一条线段最值问题的研究
求线段比最值问题的方法研究
求线段比最值问题的方法研究
宋玉海
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2024()5
【摘要】初中数学中,求线段比最值问题难度较大,学生在解答的过程中可能会遇到一些困难。
文章结合几个例题,分析探讨求线段比最值问题的方法,旨在帮助学生突破解题难点,发展学生的思维能力。
【总页数】4页(P18-21)
【作者】宋玉海
【作者单位】山东滨州市无棣县车王镇中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.万变不离本质殊途终须同归——浅析圆中求线段最值问题的应用
2.利用求轨迹的方法求线段的最值解法举例
3.例析求线段最值问题的常用方法
4.例析几何转化方法求解线段和差的最值问题
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线段最值问题总结
数学历史名题与中考数学命题（一）——线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。
但是我这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。
在此特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。
我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。
数学文化现在越来越受到大家的重视，2017年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。
本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。
2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
y
B
M1
O
点M1为最值点， P1D1为所求线段 M
x
D1
H
P1
P
D C
“阿氏圆”问题
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B， 则所有满足PA/PB=k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称 “阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PB＝OP：OB＝OA：OP＝k.
小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。
问 题 ： 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h ， 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 （2）点P选择在何处他回家的时间最短？
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
解题要点：
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
架桥选址类
【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD
浅谈初中数学线段最值问题的求解原理
浅谈初中数学线段最值问题的求解原理摘要：在线段最值问题当中主要包含有线段的最短和与最短差两类，它是初中生在学习几何问题过程中的重难点，所涵盖的知识面比较宽广。
对此为了能够让学生对其相关知识之间的内在联系做出深刻理解，掌握基本的解题技巧，本文就针对当前这类问题解决过程中最常用的定理进行分析，探寻线段最值问题的方法和实质，以供参考。
关键词：初中数学；线段最值问题；求解原理引言：在初中数学当中线路的最值问题比较常见，如有求线段长度的最大值与最小值、线段和或者差的最大值与最小值。
这些问题基本都是来自三角形、四边形等图形，经常和函数问题联系在一起，通过两点之间线段最短、垂直线段最短，以及三角形两边和或者差大于或小于第三边等有关知识，在解题过程中经常需要使用数形结合、分类讨论、方程、转化等基本数学思想，因此绝大多数学生在遇到这类问题的时候往往会手足无措，其实只要认真审题，就通过合适的原理就能够解决问题，所以对其具体的解题原理进行分析具有很大必要性。
一、常见原理在初中数学教材之中关于平面几何有关线段最值问题的定理包含有以下几点：定理一：直线外一点到直线上面所有点所连接的线段之中，垂线段是最短的[1]。
定理二：两点之间线段最短。
定理三：在三角形当中，第三边往往比两边之和小，同时比两边之差大。
定理四：直径是圆当中最长的一条弦。
只有充分掌握这些定理，并明确题目之中给出的已知条件，所要求证的结论和定理适用的对象，并将其和线段最值问题的相关定理相互结合起来，就能够顺利找到解题思路，迅速解出题目。
二、应用（一）定理一例1：一直点A（0,-4）B（8,0）与C（a,-a），如果过点C的圆其圆心是线段AB的中点，那么这个圆它半径的最小值应该为？例题分析：根据题目已知条件能够得到图1，从题意当中的点C是直线y=-x上的任意一点，线段AB其重点是P（4，-2）,圆的半径是PC。
过点P作出直线y=-x的垂线段，那么这一垂线段的长度就是半径的最小值。
初中数学求线段最值的方法
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
求线段最小值常见解法探析
数理化学习求战段最小值素见鮮法採析■马先龙摘要：求线段长的最小值一直是解题的难点.实 际解题时，若能灵活地运用化斜为垂法、特殊位置法、 函数最值法，则可化难为易，顺利解题.关键词：线段；最小值；解法解答几何题时，经常需求线段的最小值.此类问题 往往具有一定的难度,有时甚至让答题者望而生畏.实 际解题时，若能灵活地运用化斜为垂法、特殊位置法、 函数最值法等解法，则可化难为易，顺利解题.一、化斜为垂法 例1如图l ，RtA 4B C 中，AACB - 90°,AC = 4,BC = 2,P 是斜边上的动点（不与/l 、B 重 合），过点P 分别作丄<4C 于点丄S C 于点£,连接则£)£的最小值为分析:如图1，连接CP ,由条件，易知四边形P Z )C £ 是矩形，所以£»£ = C /3,易求C P 的最小值，从而得£»£ 的最小值.解：如图1，连接CP .因为乙= 90°，/lC = 4,BC = 2,^])1AB = 742 + 22 = 2/S "•因为丄/tC ，P £ 丄 fiC ,所以乙PDC == 90。
