 点时缆绳的拉力大小为F ，缆绳与水平方向的夹角为θ，电动机牵引缆绳的速度大小为v ，则 P ＝F v ⑤ v ＝v 1cos θ⑥由牛顿第二定律有 F cos θ－F f ＝ma⑦由④⑤⑥⑦式解得a ＝P m 2v 20＋2m (Pt 1－F fd )－F fm . 典例1答案 D解析 在小球缓慢上升过程中，拉力F 为变力，此变力F 的功可用动能定理求解．由W F －mgL (1－cos θ)＝0得W F ＝mgL (1－cos θ)，故D 正确． 典例2答案 (1)376.8J (2)－136.8J解析 (1)将圆弧AB 分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每一小段上做的功为W 1、W 2、…、W n .因拉力F 大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos37°、W 2＝Fl 2cos37°、…、W n ＝Fl n cos37°所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos37°·16·2πR ＝376.8J.(2)因为重力G 做的功W G ＝－mgR (1－cos60°)＝－240J ，而因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知W F ＋W G ＋W f ＝0 所以W f ＝－W F －W G ＝－376.8J ＋240J ＝－136.8J. 典例3答案 A解析 物块与水平面间的摩擦力为F f ＝μmg ＝1 N ．现对物块施加水平向右的外力F ，由F －x 图象面积表示功可知F 做功W ＝3.5 J ，克服摩擦力做功W f ＝F f x ＝0.4 J ．由功能关系可知，W －W f ＝E p ，此时弹簧的弹性势能为E p ＝3.1 J ，选项A 正确． 1 答案 C解析 设人和车的总质量为100kg ，匀速行驶时的速率为5m/s ，匀速行驶时的牵引力与阻力大小相等F ＝0.02mg ＝20N ，则人骑自行车行驶时的功率为P ＝F v ＝100W ，故C 正确． 2 答案 AD解析 第1s 末质点的速度 v 1＝F 1m t 1＝31×1m/s ＝3 m/s.第2s 末质点的速度v 2＝v 1＋F 2m t 2＝(3＋11×1) m/s ＝4 m/s.则第2s 内外力做功W 2＝12m v 22－12m v 12＝3.5J0～2s 内外力的平均功率 P ＝12m v22t ＝0.5×1×422W ＝4W.选项A 正确，选项B 错误；第1s 末外力的瞬时功率P 1＝F 1v 1＝3×3W ＝9W ， 第2s 末外力的瞬时功率P 2＝F 2v 2＝1×4W ＝4W ，故 P 1∶P 2＝9∶4.选项C 错误，选项D 正确． 3 答案 C解析 F 为变力，但F －x 图象包围的面积在数值上表示拉力做的总功．由于图线为半圆，又因在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12π·F m 2＝12π·F m ·12x 0＝π4F m x 0.4 答案 A解析 小球从A 点运动到C 点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得W G ＋W F ＝0－12m v 2，重力做功为W G ＝－mgh ，则弹簧的弹力对小球做功为W F ＝mgh －12m v 2，所以正确选项为A.5 答案 ACD解析 由W f ＝F f x 对应图乙可知，物体与地面之间的滑动摩擦力F f ＝2N ，由F f ＝μmg 可得μ＝0.2，A 正确；由W F ＝Fx 对应图乙可知，前3m 内，拉力F 1＝5N ，3～9m 内拉力F 2＝2N ，物体在前3m 内的加速度a 1＝F 1－F f m ＝3m/s 2，C 正确；由动能定理得：W F －F f x ＝12m v 2可得：x ＝9m 时，物体的速度为v ＝32m/s ，D 正确；物体的最大位移x m ＝W FF f＝13.5m ，B 错误． 6 答案 ACD解析 画出如图所示的运动过程示意图，从图中不难看出，当木块前进距离l ，子弹进入木块的深度为d 时，子弹相对于地发生的位移为l ＋d ，由牛顿第三定律，子弹对木块的作用力。
知识点8 功 功率 动能定理
图 3－1－3
2015/11/23
