第20-1章思考题与作业题
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A（−1，0）的上半圆周 x2 + y2 = 1
5
∫ 5. 计算曲线积分 xdy + ydx ，其中 OA 为点 O(0, 0) 到点 A(1，2) 的抛物线 y = 2x2 . OA
∫ 6. 计算曲线积分 5ydx + 3xdy ，其中 OA 为点 O(0, 0) 到点 A(1，2) 的抛物线 y = 2x2 OA
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
( ) 10. 设 C 为圆周 x2 + y2 = R2 ，则
x 2 + y 2 ds =
∫C 3R 2 + x 2 + y 2
∫ ( ) 11. 曲线 C 的方程为 x = cos t,y = sin t,0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 x2 + y2 ds = C
x 2 + y 2 ds =
∫C 3R 2 + x 2 + y 2
∫ ( ) 7. 设 L 为圆周 x2 + y2 = a2 ，则 x2 + y2 2 ds = L
∫ ( ) 8. 设曲线 L 为下半圆周 y = − 1− x2 ，则曲线积分 x2 + y2 ds = L
∫ 9. 曲线 C 的方程为 x = 4 cos t,y = 4 sin t,0 ≤ t ≤ 2π ，则曲线积分 y ds 的值为( ) C
C
3
2
∫ 7.
计算曲线积分
C
x2
+
2 y2
+
z2
ds
，其中
C
是曲线
x =et
cost,
y =et sint, z =et
(0 ≤ t ≤ 2)
的一段
∫ 8. 计算曲线积分 ( x + y) ds ，其中 C 是圆周 x2 + y2 = 4 . C
∫ 9. 计算曲线积分 ye−xds ，其中 C 是曲线 x = ln(1+ t2 ), y = 2 arctan t − t + 3 (0 ≤ t ≤ 1) C
∫ ( ) 4.求第一型曲线积分 x2 + y2 + z2 ds ，其中 L 为螺旋线 x = a cos t ，y = a sin t, z = bt ， L
0 ≤ t ≤ 2π
∫ 5. 计算曲线积分 y ds ，其中 C 是圆周 x2 + y2 = 1 C
∫ 6. 计算曲线积分 xyzds ，其中 C 是曲线 x = t, y = 2 2t3 , z = 1 t2 (0 ≤ t ≤ 1) 的一段
∫ B (x − y)dx − (x − y)dy L
∫ C. (x − y)dx + (x + y)dy L
∫ D. (x − y)dx + (x − y)dy L
33．全微分 x2dx + y2dy + z2dz 的原函数为
34．全微分 x3dx + y3dy + z3dz 的原函数为 3
35. 求 (x 2 + 2xy − y 2 )dx + (x2 − 2xy − y 2 )dy 的原函数
2
C. 2
D. 0
∫ 20. 设 L 是圆周 x2 + y2 = 1反时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( ) L
∫ 21．设 L 是圆周 x2 + y2 = 2 逆时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 4π
B. −2π
C. 1 D. 2π
∫ 22. 设 L 是圆周 x2 + y2 = 1反时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
∫则
[y +
L
f x (x, y)]dx +
f y (x, y)dy =
1
∫ 17. 平 面 上 曲 线 积 分 xf ( y)dx + x2dy 与 路 线 无 关 , 其 中 f 有 一 阶 连 续 的 导 数 且 C
f (0) = 0 , 则 f (x) = ( )
A. −2x
B. 2x
C. −2x +1 D. 2x +1
C（3，5）构成的三角形边界,逆时针方向
( ) ( ) ∫ 10. 计 算 曲 线 积 分 ex sin y − my dx + ex cos y − m dy ， 其 中 L 是 由 点 A（a，0）到 点 L
B（− a，0）的上半椭圆周 x2 + y 2 = 1 a2 b2