，又因为 Z 4CB =90°，所以四边形是矩形，所以= CP .过点C作CM 丄/1B 于点M ，根据“垂线段最短”，知CP _ =CM ,所以 = CM •因为 SA 4S C = 士/lC • BC = 士仙2/5 5 5的最小值是4/5".评注:本题先连接CP ,运用矩形的性质进行等线 段代换，得到£»£ = CP .接下来，自然会想到化斜为垂， 去求垂线段CM 的长，问题立刻变得简单了.例 2 如图 2,E 74B C Z > 中，= 2/3,AD =\,L A B C =60°,A E ,F 分别在边AB 、B C 上，A B E F 与BM F C关于直线对称，点B 的对称点落在边/I Z )上，则长的 图2最小值为_______•分析:如图2,由题意，易知= /TF ,易求S T 长的最小值，从而得S F 长的最小值.解：如图2,因为与关于直线£厂对 称，所以因为四边形/1BCD 是平行四边形， 所以/!£> // SC .由条件，点B '、F 分别在/!0、SC 上，过点 4作/1M 丄BC 于点M ，则ZTF m i … = <4紙所以=•在 RtA 4ftW 中，/Ifi = 2v ^"，乙4BC = 60。
一个线段长度之比最值问题的解法整理
．
答案： 3 2 2
3
4．（唐山市 2015-2016 学年高三年级第二次模拟考试）在等边 △ABC 中， M 是 △ABC 内一动点，且
BMC 120 ，则 MA 的最小值为 （ ） MC
A． 1
B． 3 4
C． 3 2
D． 3 3
答案：C
解法 1：将 △ABM 绕点 B 顺时针旋转 60 ，
AD
2
CD CD sin 60 ≥ sin 60 3
AD CE sin CDE
2
1
解法 4：（江苏江阴吴罗勇）将 DAB 绕点 B 顺时针旋转 60 得 △ECB ，
则
CE AD ， △DEB 为正三角形， DEB 60 ，
所以 CED 60 ，所以
故 CD 的最小值为 3 ．
AD
2
CD CD ≥ CH sin 60 3
AD
2
2
训练题
1．（2019 江苏三市三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0, 2) ， B(1, 1) ， P 为圆 x2 y2 2 上
一动点，则 PB 的最大值是
．
PA
答案 2
解法 1：设 P(
2 cos,
2 sin ) ，则
PB2 PA2
( 2 cos 1)2 ( 2 sin 1)2 ( 2 cos )2 ( 2 sin 2)2
一个线段长度之比最值问题的解法整理
整理：广东阳江曾广荣
2020.5.24
题目：在正 ABC 中， D 是 ABC 内一动点，且 ADB 120 ，则 CD 的最小值为
．
AD
答案： 3 2
解法 1：（广东阳江曾广荣）
如图所示：设 CDA ， CAD ，则 DBA CAD ．
初中数学线段最值问题解题技巧
初中数学线段最值问题解题技巧（最新版4篇）目录（篇1）1.线段最值问题的定义和特点2.解题思路和方法3.具体解题步骤和技巧正文（篇1）一、线段最值问题的定义和特点线段最值问题是指在已知线段长度范围内，求取最大或最小值的问题。
此类问题在数学中较为常见，尤其是在几何学和代数中的应用广泛。
其特点在于，通常需要结合线段长度、角度、边长等几何要素进行求解。
二、解题思路和方法1.转化：将问题转化为具体几何模型或代数方程。
2.寻找最大值点：通过观察线段或几何图形，找到最大值点。
3.应用数学知识：利用数学知识求解最大值，如三角函数、勾股定理等。
4.运用数学公式：运用特定数学公式，如辅助线公式、几何倍增等，来寻找最大值。
三、具体解题步骤和技巧1.分析问题：首先需要认真阅读问题，理解问题的要求。
2.构建模型：根据问题建立几何模型或代数方程。
3.寻找最大值点：根据题目中的条件，找到最大值点。
这可能需要对几何图形或代数方程进行深入分析。
4.应用数学知识：使用所学的数学知识求解最大值，例如：三角函数、勾股定理等。
5.验证结果：验证所求得的解是否符合题目要求，必要时进行修正。
总之，解决线段最值问题需要灵活运用数学知识，同时注意分析问题、建立模型、寻找最大值点和应用数学知识等多个步骤。
目录（篇2）一、初中数学线段最值问题解题技巧概述1.解题技巧简介2.解题技巧的应用范围和优势3.解题技巧的适用条件和限制二、初中数学线段最值问题解题技巧详解1.寻找临界点法2.构造辅助线法3.转化角度法4.函数思想法三、初中数学线段最值问题解题技巧的实际应用案例1.题目类型：线段和的最值问题2.题目类型：线段长的最值问题3.题目类型：线段差的的最值问题4.题目类型：三角形中的最值问题正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧是解决线段相关问题的有效工具。
它通过寻找临界点、构造辅助线、转化角度以及运用函数思想等方法，将复杂的问题简单化，从而快速准确地求解。
线段最值问题专题方法
线段最值问题专题方法
线段最值问题？嘿，这可不是个小难题呢！那咱就来说说这线段最值问题的专题方法。
先讲讲步骤吧！你想想，就像在走迷宫一样，得有个方向。
第一步，确定动点轨迹，这可重要啦！要是不知道动点在哪瞎找，那可就像无头苍蝇一样，能找到最值才怪呢！第二步，根据不同的轨迹类型选择合适的方法。
如果是直线型轨迹，那就利用“垂线段最短”这个法宝；要是圆弧轨迹呢，那就得想到圆心和半径啦！
注意事项也不少呢！你可千万别小瞧了这些细节。
首先，一定要仔细分析题目条件，别漏看了任何一个关键信息。
其次，在计算的时候要认真仔细，一个小错误可能就会让你的结果谬以千里。
那这过程中的安全性和稳定性咋样呢？这么说吧，只要你按照正确的步骤来，就像走在平坦的大路上一样安全稳定。
可要是你乱来，那可就危险啦，说不定就会掉进陷阱里。
再说说应用场景和优势。
这线段最值问题在生活中的应用可多啦！比如在建筑设计中，要确定最短的布线路径；在物流运输中，要找到最短的运输路线。
优势嘛，那就是能帮你节省时间、成本，提高效率。
来个实际案例吧！比如说要在河边建一个水泵站，向两个村庄供水，问水泵站建在哪里才能使铺设的管道最短。
这不就是典型的线段最值问题嘛！通过分析，找到两个村庄关于河边的对称点，连接对称点和另一个村庄，与河边的交点就是水泵站的最佳位置。
这样一来，就可以大大节省铺设管道的成本。
咱这线段最值问题的专题方法就是这么厉害！只要你掌握了，就能在各种问题中如鱼得水。
赶紧去试试吧！。
线段和差最值问题论文
线段的和差最值问题探究线段的和差最值问题是最近几年中考的一个热点，承担着区分学生能力差异、分层选拔人才的功能，而最值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，故教师在教学时，应注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维，让他们解题时总有”似曾相识”之感，快速准确地找到解法。
模型一.已知直线上的一个动点p，和直线同侧的两个定点a和b，求pa+pb的最小值。
分析：这个模型在课本上的原创题是：在一条笔直的公路（用直线1表示）的同一旁有两个村庄（用a、b表示），现要在公路边建一个自来水厂，为了使自来水厂向两个村庄铺设的水管道总长最短，则水厂应建在什么位置处？要解决这个问题，找出点a关于直线l的对称点，连结交直线于点p，则点p就是到a、b两村庄的距离之和最短的点的位置。
根据三角形两边之和大于第三边的结论很容易证明这其中的道理。
这是轴对称问题中一个典型的题目。
在此基础上衍变出许多与之相关的问题，我们只需要透过外表看到问题的本质，即找到这些问题的数学模型，就可顺利解决问题，现将有关的应用举例如下：（1）把此模型隐藏在正方形中：正方形abcd的面积为28，△abe 是等边三角形，点e在正方形abcd内,在对角线ac上有一动点p，求pd+pe的最小值。
