均值定理求最值常见问题剖析
均值定理求最值
均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。
它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。
本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。
一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。
在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。
二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。
2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。
首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。
接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。
均值定理最全讲义
均值不等式一、 要点：明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【二元均值不等式】 依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【三元均值不等式】依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n(即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)二、分类练习Ⅰ、直接运用1. 已知0x >,0y >，求x yy x+的最小值 2. 已知x,y 同号，求4y xx y+的最小值 3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________ 4. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为5. 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6. 若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7. 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值 8. 证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+Ⅱ、整体代入1. 若0x >,0y >,且41x y +=,求41x y+的最小值2. 若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为3. 已知x ＞0，y ＞0，且412x y+=，求4x y +的最小值 4. 已知x y >>00，，且119x y+=，求x y +的最小值5. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值 6. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为7. 已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyxⅢ、换元1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .2、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是 .3、若正实数x ，y 满足，则xy 的最大值是 。
均值定理在求最值中的应用
．
’ ＞则 ＋ ２ ｘ４ ｘ时 等 ． ９ ｘ ．ｏ ｘ 、 ・ ， ＝ 取号・ ＞ ， ≥／ －当 ２ ｏ ． ｙ ≥
根据不等式的性 质 ： ｂ ｏ ’ ａ ＞ ｊ８ ＞
得： （ 下转 ２ ９页） ２
压力容器人孔接管与筒体相焊的焊接质量控制
张 丽 王江 涛 （ 尔滨锅 炉厂 工 业 锅 炉公 司 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ４ ） ５０ ６
＋ｂ ￣
～ … 一 ．
＝ Ｘ ２ ２ｆ
当 ａ ｂ 、 时取等 号 ． ＿＝ ／ ・ ． ａ 例 ４ 求函数 ｙ ＝ 解 ｘ ％２
ａ－ｂ
】 ：２ ／ ，ｍ 为 （、 ＋ ）
的最小值 （２１ ＋ ｘ ＋ 一 ＋ ２／） １＝ 、 １
’ ＋ ． ／１ ’ ＝丁 丽 ＾
例 ３ 如果 ａ ｂ ａ ： 求 ． ＞ ，ｂ １ ａ ％ｂ
…
＂
…
一
．
ａ Ｄ －
ｕ ４
解 ： ２ —＋ ２ ａｂ
ａ－ Ｄ
・ ．
＝
—
（－ ） ２ ｂ ａｂ ａ ２ ＋
— 一
＝
ａ－ Ｄ
（ ） ａ ＋
ａ－ Ｄ
ｂ． ｂｏ （ ｂ ’一 测 ａ ） ・ － ＋
２
≥２
摘 要： 以某 电厂制造 的高压加 热器为例 。 介绍人孔接 管与 简体相焊的质量控制及超 声波检测技术 。 关键词 ： 压力容器； Ｌ 管； ＡＡ 接 筒体相焊 ； 焊接
应在试件 Ｅ 试焊 ， 获得合理的焊接工艺 以 随着压力容器成套装置的高参数、 大型化 、 容器用钢的品种和强度也是 参数，焊材选用 ４ ｍ的焊条 ， ｍ 牌号为 多样化和高强化， 我公司为某电厂制造的高压加热器为例 ， 介绍人孔接管与 Ｅ ５ ５ Ｂ ， ５ － ２焊接工艺如表 ５ １ 。 波检测技术。 ２ 焊接工艺评定。焊接工艺评定是编 ２
2.利用均值定理求最值
4x 9 y 当且仅当 , 即x =15 , y=10时,x+y取 y x
得最小值25.
题型二:配凑定值, 求最值 2 x 7 x 10 1.设x＞0，则函数 y 的最小 x 值是 2 10 7 .
10 x 6 x 10 2.函数 y 的最小值是 3
x3
.
注意验证等号能否成立!
恒成立，则a的取值范围是__________.
