均值定理求最值常见问题剖析
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例2正确解法是：
正解：f(x)＝x＋
当且仅当，即x＝时取等号
即f(x)的最小值为.
这里显然有＜2.
三取等.这也是均值定理求最值的一个重要条件，如果不能取到等号，就不能称其为最值，这一点大家心里都明白，但往往在解题中被忽略，应该引起高度重视.
例3、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最小值.
错解：记x＋＝t，∵x＞0，∴t＞0(满足正数条件)
一正：指的是欲施行均值定理的两个数（代数式）必须要保证值为正，否则大小关系可能逆转.特别对于代数式的情况，正负取值比较隐蔽，不易判断时，更要多加小心.
例1、求函数f(x)＝x＋(x＜0)的最值.
对于本题，初学者常犯以下错误：
错解：由均值定理，f(x)＝x＋＝2
故f(x)有最小值为2.
但很明显，当x＜0时，f(x)的值为负数，最小值不可能是正数！问题就出在“x＜0”上.
例4、已知a＝x2＋y2，b＝m2＋n2，其中x，y，m，n均为正实数，求mx＋ny的最大值.
所以，f(x)＝t＋≥2(定值条件也符合)
所以f(x)的最小值为2.
这种解法的错误就是忽略了等号成立的条件，由x＞0，有t＝x＋≥2
而t＋≥2等号成立的条件为t＝1，矛盾.
因此本题求出的“最值”是错误的.
本题正确解法应该是在换元后，由t≥2再根据函数f(t)＝t＋的单调性得到最小值为
当且仅当t＝2，即x＝1时等号成立.
均值定理求最值常见问题剖析
四川省成都市新都一中(610500)肖宏
现行高中数学教材中，对“两个正数的算术平均数不小于几何平均数”这一结论称为“重要不等式”，又称为“均值定理”或“基本不等式”，即“若a，b∈R＋，则”.利用这一定理不但可以证明有关代数式的不等关系，我们也可以用它来求一些简单函数的最值，但需要特别小心的是：用均值定理求最值必须满足“一正、二定、三取等”，任何一条不满足都可能使得所求的值不是“最值”.以下举例说明：
错解：f(x)＝x＋
当且仅当x＝且x＞0时，即x＝1时取等号
此时，f(x)＝2
故f(x)的最小值为wk.baidu.com.
这里错就错在使用均值定理后，乘积不是定值！
许多同学对这里的“定值”要求不甚理解，认为只要不等关系成立，而且能够取到等号，就应该是最值了。其实这又是一个很隐蔽的错误.如图分别是函数f(x)＝x2和g(x)＝2x－1的图像，他们相切于点(1，1)，即使说当x∈R时，恒有f(x)≥g(x)且当x＝1时等号成立，但f(x)的最值显然不在x＝1处取得.
正解：f(x)＝－(－x－)
∵x＜0，故－x＞0，－＞0
∴由均值定理，－x－＝2
∴f(x)≤－2
即f(x)有最大值－2.
二定：指的是“定值”，即“如果两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；如果两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.”
例2、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最值.
现在有了导数，本题的解决不应该是什么问题，但许多同学还是觉得均值定理方便好用，于是出现下面的错误：
正解：f(x)＝x＋
当且仅当，即x＝时取等号
即f(x)的最小值为.
这里显然有＜2.
三取等.这也是均值定理求最值的一个重要条件，如果不能取到等号，就不能称其为最值，这一点大家心里都明白，但往往在解题中被忽略，应该引起高度重视.
例3、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最小值.
错解：记x＋＝t，∵x＞0，∴t＞0(满足正数条件)
一正：指的是欲施行均值定理的两个数（代数式）必须要保证值为正，否则大小关系可能逆转.特别对于代数式的情况，正负取值比较隐蔽，不易判断时，更要多加小心.
例1、求函数f(x)＝x＋(x＜0)的最值.
对于本题，初学者常犯以下错误：
错解：由均值定理，f(x)＝x＋＝2
故f(x)有最小值为2.
但很明显，当x＜0时，f(x)的值为负数，最小值不可能是正数！问题就出在“x＜0”上.
例4、已知a＝x2＋y2，b＝m2＋n2，其中x，y，m，n均为正实数，求mx＋ny的最大值.
所以，f(x)＝t＋≥2(定值条件也符合)
所以f(x)的最小值为2.
这种解法的错误就是忽略了等号成立的条件，由x＞0，有t＝x＋≥2
而t＋≥2等号成立的条件为t＝1，矛盾.
因此本题求出的“最值”是错误的.
本题正确解法应该是在换元后，由t≥2再根据函数f(t)＝t＋的单调性得到最小值为
当且仅当t＝2，即x＝1时等号成立.
均值定理求最值常见问题剖析
四川省成都市新都一中(610500)肖宏
现行高中数学教材中，对“两个正数的算术平均数不小于几何平均数”这一结论称为“重要不等式”，又称为“均值定理”或“基本不等式”，即“若a，b∈R＋，则”.利用这一定理不但可以证明有关代数式的不等关系，我们也可以用它来求一些简单函数的最值，但需要特别小心的是：用均值定理求最值必须满足“一正、二定、三取等”，任何一条不满足都可能使得所求的值不是“最值”.以下举例说明：
错解：f(x)＝x＋
当且仅当x＝且x＞0时，即x＝1时取等号
此时，f(x)＝2
故f(x)的最小值为wk.baidu.com.
这里错就错在使用均值定理后，乘积不是定值！
许多同学对这里的“定值”要求不甚理解，认为只要不等关系成立，而且能够取到等号，就应该是最值了。其实这又是一个很隐蔽的错误.如图分别是函数f(x)＝x2和g(x)＝2x－1的图像，他们相切于点(1，1)，即使说当x∈R时，恒有f(x)≥g(x)且当x＝1时等号成立，但f(x)的最值显然不在x＝1处取得.
正解：f(x)＝－(－x－)
∵x＜0，故－x＞0，－＞0
∴由均值定理，－x－＝2
∴f(x)≤－2
即f(x)有最大值－2.
二定：指的是“定值”，即“如果两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；如果两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.”
例2、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最值.
现在有了导数，本题的解决不应该是什么问题，但许多同学还是觉得均值定理方便好用，于是出现下面的错误：