( ) ( ) ∫ 11. 计 算 曲 线 积 分 ex sin y − my dx + ex cos y − m dy ， 其 中 L 是 由 点 A（a，0）到 点 L
34
L
A. 1 2
B. 2 3π
C. 3π
D. 10π
23. 设 L 是 由 坐 标 轴 和 直 线 x + y = 1 围 成 的 三 角 形 的 正 向 边 界 , 则 闭 曲 线 积 分 45
− ∫ ydx = ( ) L A. 4π
B. 10 C. 12
D. −5π
∫ 24．设 L 是圆周 x2 + y2 = 3x 逆时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 12π 3
B. 8π
C. 10
D. 9π 4
∫ 25. 设 L 是圆周 x2 + y2 = 1顺时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
58
L
A. 10π 2
B. 2 10π
C. 13π
D. 10π
26. 设 L 是 由 坐 标 轴 和 直 线 x + y = 1 围 成 的 三 角 形 的 正 向 边 界 , 则 闭 曲 线 积 分 16 25
O（0，0）经过圆 x2 + y2 = ax 的上半部的路线
∫ ( ) 12 ． 计 算 曲 线 积 分 C
exarctgy
−
2y
dx
+
ex
1 1+ y2
dy
， 其 中 C 是 由 点 B（a，0）到 点
A（− a，0）的上半椭圆周
x2 a2
+
y2 b2
=1
6
∫ 13. 计算闭曲线积分 (x3 − 3y)dx + (x + sin y)dy ，其中 L 是由点 L
A（1，1）, B（3，2）, C（3，5）构成的三角形边界,逆时针方向
∫ ( ) 14. 计算曲线积分 ( x + y)2dx − x2 + y2 sin y dy ，其中 L 是由点 A（−1，1）经由 O（0，0） L
到点 B（1，1）的抛物线 y = x2
15. 计算曲线积分 ∫ (x3 − 3y)dx + (x + sin y)dy ，其中 L 是由点 A（a，0）到点 O（0，0）经过圆 L
x2 + y2 = ax 的上半部的路线
∫ 16. 计算曲线积分 xdx + ydy + ( x + y −1) dz ，其中 C 是由点 A（1，1, 1）到点 B（2，3, 4）的 C
直线段.
∫ ( ) 17．计算曲线积分 exarcsin 2 y − 2 y dx + 2ex dy ，其中 C 是由点 A（− 1 ，1）经由
∫ 12. 曲线 C 的方程为 x = 2cost,y = 2sint,0 ≤ t ≤π ，则曲线积分 x2 + y e2 x2+y2 ds = C
∫ 13. 曲线 C 的方程为 x = cos t， y = sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 2x ds 的值为
2
C
∫ 14. 设 L 是从 (0,0) 到(2,2)的直线段,则 x2dx + y2dy = ( )
∫ 7. 计算曲线积分 xdy + ydx ，其中 C 是抛物线 y = 2x2 由点 O（0，0）到点 B（1，2） C
v∫ 8.设 A=
L
xdy x2
− +
ydx y2
，其中
L
为任意一条不包含原点的闭区域
D
的边界曲线。证明：
A
=
0
∫ 9. 计算闭曲线积分 (x + y)dx − (x − y)dy ，其中 L 是由点 A（1，1）, B（3，2）, L
− ∫ ydx = ( ) L A. 4π
B. 102
C. 200 D. −5π
2
∫ 27．设 L 是圆周 x2 + y2 = 4 y 顺时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 12π 3
B. −8π
C. 12 D. −4π
∫ 28. (1, 2) (2x − y) (2dx − dy ) = (0, 0)
∫( ) 2.
计算曲线积分
C
exarctgy
−2y
dx
+
ex
1 1+ y2
dy
，其中 C
是由点
B（1，0）到点
A（−1，0）
的上半圆周 x2 + y2 = 1
∫ 3. 计算曲线积分 (x + y)ds ，其中 C 是由点 O (0，0) , A(1，0) , B (0，1) 为顶点的三角 C
形围线
( ) ( ) ∫ 4. 计 算 曲 线 积 分 ex sin y − y +1 dx + ex cos y −1 dy ， 其 中 C 是 由 点 B（1，0）到 点 C
.
29. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. ( x − y)dx + (x − 2 y)dy
L2
∫ C. ( x − y)dx + (x + 2 y)dy
L2
∫ B ( x − y)dx − (x − 2 y)dy
L2
∫ D. ( x + y)dx − (x − 2 y)dy
L2
30. 全微分 yzdx + xzdy + xydz 的原函数为
L
A. 4 3
B. 8 3
C. 16 3
D. 1 3
∫ 15. 设 L 是由直线 y=x, y=2x, y=1围成的三角形的正向边界,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 1 3
B. 1 2
C. 1 4
D. π 2
16. 若 f (x, y) 具有连续二阶偏导数， L 为圆周 x2 + y2 = 9 正向，
31. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. xdy − ydx L
∫B. (2x − y + 4)dx + (5y + 3x − 6)dy L
∫ ∫ C. (x − y)dx − (x + sin y)dy D. y 2dx + x2dy
L
L
32. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. (x + y)dx − (x − y)dy L
∫ 4. 曲线 C 的方程为 x = 2 cos t,y = 2 sin t,0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 e x2 + y2 ds = C
∫ 5. 曲线 C 的方程为 x = 2 cos t， y = 2 sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 y ds 的值为( ) C
( ) 6. 设 C 为圆周 x2 + y2 = R2 ，则
∫ 18.设 L 是由坐标轴和直线 x + y = 1围成的三角形的正向边界,则闭曲线积分 xdy = ( )
23
L
A. 4π
B. 3 C. 2
D. 2π
∫ 19. 曲线 C 的方程为 x = cos t， y = sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 x ds 的值为( )
2
C
A. 1
B. 1
的一段
4
∫ 10. 计算曲线积分 ( x + y ) ds ，其中 C 是圆周 x2 + y2 = a2 第一象限部分. C
三、第二型曲线积分计算题
∫ 1.计算曲线积分 (x + y +1)dx − (x − y)dy ，其中 C 是由点 B（a，0）到点 A（− a，0）的 C
上半圆周 x2 + y2 = a2
C源自文库
1− 4y2
24
7
O（0，0）到点 B（1 ，1 ）的抛物线 y = x2 24
∫ ( ) 18. 计算闭曲线积分 (4 y + sin x)dx + y3 − 3x dy ，其中 L 是由点 A（1，1）, B（3，2）, L
第 20-21 章思考题与作业题 一、曲线积分思考题
∫ 1. 设 L 为圆周 x2 + y2 = a2 ，则
1 ds =
L a2 + x2 + y2
∫ 2. 曲线 C 的方程为 x = cos t， y = sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 ds = C
∫ 3. 曲线 C 的方程为 ( x − 2)2 + y2 = 4 y ，则曲线积分 ds = C
36. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. (cos x − y)dx − (x − 2sin y)dy
L2
∫ C. (cos x − y)dx + (x + 2 cos y)dy
L2
二、第一型曲线积分计算题
∫ B (cos x − y)dx + (x − 2 cos y)dy
L2
∫ D. (cos x + y)dx − (x − 2sin y)dy L
∫ 1.设曲线 L 是 y2 = 4x 由点 O (0 ，0) 到 A(1，2) 的一段, 计算 y 1+ y2 ds ，
L
4
3
∫ 2. 计算曲线积分 yds ，其中 C 是 y2 = 4x 由点 O (0 ，0) 到 A(1，2) 的一段 C
∫ 3.计算 (x2 + y 2 + z)ds ，其中 L 为螺线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt ( 0≤t ≤2π)的一段 L
5
∫ 5. 计算曲线积分 xdy + ydx ，其中 OA 为点 O(0, 0) 到点 A(1，2) 的抛物线 y = 2x2 . OA
∫ 6. 计算曲线积分 5ydx + 3xdy ，其中 OA 为点 O(0, 0) 到点 A(1，2) 的抛物线 y = 2x2 OA
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
( ) 10. 设 C 为圆周 x2 + y2 = R2 ，则
x 2 + y 2 ds =
∫C 3R 2 + x 2 + y 2
∫ ( ) 11. 曲线 C 的方程为 x = cos t,y = sin t,0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 x2 + y2 ds = C
x 2 + y 2 ds =
∫C 3R 2 + x 2 + y 2
∫ ( ) 7. 设 L 为圆周 x2 + y2 = a2 ，则 x2 + y2 2 ds = L
∫ ( ) 8. 设曲线 L 为下半圆周 y = − 1− x2 ，则曲线积分 x2 + y2 ds = L
∫ 9. 曲线 C 的方程为 x = 4 cos t,y = 4 sin t,0 ≤ t ≤ 2π ，则曲线积分 y ds 的值为( ) C
C
3
2
∫ 7.