A．作用力 F 对小球做功为 0 B．作用力 F 对小球做功为－112.5 J C．摩擦力对小球做功为－112.5 J D．摩擦力对小球做功为－100 J 【解析】 小球受到的重力 G＝ mg＝ 10 N，开始时受到
的作用力 F0＝ kv2 还受到水平向左的滑动摩擦力 0＝ 90 N>mg， Ff＝ μFN，而 FN＝ F0－ mg＝ kv2 0－ mg，则小球开始向右做加 速度减小的减速运动．小球速度减小到某一速度 v1 时会出现 F＝ G，此时小球对横杆的压力等于 0，小球所受摩擦力等于 0，此后小球做匀速运动．
C．重力对小球做功的平均功率为 P ＝(mgv0tan θ)/2 D．距斜面距离最大时重力的瞬时功率为 P＝mgv0tan θ
2015/11/23
【解析】
小球做平抛运动离斜面最远时，速度方向平
v0tan θ gt 1 2 行于斜面，则有 ＝tan θ，得 t＝ ， A 对；由 H＝ gt v0 g 2
2015/11/23
2. (2012· 大连模拟)如图 3－1－8 所示为汽车在水平路面 上启动过程的 v－t 图象.0～t1 时间内为匀加速阶段，t1～t2 时 间内表示以额定功率行驶时的变加速阶段， t2 后是与 t 轴平行 的直线，则下列说法正确的是( )
图 3－1－8
2015/11/23
A． 0～ t1 时间内，牵引力增大，功率不变 B． 0～ t1 时间内，牵引力不变，功率增大 C． t1～ t2 时间内，牵引力增大，加速度减小 1 2 1 2 D． t1～ t2 时间内，牵引力做的功为 mv2－ mv1 2 2
【解析】 汽车的额定功率为 P＝40 kw，汽车匀速运动 的速度为 40 m/s，由 P＝Ffvm， P 40×1000 得 Ff＝ ＝ N＝1.0×103 N，A 正确； vm 40
动能定理、功和功率复习总结
②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求 F1＋F2 出力对位移的平均值 F ＝ ，再由 W＝ F lcos α 计算， 2 如弹簧弹力做功；
③作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的 “面积”即为变力所做的功； ④当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车牵引
力做的功．
方式 过程
方式 过程
恒定功率启动 加速度逐渐减小的变 加速直线运动(对应
恒定加速度启动 以加速度a做匀加速直线运 动(对应下图中的OA段)⇒ 匀加速运动能维持的时间t0 vm′ ＝ a ⇒以vm匀速直线运 动，对应下图中的BC段
运动规律
下图的OA段)⇒以vm 匀速直线运动(对应 下图中的AB段)
vt图象
Hale Waihona Puke 1．动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度．
2．动能定理的研究对象是单一物体，或者可以看成单一物体的
物体系． 3．动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用 于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既 可以同时作用，也可以分段作用． 4．若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时， 可以分段考虑，也可以视全过程为一整体来处理．
(1)根据力和位移的方向的夹角判断，此法常用于恒力功的判断，
计算公式：W＝Flcos α
(2)根据力和瞬时速度方向的夹角判断，常用于判断质点做曲线 运动时变力的功．当力的方向和瞬时速度方向垂直时，作用点 在力的方向上位移是零，力做的功为零． (3)根据质点或系统能量是否变化，彼此是否有能量的转移或转 化进行判断．若有能量的变化，或系统内各质点间彼此有能量 的转移或转化，则必定有力做功．
[知识梳理] 内容 表达式 对定理 的理解 合外力所做的功等于物体 动能的变化
动能定理与功率的计算
动能定理与功率的计算动能定理是物理学中的一个基本定理，它描述了物体的动能与物体所受的总功之间的关系。
功率的计算则是根据动能定理和单位时间内的功来计算的。
在本文中，我们将探讨动能定理的原理以及如何计算功率。
