秋高一数学课后强化练习： 集合之间的关系人教B必修
人教B版高中数学高一必修1学业测评集合之间的关系
学业分层测评(三) 集合之间的关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有()A．1∉A B．0⊆AC．∅⊆A D．{0}⊆A【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C正确．【答案】 C2．已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为()A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵集合N＝{1,3,5}，∴集合N的真子集个数是23－1＝7个，故选C.【答案】 C3．集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m ＝()A．2 B．－1C．2或－1 D．4【解析】∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.【答案】 C4．下列命题： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A ，则A ≠∅.其中正确的个数是( )【导学号：97512004】A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集．【答案】 B5．集合M ＝x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋13，k ∈Z ，N ＝x ⎪⎪⎪x ＝k ＋13，k ∈Z ，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ∅【解析】 ∵M 中：x ＝k 2＋13＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋13，k ＝2n ，n ∈Z ，n ＋56，k ＝2n ＋1，n ∈Z .N 中：x ＝k ＋13＝n ＋13，k ＝n ∈Z ，∴N ⊆M . 【答案】 C二、填空题6．设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，则a ＋2b ＝________. 【导学号：60210011】【解析】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ＝{1，a ，a ＋b }，而a ≠0，∴a ＋b ＝0，ba ＝－1， 从而b ＝1，a ＝－1， 可得a ＋2b ＝1. 【答案】 17．已知集合A ＝{x |1＜x －1≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.【解析】 ∵A ＝(2,5]，A ⊆B ，∴5＜a ， 又a ∈(c ，＋∞)，∴c ＝5. 【答案】 58．集合A ＝{x |1<x <6}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为________．【解析】 ∵A ＝{x |1<x <6}，B ＝{x |x <a }，由A ⊆B ，结合数轴可知a ≥6.【答案】 {a |a ≥6} 三、解答题9．已知A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |x ＜a }．(1)若B ⊆A ，求a 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．【解】 (1)因为B ⊆A ，B 是A 的子集，由图(1)得a ≤3.(1)(2)因为A ⊆B ，A 是B 的子集，由图(2)得a ≥3.(2)10．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．【解】 (1)对于任意实数b 都有A ⊆B ，当且仅当集合A 中的元素为1,2.∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴⎩⎨⎧a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎨⎧a －4＝2，a ＋4＝1，解方程组可知无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)易知若A ⊆B ，则⎩⎨⎧a －4＝1，a ＋4＝b ，或⎩⎨⎧a －4＝2，a ＋4＝b ，或⎩⎨⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1，或⎩⎨⎧a －4＝b ，a ＋4＝2，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝10，或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－7，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－6.则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．[能力提升]1．已知集合A 满足{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4}，则集合A 的个数为( ) A ．8 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由题意，集合A 可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.【答案】 D2．下列四个集合中，是空集的是( ) A ．{x |x ＋3＝3}B ．{(x ，y )|y 2＝－x 2，x ，y ∈R }C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R }【解析】 根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0；对于选项B ，(0,0)是集合中的元素；对于选项C ，由于x ＝0成立；对于选项D ，方程无解．故选D.【答案】 D3．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a 、b 、c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a 、b 、c 是等差的．若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2 016，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M .则：(1)“好集”P 中的元素最大值为__________________； (2)“好集”P 的个数为______________________．【解析】 (1)∵1a ＋1b ＝2c ，且a ＋c ＝2b ，∴(a －b )(a ＋2b )＝0，∴a ＝b (舍)，或a ＝－2b ，∴c ＝4b ，令－2 016≤4b ≤2 016，得－504≤b ≤504，∴P 中最大元素为4b ＝4×504＝2 016.(2)由(1)知P ＝{－2b ，b,4b }且－504≤b ≤504，∴“好集”P 的个数为2×504＝1 008.【答案】 (1)2 016 (2)1 0084．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |m －2＜x ＜2m －3}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围.【导学号：60210012】【解】 ∵集合A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |m －2＜x ＜2m －3}，且B ⊆A ，∴当B ≠∅时，应有⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－3，2m －3≤5，m －2<2m －3，解得1＜m ≤4.当B ＝∅时，应有m －2≥2m －3，解得m ≤1. 综上可得，实数m 的取值范围为(－∞，4].。
人教B版数学高一版必修1学案集合之间的关系
课堂导学三点剖析一、子集、真子集、集合相等的概念【例1】判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.(1)对任意的集合A,有∅ A.(2)如果A⊇B且A≠B,那么B必是A的真子集.(3)如果A=B,则集合A是集合B的子集,但一定不是B的真子集.(4)如果对任意的x0∈A,都能得到x0∈B,则集合A是集合B的真子集.思路分析:紧扣子集、真子集的概念,空集的性质.解:(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.此处没说集合A是否非空,因此说法错误,应有∅⊆A.(2)集合B是集合A的子集,实际上有两种可能:一是B是A的真子集;二是集合A与集合B 相等.∵A⊇B,又A≠B,∴B必是A的真子集.故此说法正确.(3)由A=B知A⊆B且B⊆A.A、B两集合的元素完全相同,A中的任一元素必是集合B中的元素,但集合B中不存在元素属于B但不属于A.故集合A是集合B的子集,但不是B的真子集.故此说法正确.(4)由对任意的x0∈A,能得到x0∈B,故集合A是集合B的子集,不能确定是否为真子集.故此说法错误.二、根据两集合间的关系进行有关运算【例2】已知A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z},求证:A=B.思路分析:根据两集合相等的定义,欲证A=B,必须证明A⊆B和B⊆A两方面.证明:(1)设任意x0∈A,则x0=2n+1,n∈Z.当n为偶数,即n=2k,k∈Z时,x0=2n+1=4k+1,k∈Z;当n为奇数,即n=2k-1,k∈Z时,x0=2n+1=4k-1,k∈Z.∴x0∈B.∴A⊆B.(2)设任意y0∈B,则y0=4k±1,k∈Z,若y0=4k+1=2(2k)+1,2k∈Z,∴y0∈B.若y0=4k-1=2(2k-1)+1,2k-1∈Z,∴y0∈A.∴B⊆A.综上知,A=B.温馨提示本题同学们容易出现“令2n+1=4k±1”的错误做法.两集合相等是通过两集合间的包含关系定义的,而不仅仅是通过“它们所含元素完全相同”来定义的.从本题可以看出,这样定义具有很强的操作性.三、元素与集合、集合与集合之间的关系【例3】以下各组中的两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来.(1)0与{0};(2)0与∅;(3)∅与{0};(4){0,1}与{(0,1)};(5){(b,a)}与{(a,b)}.思路分析:首先要分清是“元素与集合”的关系，还是“集合与集合”的关系.如果是集合与集合，还要分清是什么关系.解:(1)0∈{0}.(2)0∉∅.(3)∅与{0}都是集合,两者的关系是“包含与否”的关系.∴∅{0}.(4){0,1}是含有两个元素0,1的集合;而{(0,1)}是表示以点(0,1)为元素的集合,它只含有一个元素.∴{0,1}≠{(0,1)}.(5)当a=b 时,{(a,b)}={(b,a)}.当a≠b 时,{(a,b)}≠{(b,a)}.温馨提示(1)要十分注意∈与⊆(或)之间的区别:“∈”是表示元素与集合之间的关系；“⊆(或)”是表示集合与集合之间的关系.(2)a 与{a}的区别:一般地,a 表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a 的集合.各个击破类题演练1(1)已知A={m,n,f},写出A 的所有子集,并分别求出A 的子集、真子集、非空真子集的个数.(2)已知集合A 满足{a,b}⊆A ⊆{a,b,c,d},求所有满足条件的集合A.解析:(1)集合A 的所有子集为∅,{m},{n},{f},{m,n},{m,f},{n,f},{m,n,f},∴子集的个数为23=8,真子集的个数为23-1=7,非空真子集个数为23-1-1=6.(2)∵{a,b}⊆A,∴A 中必须含有元素a 、b.又∵A ⊆{a,b,c,d},∴满足条件的集合A 有{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d},共4个.变式提升2写出集合M={a,b,c,d}的所有真子集.解析:集合A 的所有真子集为∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c}, {a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.类题演练2已知集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},若A=B,求实数x 、y 的值.解析:∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可以断定|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0.故x-y=0,即x=y,此时A={x,x 2,0},B={0,|x|,x},∴x 2=|x|.当x=1时x 2=1矛盾,∴x=-1,即仅x=y=-1.变式提升2已知集合A={x|x 2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B A,求由实数m 所构成的集合M.解析:由A={-3,2},∵B A,当B=∅时,m=0;当B={-3}时,m=31; 当B={2}时,m=21-. ∴M={0,31,21-}. 类题演练3已知A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 的关系正确的是( )A.A ⊆BB.AB C.B A D.A ∈B解析:∵x ⊆A,A={0,1}.∴x 为∅,{0},{1},{0,1}.∴B={x|x ⊆A}={∅,{0},{1},{0,1}}.∴{0,1}是B 的一个元素,即A ∈B.故选D.答案:D变式提升3已知集合A={x|x=a+61,a ∈Z },B={x|x=2b 31-,b ∈Z },C={x|x=2c +61,c ∈Z }.则集合A 、B 、C 满足的关系是( )A.A=BC B.A B=C C.A B C D.B C A 解析:先整理A={x|x=616+a ,a ∈Z },B={x|x=623-b ,b ∈Z }={x|x=61)1(3+-b ,b ∈Z },C={x|x=613+c ,c ∈Z }, ∵3(b-1)+1和3c+1都表示被3除余1的数,6a+1表示被6除余1的数,∴AB=C. 答案:B。
高一数学集合之间的关系练习题