解：在正方形abcd中，点d关于直线ac的对称点是点b,连接be,交ac与点p,则pd=pb,pd+pe=pb+pe=be,∵正方形的面积为28，∴边长为2√7 ∵△abe是等边三角形，∴be=ab=2√7 ∴pd+pe最小值是2√7（2）此模型在圆柱形中的应用：已知蚂蚁从圆柱形的桶外壁a 点爬到桶内壁的b点去寻找食物，a点到桶口的最短距离ac为12cm,b点桶口的最短距离bd为8cm,弧cd的长为15cm，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？分析：首先把立体图形转化为平面图形。
把圆柱的侧面展开为一个长方形。
线段最值问题
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
，P是⊙O上一点，求AP简析：E是定点，F'是动点，要确定F'点的运动路径。
先确定线段A'B'的运动轨迹是，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F到圆环的最短和最长路径。
E到圆环的最短距离为=EC+CF=3+6=9，其差为简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段在OA、OB的内侧。
所以本题的关键是动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径折得P1、P2，△PMN的周长转化为点P1、P2之间的路径，从而转化为求小值为线段P1P2＝OP＝6。
例5.如图，在锐角△ABC中，ABN分别是AD和AB上的动点，则简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC 时，最小值为2√2。
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”。
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。
如下图：思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。
本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(含答案)
几何探究型问题(针对第25题)线段最值问题“费马点”问题【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题．如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值．例题1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求证：PB＋PC＝PA．证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ．∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°，∴△MPC 是等边三角形，∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP .在△BPC 和△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ BC ＝AC ，∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ，∴△BPC ≌△AMC (SAS)，∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ．2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，连接AD ．∴AD 的长就是△ABC 的费马距离．易得∠ABD ＝90°，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)．答：输水管总长度的最小值为5 km.练习(2019·陕师大附中六模)问题提出(1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′，则CC ′＝______.【解答】由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.问题探究(2)如图2，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由．解题思路将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．易证PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC；由PC＋PF＋EF≥EC，推出当点P，F在直线EC上时，PA＋PB＋PC的值最小，即为EC的长，求出EC的长即可解决问题．【解答】如答图1，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．由旋转的性质可知△PBF是等边三角形，∴PB＝PF.∵P A＝EF，∴P A＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC．∵PC＋PF＋EF≥EC，∴当点P，F在直线EC上时，P A＋PB＋PC的值最小，易得BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，∴EC＝2BC＝32，∴P A＋PB＋PC的最小值为3 2.问题解决(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°.在四边形ABCD内部有一点P，满足∠APD＝120°，连接BP，CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解题思路将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出当EC取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP .易证△BEO ′≌△BPO(SAS)，推出EO ′＝OP ＝433，故点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上，则当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长．【解答】如答图2，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，连接GQ ，EC ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，∴PQ ＋BQ ＋CQ ＝EG ＋GQ ＋QC ≥EC ，∴当EC 取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．