一、动能定理的原理动能定理是基于牛顿第二定律和功的定义推导而来的。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力有直接的关系，可以表示为 F = ma，其中 F 表示物体所受的净力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
根据功的定义，功可以表示为 W = Fd，其中 W 表示功，F 表示作用力，d 表示力的方向上的位移距离。
假设物体的初始速度为 v1，最终速度为 v2，根据动能的定义，动能可以表示为 K = 1/2 mv^2，其中 K 表示动能。
根据动能定理，物体动能的变化等于物体所受的总功，即ΔK = W。
将上述表达式代入，可以得到：1/2 m(v2^2 - v1^2) = Fd这就是动能定理的原理表达式。
二、功率的计算功率是指单位时间内所做的功，可以表示为 P = W/t，其中 P 表示功率，W 表示总功，t 表示时间。
根据动能定理，物体的动能变化等于物体所受的总功，即ΔK = W。
将功的定义代入，可以得到：1/2 m(v2^2 - v1^2) = Pt将等式两边同时除以 t，可以得到：1/2 m(v2^2 - v1^2)/t = P这是功率的计算公式。
三、应用案例假设有一个物体质量为2kg，初始速度为5m/s，最终速度为10m/s，时间间隔为 4秒。
现在我们来计算该物体所受的总功和功率。
首先，根据动能定理，物体的动能变化可以计算为：ΔK = 1/2 * 2kg * (10m/s)^2 - 1/2 * 2kg * (5m/s)^2= 150J得出物体的动能变化为 150J。
然后，根据功率的计算公式，可以计算功率为：P = 1/2 * 2kg * (10m/s)^2 - 1/2 * 2kg * (5m/s)^2 / 4s= 37.5W得出物体的功率为 37.5W。
动能定理与功率
动能定理与功率动能定理和功率是物理学中重要的概念和定律，它们描述了物体的运动和能量转化的规律。
本文将从理论和实际应用的角度，详细讨论动能定理和功率的概念、公式和应用。
一、动能定理的概念与公式动能定理是描述质点运动的定律，它表明质点的动能变化等于外力对其所做的功。
其数学表达式为：$$\Delta{E_k} = W$$其中，$\Delta{E_k}$表示动能的增量，$W$表示外力对质点所做的功。
根据牛顿第二定律和功的定义，动能定理可以推导得到。
它揭示了能量的守恒原理在运动学中的具体应用。
二、功率的概念与公式功率是描述对物体进行工作或做功的快慢程度的物理量，它等于单位时间内所作的功。
功率的数学定义为：$$P = \frac{W}{\Delta{t}}$$其中，$P$表示功率，$W$表示所作的功，$\Delta{t}$表示时间的增量。
功率与时间成反比，反映了在单位时间内能量转化的速率。
三、动能定理和功率的关系动能定理和功率之间存在密切的关系。
根据功率的定义，我们可以将动能定理改写为功率的表达式：$$P = \frac{\Delta{E_k}}{\Delta{t}}$$从这个表达式可以看出，功率等于动能的变化率。
换句话说，功率是描述能量变化速率的物理量。
通过对动能定理和功率的研究，我们可以更好地理解和分析物体的运动过程和能量转化情况。
四、动能定理和功率的实际应用动能定理和功率的概念和公式在实际应用中具有广泛的意义。
以机械能转化过程为例，根据动能定理和功率的关系，可以计算机械设备的效率和能量损失情况。
在工程设计和优化中，对功率的合理分配和调整可以提高设备的工作效率和能源利用率，降低能源消耗和资源浪费。
此外，动能定理和功率的概念也可以应用于交通运输、体育竞技、能源管理等实际问题的分析和解决。
比如，在汽车行驶过程中，根据动能定理和功率的原理，可以通过调节驾驶方式和使用动力系统，达到节能降耗的目的。
在运动员训练和比赛中，通过功率的计算和分析，可以评估运动员的体能水平和调整训练计划。
动能定理
a |q 90 3.14m/s 2
(q 90
sin 2q 0)
16
例
已知：OA杆质量 m＝40kg，l＝1m，cz＝0.5m，小车 质量M＝200kg，h＝1.5m，q＝q0＝60时系统静止。 力偶L＝1046Nm
求：小车在q＝90时的加速度。
解：受力分析
运动分析
由速度合成定理 e r
为求角加速度，将（1）式两边对时间求导
l Q 2 Ql P sin J l 0 2 g Q P sin 2 1 P Q 3 g l g l
1 P Q P 2Q 3g 3 g l g l P 3Q 2l