高一数学集合之间的关系练习题题型一 子集与真子集【例1】下列四个命题：①＝Φ｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例2】用适当的符号填空⑴ {1}___2{|320}x x x -+=⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+=⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=【例3】用适当的符号填空：⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺{(2,3)}___{(3,2)}【例4】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X ∅∈D ．{}0X ⊆【例5】用适当的符号填空{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤{|2x x ≤+， ⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R典例分析【例6】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例7】已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于___．【例8】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______【例9】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【例10】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例11】若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且M T ⊇．求实数m 的取值范围．【例12】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例13】已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }，全集为R ，若A ⊂∁R B ，则实数m 的取值范围是【例14】已知集合A ＝{}20,,x x ax a x R a R -+<∈∈，Z ＝{}整数，全集为R ，若}{0A Z R ⋂⋂=，则实数a 的取值范围是 ．【例15】已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且A 、B 都是集合A BBA AB A B A ． B ．C ．D ．{}10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ⋂的“长度”的最小值是 .【例16】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.题型二 子集的列举与个数【例17】集合{1，2，3}的真子集共有（ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个【例18】已知集合},3sin|{Z n n x x A ∈==π，则集合A 的真子集的个数为 ．【例19】已知集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R ｝．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【例20】求满足条件{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数【例21】{,,}a b c A {,,,,,}a b c d e f ，求满足条件的A 的个数．【例22】集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是【例23】同时满足{1}A {1,2,3,4,5}，且A 中所有元素之和为奇数的集合A 的个数（）A. 5B. 6C. 7D. 8【例24】3、设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1n i i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1ikpi S=∑= ．【例25】求集合{,}a b 的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．【例26】（2010湖南文数）15.若规定E={}1,210...a a a 的子集{}12...,n k k k a a a 为E 的第k 个子集，其中k=1211222n k k k --+++ ，则（1）{}1,3,a a 是E 的第 个子集； （2）E 的第211个子集是_______【例27】求集合{1,2,3,,100}M =的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）． 【例28】（2006上海模拟）设S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-．求解下列问题：⑴若数列{2(1)}n ⋅-中的项都在S 中，求S 中所含元素个数最少的集合S *；⑵S 中所含元素个数一定是3()n n *∈N 个吗?若是，请给出证明；若不是，请说明理由．【例29】集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.。
人教b版高一数学必修一：1.2.1《集合之间的关系》学案(含答案)
变式迁移 1 已知集合 M 满足 {1,2} ? M ? {1,2,3,4,5} ，写出集合 M .
知识点二 集合基本关系的应用
例 2 (1)已知集合 A＝{ x|－ 3≤ x≤4} ，B＝ { x|2m－ 1<x<m＋ 1} ，且 B? A.求实数 m 的取值 范围；
－1，非空真子集的个数是 2n－ 2.
变式迁移 1 解 由已知条件知所求 M 为：{1,2} ，{1,2,3} ，{1,2,4} ，{1,2,5} ，{1,2,3,4} ，
{1,2,3,5} ， {1,2,4,5} ， {1,2,3,4,5} ． 例 2 解 (1) ∵ B? A，
①当 B＝ ?时， m＋ 1≤ 2m－ 1，解得 m≥2.
规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
变式迁移 3 含有三个实数的集合可表示为
a， ba， 1 ，也可表示为 { a2， a＋ b,0} ，求 a，
b.
1．元素、集合间的关系用符号 “ ∈ ” 或 “ ?” 表示，集合、集合间的关系用 “ ? ”、“ ＝ ” 或“ ” 等表示．
(2) 原集合
子集
子集的个数
?
?
1
{ a}
?， { a}
2
{ a，b}
?， { a} ， { b} ， { a， b}
4
{ a， b， c} ?， { a} ， { b} ， { c} ， { a， b} ， { a， c} ， { b， c} ， { a， b， c}
这样，含 n 个元素的集合 { a1，a2， , ，an} 的所有子集的个数是 2n，真子集的个数是 2n
(2)本题 (1) 中，若将“ B? A”改为“ A? B”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围．
人教B版数学高一版必修1集合之间的关系
课后训练 基础巩固1．有下列关系：①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合M ＝{1}，N ＝{1,2,3}，则有( )A ．M ＜NB ．M ∈NC ．N ⊆MD ．M N3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，那么集合M ，P 之间的关系为( )A ．P ⊆MB ．M ⊆PC ．M ＝PD ．M P4．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R }，且∅M ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥15．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的维恩(Venn)图是( )6．非空集合S ⊆{1,2,3,4,5}，且满足“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”，这样的S 共有( )A ．6个B ．7个C ．16个D ．17个7．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝__________.8．已知集合1==,42k M x x k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1==,24k N x x k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 与N 的关系是__________．能力提升9．试写出满足条件∅M {0,1,2}的集合M .10．已知集合M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值．11．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{1,2}，A ⊆B ，求实数a 组成的集合．12．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3＜x ＜5}，求能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围．13．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A＝{2,3,4}时，x的值；(2)使2∈B，B A时，a，x的值；(3)使B＝C时，a，x的值．参考答案 1．B 点拨：根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确； 由空集是任意非空集合的真子集可知∅{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点的坐标，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a ，b )}＝{(b ，a )}不一定成立，故④错误；综上，应选B.2．D3．C 点拨：集合M 和集合P 中的元素是点，满足x ＋y ＜0，xy ＞0的点在第三象限，同时满足x ＜0，y ＜0的点也为第三象限的点，所以集合M 和集合P 中的元素都为第三象限的点，因此M ＝P .4．C 点拨：∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根，即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 5．B 点拨：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}，得N ＝{－1,0}．∵M ＝{－1,0,1}，∴N M .6．B 点拨：由题意知S 是{1,2,3,4,5}的子集．又由“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”可知S ＝{1,5}或{2,4}或{3}或{1,3,5}或{2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,3,4,5}，共7种情况．故选B.7．4 点拨：∵B ⊆A ，∴4∈{－1,3，m }，∴m ＝4.8．M N 点拨：∵112=424k k ++，12=244k k ++，其中k ∈Z ， ∴12==,4k M x x k ⎧+⎫∈⎨⎬⎩⎭Z ，2==,4k N x x k ⎧+⎫∈⎨⎬⎩⎭Z . 由于1＋2k 是奇数，k ＋2是整数，故M N .9．解：由∅M {0,1,2}，知M ≠∅，且M ≠{0,1,2}．所以集合M 可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．10．解：∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴2=2,=a a b b ⎧⎨⎩或2=,=2.a b b a ⎧⎨⎩ 解方程组得=0,=0a b ⎧⎨⎩或=0,=1a b ⎧⎨⎩或1=,41=.2a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 根据集合中元素的互异性，得=0,=1a b ⎧⎨⎩或1=,41=.2a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 11．解：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .当a ≠0时，由ax ＝1，得1=x a. 又B ＝{1,2}，A ⊆B ，所以1=1a 或1=2a. 所以a ＝1或1=2a . 综上得，a 的集合是10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.12．解：由于A ⊇B ，画出符合题目条件的数轴如图所示： 故 即3≤a ≤4.13．解：(1)∵A ＝{2,3,4}，∴x 2－5x ＋9＝3.∴x 2－5x ＋6＝0.∴x ＝2或x ＝3. (2)∵2∈B ，且B A ，∴22=2,59=3.x ax a x x ⎧++⎨-+⎩∴=2,2=3x a ⎧⎪⎨-⎪⎩或=3,7=,4x a ⎧⎪⎨-⎪⎩均符合题意． ∴2=3a -，x ＝2或7=4a -，x ＝3. (3)∵B ＝C ，∴22=1(1)3=3x ax a x a x ⎧++⎨++-⎩，①，②①－②并整理，得a ＝x －5.③③代入①并化简，得x 2－2x －3＝0，∴x ＝3或x ＝－1.∴a ＝－2或a ＝－6.又a ＝－2，x ＝3或a ＝－6，x ＝－1，均符合题意， ∴a ＝－2，x ＝3或a ＝－6，x ＝－1.。
