全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

类型一：由角平分线想到构造全等

不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的．

1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．

图 1 图 2

2．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．

图 7

类型二：勾股定理的逆定理的运用

3．如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P与点之间的距离为________，∠APB=________．

图 8 图 9 4．如图4，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．

图 10 图 11

5．如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，则CD的长是

A．5 B．6 C．7 D．8

图 16 图 17

1解析：由题意得

△BFE≌△DFE，∴ BE=DE，

在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°，

∴∠BDE=∠DBE=45°，

∴∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8，

过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，四边形AGED是矩形∴ GE=AD=2，

在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE，

∴ Rt△ABG≌Rt△DCE，∴ BG=CE，∴，∴ BE=5．

2解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n，

则c+n=b+m，c-b=m-n，∵ AD⊥BC，根据勾股定理，得

，

∴，

，

∵ c+b＞m+n，

∴ c-b=0即c=b，

∴ AB=AC．

3解析：如图9，连结，是由旋转得到的，所以≌所以. .

所以三角形是等边三角形，．

则在三角形中．

所以是直角，．

4解析：如图11，显然△ADC是等边三角形，以BC为边向右侧作等边三角形，则BC=BE，连接AE，则可证明△BCD≌△ACE，所以AE=DB，∠ABC+∠CBE=90°，

根据勾股定理有，即．

5解析：如图17，延长CE交DA的延长线于F，则容易证明△BEC≌△AEF，

于是可得到∠DCE=∠BCE=∠AFE，所以△FCD是等腰三角形，所以CD=AD+AF=7．