1 1 (2010’四川)设a>b>0，则 a ab a(a b )
2
的最小值是(
A.1 B.2
)
C.3 D.4
题型三:两数和与积同时出现的题目
1.若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范
围是___________. [6, ) 2.(2010’浙江)若正实数x,y满足xy=2x+y+6，则
18 xy的最小值是__________.
3.(07’北京)如果正数a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（ A ） Ａ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｂ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｃ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一 Ｄ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一
∴ x+y的最小值为24.
此 解 法 是 否 正 确
多次利用均值定理时,不要忽视“相等”
4 9 3.已知正数x、y满足 1 ,求x+y的最小值. y x
正解：
4 9 x y ( x y )( ) y x 4x 9 y 13 y x 4x 9 y 2 13 25 y x
运用均值定理解题的错解剖析与常用技巧
霸一
高
中
版
翱》求函数ｙ一２２２＋詈（ｚ＞ｏ）的最小值．
解：ｙ一２２２＋差＋熹≥３√２ｚｒ ３２。・五３一＿虿３～３ ３百（当且仅当２２２一
鹜鬻纛黧震鬻一
暑时取等号）． ／Ｚ
嗣静设ｚ＞一１，求函数ｙ—ｈ＋兰￥季＋２’的最小值．
解：ｙ一‘‘ｚ＋１’＋。４２＋Ｅ１（ｚ＋１’＋１］一ｚ＋１＋ｉ各＋５≥
一ｊ整鳞警漤黍尝鬻ｌ攀≮豢熬黎≯渗 灞鬻酾螨
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万方数据
运用均值定理解题的错解剖析与常用技巧
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 阮丽丽， 周友良
中学生数理化（高中版） MATHS PHYSCICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS (SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2005(10)
固，瓠．ｒＥ时∥爿≤黧型篡；蓉篡麓．
误解：拿到题很容易？到薯竺竺以有
正解：由题意可知ｙ一萼＋萼＋嘉≥√萼・警・≯１一
圈穆姆躲比躲锻，目煅桃果篙淼二㈤班陈海存
万方数据
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喜俪ｆ当且仅当萼一当时取等号）．所以当ｚ一孕，了…一生警匿．
剿渗已知ｚ＋２ｙ一１，ｚ，３，∈Ｒ＋，求ｚ２ｙ的最大值．
本文链接：/Periodical_zxsslh-gzb200510009.aspx
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（１）注意“正数，，
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锄静求函数ｙ—ｚ＋睾的值域．
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利用均值定理求最大(小)值的几个技巧
利用均值定理求最大(小)值的几个技巧白国军【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2000(000)005【摘要】最大（小）值问题是一类很典型的题目,是高考的热点之一,有关这类题目的处理涉及很多教学方法,其中利用均值定理便是众多方法中常用的一种。
由于这种方法在应用中经常需要技巧,所以初学者不易掌握,本文拟介绍这一方法在解最大（小）值问题时的一些具体技巧。
所谓均值定理,就是"n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数",即若:a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,…,a<sub>n</sub>∈R<sup>+</sup>,则有（a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+…a<sub>n</sub>）/n≥（a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>…a<sub>n</sub>）<sup>1/n</sup>,当且仅当a<sub>1</sub>=a<sub>2</sub>=a<sub>3</sub>=…=a<sub>n</sub> 时,不等式取"="号。
新大纲对这一定理只要求掌握 n=2,3的情况。
这一定理在实际解题时,可用来求解"和"的最小值或"积"的最大值,当然必须有几个前提条件。
巧用均值定理求函数最值
巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。
首先，我们先来了解一下均值定理。
均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。
因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。
比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。
实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。
当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。
但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。
小议均值定理中的易错题型
分 析：在函数式中，三因式 、 、一 的和 （一 ） 一 （ ） 一 常数。用配系数法将 函数 变为 ’ ’ 一 ），此时 ２ ＋ １ ＋ １ ２ （ １ （ ） （一 ） 一