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系练习含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系练习含解析新人教B版必修第一册1.1.2 集合的基本关系最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)，读作A包含于B或B包含A状元随笔“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.知识点二真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．状元随笔在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点三集合相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．由集合相等的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.知识点四子集、真子集的性质根据子集、真子集的定义可知：(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(2)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.[基础自测]1．集合{0,1}的子集有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.答案：1题型一集合间关系的判断[经典例题]例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B (2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B 的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B 不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( ) A．M T B．M TC．M＝T D．MT(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A (2)见解析学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆C.题型二子集、真子集及个数问题[教材P11例1]例2 写出集合A＝{6,7,8}的所有子集和真子集．【解析】如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0,1,2,3.可依下列步骤来完成此题：(1)写出元素个数为0的子集，即∅；(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；(3)写出元素个数为2的子集，即{6,7}，{6,8}，{7,8}；(4)写出元素个数为3的子集，即{6,7,8}．集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}．在上述子集中，除去集合A本身，即{6,7,8}，剩下的都是A的真子集．状元随笔写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身.教材反思1．求集合子集、真子集个数的三个步骤2．若集合A 中含有n 个元素，集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.跟踪训练 2 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＝a }，使集合A 的子集个数为2个的a 的值为( ) A ．－2 B ．4C ．0D ．以上答案都不是解析：(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2,3}，{1,2，4}．(2)由题意知，集合A 中只有1个元素，必有x 2＝a 只有一个解； 若方程x 2＝a 只有一个解，必有a ＝0. 答案：(1)B (2)C状元随笔 (1)先用列举法表示集合A ，B ，然后根据A C B 确定集合C.(2)先确定关于x 的方程x 2＝a 解的个数，然后求a 的值． 题型三 根据集合的包含关系求参数[经典例题]例3 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝0时，①A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <2a . 又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1.②∴a ≥2.(3) 当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1a .③ ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1.∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}．状元随笔 ①欲解不等式1<ax<2，需不等号两边同除以a ，而a 的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a 分a ＝0，a>0，a<0进行讨论．②A ⊆B 用数轴表示如图所示：(a>0时)由图易知，1a 和2a 需在－1与1之间．当1a ＝－1，或2a＝1时，说明A 与B 的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a ＝1时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<1，x 取不到1. ③a<0时，不等式两端除以a ，不等号的方向改变. 方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练3 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系．(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时，由ax －1＝0得x＝5.所以B ＝{5}，所以B A .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15. 综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.状元随笔 (1)解方程x 2－8x ＋15＝0，求出A ，当a ＝15时，求出B ，由此能判定集合A与B 的关系．(2)分以下两种情况讨论，求实数a 的取值集合．①B＝∅，此时a ＝0； ②B≠∅，此时a≠0.易错点 忽略空集的特殊性致误例 设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的取值集合．【错解】 由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝{－1}或{3}．当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，13.【正解】 由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，即a ＝0. 当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N ＝∅这种情况 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业 2一、选择题1．能正确表示集合M ＝{x |x ∈R 且0≤x ≤1}和集合N ＝{x ∈R |x 2＝x }关系的Venn 图是( )解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.答案：B2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．0解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.答案：C3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )A．2 B．4C．6 D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B4．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是( )A．m>3 B．m≥3C．m<3 D．m≤3解析：因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.答案：B二、填空题5．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m<x<m}；(4){x|a＋2<x<a}；(5){x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：(4)(5)6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．解析：集合A的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：36 7．若集合A{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1,3}．答案：5 三、解答题 8．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A .解析：∵{1,2}⊆A ，∴1∈A,2∈A . 又∵A {1,2,3,4}，∴集合A 中还可以有3,4中的一个， 即集合A 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．9．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解析：方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab (2b －1)＝0. ②∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.[尖子生题库]10．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围． 解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2. (2)当B ≠∅时， 有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2. 综上得m ≥－1.即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。
人教新课标版数学高一-数学人教B版必修一同步练测 集合之间的关系
1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B 版)1.下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若A ⊂∅≠，则A ≠∅. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.若2{01}{0}a a b ，，－＝，，，则20132013a b + 的值 为（ ） A.0 B.1 C. －1 D.23.已知集合{}0,1M =，{}221,N N y x y x =+=∈，则,M N 之间的关系是（ ） A.M N = B.M N ⊂≠ C.N M ⊂≠ D.不确定4.下列5个写法：①{0}∈{0,1}；②{}0⊂∅≠；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}. 其中错误的个数是（ ）A.2B.3C.4D.55.已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊂≠，则m 的取值集合为（ ） A.{2}- B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6.满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合M 的个数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（每小题6分，共18分）7.用适当的符号填空：（1）{菱形}________ {平行四边形}； {等边三角形}________{等腰三角形 }. （2）∅________2{|20}x x ∈=＋R ； 0____{ 0 }；∅____{ 0 }；{ 0 } _____N .8.已知集合1,6A x x a a ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭＝Z ，123b B x x b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＝－，Z ，126c C x x c ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＝＋，Z ，则,,A B C 之间的关系是________．9.已知集合{}2,A x x x =∈ ≤R ,{},B x x a =≥ 且A B ⊆,则实数a 的取值集合是________． 三、解答题（共46分）10．（8分）设集合A ＝{1，a ， b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数,a b 的值．11.（10分）若集合2{|60}M x x x ＝＋－＝，{|20}N x x x a ＝（－）（－）＝，且N M ⊆，求实数a 的值．12．（13分）设集合2{|560}A x x x ＝－＋＝， {}22(21)0B x x a x a a =-+++=，若B A ⊆，求a 的值.13．（15分）已知集合2{|3100}A x x x ＝－－≤. （1）若B A ⊆，{|121}B x m x m ＝＋－≤≤，求实数m 的取值范围； （2）若A B ⊆，{|621}B x m x m ＝－－≤≤，求实数m 的取值范围； （3）若A B ＝，{|621}B x m x m ＝－－≤≤，求实数m 的取值范围．1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B版)得分：二、填空题7． 8． 9.三、解答题10．11．12．13．1.2.1 集合之间的关系（必修1人教B 版)1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身.空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．2.A 解析：由题意知2,1a a b ⎧=⎨=-⎩或2,1,a b a ⎧=⎨=-⎩解得0,1a b =⎧⎨=-⎩（舍去）或1,1a b =⎧⎨=-⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩故201320130a b += .3.B 解析:对于集合N ，先确定它的元素，然后判断其与集合M 的关系.由于{}221,N N y x y x =+=∈={}1,0,1-.