如答图3，延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，连接OB ．将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OP.易证△BEO ′≌△BPO (SAS)，∴EO ′＝PO .∵∠APD ＋∠ASD ＝180°，∴A ，P ，D ，S 四点共圆，∴OP ＝433，∴EO ′＝433， ∴点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上， ∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长，连接OO ′，延长OO ′到点R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ，O ′T ⊥CH 于点T ，OM ⊥BC 于点M .易知在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM ＝1133， ∴OB ＝OM 2＋BM 2＝1433， ∴BR ＝3OB ＝14.易知△BHR ∽△OMB ，∴RH BM ＝BR OB，∴RH ＝5 3.∵HR ∥O ′T ∥OM ，OO ′＝RO ′，∴TM ＝TH ，∴O ′T ＝RH ＋OM 2＝1333，∴BT ＝O ′B 2－O ′T 2＝3， ∴CO ′＝CT 2＋O ′T 2＝2633， ∴CE ＝CO ′－EO ′＝2633－433＝2233， ∴PQ ＋BQ ＋CQ 的最小值为2233.类型三 “阿氏圆”问题【问题背景】“PA ＋k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA ＋PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k 取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P 的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．【模型分析】如图1，⊙O 的半径为r ，点A ，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r ＝k ·OB ，连接PA ，PB ，则当PA ＋k ·PB 的值最小时，点P 的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC ，使OC ＝k ·r ，则可证明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB ＝PC ．故求PA ＋k ·PB 的最小值可以转化为PA ＋PC 的最小值，其中A ，C 为定点，P 为动点，当点P ，A ，C 共线时，PA ＋PC 的值最小，如图3.“阿氏圆”模型解题策略：第一步：连接动点与圆心O(一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OP OB ＝k ； 第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OP OB ；第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P .例题如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值． 解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．∵CD CP ＝CP BC ＝12，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12， ∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ， ∴要使AP ＋12BP 最小，则AP ＋PD 最小， 当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小，即AP ＋12BP 的最小值为AD 的长． 在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，∴AP ＋12BP 的最小值为37. 练习问题提出(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值．【解答】∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值，∴线段AC 的最小值为5－2＝3.问题探究(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.①求证：△OAP ∽△OPF .解题思路由题意可得OA OP ＝OP OF ＝12，由相似三角形的判定可得△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝12. ∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝12， ∴OA OP ＝OP OF，且∠AOP ＝∠POF ，∴△OAP ∽△OPF .②求BP ＋2AP 的最小值．解题思路由相似三角形的性质可得PF ＝2AP ，可得BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，即当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长，由勾股定理即可求解．【解答】∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝12， ∴PF ＝2AP .∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长．∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12，∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13.问题解决(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计)解题思路以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．【解答】存在．如答图，以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G .∵BM BP ＝13＝BP BC，且∠PBM ＝∠CBP ， ∴△BPM ∽△BCP ，∴PM CP ＝BM BP ＝13，∴PC ＝3PM . ∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )，∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值．∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°.