：， 可 最 。 ２ 便 求 值了
解：（ 配系数法 ） 因为 Ｏ ＜ ， 以 １ ＞ ＜ ｌ 所 －ｘ ０，故 ＝ Ｏ ｘ — ）＝
： 职复 舭１１ 剃 谢高考用 ．学出 高习 ￣０７ ：－版 ２３ 科术 ０－ 技） ０
示范规范。表象训练要有适合的条件和环境 ， 体育教学中运 用表象 在 训练时应先要让学生进行恢复性心理训练 ，让学生身体放松 ，调节呼 吸 ，集中注意力 ，以增加充足的心理活动能量 ，另外要避免在 阳光直
作者简介 张洁 （ ９８ １７一），硕士研究生。研究方向：体育教育训练
学。 （ 牧稿 日期 ：２ｌ 一 ３ ２ ） Ｏ Ｏ ０ — ３
版 社 ． １ ９ ９６
象知识的传授 ，而没有进行表象能力 测试 。
４ 在体育教学中运用表 象训练应注意的问题
［ 陈敏 表象训练与运动操作关 系的理论综述田． ３ 】 体育科学，１９ ９１ ４ ２６ ９ －２
【 Ｓ ｉ ．Ｉ ｇ ｒ［ ． ｎ ｂ ｏ ｆ ｓ ｒｈＯｎ Ｓ ｏｔ ｓｃ ｏ ｇ ４ 】 ｕｎ ｍａ ｅ Ｍ］ Ｈａ ｄ ｏ ｋｏ Ｒｅ ａｃ ｐ ｒ Ｐｙ ｈ ｌ ｙ ｎ ｙ ｅ ｏ
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如何利用均值不等式求最值的解题思路
文章标题：深度剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在解决数学中的最值问题时，均值不等式是一种十分重要的工具。
通过合理运用均值不等式，我们可以更加简洁地解决各种最值问题。
在本文中，我们将深入探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并且通过具体的例子和理论分析，逐步揭示其中的奥妙。
1. 了解均值不等式的基本概念我们需要了解均值不等式的基本概念。
均值不等式是数学中的一个重要定理，它指出了若干个非负数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，而几何平均数又大于等于它们的调和平均数。
这一定理为我们解决最值问题提供了重要的数学基础。
2. 利用均值不等式求解具体问题接下来，我们将通过具体的例题来展示如何利用均值不等式来求解最值问题。
假设我们需要求解一个函数的最小值，而这个函数必须满足一定的条件。
这时，我们可以首先利用均值不等式对这个函数进行变形，使得我们可以更加方便地找到最小值点。
通过逐步展开和演算，我们可以将问题简化，最终得到最小值的具体解。
3. 回顾与总结在本文中，我们深入探讨了如何利用均值不等式来求解最值问题。
通过分析均值不等式的基本概念和具体应用，我们可以更好地理解这一数学工具的作用和价值。
通过丰富的例题和细致的论证，我们可以清晰地掌握利用均值不等式解题的思路和方法。
在我们的个人观点中，我们强调了均值不等式在解决最值问题中的重要性，并指出了在实际运用中需要注意的细节和技巧。
总结起来，通过本文的阅读，读者可以更加深入地理解利用均值不等式求解最值的思路，并且能够更加灵活地应用到具体的数学问题中。
希望本文能够为读者提供有益的启发和帮助，使他们在数学学习和解题过程中更加游刃有余。
深入剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在数学问题中，求最值是一个常见的问题。
而在解决最值问题时，均值不等式无疑是一个重要的工具。
它不仅可以帮助我们更加简洁地解决最值问题，还可以提高我们的解题效率。
在本文中，我们将进一步深入地探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并结合具体的例子和理论分析来展示其奥妙之处。
应用均值定理求最值得一类误解
应用均值定理求最值得一类误解利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。
但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。
从而造成题目的误解甚至是错解。
下面就两道题目谈一下这类问题的解法。
题目1：已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)∴≤，∴xy≥64题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0,且∴xy=2x+8y≥=8∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)∴≥2≥2×8=16.∴的最小值是16.经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4∴的最小值是64，的最小值是20,显然，题2的结果是错误的。
错误的原因在哪里呢？在题2的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。
下面给出题2 的正确解法：方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。
方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝∴(x-8)(y-2)=16(定值)，∴(x-8)(y-2) ≥＝8。
当且仅当x-8= y-2时成立。
∴≥18。
方法三：∵＝1，∴。
∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。
∴＝x+=≥,当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。
∴的最小值为18。
由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。
所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。
下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。
练习：已知x、y是正实数，且。
求的最小值。
答案：（）min＝9。
均值定理求最值常见问题剖析
例1、求函数f(x)＝x＋(x＜0)的最值.