故选B .4.B 解析：只有②③正确.5.D 解析：1,3,2M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（1）0;N m =∅⇒=（2）12;2N m ⎧⎫=-⇒=-⎨⎬⎩⎭（3）1{3}.3N m =⇒=∴ 12,0,.3m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭6.B 解析：因为集合M 真包含集合}3,2,1{，所以M 中一定有元素1，2，3，且除此之外至少还有一个元素.又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素.集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-. 7.≠⊂≠⊂ ＝ ∈ ≠⊂ ≠⊂8.A ≠⊂B ＝C 解析：用列举法寻找规律．9.{}2a a -≤ 解析：∵ {}{}2,22,A x x x x x =∈=- ≤≤≤R {},B x x a =≥且A B ⊆，∴2a -≤.10.解：∵ A ＝B 且1∈A ，∴ 1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素的互异性矛盾，∴ a ≠1. 若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍去)． ∴ A ＝{1，－1，b }，∴ B ＝{－1，1，－b }. ∴ b ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．11.解：由2x ＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时N ≠⊂ M ； 若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a }，此时N 不是M 的子集， 故所求实数a 的值为2或－3.12.解:（方法一）A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}.由B ⊆A ，得B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}或B ＝{2，3}. 因为Δ＝（2a ＋1）2－4a 2－4a ＝1>0，所以B 必不为空集．当B ＝{2}时，需2a ＋1＝4和a 2＋a ＝4同时成立，此时不存在a 的值． 当B ＝{3}时，需2a ＋1＝6和a 2＋a ＝9同时成立，此时不存在a 的值．当B ＝{2，3}时，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，此时a ＝2. 综上所述，a ＝2.（方法二） A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，B ＝{x |x 2－（2a ＋1）x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |（x －a ）（x －a －1）＝0}＝{a ，a ＋1}， 因为a ≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2.13.解：由2{|3100}A x x x ＝－－≤，得{|25}A x x ＝－≤≤.（1）∵ B ⊆A ，∴ ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ；②若B ≠∅，则121,21,21 5.m m m m +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≤≤解得23m ≤≤.由①②，得m 的取值范围是（－∞，3]．（2）若A ⊆B ，则依题意应有216,62,21 5.m m m m ->-⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥解得5,,m m m >-⎧⎪⎨⎪⎩≤4≥3.故34m ≤≤，∴ m 的取值范围是[3，4]．（3）若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅，即不存在m 值使得A ＝B .。
2019版数学人教B版必修1训练：1.2.1 集合之间的关系 .pdf
1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系课时过关·能力提升1集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6x∈N,n∈N,所以x=5-2n的值为5,3或1.所以集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.所以其子集的个数是23=8.2若集合P={x|x<4},Q={x|-2<x<2,x∈Z},则( )A.Q∈PB.Q⫋PC.P⫋QD.P=QQ={x|-2<x<2,x∈Z}={-1,0,1},P={x|x<4},所以Q⫋P.3已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为( )M⫋N,故D选项正确.4已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.5已知集合M=,N=,则集合M ,N 的关系是( ){x |x =m +16,m ∈Z }{x |x =n 2-13,n ∈Z }A.M ⊆NB.M ⫋NC.N ⊆MD.N ⫋Mn=2m 或n=2m+1,m ∈Z ,则有N={x |x =2m 2-13或x =2m +12-13,m ∈Z }=或x=m+.{x |x =m -1316,m ∈Z }又因为M=,所以M ⫋N.{x |x =m +16,m ∈Z }6若非空数集A={x|2a+1≤x ≤3a-5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ⊆B 成立的所有实数a 的取值集合是( )A .{a|1≤a ≤9}B .{a|6≤a ≤9}C .{a|a ≤9}D .⌀A 为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a ≥6.又∵A ⊆B ,∴∴1≤a ≤9.{2a +1≥3,3a -5≤22,即{a ≥1,a ≤9,综上可知,实数a 的取值集合是{a|6≤a ≤9}.7已知集合A={1,3,6},集合B={3,a-2},若B ⊆A ,则实数a 的值为 .,得a-2=1或a-2=6,解得a=3或a=8.或88已知A={a ,0,-1},B=,若A=B ,则a= ,b= ,c= .{c +b ,1a +b ,1}A=B ,可知b+c=0,a=1,=-1,1a +b 解得a=1,b=-2,c=2. -2 29已知集合P={1,2,3,4},Q={0,2,4,5},则满足A ⊆P ,且A ⊆Q 的集合A 为 .A=⌀,则满足A ⊆P 且A ⊆Q ;若A ≠⌀,由A ⊆P 且A ⊆Q 知集合A 是由属于P 且属于Q 的元素构成,此时A 可以为{2},{4},{2,4},故满足条件的集合A 为⌀,{2},{4},{2,4}.,{2},{4},{2,4}10已知集合A={x|x 2-5x+6=0},B={x|(m-1)·x-1=0},且B ⊆A ,则以实数m 为元素所构成的集合M 为 .{x|x 2-5x+6=0}={2,3}.因为B ⊆A ,所以B=⌀或{2}或{3}.当B=⌀时,⌀⊆A ,满足题意,则m-1=0,即m=1;当B={2}时,=2,得m=;1m -132当B={3}时,=3,得m=.1m -143所以M=.{1,32,43}1,32,43}★11已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|m<x<4-m },且B ⊆A ,求实数m 应满足的条件.B 是关于x 的不等式m<x<4-m 的解集,需要对集合B 是否为空集分类讨论.B ⊆A ,所以B=⌀或B ≠⌀.当B=⌀时,⌀⊆A ,满足题意,则有m ≥4-m ,此时m ≥2;当B ≠⌀时,则有解得1≤m<2.{m <4-m ,m ≥0,4-m ≤3,综上可知,实数m 满足的条件是1≤m<2或m ≥2,即m ≥1.。
【人教版】必修一数学：04-集合的基本关系及运算：知识讲解和巩固练习_集合基本关系运算(提高版,含答案)
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．4.集合基本运算的一些结论A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，A AB B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合{}|2,A a a k k N ==∈，集合21|1(1)(1),8n B b b n n N ⎧⎫⎡⎤==--⋅-∈⎨⎬⎣⎦⎩⎭，那么,A B 间的关系是（ ）.A.A B B.B A C. A =B D.以上都不对 【答案】B【解析】先用列举法表示集合A 、B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A 是非负偶数集，即{}0,2,4,6,8,A =⋅⋅⋅.集合B 中的元素211(1)(1)8n b n ⎡⎤=--⋅-⎣⎦0()1(1)(1)()4n n n n ⎧⎪=⎨+-⎪⎩为非负偶数时，为正奇数时.而1(1)(1)4n n +-（n 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即1,3,5,7,n =⋅⋅⋅.由1(1)(1)4n n +-依次得0,2,6,12，⋅⋅⋅，即{}0261220B =⋅⋅⋅，，，，，. 综上知，B A ，应选B .【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn 图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合{}{}|21,,|41,A x x k k z B x x l l z ==-∈==±∈，则（ ）. A.A B B.B A C. A =B D.A B Z =【答案】C例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ） A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.例3．集合A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x 2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={x|y=x 2+1}的代表元素为x ，故集合A 表示的是函数y=x 2+1中自变量x 的取值范围，即函数的定义域A=(,)-∞+∞；集合B={y|y=x 2+1}的代表元素为y ，故集合B 表示的是函数y=x 2+1中函数值y 的取值范围，即函数的值域B=[1,)+∞；集合C={(x,y)|y=x 2+1}的代表元素为点（x ，y ），故集合C 表示的是抛物线y=x 2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x 2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x 2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】 设集合{(,)|34}M x y y x ==+，{(,)|32}N x y y x ==--，则M N =（ ）A. {1,1}-B. {1,1}x y =-=C.(1,1)-D. {(1,1)}- 【答案】D【解析】排除法：集合M 、N 都是点集，因此MN 只能是点集，而选项A 表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C 表示区间(1,1)-（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D ．【变式2】 设集合{|21,}M x y x x Z ==+∈，{|21,}N y y x x Z ==+∈，则M 与N 的关系是（ ） A. N M Ü B. M N Ü C. N M = D. N M =∅【答案】A【解析】集合M 表示函数21,y x x Z =+∈的定义域，有{}M =整数；集合N 表示函数21,y x x Z =+∈的值域，有{}N =奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】 当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由O ∈{0，|x|，y}可知O ∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1 当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b=1时，a=-1，b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算例 5. 设集合{}{}|3,,|31,A x x k k Z B y y k k Z ==∈==+∈，{}|32,C z z k k Z ==+∈，{}|61,D w w k k Z ==+∈，求,,,A B A C B C B D .【答案】AB AC B C ===∅,BD D =【解析】先将集合A 、B 、C 、D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合{}|3,A x x k k Z ==∈表示3的倍数所组成的集合；集合{}|31,B x x k k Z ==+∈表示除以3余1的整数所组成的集合； 集合{}|32,C x x k k Z ==+∈表示除以3余2的整数所组成的集合； 集合{}|61,D x x k k Z ==+∈表示除以6余1的整数所组成的集合；A B A C B C ∴===∅,B D D =.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2-2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A. ∅ B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D【解析】集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y ≥-1}，N={y|y ≤9}，所以M ∩N={y|-1≤y ≤9}，选D.例6. 设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题． 