∵DG ⊥BC ，∴DG ＝12DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)， ∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)，∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元．作业5．(2019·交大附中三模)问题提出(1)如图1，点M ，N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小． 问题探究(2)如图2，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．问题解决(3)如图3，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30 3 米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A，B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)如答图1，连接MN，与直线l交于点K，点K即为所求．(2)如答图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，连接PP′.由旋转的性质，得P′A＝P A＝3，P′C＝PB＝4，∠P AP′＝60°，∠AP′C＝∠APB，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝3，∠AP′P＝60°.∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°.(3)存在．如答图3，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A′BE′，连接EE′.答图由旋转的性质，得A′B＝AB＝30 3 米，BE′＝BE，A′E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A′BA＝60°，∴△E′BE是等边三角形，∴BE＝EE′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ．根据两点之间线段最短，可知当EA ＋EB ＋EC ＝A ′C 时最短，连接A ′C ，与BD 的交点E 2即为所求，此时EA ＋EB ＋EC 最短，最短距离为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥CB 交CB 的延长线于点G . ∵∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°， A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153(米)，∴GB ＝3A ′G ＝3×153＝45(米)， ∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105(米)．在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝(153)2＋1052＝3013(米)， 因此EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013 米． 6．问题提出(1)如图1，已知△OAB 中，OB ＝3，将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°得△OA ′B ′，连接BB ′，则BB ′＝问题探究(2)如图2，已知△ABC 是边长为43的等边三角形，以BC 为边向外作等边三角形BCD ，P 为△ABC 内一点，将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q .①求证：△DCQ ≌△BCP . ②求P A ＋PB ＋PC 的最小值． 问题解决(3)如图3，某货运场为一个矩形场地ABCD ，其中AB ＝500米，AD ＝800米，顶点A ，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P ，在BC 边上(含B ，C 两点)开一个货物入口M ，并修建三条专用车道P A ，PD ，PM .若修建每米专用车道的费用为10 000元，当M ，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留根号)解：(1)由旋转的性质，得∠BOB ′＝90°，OB ＝OB ′＝3， 根据勾股定理，得BB ′＝3 2. (2)①证明：∵△BDC 是等边三角形， ∴CD ＝CB ，∠DCB ＝60°.由旋转的性质，得∠PCQ ＝60°，PC ＝QC ， ∴∠DCQ ＝∠BCP .在△DCQ 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CB ，∠DCQ ＝∠BCP ，CQ ＝CP ，∴△DCQ ≌△BCP (SAS)． ②如答图1，连接AD ，PQ . ∵PC ＝CQ ，∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，∴PQ ＝PC ， 由①知DQ ＝PB ，∴P A ＋PB ＋PC ＝P A ＋QD ＋PQ ，由两点之间线段最短，得P A ＋QD ＋PQ ≥AD ， ∴P A ＋PB ＋PC ≥AD ，∴当点A ，P ，Q ，D 在同一条直线上时，P A ＋PB ＋PC 取得最小值，即为AD 的长，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E . ∵△ABC 是边长为43的等边三角形， ∴CB ＝AC ＝43，∠BCA ＝60°， ∴CD ＝CB ＝43，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝6，∠DAE ＝∠ADC ＝30°， ∴AD ＝12，即P A ＋PB ＋PC 的最小值为12.答图(3)如答图2，将△ADP 绕点A 逆时针旋转60°，得△AD ′P ′.由(2)知，当点M ，P ，P ′，D ′在同一条直线上时，P A ＋PM ＋PD 最小，最小值为D ′M 的长．∵M 在BC 上，∴当D ′M ⊥BC 时，D ′M 取得最小值． 设D ′M 交AD 于点E ，连接DD ′，AM ，DM . 易知△ADD ′是等边三角形，∴EM ＝AB ＝500米， ∴BM ＝400米，PM ＝EM －PE ＝(500－40033)米，∴D ′E ＝32AD ＝4003(米)，∴D ′M ＝(4003＋500)米， ∴最少费用为10 000×(4003＋500)＝ 1 000 000(43＋5)元．∴当M 建在BC 的中点(BM ＝400米)处，点P 在过M 且垂直于BC 的直线上，且在M上方(500－40033)米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为1 000 000(43＋5)元．