对于本题，初学者常犯以下错误：
错解：由均值定理，f(x)＝x＋＝2
故f(x)有最小值为2.
但很明显，当x＜0时，f(x)的值为负数，最小值不可能是正数！问题就出在“x＜0”上.
例2正确解法是：
正解：f(x)＝x＋
当且仅当，即x＝时取等号
即f(x)的最小值为.
这里显然有＜2.
三取等.这也是均值定理求最值的一个重要条件，如果不能取到等号，就不能称其为最值，这一点大家心里都明白，但往往在解题中被忽略，应该引起高度重视.
例3、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最小值.
错解：记x＋＝t，∵x＞0，∴t＞0(满足正数条件)
例4、已知a＝x2＋y2，b＝m2＋n2，其中x，y，m，n均为正实数，求mx＋ny的最大值.
错解：f(x)＝x＋
当且仅当x＝且x＞0时，即x＝1时取等号
此时，f(x)＝2
故f(x)的最小值为2.
这里错就错在使用均值定理后，乘积不是定值！
许多同学对这里的“定值”要求不甚理解，认为只要不等关系成立，而且能够取到等号，就应该是最值了。其实这又是一个很隐蔽的错误.如图分别是函数f(x)＝x2和g(x)＝2x－1的图像，他们相切于点(1，1)，即使说当x∈R时，恒有f(x)≥g(x)且当x＝1时等号成立，但f(x)的最值显然不在x＝1处取得.
所以，f(x)＝t＋≥2(定值条件也符合)
所以f(x)的最小值为2.
这种解法的错误就是忽略了等号成立的条件，由x＞0，有t＝x＋≥2
正确使用均值定理
正确使用均值定理均值不等式在中学数学中应用非常广泛,尤其是在证明不等式、求函数最值时经常用到,但一定要注意每个均值不等式使用的前提条件及等号成立的条件,否则容易出现错误。
通过举例,对学生在应用定理解题时常见的几种错解进行分类、分析,探求错误思维的原因,同时给出正确解法加以比较,进一步明确应用的前提条件及等号成立条件在检验定理是否运用得当的重要性和必要性。
本文针对学生在应用均值定理解题时常出现的错误思路进行剖析,并阐述思维定势对解题思路的正负迁移影响。
以帮助学生克服思维定势的消极影响,正确理解、运用数学定理解题。
笔者在教学中做过一点简单尝试,有意识地设置一些形同质异的问题,让学生去分析、对比、鉴别、归纳。
例(1)求函数y=的最小值。
分析:观察函数结构,化为y=+,由均值定理知,当且仅当y==,即x=0时,函数取得最小值ymin=2。
例(2)求函数y=的最小值。
分析:观察函数结构形式与例(1)相同,化为y=+,由均值定理知,函数取得最小值ymin=2。
例(2)解答看似正确,其实是错解。
在运用均值定理≥时,应特别注意要同时满足“正、等、定”三个条件:①正:a,b均为正实数;②等:当且仅当a=b,取等号;③定:a·b=定值,a+b取得最小值2;a+b=定值,a·b取得最大值(a+b)2。
例(2)之所以错解,是因为只符合“正”、“定”两个条件,而不符合“等”的条件。
要取等号,当且仅当=,即x2=-1,但此式不成立。
而学生往往误认为:只要结构形式相同,解题方法也必定相同,却忽视了定理应用的条件。
这正是学生思维定势的一种反应,也是解题时误识的通病所在。
对于例(2),如何求解?可考虑换个思维角度。
譬如利用函数的单调性:函数y=x+在(0,1)上是单调递减函数,在(1,+∞)上是单调递增函数。
正解:函数化为y=+,因函数关系确定,则函数值域可由自变量取值范围确定。
令t=y=,则y=t+(t≥),利用y在[,+∞上的单调递增性,知:当t=,即x=0时,函数取得最小值ymin=+=。
3.2均值不等式—最值问题
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 4 2 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
s 4
例题：求函数
y x 3 2x 0 x 1
s 4
求最值要注意三点：
⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立
练习：求函数
以及此时x的值。
- 2 x2 + x - 3 f ( x) = , ( x > 0) 的最大值， x
1. 均值定理： ab ab 如果 a, b R，那么 当且仅当 a b 时，式中等号成立 2. 定理：(重要不等式）
最值定理： （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 2 4 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
的最大值为________________.