【答案】D【解析】由N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}可得：N={x|0<x<2，x ∈Z}={1}，又由M ∩N={1}，可知1∈M ，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】（1）已知：M={x|x ≥2}，P={x|x 2-x-2=0}，求M ∪P 和M ∩P ；（2）已知：A={y|y=3x 2}， B={y|y=-x 2+4}， 求：A ∩B ，A ∪B ；（3）已知集合A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2+1， 2a-1}， 其中a ∈R ，若A ∩B={-3}，求A ∪B. 【答案】（1）{x|x ≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y ≤4}，R ；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M ∪P={x|x ≥2或x=-1}，M ∩P={2}.（2）∵A={y|y ≥0}， B={y|y ≤4}， A ∩B={y|0≤y ≤4}， A ∪B=R . （3）∵A ∩B={-3}，-3∈B ，则有：①a-3=-3⇒a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}⇒A ∩B={-3，1}，与已知不符，∴a ≠0；②2a-1=-3⇒a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A ∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A ∩B={2，3}，知元素2，3是A ，B 两个集合中所有的公共元素，所以3∈｛2，a 2-2a ，6｝，则必有a 2-2a=3，解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A ∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A ∩B={2，3}，也不满足B 中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去. 综上A ∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集{}{}21,2,3,4,5,|40U A x x px ==++=，求C u A.【思路点拨】C u A 隐含了A U ⊆，对于A U ⊆，注意不要忘记A =∅的情形.【答案】 当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5；当5p =-时，C u A={}2,3,5. 【解析】当A =∅时，方程240x px ++=无实数解. 此时2160,44p p ∆=-<-<<.C u A=U当A ≠∅时，二次方程240x px ++=的两个根12,x x ，必须属于U . 因为124x x =，所以只可能有下述情形：当122x x ==时，4p =-，此时{}2,A = C u A={}1,3,4,5； 当121,4x x ==时，5p =-，此时{}1,4,A = C u A={}2,3,5. 综上所述，当44p -<<时，C u A={}1,2,3,4,5；当4p =-时，C u A={}1,3,4,5； 当5p =-时，C u A={}2,3,5.【总结升华】求集合A 的补集，只需在全集中剔除集合A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）a<4；（2）a ≥-2；（3）-2≤a<4． 【解析】(1)∵A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}，又A ∩B ≠∅，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a ≥-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C【解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =， ∴M P ⊆，∴ 11a -≤≤ 故选C ．例9. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.（1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值. 【思路点拨】明确A B B =、A B B =的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆，是解决本题的关键.同时，在包含关系式B A ⊆中，不要漏掉B =∅的情况.【答案】（1）1a =或1a ≤-；（1）2． 【解析】首先化简集合A ，得{}4,0A =-.（1）由AB B =，则有B A ⊆，可知集合B 为∅，或为{}0、{}4-，或为{}0,4-.①若B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时，{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意； 当1a =-时，{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意. ③若4B -∈，代入得2870a a -+=，解得7a =或1a =. 当1a =时，已讨论，符合题意；当7a =时，{}{}2|1648012,4B x x x =++==--，不符合题意. 由①②③，得1a =或1a ≤-. （2）,AB B A B =∴⊆.又{}4,0A =-，而B 至多只有两个根，因此应有A B =，由（1）知1a =. 【总结升华】两个等价转化：,A B B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要，注意应用.另外，在解决有条件A B ⊆的集合问题时，不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】A B B =,B A ∴⊆.①当B =∅时，此时方程22120x ax a ++-=无解，由0∆<，解得4,a >或4a <-. ②当B ≠∅时，此时方程22120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2，0∴∆=，且22(2)2120a a --+-=，解得4a =.综上，实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.【变式2】设全集U R =，集合{}{}|12,|40A x x B x x p =-≤≤=+<，若B C u A ，求实数p 的取值范围.【答案】4p ≥【解析】 C u A={}|1,2x x x <->或，|4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭.B C u A ，∴14p-≤-，即4p ≥.∴实数p 的取值范围是4p ≥. 【巩固练习】1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、B A Ü B 、A B Ü C 、A=B D 、A ∩B=∅ 2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ）A 、{(-2, 1), (2, 1)}B 、{|0x x ≤≤C 、{|1x x -≤≤D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足AB A =,那么下列各式中一定成立的是（ ）A ． AB B ． B AC ． AB B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或06．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．MN C ．N M D ．M N =∅7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a .8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x==且AB B =，则x = .10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = . 11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件： （1）{}1414,,10;AB a a a a =+=（2）集合AB 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<.求1234,,,a a a a 的值.【答案与解析】1.【答案】D【解析】.学生易错选C 。
高中数学人教B版必修一练习：1.2.1 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【选题明细表】1.下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②{a,b}={b,a};③{0}⊆∅;④0∈{0};⑤∅∈{0};⑥∅⊆{0},其中正确的个数为( C )(A)6个(B)5个(C)4个(D)少于4个解析:根据集合自身是自身的子集,可知①正确;根据集合无序性可知②正确;根据集合与集合关系及表示可知③⑤不正确;根据元素与集合之间的关系可知④正确;根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.即正确的关系式个数为4个,故选C.2.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x-1},B={(1,0),(3,2)},则下列关系不正确的是( B )(A)(1,0)∈A (B)(3,2)⊆A(C)B⊆A (D)B A解析:因为(3,2)表示元素,而“A”是集合,所以两者之间不能用集合与集合之间的符号“⊆”来表示.故选B.3.已知集合A={x∈N*|0<x<3},则满足条件B⊆A的集合B的个数为( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)8解析:因为A={x∈N*|0<x<3}={1,2},又B⊆A,所以集合B的个数为22=4个,故选C.4.已知集合A={x|x=a2+1,x∈N},B={y|y=b2-4b+5,b∈N},则有( A )(A)A=B (B)A B (C)B A (D)A⊈B解析:由于y=b2-4b+5=(b-2)2+1≥1,所以B={y|y≥1且y∈N},故A=B.故选A.5.集合U,S,T,F的关系如图所示,下列关系错误的有.①S U;②F T;③S T;④S F;⑤S F;⑥F U.解析:根据子集、真子集的Venn图知S U,S T,F U.答案:②④⑤6.(2018·河北衡水市枣强中学期中)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a= .解析:因为B⊆A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.①由a2-a+1=3得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A,当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A.②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1,当a=1时,A={1,3,1},不满足集合元素的互异性.综上,若B⊆A,则a=-1或a=2.答案:-1或27.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2∉M且∉M,若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件M的个数是( A )(A)11 (B)12 (C)15 (D)16解析:由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,有15个,且2,4不同时出现,同时出现有4个,故满足题意的M有11个.故选A.8.设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则( B )(A)M=N (B)M⊆N (C)N⊆M (D)无法确定解析:由集合M={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子是奇数,由集合N={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子可以是奇数也可以是偶数,则M⊆N,故选B.9.(2018·黑龙江大庆一中段考)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则B的子集个数为( D )(A)3 (B)4 (C)7 (D)8解析:当⇒z=0,当⇒z=1,当⇒z=1,当⇒z=2,所以B={0,1,2},B的子集个数为23=8,故选D.10.设集合M={x|2a-1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},若N⊆M,则实数a的取值范围是.解析:用数轴表示题中关系如图,显然要使N⊆M,则有解得≤a≤1.答案:{a|≤a≤1}11.已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+ (a+1)x-3,1},求:(1)使A={2,3,4}时,x的值;(2)使2∈B,B A时,a,x的值;(3)使B=C时,a,x的值.解:(1)因为A={2,3,4},所以x2-5x+9=3,所以x2-5x+6=0,所以x=2或x=3.(2)因为2∈B且B A,所以所以或均符合题意.所以a=-,x=2或a=-,x=3.(3)因为B=C,所以①-②并整理得a=x-5, ③③代入①并化简得x2-2x-3=0,所以x=3或x=-1.所以a=-2或a=-6,经检验,a=-2,x=3或a=-6,x=-1均符合题意.所以a=-2,x=3或a=-6,x=-1.12.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={y|y=2x-a,a∈R,x∈A},C={z|z=x2, x∈A},是否存在实数a,使C⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.解:A={x|-1≤x≤2},当x∈A时,-2-a≤2x-a≤4-a,0≤x2≤4,所以B={y|-2-a≤y≤4-a,a∈R,y∈R},C={z|0≤z≤4,z∈R}.若C⊆B,则应有⇔⇔-2≤a≤0.所以存在实数a∈{a|-2≤a≤0}时,C⊆B.。