功和功率
功是度量力在一段路程上对物体作用的累积 效应，力作功的结果使物体的机械能发生变化。
一、功的一般表达式
定义：元功
δW F dr Fcos ds F υdt
dr
O
r F
全功
W F dr
C
Fx dx Fy dy Fz dz
C
1
二、功率
功率——力在单位时间内所作的功称为功率。
对上式求导：
Ma mgl cosqq Lq J 0 zqq
、J m(l 2 2 ) 代入上式， 将 q、q 0z cz
Mg
q
e
r
mg
C
并解出
2 L mgl cosq m(l 2 cz ) 2 sin 2 q sin 2q / h 2 a 2 m(l 2 cz ) sin 2 q / h Mh / sin 2 q
2
物理学中的动能定理与功率
物理学中的动能定理与功率物理学是研究自然界物质运动和相互作用的一门科学。
其中，动能定理和功率是研究物体在运动中所表现出的特性和能量转化的重要概念。
本文将就动能定理和功率这两个概念进行阐述和讨论。
一、动能定理动能定理是描述物体动能与所受力之间关系的基本原理。
简单来说，动能定理指出物体的运动状态与所受力之间存在一种相互关系。
具体而言，它表明当物体受到外力作用时，物体的动能会发生变化。
动能定义为物体所具有的运动能力，它与物体的质量和速度相关。
动能定理可以用公式表示为：动能的变化等于所受力对物体所做的功。
即∆KE = W，其中∆KE表示动能的变化量，W表示力对物体所做的功。
动能定理可以从牛顿第二定律推导出来。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与物体所受力成正比，反比于物体的质量。
而物体的加速度又与速度的变化量有关。
根据这个推理，可以得出物体速度的变化量与所受力成正比。
根据定义，物体动能等于1/2×质量×速度的平方。
而速度的变化量等于加速度乘以时间，速度的平方变化量等于速度的变化量乘以2乘以初始速度加上速度的平方。
综合以上推导，可以得出动能定理的表达式：∆KE = (1/2mv^2)^2 - (1/2mu^2)^2 = ∆(1/2×m×v^2) = F×s。
其中v表示物体的末速度，u表示物体的初速度，m表示物体的质量，F表示物体所受的合力，s表示物体的位移。
动能定理的实际应用十分广泛。
在工程中，通过利用动能定理可以计算物体在不同速度下的动能变化量，从而评估其质量和速度对于动能的影响。
在机械工程中，通过动能定理可以推导出机械传动中的能量转化关系，并对机械系统的性能进行分析。
二、功率功率是描述物体或者系统能量转化速率的物理量。
简单来说，功率表示单位时间内所做的功。
功率的单位是瓦特，记作W，常用符号是P。
功率可以用公式表示为功除以时间。
即P = W/t。
其中W表示所做的功，t表示所花费的时间。
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图 3－1－1
A．小球运动的时间为 t＝(v0tan θ)/g B．重力对小球做的功为 W＝(mv20sin2θ)/2 C．重力对小球做功的平均功率为 P ＝(mgv0tan θ)/2 D．距斜面距离最大时重力的瞬时功率为 P＝mgv0tan θ
2020/1/19
【解析】 小球做平抛运动离斜面最远时，速度方向平
间的夹角)．
(2)可求各力的功的代数和：W 合＝W1＋W2＋W3…＋Wn， 注意各功的正负．
2020/1/19
(多选)如图 3－1－1 所示，在倾角为 θ 的足够长 的固定斜面上，以初速度 v0 水平抛出一个质量为 m 的小球， 从小球刚开始运动到距斜面距离最大的过程中，下列说法正 确的是( )
2020/1/19
2020/1/19
1．(2013·安徽高考)一物体放在水平地面上，如图 3－1 －2 甲所示，已知物体所受水平拉力 F 随时间 t 的变化情况 如图 3－1－2 乙所示，物体相应的速度 v 随时间 t 的变化关 系如图 3－1－2 丙所示．求：
甲
乙
丙
图 3－1－2
2020/1/19
(1)0～6 s 时间内物体的位移； (2)0～10 s 时间内，物体克服摩擦力所做的功． 【解析】 利用图象法解决力学问题． (1)从 v－t 图象得 2 s～6 s 时间内物体的加速度 a＝34 m/s2,0～2 s 时间内物体处于静止状态，则 0～6 s 时间内物体 的位移 x1＝12at22＝12×34×42 m＝6 m.