例题、(1)一个矩形的面积为100 m ，问：这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36 m.问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
2
小结：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2
3.2 均值不等式的应用— 最值问题
均值不等式常见错解及解决办法
For personal use only in study and research; not forcommercial use例析均值不等式常见错解及解决办法运用均值不等式a b +≥*,a b R ∈，当且仅当“a b =”时取等号）是求解最值的一种常用方法，也是高考考查的重点内容之一．笔者在教学中发现，不少同学在使用时不能很好的抓住本质要求，造成了很多不该发生的错误．本文就教学过程中的几个典型问题举例说明．例1 已知01x <<，求4lg lg y x x=+的最值．错解 ∵4lg 4lg x x ⋅=为定值， ∴4lg 4lg x x +≥=， ∴4lg lg y x x=+的最小值为4． 错解剖析 虽然4lg 4lg x x ⋅=为定值，但是因为01x <<，lg 0x <，所以此时不能直接应用均值不等式，需要将负数转化为正数后再使用均值不等式．正解 ∵01x <<，∴lg 0x <，lg 0x ->， ∴4(lg )4lg y x x -=-+≥-，即4y ≤-，当且仅当4lg lg x x-=-即1100x =时等号成立， ∴4lg lg y x x=+的最大值为4-． 例2 已知0x π<<，求2sin sin y x x=+的最小值．错解 ∵0x π<<，∴sin 0x >，∴2sin sin y x x=+≥ 错解剖析 本题虽有2sin sin x x ⋅为定值2，但是2sin sin x x =不可能成立，所以等号成立前提下的最小值正解 设sin x t =，则2y t t=+ ((0,1])t ∈，易证函数2y t t =+在(0,1]t ∈上是减函数， ∴1t =即2x π=时，函数的最小值为3． 例3 已知490,0,1,x y x y>>+=求x y +的最小值．错解 由491x y +=≥144xy ≥，再有x y +≥24x y +≥， ∴x y +的最小值为24．错解剖析 运算过程中两次用到了均值不等式，但是两次运用时等号成立的条件并不一致（491x y +=≥8,18x y ==，而x y +≥x y =）从而24x y +≥中的等号不可以取到．而若采用代换便可以只使用一次均值不等式得出结果．解法一 4994()1()()133625x y x y x y x y x y y x +=+⋅=++=++≥+=， 当且仅当94x y y x =且491,x y+=即10,15x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为25． 解法二 ∵491,x y +=∴94x y x =-， ∴9936363636913(4)4444x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=+-+----， 又∵904x y x =>-且0x >，∴40x ->，∴3613(4)13254x x +-+≥+-， 当且仅当3644x x -=-，即10x =时等号成立（0x >），此时15y =，x y +的最小值为25． 解法三 ∵490,0,1,x y x y >>+=设224csc ,9sec x y θθ==(,)2k k Z πθ≠∈， ∴22222244csc 9sec 44cot 99tan 13(9tan )tan x y θθθθθθ+=+=+++=++1325≥+=， 当且仅当2249tan tan θθ=，即22tan 3θ=时等号成立， 此时2224csc 4(1cot )10,9sec 15x y θθθ==+===，∴x y +的最小值为25．例4 已知22224,9a b x y +=+=，求ax by +的最大值．错解 ∵22222,2a x ax b y by +=+=， ∴222213222a x b y ax by +++≤+=, ∴ax by +的最大值为132． 错解剖析 取到最大值132的前提是a x =且b y =，但是此时2222a b x y +=+，即49=，显然等号不能成立，所以本题不能直接运用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解决．解法一 令2cos ,2sin ,3cos ,3sin a b x y θθϕϕ====，∴6cos cos 6sin sin 6cos()ax by θϕθϕθϕ+=+=-，∴ax by +的最大值为6．解法二 令(,),(,)m a b n x y ==，由平面向量的数量积的性质||||m n m n ⋅≤，得6a x b y +≤，当且仅当m 和n 同向，即ay bx =时等号成立（注意：不能表示为a b x y=）， ∴ax by +的最大值为6．解法三 由柯西不等式2222211221212()()()m n m n m m n n +≤++，可知 22222()()()36ax by a b x y +≤++=，即66ax by -≤+≤， ∴ax by +的最大值为6．可见，在应用均值不等式求解最值时，应该时刻注意“一正”、“二定”、“三相等”这三个条件，必须充分理解并掌握这些要点，并且要在解题时注意灵活运用．类题练习：1． 若1,01,a b ><<则log log a b b a +的取值范围是 ．2． 求函数2y =3． 已知0,0x y >>，且21x y +=，求11x y+的最小值．4． 已知1,9a b c x y z ++=++=，且,,,,,a b c x y z 最大值为 ．5 23．3+4．3参考答案：1．(,2]-∞-2．仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧(精)