人教新课标版数学高一B版必修1学案 集合之间的关系
数学人教B 必修1第一章1.2.1 集合之间的关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．1．集合之间的关系定义性质 特殊规定(结论)子集一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的____，记作____或____，读作“A ______B ”或“B ____A ”对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ____C根据子集的定义，任意一个集合A 都是______的子集，即________．空集是____________的子集．也就是说，对任意集合A ，都有____(其中A 也可能是)真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的______，记作____或____，读作“A ________B ”或“B ______A ”对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，则A ____C 空集是____________的真子集，也就是说，对任意一个非空集合A ，都有___________相等一般地，如果集合A 的______元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的______元素也都是集合A 的元素，那么我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B如果A ⊆B ，又B ⊆A ，则____；反之，如果A ＝B ，则________ 对于元素较少的有限集，可以将集合中的元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得到两个集合相等．对于无限集，只需说明两个集合之间具有相互包含关系，就可以得到两个集合相等A ⊆B 包括AB 和A ＝B 两种情况．其中AB ，可形象地理解为B 中元素至少比A中元素多一个；而A ＝B ，可从A 的元素与B 的元素完全一样去理解．【做一做1－1】有下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【做一做1－2】已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．0【做一做1－3】集合{x∈Z|2 009≤x≤2 011}的真子集的个数为()A．3 B．6 C．7 D．82．维恩(Venn)图我们常用平面内一条____________来表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示)．【做一做2】如图所示，对于集合A，B，C，D的关系，描述正确的是()A．B⊆C B．D⊆AC．A B D．A C3．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B集合间的关系特征性质间的关系A⊆B ________A⊇B ________A＝B ________【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2 011}，N＝{x|x≥a}，且x≥a⇒x＞2 011，则a满足的条件为__________．一、“∈”与“⊆”的区别与联系剖析：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间；包含关系(⊆，)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系．例如，表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等；但需要引起注意的是{}与∈{}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把看成集合{}中的元素来考虑．二、探索集合的子集个数问题剖析：由子集的定义可知：若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含以下两个方面：(1)A B；(2)A＝B．由以上知识，可以得到：若B＝{a}，则其子集可以是，{a}，即集合中若有1个元素，其子集个数为2；若B＝{a，b}，则其子集可以是，{a}，{b}，{a，b}，即集合中若有2个元素，其子集个数为4；若B＝{a，b，c}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即集合中若有3个元素，其子集的个数为8；若B＝{a，b，c，d}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}，即集合中若有4个元素，其子集的个数为16.综上所述，集合中的元素个数每增加1，其子集的个数变为原来的2倍，其对应关系为：元素个数子集数目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24由此可以猜测：若集合中有n个元素，则其子集的个数应为2n，其非空子集的个数为(2n －1)，其真子集的个数应为(2n－1)，其非空真子集的个数为(2n－2)．三、教材中的“思考与讨论”已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．剖析：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，则有p(x)⇒q(x)，即x∈A⇒x∈B，根据子集的定义有A⊆B．举例说明如下：A＝{x|x是6的约数}，B ＝{x|x是12的约数}，即集合A的特征性质p(x)是：x是6的约数；集合B的特征性质q(x)是：x是12的约数．而6的约数是1,2,3,6,12的约数是1,2,3,4,6,12，由此得知，“如果p(x)，那么q(x)”是真命题，则有“如果x是6的约数，那么x是12的约数”，即x∈A⇒x∈B，所以A⊆B．题型一子集、真子集的概念【例1】(2011·东北五校高一期末)有下列关系：①0∈{0}；②{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4反思：注重元素与集合、集合与集合间关系的判断的本质要求，判断时要注意看清楚集合是数集还是点集，更要注意空集的特殊性．题型二两个集合相等及其应用【例2】已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求a，b的值．分析：M＝N→列方程组→解方程组求a，b的值反思：由集合相等的概念不难得到，若两个有限集相等，则一定会具有以下性质：(1)两个集合的元素的个数相等；(2)两个集合的元素之和相等；(3)两个集合的元素之积相等．另外，在考虑两个集合相等时，还应注意到集合中元素的互异性．本题结果易出现含有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0这种情况的错误，导致该种错误的原因是忽视了集合中元素的互异性． 题型三 根据子集关系，确定参数的值【例3】设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠，B ⊆A ，求a ，b的值．分析：由B ≠，B ⊆A ，可见B 是A 的非空子集．而A 的非空子集有三个：{－1}，{1}，{－1,1}，所以B 要分三种情形讨论．反思：利用分类讨论的思想，考虑集合B 的所有可能的情况，这是处理集合与其子集之间关系的常用方法．另外，此题也可以利用根与系数的关系求解．此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件而考虑B ＝的情形．题型四 集合关系与其特征性质之间的关系【例4】已知集合A ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈R }，B ＝{y |y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系．分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系． 反思：集合关系与其特征性质之间的关系是必修1中新增添的内容，我们不仅可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系，还可以用集合特征性质之间的关系判断集合之间的关系，但要注意转化的等价性．题型五 易错辨析【例5】集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 满足的条件；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数． 错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.所以实数m 满足的条件是2≤m ≤3. (2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集的个数为28－1＝255.反思：空集是一种特殊的集合，也是集合运算中最活跃的一个集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B ⊆A 时，B 可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论．1已知集合A ＝{x ∈N ＋|－2 011＜x ＜2 012}，B ＝{x ∈Z |0≤x ≤2 011}，则集合A ，B 之间的关系为( )A．A＝B B．A B C．B A D．A⊃B2已知集合A＝{a}，C＝{a，b，c}，若A⊆B且B⊆C，则集合B的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a满足的条件是()A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤24已知集合A＝{2,9}，集合B＝{m2－m,9}，且A＝B，则实数m等于__________．5有下面5个命题：①空集没有子集；②任意集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中不正确命题的序号有__________．6已知集合A中元素的特征性质p(x)：x2－2x－3＝0，集合B中元素的特征性质q(x)：ax－1＝0，a∈R.若q(x)⇒p(x)，试求a的值．答案：基础知识·梳理1．子集A⊆B B⊇A包含于包含⊆它本身A⊆A任意一个集合⊆A真子集A B B A真包含于真包含任意一个非空集合A每一个每一个A＝B A⊆B，且B⊆A【做一做1－1】A①正确；②错误，应为{1}{0,1,2}；③正确，也可以写成{0,1,2}＝{0,1,2}；④正确．故选A.【做一做1－2】C【做一做1－3】C∵{x∈Z|2 009≤x≤2 011}＝{2 009，2 010，2 011}，集合中有3个元素，∴真子集个数为23－1＝7.2．封闭曲线的内部真子集【做一做2】D3．p(x)⇒q(x)q(x)⇒p(x)p(x)⇔q(x)【做一做3】a＞2 011∵x≥a⇒x＞2 011，∴N⊆M.∴a＞2 011.典型例题·领悟【例1】B根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；由空集是任意非空集合的真子集可知{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误；综上，应选B.【例2】解：根据集合中元素的互异性和M＝N，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0不符合要求，舍去，所以a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.【例3】解：由B ⊆A ，知B 中的所有元素都属于集合A . 又B ≠，故集合B 有三种情形：B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}．当B ＝{－1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1；当B ＝{－1,1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.综上所述，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.【例4】解：因为x ＝1＋a 2，a ∈R ，所以x ≥1. 因为y ＝a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1，a ∈R ，所以y ≥1， 故A ＝{x |x ≥1}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ＝B . 故它们的特征性质之间的关系为： x ＝1＋a 2，a ∈R ⇔y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R . 【例5】错因分析：(1)中忽略了B ＝时的情形；(2)中误认为是求A 的真子集或A 的非空子集的个数．正解：(1)①当B ＝时，⊆A ，符合题意，此时m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.②当B ≠时，由题意结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m≤3.综合①②，可知m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.随堂练习·巩固1．B2．D∵A⊆B⊆C，∴B可能为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}．∴满足条件的集合B的个数是4.3．A结合数轴(如下图)，∵A⊆B，∴a≥2.4．－1或2∵A＝B，∴m2－m＝2，解得m＝－1或2.5．①②③⑤①错误，因为空集是任意一个集合的子集；②错误，因为空集只有一个子集；③错误，因为空集是任意一个非空集合的真子集，空集并不是它本身的真子集；④正确；⑤错误，因为其叙述不符合子集的定义，若A⊆B，则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素．6．解：∵q(x)⇒p(x)，∴B⊆A.又A＝{－1,3}，∴结合方程ax－1＝0，a∈R的特点有B＝或{－1}或{3}．当B＝时，a＝0；当B＝{－1}时，1a＝－1，即a＝－1；当B＝{3}时，1a ＝3，即a＝13.综上可知，a的值为0或－1或13.。
高中数学 第一章 集合 1.2.1 集合之间的关系课后作业 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数