【答案】 AD
2020/1/19
3．(多选)(2013·辽宁实验中学模拟)如图 3－1－4 甲所示， 质量 m＝2 kg 的物块放在光滑水平面上，在 P 点的左方始终 受到水平恒力 F1 的作用，在 P 点的右方除受 F1 外还受到与 F1 在同一条直线上的水平恒力 F2 的作用．物块从 A 点由静 止开始运动，在 0～5 s 内运动的 v－t 图象如图乙所示，由图 可知( )
2020/1/19
小球匀速运动时 F＝G，即 kv21＝mg，代入数值解得 v1 ＝5 m/s，小球从 v0 到 v1 的过程中，设摩擦力对小球所做的 功为 Wf，对小球应用动能定理有 Wf＝12mv12－12mv02，解得 Wf＝－100 J，D 正确；因为作用力 F 与小球速度始终垂直， 因此对小球不做功，A 正确．
2020/1/19
(1)计算功时，要注意分析受力情况和能量转化情况，分 清是恒力的功还是变力的功，选用合适的方法进行计算．
(2)计算功率时，要明确是求瞬时功率还是平均功率，若 求瞬时功率应明确是哪一时刻或位置，若求平均功率则应明 确是哪段时间内的平均功率．
(3)对于图象问题要首先看懂图象的物理意义，根据图象 求出加速度、位移，并明确求哪个力的功或功率，是合力的 功率还是某个力的功率．
行于斜面，则有vgt0＝tan θ，得 t＝v0tagn θ，A 对；由 H＝12gt2 可得小球在这一过程中下落的位移为v20t2agn2θ，则这一过程重
力做的功 W＝mv20t2an2θ，B 错；由 P ＝Wt 可得重力的平均功率ຫໍສະໝຸດ P＝mgv0tan 2
θ，C
对；小球在距斜面距离最大时，重力的
瞬时功率为 P＝mgvy＝mgv0tan θ，D 对． 【答案】 ACD
2020/1/19
图 3－1－3
A．作用力 F 对小球做功为 0 B．作用力 F 对小球做功为－112.5 J C．摩擦力对小球做功为－112.5 J D．摩擦力对小球做功为－100 J 【解析】 小球受到的重力 G＝mg＝10 N，开始时受到 的作用力 F0＝kv20＝90 N>mg，还受到水平向左的滑动摩擦力 Ff＝μFN，而 FN＝F0－mg＝kv20－mg，则小球开始向右做加 速度减小的减速运动．小球速度减小到某一速度 v1 时会出现 F＝G，此时小球对横杆的压力等于 0，小球所受摩擦力等于 0，此后小球做匀速运动．
2020/1/19
(4)微元法：适用于大小不变、方向总与运动方向相同或
相反的变力做功问题．如曲线运动中，滑动摩擦力等做的功．
(5)平均力法：如果力的方向不变，大小随位移按线性规
律变化时，可用力的算术平均值
F
＝F1＋F2代替变力．再利 2
用功的定义式求功．
3．合力的功
(1)合力为恒力时：W 合＝F 合 lcos α(α 为 F 合与 l 的方向之
• 功 功率 动能定理
2020/1/19
研析考情 考向定位 该专题涉及的 功、功率概念和动能定理 是高考常考内容，考查的 重点有：①与功、功率相 关的分析与计算；②与图 象结合的问题；③动能定 理的综合应用． 应考策略 求恒力功的关 键是利用运动学公式确定 位移，求瞬时功率的关键 是由运动学公式求某时刻 的速度，应用动能定理的 关键是选取某一过程，把 握该过程中做的功与前后 状态速度的确定.
【答案】 (1)6 m (2)30 J
2020/1/19
2．(多选)如图 3－1－3 所示，一个质量为 m＝1 kg 的带孔 小球穿在固定的粗糙水平长横杆上滑行，小球与横杆间的动摩 擦因数为 μ＝0.6.某时刻小球获得一个水平向右的瞬时速度 v0 ＝15 m/s，同时小球受到一个竖直向上的作用力 F，F 与速度 的平方成正比，比例常数为 k＝0.4，重力加速度为 g＝10 m/s2， 则小球运动的整个过程中( )
2020/1/19
(2)从题中图乙、图丙得出：0～2 s 时间内，摩擦力为静 摩擦力，物体位移为零，摩擦力不做功.6 s～8 s 时间内物体 做匀速运动，受力平衡，滑动摩擦力 Ff＝F＝2 N．0～10 s 时间内物体的位移为 x＝x1＋x2＋x3＝6 m＋2×3 m＋12×32 ×22 m＝15 m，物体克服摩擦力所做的功为 W＝Ffx＝2×15 J ＝30 J.
2020/1/19
知识概览
功和功率的计算 1.恒力的功 W＝Flcos α. 2．变力的功 (1)变力 F 的功率 P 恒定，W＝Pt. (2)利用动能定理及功能关系等方法间接求解，即 W 合＝ ΔEk 或 W＝ΔE. (3)转换法也叫等效替代，即若某一变力做的功和某一恒 力做的功相等，可以通过计算该恒力做的功来求变力做的功．