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
平均值定理求最值问题和为定值求最值的问题
平均值定理求最值问题和为定值求最值的问题和为定值求最值的问题最值问题在数学运算的各个专题中显得与众不同。
因为它没公式没概念，不像行程问题之类需要记公式和概念。
但它却是数学运算中较难的一个专题。
很多考生对于最值问题不知道如何下手。
既然最值问题没有公式概念，因此解题思路就显得格外重要了。
好在最值问题的解题思路还是较为模式化的。
下面我们来通过例题具体谈谈最值问题的解题思路。
在今年的国考中有这样一个题型【例一】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。
如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？A.2B.3C.4D.5【答案】C 解析：和定最值问题，问排名最后的最多，则让其他城市的最少。
因为其他的最少，并且每个城市的数量各不相同，所以气死个人城市的数量依次为13.14.15.16按照由小到大的顺序排列设个城市一二三四五六七八九十16 15 14 13 12 x+2 x+1 x x-1 x-2 所以16+15+14+13+12+x+2+x+1+x+x-1+x-2=100，解得x=6.所以最少的城市最多有x-2=4家店。
我们可以思考一下，对于一个数求它的最大值（最小值），就是让其他的数尽可能的小（大）。
当题干中有各不相同时，要满足上面的问题，就代表这他们之间一定是差一的一个等差数列是最为吻合的情况。
【例2】5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重量最轻的人，最重可能重（）A.80斤B.82斤C.84斤D.86斤解析：5个人的体重之和是423斤，为一个定值。
要求第5名的体重最重，即要其他4个人的体重尽量的轻。
假设第5名得体重为x；第4名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第5名，因此第4名最少为x+1；第3名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第4名，因此第3名最少为x+2；第2名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第3名，因此第2名最少为x+3,；第1名得体重要尽量的轻，但是再轻不能轻过第2名，因此第1名最少为x+4。
如何使用均值定理求函数的最值
均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。
因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。
我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。
下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。
1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。
解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。
又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。
点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。
例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。
因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。
因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。
因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。
均值定理9大题型总结陈剑
均值定理9大题型总结陈剑一、概述均值定理是微积分中的重要概念之一，它是导数与积分之间的桥梁。
均值定理的核心思想是通过求取函数在某个区间上的平均值，来推导函数在该区间内某一点的特殊性质。
本文将对均值定理的9大题型进行总结和探讨，以帮助读者更好地理解和应用均值定理。
二、均值定理的基本概念在探讨均值定理的九大题型之前，我们首先需要了解均值定理的基本概念。
