固体物理第五章 晶体中电子在电场与磁场中的运动

2 2E / 0 0 2 k x m xx 0 0 2 E 2 0 m 0 0 / 0 yy 2 k y 0 0 m zz 2 E 2 0 0 / 2 k y
2 2 2 2

2 2 t]
k 2 2
,
波包函数为：
[ 取u k0 k (r) u k0 (r)]
2 2 ik [ r ( k E)k0 t ]
( r, t) dk x dk y dk z k0 k ( r, t) u k0 ( r )e
( r, t)
2
i[ k 0 r
E( k 0 )

2 2
dk x dk y ( r )
2
sin u u
sin v v
1 E ( ) k0 t k y
2
sin w 6 w
第五章：晶体中电子在电场和磁场中的运动
在前面四章基本理论的基础上，从本章开始研究晶体的 电学、磁学和光学性质等。后面几章的内容属于专题和应用的 性质。本章从内容上分为： 4-1 准经典运动 4-2 恒定电场电场作用下电子的运动 4-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4-4 恒定磁场中电子的运动
*4-5 回旋共振
*4-6 德.哈斯-范.阿尔芬效应
5.1 准经典运动
晶体中电子的运动严格地讲是量子的，但在这里采取准经典近似。
1. 波包和电子速度：
所有动量和坐标有近似数值，由测不准原理限制。 波包是指该粒子空间分布在r0附近r范围, 动量取值在 k
在量子力学中一个态的经典描述近似成立，用波包来代表该态。
近 k 范围内， k r / 2 ，波包中心r0为粒子的位置， 中心 k 0 称粒子的动量。
k E dk ，则： k E dk F v k dt
将 k E vk
代入，得：
(
在平行vk方向，
d ( k) F dt
dk F dt
dk F) v k 0 dt
在垂直方向有类似的关系 ，则
在恒定外力作用下，电子在k 空间做匀速运动，与经典规律相比， 具有动量 k 性质，称准动量，不同于动量，因不是动量算符 的本征值。 基本的方程: 1 d
线度 2/a, 则波包线度2/ 远大于
原胞尺度，只有在这个限度内把电 子看作准经典粒子。 因子 u (r )
k0 2
只使得波包出现精细结构。
电子看作准经典粒子，其速度为k0时的平均速度。带顶和带 底电子速度为零, 不同于自由电子速度随k增大单调增大。
2. 外力作用下状态的变化和准动量
外力在dt内对电子做的功为：F v k dt ,引起电子内能的变化为：
3. 加速度和有效质量
A. 加速度dv/dt为：
vk
( k E)k
dt
( k) F
dk E(k) dv d 1 E(k) 1 1 ( ) ( ) 2 dt dt k dt k k
2 F E(k) k k
2 2 2E E E k 2 k x k y k x k z x v x 1 2E 2E 2E y 2 v 2 k y k x k y k z k y v z 2E 2E 2E 2 k k k k k z x z y z
v(k ) 1 dE 2 J 1a sin ka dk
有效质量
2 d E 1 * 2 m (k ) ( ) 2 dk 2 ( 2 J 1a 2 cos ka) 1

在恒定电场作用下： dt
dk
F
１）电子在k空间做匀速运动， 设力沿轴正方向。经典理论中电 子运动限制在带内，E(k)随时间 周期变化 ２）电子速度随时间振荡 ３）m*>0, 外力大于周期 势场的作用，外力使 电子速度增大
量，加速度与外力方向可
以不同，有效质量把周期 性势场的影响包含 在其中。
有效质量在带顶和带底化
为标量。
5.2 恒定电场作用下晶体中电子的运动
以紧束缚近似为例，一维简单近似下：
E i (k ) i J 0 2J1 coska
如果J1>0, k = 0点为带底
k = /a点为带顶 电子速度
在此，公式中可以没有
！,只是为了表示的方便？
sin x 当x 0, 1 波函数主要集中在u = v = w = 0，即 x
1 波包中心在 r0 ( k E)k 0 t 把波包看作一个粒子，其速度为：
vk 0
前面很小，指远小于布里渊区的
1 ( k E ) k 0
1 E ( )k t k z 0
2
其中
u x
1 E ( ) k0 t k x
v y
w z
事实：
u
1 1 E [x ( )k t] 2 k x 0
v
1 1 E [y ( )k0 t] 2 k y
w
1 1 E [z ( )k0 t] 2 k z
晶体中用Block波组成波包，包含不同E态，Bloch波表示为：
'
0
附
k ' ( r , t) e
'
ik [ r
E( k ' )
t]
u k' ( r )
用k0附近的k组成波包，令k’=k0+k, k很小， E(k’)按k展开：
E(k ) E(k0 ) k (k E)k0
组成波包时k限制在
Fx Fy F z

与牛顿定律类比：
dv 1 F dt m
二阶张量代替 效质量张量：
m*
2
1
m*
称二阶张量为倒有效质量张量。引入有
若 沿主轴方向， 倒有效质 量对角化，有效质量是张
2E , ,=x,y,z k k