类型三 “阿氏圆”问题7．(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；问题探究(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋12PD 的最小值；问题解决(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋35MD 的最小值．解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ， 在△BAD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝32.∵P A 2＝9，AE ·AD ＝32×6＝9，∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AEP A.∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝12PD ， ∴PC ＋12PD ＝PC ＋PE .∵PC ＋PE ≥EC ，∴PC ＋12PD 的最小值即为EC 的长，在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝92，∴EC ＝62＋(92)2＝152，∴PC ＋12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225，∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AEMA.∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝35MD ， ∴MC ＋35MD ＝MC ＋ME .∵MC ＋ME ≥EC ，∴MC ＋35MD 的最小值即为EC 的长．如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求． 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋35MD 的最小值为2145.8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －12PC 的最大值；(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －23PC 的最大值为(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －12PC 的最大值为解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG .∵PB BG ＝CBPB＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ， ∴PD ＋12PC ＝PD ＋PG .∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为5.答图(2)106，106.【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝23， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋23PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.∵PD －23PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为106.答图(3)37，37.【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12， ∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG 的长．在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋12PC 的最小值为37.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为37.。
线段最大值问题的常用解法
线段最大值问题是在给定一组线段的情况下，寻找出其中最长的线段。
这个问题在计算机科学和算法设计中经常出现，并且有多种解决方法。
在本文中，我将介绍一些常用的解法，并通过事实举例来说明它们的应用。
一、暴力解法暴力解法是最直观和简单的方法，它通过遍历所有可能的线段组合来找到最长的线段。
具体步骤如下：1. 遍历所有线段的起点和终点，计算每对线段之间的距离。
2. 保存最长的线段长度，并记录起点和终点的位置。
3. 返回最长线段的起点和终点。
尽管暴力解法容易理解和实现，但它的时间复杂度非常高，为O(n^2)，其中n是线段的数量。
因此，在处理大规模数据时，暴力解法的效率较低。
二、排序解法排序解法通过对线段进行排序，然后按顺序检查相邻线段的长度来找到最长的线段。
具体步骤如下：1. 将所有线段按照长度进行排序。
2. 从最长的线段开始，检查相邻线段的长度是否连续增加。
3. 如果长度连续增加，则更新最长线段的长度，并记录起点和终点的位置。
4. 返回最长线段的起点和终点。
排序解法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是线段的数量。
相比于暴力解法，排序解法的效率更高。
然而，排序解法仍然需要遍历所有线段，因此在处理大规模数据时，仍然存在一定的性能限制。
三、动态规划解法动态规划解法是一种高效的方法，它通过利用已解决子问题的结果来解决整个问题。
具体步骤如下：1. 创建一个数组dp，用于保存每个线段的最长长度。
2. 初始化dp数组的第一个元素为1，表示第一个线段的长度。
3. 从第二个线段开始，遍历所有线段，计算每个线段的最长长度。
4. 对于每个线段，检查前面所有线段的最长长度，找到与当前线段相连的最长线段。
5. 更新当前线段的最长长度，并记录起点和终点的位置。
6. 返回最长线段的起点和终点。
动态规划解法的时间复杂度为O(n)，其中n是线段的数量。
相比于暴力解法和排序解法，动态规划解法具有更高的效率和更好的性能。
事实举例：假设有以下线段：[1, 3], [2, 5], [4, 7], [6, 9]。
例谈求线段最值的方法