均值定理主要包括三个基本定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三个定理都是基于函数在某个区间上的平均值来推导函数在该区间内某一点的性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理中最基本也是最常用的一个定理。
它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于函数在整个区间上的平均斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广。
它表明，如果两个函数在某个区间上连续且可导，并且其中一个函数在该区间内不为零，那么在这个区间内一定存在一个点，使得两个函数的导数之比等于两个函数在整个区间上的函数值之比。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是均值定理中的另一个重要定理。
它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，并且在该区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于零。
三、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是均值定理中最常用的一个定理，它可以应用于求解函数的极值、判断函数的单调性等问题。
1. 求解函数的极值通过拉格朗日中值定理，我们可以将函数的极值问题转化为导数的问题。
具体步骤如下： 1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并令导数等于零； 3. 解方程，求出导数为零的解； 4. 将解代入原函数，求出对应的函数值；5. 比较函数值，得出极值。
通过拉格朗日中值定理，我们可以判断函数在给定区间上的单调性。
具体步骤如下：1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并求出导数的符号变化区间； 3. 根据导数的符号变化，得出函数的单调性。
均值定理在求最值中的应用
例 ５ 已知 ＋ 一 （ ０ｙ ｏ ， ｘ 的最小值 ２ｘ ， ）求 ｙ ＞ ＞
ｘ
穹 鱼 ｘ 小ｘ＋－ ＝ ＋ （） ＋ －Ｅ ２ １＿ ｘ
＞ ｏ
解‘，．｝ ≥／・＿ ＞ ｏ０ ＋ ２ ’ ２ ０ 】ｙ ・ 、 、 。 ‘＞２ ＞ ・ ‘ ． ＝ ｙ Ｖ ／
ｘ ｌ ％
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例 ４ 求函数 ｙ ＝
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当 扛、 取 号． ｝的 值 间 ：、 ， ） ／ 时 等 ・ ． 取 区 为 ／ ＋
了均值定理在解题中的运用 。经过适当 练习， 记住使用条件 ， 相信大部分学生都可以理解和掌握 。
（ 上接 ８ ４页 ） 助学 生理解概 念 、 进行 自主学 习 的环境 ， 激发 学生 主动 计算 等等它们 的正确 与否对 企业将 产生重 大影 响 ， 以会 计人员 不愿让 所 探索 的愿望。 网络 和课件为学 生提供充 分 自主学 习的手段 ， 也应是 现代 实 习学生亲 自操作 ， 往使得 社会 实践流 于形式 。在模拟 实验 的手工操 往 教育技 术努力和发展 的方 向。 作 中， 以班为单 位派专 职教师 辅导 ， 每个学 生做一 套账 ， 条件 的还 可 以 有 设计一 个模 拟银 行 和税务 局使 学 生对结 算业 务 和报税 程序有 更好 的 了 ２４ 虚 拟 现 实 教 学 ．
利用导数和均值定理求解电场最值问题
的场强为：E1=E2=k
Q r2
由平行四边形定则又可知 P 点的场强为：
E=2E1sin兹
由以上三式可得：E=
2kQ L2
sin兹cos2兹 求解 E
极值方法如下：
方法
1：E =
2kQ L2
（sin兹-sin3兹），注 意
2kQ L2
为
常数，所以可设 y=sin兹-sin3兹，当 y 的导数为 0
【责任编辑 韩梁彦】
2018 年 第 14 期 / B（05） 31
教育实践与研究
图1
图2
如图 1 所示，相距为 2L 的两个相同的点电 荷，带电量均为+Q，在两点电荷中垂线 OA 上取 一点 P，设 P 点和电荷连线与两电荷连线之间
的夹角为 兹，0约兹约 仔2 （见图 2），由几何关系可知 P 点到两电荷的距离均为：r=L/cos兹
4
姨 9
3
kQ L2
，可见当
兹=arcsin
姨3 3
时，电场强度达到最大值。
方法
2： 由
E=
2kQ L2
sin兹cos2兹， 可 设
y=
sin兹cos2兹 则 y2=sin2兹cos4兹=sin2兹cos2兹cos2兹，我们知
道 y2 与 2y2 有相同的极值，为方便以下我们讨
论 2y2 的极值。
2y2=2sin2兹cos2兹cos2兹=（2-2cos2兹）cos2兹cos2兹 臆
据力度不足或不够，就容易使一些学生对该知 识的认识模棱两可，故只好死记硬背。那么从 O 点到无穷远，电场强度的变化是否有可能出现 其他情况呢？本着严谨治学的态度，我们对其进 行定量分析如下。
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当且仅当x＝且x＞0时，即x＝1时取等号
此时，f(x)＝2
故f(x)的最小值为2.