计算曲线积分
C
x2
+
2 y2
+
z2
ds
，其中
C
是曲线
x =et
cost,
y =et sint, z =et
(0 ≤ t ≤ 2)
的一段
∫ 8. 计算曲线积分 ( x + y) ds ，其中 C 是圆周 x2 + y2 = 4 . C
∫ 9. 计算曲线积分 ye−xds ，其中 C 是曲线 x = ln(1+ t2 ), y = 2 arctan t − t + 3 (0 ≤ t ≤ 1) C
∫ ( ) 4.求第一型曲线积分 x2 + y2 + z2 ds ，其中 L 为螺旋线 x = a cos t ，y = a sin t, z = bt ， L
0 ≤ t ≤ 2π
∫ 5. 计算曲线积分 y ds ，其中 C 是圆周 x2 + y2 = 1 C
∫ 6. 计算曲线积分 xyzds ，其中 C 是曲线 x = t, y = 2 2t3 , z = 1 t2 (0 ≤ t ≤ 1) 的一段
∫ B (x − y)dx − (x − y)dy L
∫ C. (x − y)dx + (x + y)dy L
∫ D. (x − y)dx + (x − y)dy L
33．全微分 x2dx + y2dy + z2dz 的原函数为
34．全微分 x3dx + y3dy + z3dz 的原函数为 3
35. 求 (x 2 + 2xy − y 2 )dx + (x2 − 2xy − y 2 )dy 的原函数
2
C. 2
D. 0
∫ 20. 设 L 是圆周 x2 + y2 = 1反时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( ) L
∫ 21．设 L 是圆周 x2 + y2 = 2 逆时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 4π
B. −2π
C. 1 D. 2π
∫ 22. 设 L 是圆周 x2 + y2 = 1反时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
∫则
[y +
L
f x (x, y)]dx +
f y (x, y)dy =
1
∫ 17. 平 面 上 曲 线 积 分 xf ( y)dx + x2dy 与 路 线 无 关 , 其 中 f 有 一 阶 连 续 的 导 数 且 C
f (0) = 0 , 则 f (x) = ( )
A. −2x
B. 2x
C. −2x +1 D. 2x +1
C（3，5）构成的三角形边界,逆时针方向
( ) ( ) ∫ 10. 计 算 曲 线 积 分 ex sin y − my dx + ex cos y − m dy ， 其 中 L 是 由 点 A（a，0）到 点 L
B（− a，0）的上半椭圆周 x2 + y 2 = 1 a2 b2
( ) ( ) ∫ 11. 计 算 曲 线 积 分 ex sin y − my dx + ex cos y − m dy ， 其 中 L 是 由 点 A（a，0）到 点 L
34
L
A. 1 2
B. 2 3π
C. 3π
D. 10π
23. 设 L 是 由 坐 标 轴 和 直 线 x + y = 1 围 成 的 三 角 形 的 正 向 边 界 , 则 闭 曲 线 积 分 45
− ∫ ydx = ( ) L A. 4π
B. 10 C. 12
D. −5π
∫ 24．设 L 是圆周 x2 + y2 = 3x 逆时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 12π 3
B. 8π
C. 10
D. 9π 4
∫ 25. 设 L 是圆周 x2 + y2 = 1顺时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
58
L
A. 10π 2
B. 2 10π
C. 13π
D. 10π
26. 设 L 是 由 坐 标 轴 和 直 线 x + y = 1 围 成 的 三 角 形 的 正 向 边 界 , 则 闭 曲 线 积 分 16 25
O（0，0）经过圆 x2 + y2 = ax 的上半部的路线
∫ ( ) 12 ． 计 算 曲 线 积 分 C
exarctgy
−
2y
dx
+
ex
1 1+ y2
dy
， 其 中 C 是 由 点 B（a，0）到 点
A（− a，0）的上半椭圆周
x2 a2
+
y2 b2
=1
6
∫ 13. 计算闭曲线积分 (x3 − 3y)dx + (x + sin y)dy ，其中 L 是由点 L
A（1，1）, B（3，2）, C（3，5）构成的三角形边界,逆时针方向
∫ ( ) 14. 计算曲线积分 ( x + y)2dx − x2 + y2 sin y dy ，其中 L 是由点 A（−1，1）经由 O（0，0） L
到点 B（1，1）的抛物线 y = x2
15. 计算曲线积分 ∫ (x3 − 3y)dx + (x + sin y)dy ，其中 L 是由点 A（a，0）到点 O（0，0）经过圆 L
x2 + y2 = ax 的上半部的路线
∫ 16. 计算曲线积分 xdx + ydy + ( x + y −1) dz ，其中 C 是由点 A（1，1, 1）到点 B（2，3, 4）的 C
直线段.
∫ ( ) 17．计算曲线积分 exarcsin 2 y − 2 y dx + 2ex dy ，其中 C 是由点 A（− 1 ，1）经由
∫ 12. 曲线 C 的方程为 x = 2cost,y = 2sint,0 ≤ t ≤π ，则曲线积分 x2 + y e2 x2+y2 ds = C
∫ 13. 曲线 C 的方程为 x = cos t， y = sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 2x ds 的值为
2
C
∫ 14. 设 L 是从 (0,0) 到(2,2)的直线段,则 x2dx + y2dy = ( )
∫ 7. 计算曲线积分 xdy + ydx ，其中 C 是抛物线 y = 2x2 由点 O（0，0）到点 B（1，2） C
v∫ 8.设 A=
L
xdy x2
− +
ydx y2
，其中
L
为任意一条不包含原点的闭区域
D
的边界曲线。证明：
A
=
0
∫ 9. 计算闭曲线积分 (x + y)dx − (x − y)dy ，其中 L 是由点 A（1，1）, B（3，2）, L
− ∫ ydx = ( ) L A. 4π
B. 102
C. 200 D. −5π
2
∫ 27．设 L 是圆周 x2 + y2 = 4 y 顺时针方向,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 12π 3
B. −8π
C. 12 D. −4π
∫ 28. (1, 2) (2x − y) (2dx − dy ) = (0, 0)
∫( ) 2.