1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析:∵x∈N,n∈N,∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.∴其子集的个数是23=8.答案:B2.已知P={0,1},M={x|x⊆P},则P与M的关系为( )A.P⫋MB.P∉MC.M⫋PD.P∈M解析:M={x|x⊆P}={⌀,{0},{1},{0,1}},故P∈M.答案:D3.设集合A={x∈Z|x<-1},则( )A.⌀=AB.∈AC.0∈AD.{-2}⫋A解析:A中⌀与集合A的关系应为⌀⊆A或⌀⫋A,B中∉A,C中0∉A,D正确.答案:D4.已知集合A=,集合B={m2,m+n,0},若A=B,则( )A.m=1,n=0B.m=-1,n=1C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1解析:由A=B,得m2=1,且=0,且m=m+n,解得m=±1,n=0.又m≠1,∴m=-1,n=0.答案:C5.设集合M=,集合N=,则(A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M不是N的子集,N也不是M的子集解析:集合M中的元素x=(k∈Z),集合N中的元素x=(k∈Z),当k∈Z时,2k+1代表奇数,k+2代表所有整数,故有M⫋N.答案:B6.若非空数集A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的所有a的集合是( )A.{a|1≤a≤9}B.{a|6≤a≤9}C.{a|a≤9}D.⌀解析:∵A为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a≥6.又∵A⊆B,∴∴1≤a≤9.综上可知,6≤a≤9答案:B7.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为.解析:对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,y最小==-7,所以A={y|y≥-7}.又B={x|x>3},由图知B⫋A.答案:B⫋A9.已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R},试判断这两个集合之间的关系.解:因为x=1+a2,a∈R,所以x≥1.因为y=a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈R,所以y≥1,故A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B.10.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由;(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).解:(1)不存在.理由如下:若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.(2)由(1)易知,当且仅当时A⊆B.解得所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).。
数学人教B必修1第一章121 集合之间的关系
1、2、1 集合之间的关系1。
子集一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A、读作“A包含于B"，或“B包含A".理解子集的定义要注意以下七点：（1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A，能推出x∈B、例如:｛1，2,3｝⊆N，N⊆R，{x｜x为山东人}⊆｛x｜x为中国人｝等.(2）当集合A中存在着不是集合B的元素，我们就说A不是B的子集,记作“A B”(或B A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”）。
例如:A＝｛1,2，3}不是B＝｛2，3,4，5，6｝的子集,因为集合A中的元素1不是集合B中的元素。
(3)任意一个集合是它本身的子集.因为对于任意一个集合A,它的任意一个元素都属于集合A本身，记作A⊆A、例如:{1，5}⊆｛1,5｝等。
(4)空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有∅⊆A、(5）在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素"所组成的集合.因为若A ＝∅，则A中不含任何元素;若A＝B,则A中含有B中的所有元素。
但在这两种情况下集合A都是集合B的子集.(6)包含关系具有传递性：对于集合A，B,C，若A⊆B，B⊆C,则A⊆C、（7)写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出,避免遗漏和重复.【例1】已知集合M＝｛0，1},集合N＝{0,2，1－m｝，若M⊆N,则实数m＝__________、解析:∵M⊆N，M＝{0，1｝，∴1∈N、∴1－m＝1,即m＝0、答案:0点技巧有限集合子集的确定技巧（1）确定所求的集合；（2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到。
2。
真子集如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”,或“B真包含A”.例如:{1｝{1,2,3｝.关于真子集注意以下四点：（1）空集是任何非空集合的真子集。
2024年新高一数学初升高衔接《集合间的基本关系》含答案解析
第02讲 集合间的基本关系模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解集合之间的包含与相等的含义;2．能够识别给定集合的子集和真子集，了解空集的含义;3．能够进行自然语言、图形语言（Venn 图）、符号语言的转换，提升数学抽象素养;4．掌握集合子集、相等、真子集的定义，辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系，能使用适当的符号表示集合间的关系．知识点 1 子集与真子集1、韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．（2）用Venn 图表示集合的方法叫图示法，其优点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．2、子集定义一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集．记法与读法记作A ⊆B (或B ⊇A )，读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”)图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作A A ⊆；（2）传递性：对于集合,,A B C ，如果A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆．【注意】（1）“A 是B 的子集”的含义：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，即由任意x A ∈，能推出x B ∈．（2）如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么A 不包含于B ，或B 不包含A ．3、真子集定义如果集合A 是集合B 的子集，但存在元素x ∈B ，且x A ∉，就称集合A 是集合B 的真子集．记法与读法记作AB 或(B A )，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合,,A B C ，如果A B Ü，B C Ü，则A C Ü．【注意】（1）真子集也可以叙述为：若集合A B ⊆，存在元素x B ∈且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集．（2）如果集合A 是集合B 的真子集，那么集合A 一定是集合B 的子集，反之不成立．知识点 2 集合相等1、集合相等的概念定义一般地，如果集合A 的任何一个元素都是B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等．记法与读法记作A B =，读作“A 等于B ”图示【注意】（1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关。
人教B版数学高一版必修1课后导练集合之间的关系
课后导练 基础达标 1.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若∅A,则A≠∅.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:只有④正确.答案:B2.集合{0}和∅的关系是( )A.{0}=∅B.∅∈{0}C.∅{0}D.0∅解析:空集是任何非空集合的真子集.答案:C3.设集合P={a,b,2},Q={2a,2,b 2},且P=Q,则a 、b 的值分别为( )A.a=0,b=1B.a=41,b=21 C.a=0,b=1或a=41,b=21 D.以上均不对 解析:当⎩⎨⎧==2bb 2a,a 时,a=0,b=1; 当⎩⎨⎧==2ab ,b a 2时,a=41,b=21. 注意元素的互异性.答案:C4.已知集合A ⊆{2,3,9},且A 中至少有一个奇数,则这样的集合共有( )A.2个B.4个C.5个D.6个解析:A={2,3}或{2,9}或{3,9}或{3}或{9}或{2,3,9}.答案:D5.设集合M={x|x=2k +41,k ∈Z },N={x|x=4k +21,k ∈Z },则( ) A.M=N B.M N C.MN D.M ⊇N 解析:∵M 的元素x=2k +41=412+k ,而N 的元素x=4k +21=42+k , ∴M N.答案:C6.同时满足(1)M ⊆{1,2,3,4,5},(2)若a ∈M,则6-a ∈M 的非空集合M 有( )A.16个B.15个C.7个D.6个解析:1与5,2与4都成对出现在集合中,满足题意,3在集合中满足题意.答案:C7.(2006上海高考,文)已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4},若B ⊆A,则实数m=_______. 答案:48.若A ⊆B,A ⊆C,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 为________.解析:∵A ⊆B 且A ⊆C,∴A 中最多含0、2两个元素.故A={0}或{2}或∅或{0,2}.答案:∅,{0},{2},{0,2}9.已知集合M={x|k+1≤x≤2k},N={x|1≤x≤3},且M ⊆N.求k 的取值范围.解析:若2k<k+1,即k<1时,M=∅⊆N,符合题意.若2k≥k+1,即k≥1时,由M ⊆N,则有⎩⎨⎧≥+≤,11,32k k 解得1≤k≤23. 由上述得k≤23. 1.0已知集合A={m,m+d,m+2d},集合B={m,mq,mq 2}且A=B,求q 的值.解析:由A 、B 有公共元素m,可能有⎩⎨⎧=+=+mq22d m mq,d m ① 或⎩⎨⎧=+=+mq,2d m mq2,d m ② 解①得q=1.解②得q=21-或q=1. 检验:q=1舍去(不符合互异性),故q=21-. 综合运用11.已知M={x|⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-≤x x c 61221620},N={x|a-2x≥2a -3x},且M ⊆N,则a 的取值范围是( ) A.a≤4 B.a≤-4 C.a<-4 D.a<4解析:M={x|-4≤x≤2},N={x|x≥a}.通过数轴可知a≤-4.答案:B12.对于集合M 、N,定义M-N={x|x ∈M,且x ∉N},M ⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={1,2,3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8,9,10},则A ⊕B 等于( )A.{4,5,6,7}B.{1,2,3,4,5,6,7}C.{4,5,6,7,8,9,10}D.{1,2,3,8,9,10}答案:D13.若集合P={x|x 2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S ⊆P.求由a 的可取值组成的集合.解析:由P={-3,2},当a=0时,S=∅,有S ⊆P.当a≠0时,方程ax+1=0的解为x=a1-,又S ⊆P,∴a 1-=-3或a1-=2, 即a=31或a=21-. 故所求集合为{0,31,21-}. 14.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},若B ⊆A,求实数m 的取值范围. 解析:当2m-1<m+1,即m<2时,B=∅,有B ⊆A.当2m-1≥m+1,即m≥2时,由B ⊆A,有⎩⎨⎧≤--≤+,512,21m m 解得2≤m≤3.由上述知m≤3.15.设集合A={1,3,a},B={1,a 2-a+1},且B A,求a 的值.解析:∵B A,∴a 2-a+1=3,①或a 2-a+1=a.② 由①解得a=-1或a=2.由②解得a=1.检验:a=1时,不适合.∴a=-1或a=2. 拓展探究16.设I=［-1,k ］(k>-1),若{y|y=x+1,x ∈I}={y|y=x 2,x ∈I},则k=________. 解析:设A={y|y=x+1,x ∈I},B={y|y=x 2,x ∈I}.当-1<k≤0时,A=［0,k+1］,B=［k 2,1］.由A=B,得k=0;当0<k≤1时,A=［0,k+1］,B=［0,1］.由A=B,得k=0(舍去);当k>1时,A=［0,k+1］,B=［0,k 2］.由A=B,得k=251+或251-(舍去). 综上,得k=0或251+. 答案:0或251+。
人教B版数学高一版必修1集合之间的关系(1)