这里错就错在使用均值定理后，乘积不是定值！
许多同学对这里的“定值”要求不甚理解，认为只要不等关系成立，而且能够取到等号，就应该是最值了。其实这又是一个很隐蔽的错误.如图分别是函数f(x)＝x2和g(x)＝2x－1的图像，他们相切于点(1，1)，即使说当x∈R时，恒有f(x)≥g(x)且当x＝1时等号成立，但f(x)的最值显然不在x＝1处取得.
例4、已知a＝x2＋y2，b＝m2＋n2，其中x，y，m，n均为正实数，求mx＋ny的最大值.
正解：f(x)＝－(－x－)
∵x＜0，故－x＞0，－＞0
∴由均值定理，－x－＝2
∴f(x)≤－2
即f(x)有最大值－2.
二定：指的是“定值”，即“如果两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；如果两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.”
例2、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最值.
现在有了导数，本题的解决不应该是什么问题，但许多同学还是觉得均值定理方便好用，于是出现下面的错误：
一正：指的是欲施行均值定理的两个数（代数式）必须要保证值为正，否则大小关系可能逆转.特别对于代数式的情况，正负取值比较隐蔽，不易判断时，更要多加小心.
例1、求函数f(x)＝x＋(x＜0)的最值.
对于本题，初学者常犯以下错误：
错解：由均值定理，f(x)＝x＋＝2
故f(x)有最小值为2.
但很明显，当x＜0时，f(x)的值为负数，最小值不可能是正数！问题就出在“x＜0”上.
所以，f(x)＝t＋≥2(定值条件也符合)
所以f(x)的最小值为2.
这种解法的错误就是忽略了等号成立的条件，由x＞0，有t＝x＋≥2
而t＋≥2等号成立的条的.
本题正确解法应该是在换元后，由t≥2再根据函数f(t)＝t＋的单调性得到最小值为
当且仅当t＝2，即x＝1时等号成立.
例2正确解法是：
正解：f(x)＝x＋
当且仅当，即x＝时取等号
即f(x)的最小值为.
这里显然有＜2.
三取等.这也是均值定理求最值的一个重要条件，如果不能取到等号，就不能称其为最值，这一点大家心里都明白，但往往在解题中被忽略，应该引起高度重视.
例3、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最小值.
错解：记x＋＝t，∵x＞0，∴t＞0(满足正数条件)
均值定理求最值常见问题剖析
四川省成都市新都一中(610500)肖宏
现行高中数学教材中，对“两个正数的算术平均数不小于几何平均数”这一结论称为“重要不等式”，又称为“均值定理”或“基本不等式”，即“若a，b∈R＋，则”.利用这一定理不但可以证明有关代数式的不等关系，我们也可以用它来求一些简单函数的最值，但需要特别小心的是：用均值定理求最值必须满足“一正、二定、三取等”，任何一条不满足都可能使得所求的值不是“最值”.以下举例说明：