例谈求线段最值的⽅法例谈求线段最值的⽅法⼏何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下⾯结合⼀些实例谈谈解决此类问题的⽅法.⼀、轨迹法对于线段最⼩值问题，若线段的⼀个端点是定点，另⼀个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是⼀条直线，可以⽤“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或⼀段圆弧)，可以⽤“圆最值模型”解决.圆最值模型如图1, P是⊙O外的⼀点，直线PO分别交⊙O于点,A B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离, PB是点P到⊙O上的点的最长距离.PC OC.证明如图1，在⊙O是任取⼀点C(不为,A B)，连结,Q,<+=+=+,P O P C O C P O P A O A P A O C∴<,P A P C即PA是点P到⊙?O上的点的最短距离.PD OD.如图2，在⊙O是任取⼀点D(不为,A B) ,连接,Q,+>=+=+,PO OD PD PB PO OB PO OD∴>,PB PD即PB是点P到⊙O上的点的最长距离.例1 (2016年⽆锡市中考题)如图3，已知平⾏四边形OABC的顶点,A C分别在直线x=上，O是坐标原点，则对⾓线OB长的最⼩值为.x=和41解析如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平⾏四边形OABC ，所以OA 和BC 平⾏且相等，可得AOE ?和CBF ?全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最⼩，最⼩值为5.例2 (2016年安徽省中考题)如图4,Rt ABC ?中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ?内部的⼀个动点，且满⾜PAB PBC∠=∠，则线段CP 长的最⼩值为( )(A) 32 (B) 2 (c)解析根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=?，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最⼩.13,52OP AB OC ===Q ，所以CP 的最⼩值为532OC OP -=-=, 选B.⼆、构造法对于线段最⼤值问题，若线段的⼀个端点是定点，另⼀个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找⼀个定点，当这三点共线时，线段最⼤.例3 如图5，平⾯直⾓坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第⼀象限⾓平分线上滑动，点C 在第⼀象限，求OC 的最⼤值.解析如图5，取AOB ?外接圆的圆⼼I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=?也是确定的，所以AOB ?外接圆是确定的.那么线段OIBIC ?是确定的，135,1IBC BI BC ∠=?=，可解三⾓形得CI =所以当,,O I C三点共线时，线段OC 取得最⼤值，即为OI CI + 三、转化法对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运⽤转化法，将它转化为求与之有关的另⼀条线段的最值.例4 (2016年三明市中考题)如图6，在等边ABC ?中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .解析如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=?，所以AMN ?是顶⾓为120°的等腰三⾓形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最⼩为AP 垂直BC 时，最⼤为AB ，所以AP 的取值范围是4AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法当线段最值问题从⼏何⾓度很难求解的时候，可以考虑引⼊参数，建⽴函数模型，⽤函数法来解决.例5 如图7，在ABC ?中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上的点，且2EM FM =，则PM 的最⼩值是 .解析由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ?是确定的，tan 2B =;⼜根据作图可知PBF ?形状也是确定的，PF ⼆2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的⼤⼩取决于BF 的⼤⼩，所以引⼊参数.设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.加图7，作MN PF ⊥于点N .2EM FM =Q ,122333MN PE x ∴==-,2433PN PF x ==, 在Rt PMN ?中，222224()()333PM x x =-+，化简得2220116()9545PM x =-+.所以当15BF =时，PM。
2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(包含答案)
几何探究型问题(针对第25题)线段最值问题“费马点”问题【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题．如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值．例题1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求证：PB＋PC＝PA．证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ．∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°，∴△MPC 是等边三角形，∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP .在△BPC 和△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ，∴△BPC ≌△AMC (SAS)，∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ．2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，连接AD ．∴AD 的长就是△ABC 的费马距离． 易得∠ABD ＝90°，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)．答：输水管总长度的最小值为5 km.练习(2019·陕师大附中六模)问题提出(1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′，则CC ′＝______.【解答】由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.问题探究(2)如图2，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由．解题思路将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．