课后训练1．集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }的子集的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．62．若集合P ＝{x |x ＜4}，Q ＝{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }，则( )A ．Q ∈PB ．Q PC ．P QD ．P ＝Q3．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，那么集合M ，P 之间的关系为( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P4．有六个关系式：①{a ，b }{a ，b }；②{a ，b }＝{b ，a }；③{0}；④0∈{0}；⑤∈{0}；⑥＝{0}．其中正确的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．小于45．非空集合S {1,2,3,4,5}，且满足“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”，这样的S 共有( )A ．6个B ．7个C ．16个D ．17个6．已知A ＝{a,0，－1}，11B c b a b ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，，，且A ＝B ，则a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.7．下图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A ，B ，C ，D ，E 分别代表的图形的集合为____________________．8．设S 为实数集R 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{3a b +|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T R 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是______．(写出所有真命题的序号)9．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜4－m }，且B A ，求实数m 应满足的条件．10．集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0，x ∈R }，Q ＝{x |(x ＋1)·(x 2＋3x －4)＝0，x ∈R }．(1)若b ＝4，存在集合M 使得P M Q ，求出这样的集合M .(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求b 的取值或取值范围；若不能，请说明理由．参考答案 1. 答案：B ∵x ∈N ，n ∈N ，∴x ＝5－2n 的值为5,3或1.∴集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }＝{1,3,5}．∴其子集的个数是23＝8.2. 答案：B ∵Q ＝{x |－2＜x ＜2，x ∈Z }＝{－1,0,1}，P ＝{x |x ＜4}，∴Q P .3. 答案：C 集合M 和集合P 中的元素是点，满足x ＋y ＜0，xy ＞0的点在第三象限，同时满足x ＜0，y ＜0的点也为第三象限的点，所以集合M 和集合P 中的元素都为第三象限内的点，因此M ＝P .4. 答案：C ①②③④都正确；⑤⑥错误，应改为{0}．故选C.5. 答案：B 由题意知S 是{1,2,3,4,5}的子集．又由“若a ∈S ，则(6－a )∈S ”可知S ＝{1,5}或{2,4}或{3}或{1,3,5}或{2,3,4}或{1,2,4,5}或{1,2,3,4,5}，共7种情况．故选B.6. 答案：1 －2 2 由A ＝B ，可知b ＋c ＝0，a ＝1，11a b=-+， 解得a ＝1，b ＝－2，c ＝2.7. 答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．8. 答案：①② 对于①，取x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23，a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ， 则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，且a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z ，所以x ＋y ∈S ；又x －y ＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)3，且a 1－a 2∈Z ，b 1－b 2∈Z ，所以x －y ∈S ；同理xy ＝(a 1a 2＋3b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)3，而a 1，b 1，a 2，b 2∈Z ，所以xy ∈S ，故①为真命题；当x ＝y 时，有0∈S ，故②为真命题；当S ＝{0}时，S 为封闭集，故③为假命题；对于④，若S ＝{a ＋b 3|a ，b ∈Z }，T 中有元素a ＋b 3(a ，b ∈Z )，3，S 为封闭集，但T 不为封闭集，故④为假命题．9. 答案：分析：集合B 是关于x 的不等式m ＜x ＜4－m 的解集，需要对集合B 是否为空集分类讨论．解：∵B A ，∴B ＝或B ≠.当B ＝时，A ，满足题意，则有m ≥4－m ，此时m ≥2；当B ≠时，则有4,0,43,m m m m <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩解得1≤m ＜2.综上，实数m 满足的条件是1≤m ＜2或m ≥2，即m ≥1.10. 答案：分析：第(1)问要求的集合M 有两个限制条件：P M 且M Q ，可用列举法写出集合M ；第(2)问实质是一个存在性问题，解决这类问题的一般方法是先假设存在性成立，然后从已知出发，进行运算化简或推理论证，若出现矛盾，则存在性不成立，否则存在性成立．解：(1)当b＝4时，方程x2－3x＋b＝0的判别式∆＝(－3)2－4×1×4＜0，故P＝，而Q＝{－4，－1,1}．由P M Q知M应是一个非空集合且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}．(2)①当P＝时，P显然是Q的一个子集，此时∆＝9－4b＜0，∴94 b>.②当P≠时，Q＝{－4，－1,1}，可以通过假设存在性成立，逐一验证来判断b的取值．当－1∈P时，(－1)2－3×(－1)＋b＝0，∴b＝－4，∴P＝{x|x2－3x－4＝0}＝{4，－1}，∵4Q，∴P不是Q的子集；当－4∈P时，b＝－28，P＝{7，－4}，也不是Q的子集；当1∈P时，b＝2，P＝{1,2}，也不是Q的子集．综上可知，b的取值范围是{b|b＞94 }．。
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第一章 1.2 1.2.1
一、选择题
1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是()
A．16B．8
C．7D．4
[答案] C
[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，
∴真子集有7个．
2．(2013～2014学年度重庆市重庆一中高一上学期期末测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝()
A．1 B．0
C．－2 D．－3
[答案] C
[解析]∵A⊆B，∴1∈B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.
3．(2013～2014学年度福州文博中学高一上学期期中测试)下列命题正确的是()
A．我校篮球水平较高的学生可以看成一个集合
B．－1∈N
C．∅⊆N
D．∅∈Z
[答案] C
[解析]空集是任何集合的子集，故选C.
4．设M＝{正方形}，T＝{矩形}，P＝{平行四边形}，H＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是()
A．M⊆T B．T⊆P
C．P⊆H D．M⊆P
[答案] C
[解析]设U＝{四边形}，则集合U、M、T、P、H的关系用Venn图表示为
5．集合M ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则M 与T 的关系是( ) A ．M
T
B ．M
T
C ．M ＝T
D ．M ⃘T
[答案] A
[解析] ∵M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，T ＝{－1,0,1}，∴M T ，故选A.
6．满足{a ，b }⊆A {a ，b ，c ，d }的集合A 有________个( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] C
[解析] ∵{a ，b }⊆A ，∴a ∈A ，b ∈A ， 又∵A
{a ，b ，c ，d }，
∴c ，d 不能同时为集合A 的元素，
∴A ＝{a ，b }、{a ，b ，c }、{a ，b ，d }共3个． 二、填空题
7．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
c ＋b ，1a ＋b ，1，且A ＝B ，则a ＝________，b ＝________，c
＝________.
[答案] 1 －2 2
[解析] ∵A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ＋b ，1a ＋b ，1，A ＝B ，∴a ＝1，b ＋c ＝0，1a ＋b ＝－1，∴b ＝－2，c ＝2.
8．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ≥m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围为________． [答案] m ≤－2
[解析] 将集合A 、B 表示在数轴上，如图所示，
∴m ≤－2.
三、解答题
9．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
[分析]两个集合相等，说明这两个集合的元素完全相同，因此集合A中必有一个元素为0，所以x，xy，x－y这三个元素中必有一个为0.而每个集合中的元素又应该是互异的，由此出发可以列方程来确定x，y的值．
[解析]∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
∵集合中元素具有互异性，
∴x≠xy，∴x≠0.
又∵0∈B，y∈B，
∴y≠0.从而x－y＝0，即x＝y.
这时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|，则x＝0(舍去)，或x＝1(舍去)，
或x＝－1.经检验，x＝y＝－1.
一、选择题
1．设A＝{0,1}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系是()
A．A B B．B A
C．A＝B D．A∈B
[答案] C
[解析]B＝{x|x∈A}说明集合B中的元素是集合A中的全部元素，∴A＝B.
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，b
a，b}，则b－a＝()
A．1 B．－1 C．2 D．－2 [答案] C
[解析]由集合{1，a＋b，a}＝{0，b
a
，b}，
知a≠0，且a≠1，∴a＋b＝0，则a＝－b，
∴b a ＝－1，∴a＝b
a
＝－1，∴b＝1，
则b－a＝2，故选C.
3．已知A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，且A B，则实数p()
A ．p ≥4
B ．p >4
C ．p ≤4
D ．p <4
[答案] A
[解析] ∵B ＝{x |4x ＋p <0}，∴B ＝{x |x <－p
4}，
将集合A 及点－p
4
标在数轴上，如图．
由图可知，要使A
B ，应满足点－p 4在点－1的左侧或与点－1重合，即－p
4
≤－1，∴p ≥4.
4．数集P ＝{x |x ＝(2n ＋1)π，n ∈Z }与数集Q ＝{x |x ＝(4m ±1)π，m ∈Z }之间的关系是( ) A ．P Q B ．P ＝Q C ．Q
P
D ．P ≠Q
[答案] B
[解析] 取n ＝…，－1,0,1,2，…，得P ＝{…，－π，π，3π，5π，…}； 取m ＝…，0,1，…，得Q ＝{…，－π，π，3π，5π，…}． ∴P ＝Q . 二、填空题
5．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则实数x 的值是________． [答案] 0或±3
[解析] ∵B ⊆A ，∴x 2＝3，或x 2＝x ， 解得x ＝±3，或x ＝0，或x ＝1， 当x ＝1时，集合B 不满足元素的互异性， ∴x ＝1舍去，故x ＝0或x ＝±3.
6．(2013～2014学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)设集合A ＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是____________．
[答案] －1≤k ≤1
2
[解析] ∵A ⊇B ，∴⎩⎨⎧
2k －1≥－32k ＋1≤2
，∴－1≤k ≤1
2
.
三、解答题
7．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，求实数a 的值．
[解析] ∵B ⊆A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ， 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1； 当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1(舍去)， ∴a ＝2或a ＝－1.
8．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． [解析] ∵A ＝B ，∴x ＝0或y ＝0.
(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B 中的元素0重复出现，此时集合B 不满足集合中元素的互异性，舍去．
(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝1或x ＝0(舍去)， 此时A ＝{1,0}＝B ，满足条件． 综上可知，x ＝1，y ＝0.
9．设集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m ＋3}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． [解析] ①当m ＋1>2m ＋3，即m <－2时，B ＝∅符合题意； ②当m ＋1≤2m ＋3，即m ≥－2时，B ≠∅.
由B ⊆A ，得⎩⎨⎧
m ＋1≥12m ＋3≤4
，解得0≤m ≤1
2
.
综合①②可知，m <－2或0≤m ≤1
2
.。