一条线段最值问题的研究

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l

P

A

图1

C

B A

D

E

图2

C A

E B

D

F

G

图3

C

B A

M

E

D

一条线段最值问题的研究

初中阶段线段最值问题涉及广泛，有一条线段的最值问题，两条及多条线段和的最小值问题，还有两条线段差的最大值问题等，这里主要讨论一条线段最值问题。

基本原理：一条线段由两个点组成，不是动点即为定点，可以按照单动点和双动点分类，也可以按照动点形成的轨迹去分类。初中阶段考察最多的轨迹是直线和圆（或其部分），经过排列组合可以得到多种情形（这里不穷举，只讨论常见部分）。由于压轴题中动点形成的轨迹难以确定，

或者需要转化，所以也是造成部分优生答题困难的

重要原因。

基本情形1：一个定点和一个轨迹为定直线的

动点

如图，给定定点A和直线l上的动点P，利用

“垂线段最短”可知AP与l垂直时AP值最小。

例1.如图1，在⊿ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=90°，

BC=1，D为直线AB上一动点，把点D绕点C顺时针旋转

60°得点E，求BE的最小值．

分析：D的运动轨迹是直线,所以经过旋转后E的运

动轨迹也是直线,所以只需把直线AB绕点C顺时针旋转

60°可得E的轨迹,从而转化成点到直线的距离.

例2.如图2,在⊿ABC中，∠CAB=15°,AC=3,D为直线

AB上一动点(不与A、B重合), ⊿AED为等腰直角三角形且

∠DAE=90°,过E作EF⊥DE,F为垂线上任一动点,G为DF的

中点,求线段CG的最小值.

分析:连接EG、AG 可得⊿ADG≌⊿AEG,从而可知∠

CAG=60°,所以G在直线上运动, 从而转化成点到直线的距

离.

例3.如图3,在直角⊿ABC中，CB=3,CA=4，M为斜边AB

上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M作ME⊥BC于点E，求

线段DE的最小值为 .

分析:连接CM,则CM=DE,则只需求CM的最小值,从而双

动点转化成单动点,并且又一次转化成点到直线的距离.

例4.如图4，⊿ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2，D

是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，

F，连接EF，则线段EF长度的最小值为_________ ．

页脚内容 图6图7

B A 图8（1）图8（2）

B

P A 分析：连接OE 、OF ，可得3OE ，AD=2OE ，而EF= 32

AD ， 从而只需求出AD 的最小值，并且又一次转化成点到直线的距离.

基本情形2：一个定点和一个轨迹为定圆的动点

如图，已知定点A(A 也可在圆内)和圆B 上一动点

P ，且AB=d ，圆B 半径为r ，易知当A 、B 、P 三点共线时的AP 有最大值d+r 和最小值d r -. 例5.如图5，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将

⊿ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到⊿A ′B ′C,取AC 中点E ，A ′

B ′中点P,连接EP ，则在旋转过程中线段EP 的最大值是 ，最小值是 .

分析: 连接CP 可知CP=1,所以P 的轨迹是定圆,所以此题

即可转化成基本情形2.

例6.如图6，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,

点D 在边AC 上且AD=4，连结BD ，,将线段AD 绕点A 旋转，

点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值和最小值.

分析：因为BD=2CF ，所以只需求BD 的最值，而D 的轨迹

是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.

例7.如图7， E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，

满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正

方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．

分析：由全等可以知道∠DAG=∠DCG=∠ABE ，∠GAB=∠GCB ，

从而可知∠AH B=90°，所以H 的轨迹是圆（确切是半圆），所以

此题即可转化成基本情形2.

基本情形3：含有其它轨迹的动点

这种类型的题目有些可以转化成基本情形1和基本情形2，

如例3、例4和例6，有些可以构造三角形，利用三角形第三边

大于两边之差小于两边之和，如图,A 是定点，B 、C 是动点，则

AB AC BC AB AC -≤≤+，当A 、B 、C 三点共线时BC 取到最值. 例8.如图8(1)，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在

边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩

形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到

点O 的最大距离为 .

分析：并不是所有的轨迹都可以求出来，就算求出来初中生也

不一定认识，比方说本题可以作DP ⊥OA ，设AP=a ，DP=b ，由相似

可知OA=2b ，所以点D 的坐标可以假设为（x ，y ）=（b ，a+2b ），

根据221a b +=得，22(2)1y x x -+=，是一个椭圆，所以应该寻求

新的方法.如图8(2)取AB 的中点E,连接OE 、DE 、OD,构成三角形，

显然OD ≤OE+DE,可得最大值OE+DE.