计算曲线积分
C
exarctgy
−2y
dx
+
ex
1 1+ y2
dy
，其中 C
是由点
B（1，0）到点
A（−1，0）
的上半圆周 x2 + y2 = 1
∫ 3. 计算曲线积分 (x + y)ds ，其中 C 是由点 O (0，0) , A(1，0) , B (0，1) 为顶点的三角 C
形围线
( ) ( ) ∫ 4. 计 算 曲 线 积 分 ex sin y − y +1 dx + ex cos y −1 dy ， 其 中 C 是 由 点 B（1，0）到 点 C
.
29. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. ( x − y)dx + (x − 2 y)dy
L2
∫ C. ( x − y)dx + (x + 2 y)dy
L2
∫ B ( x − y)dx − (x − 2 y)dy
L2
∫ D. ( x + y)dx − (x − 2 y)dy
L2
30. 全微分 yzdx + xzdy + xydz 的原函数为
L
A. 4 3
B. 8 3
C. 16 3
D. 1 3
∫ 15. 设 L 是由直线 y=x, y=2x, y=1围成的三角形的正向边界,则闭曲线积分 xdy = ( )
L
A. 1 3
B. 1 2
C. 1 4
D. π 2
16. 若 f (x, y) 具有连续二阶偏导数， L 为圆周 x2 + y2 = 9 正向，
31. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. xdy − ydx L
∫B. (2x − y + 4)dx + (5y + 3x − 6)dy L
∫ ∫ C. (x − y)dx − (x + sin y)dy D. y 2dx + x2dy
L
L
32. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. (x + y)dx − (x − y)dy L
∫ 4. 曲线 C 的方程为 x = 2 cos t,y = 2 sin t,0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 e x2 + y2 ds = C
∫ 5. 曲线 C 的方程为 x = 2 cos t， y = 2 sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 y ds 的值为( ) C
( ) 6. 设 C 为圆周 x2 + y2 = R2 ，则
∫ 18.设 L 是由坐标轴和直线 x + y = 1围成的三角形的正向边界,则闭曲线积分 xdy = ( )
23
L
A. 4π
B. 3 C. 2
D. 2π
∫ 19. 曲线 C 的方程为 x = cos t， y = sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 x ds 的值为( )
2
C
A. 1
B. 1
的一段
4
∫ 10. 计算曲线积分 ( x + y ) ds ，其中 C 是圆周 x2 + y2 = a2 第一象限部分. C
三、第二型曲线积分计算题
∫ 1.计算曲线积分 (x + y +1)dx − (x − y)dy ，其中 C 是由点 B（a，0）到点 A（− a，0）的 C
上半圆周 x2 + y2 = a2
C源自文库
1− 4y2
24
7
O（0，0）到点 B（1 ，1 ）的抛物线 y = x2 24
∫ ( ) 18. 计算闭曲线积分 (4 y + sin x)dx + y3 − 3x dy ，其中 L 是由点 A（1，1）, B（3，2）, L
第 20-21 章思考题与作业题 一、曲线积分思考题
∫ 1. 设 L 为圆周 x2 + y2 = a2 ，则
1 ds =
L a2 + x2 + y2
∫ 2. 曲线 C 的方程为 x = cos t， y = sin t， 0 ≤ t ≤ π ，则曲线积分 ds = C
∫ 3. 曲线 C 的方程为 ( x − 2)2 + y2 = 4 y ，则曲线积分 ds = C
36. 下列曲线积分与路径无关的是( )
∫ A. (cos x − y)dx − (x − 2sin y)dy
L2
∫ C. (cos x − y)dx + (x + 2 cos y)dy
L2
二、第一型曲线积分计算题
∫ B (cos x − y)dx + (x − 2 cos y)dy
L2
∫ D. (cos x + y)dx − (x − 2sin y)dy L
∫ 1.设曲线 L 是 y2 = 4x 由点 O (0 ，0) 到 A(1，2) 的一段, 计算 y 1+ y2 ds ，
L
4
3
∫ 2. 计算曲线积分 yds ，其中 C 是 y2 = 4x 由点 O (0 ，0) 到 A(1，2) 的一段 C
∫ 3.计算 (x2 + y 2 + z)ds ，其中 L 为螺线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt ( 0≤t ≤2π)的一段 L