易证PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC；由PC＋PF＋EF≥EC，推出当点P，F在直线EC上时，PA＋PB＋PC的值最小，即为EC的长，求出EC的长即可解决问题．【解答】如答图1，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，连接PF，EC．由旋转的性质可知△PBF是等边三角形，∴PB＝PF.∵P A＝EF，∴P A＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC．∵PC＋PF＋EF≥EC，∴当点P，F在直线EC上时，P A＋PB＋PC的值最小，易得BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，∴EC＝2BC＝32，∴P A＋PB＋PC的最小值为3 2.问题解决(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°.在四边形ABCD内部有一点P，满足∠APD＝120°，连接BP，CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解题思路将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG，则PQ＝EG，△BQG是等边三角形，易知PQ＋BQ＋CQ＝EG＋GQ＋QC≥EC，推出当EC取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OB ，OP .易证△BEO ′≌△BPO(SAS)，推出EO ′＝OP ＝433，故点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上，则当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长．【解答】如答图2，将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ，连接GQ ，EC ，则PQ ＝EG ，△BQG 是等边三角形，∴BQ ＝QG ，∴PQ ＋BQ ＋CQ ＝EG ＋GQ ＋QC ≥EC ，∴当EC 取得最小值时，PQ ＋BQ ＋CQ 的值最小．如答图3，延长BA 交CD 的延长线于点S ，作△ADS 的外接圆⊙O ，连接OB ．将线段BO ，BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′，BE ，连接EO ′，OP.易证△BEO ′≌△BPO (SAS)，∴EO ′＝PO .∵∠APD ＋∠ASD ＝180°，∴A ，P ，D ，S 四点共圆，∴OP ＝433，∴EO ′＝433， ∴点E 在以点O ′为圆心，433为半径的圆上， ∴当点E 在线段CO ′上时，EC 的值最小，最小值为CO ′－EO ′的长，连接OO ′，延长OO ′到点R ，使得O ′R ＝OO ′，连接BR ，则∠OBR ＝90°，作RH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ，O ′T ⊥CH 于点T ，OM ⊥BC 于点M .易知在Rt △OBM 中，BM ＝5，OM ＝1133， ∴OB ＝OM 2＋BM 2＝1433， ∴BR ＝3OB ＝14.易知△BHR ∽△OMB ，∴RH BM ＝BR OB，∴RH ＝5 3.∵HR ∥O ′T ∥OM ，OO ′＝RO ′，∴TM ＝TH ，∴O ′T ＝RH ＋OM 2＝1333，∴BT ＝O ′B 2－O ′T 2＝3， ∴CO ′＝CT 2＋O ′T 2＝2633， ∴CE ＝CO ′－EO ′＝2633－433＝2233， ∴PQ ＋BQ ＋CQ 的最小值为2233.类型三 “阿氏圆”问题【问题背景】“PA ＋k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA ＋PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k 取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P 的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．【模型分析】如图1，⊙O 的半径为r ，点A ，B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r ＝k ·OB ，连接PA ，PB ，则当PA ＋k ·PB 的值最小时，点P 的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC ，使OC ＝k ·r ，则可证明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB ＝PC ．故求PA ＋k ·PB 的最小值可以转化为PA ＋PC 的最小值，其中A ，C 为定点，P 为动点，当点P ，A ，C 共线时，PA ＋PC 的值最小，如图3.“阿氏圆”模型解题策略：第一步：连接动点与圆心O(一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OP OB ＝k ； 第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OP OB ；第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P .例题如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值． 解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．∵CD CP ＝CP BC ＝12，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12， ∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ， ∴要使AP ＋12BP 最小，则AP ＋PD 最小， 当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小，即AP ＋12BP 的最小值为AD 的长． 在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，∴AP ＋12BP 的最小值为37. 练习问题提出(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值．【解答】∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值，∴线段AC 的最小值为5－2＝3.问题探究(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.①求证：△OAP ∽△OPF .解题思路由题意可得OA OP ＝OP OF ＝12，由相似三角形的判定可得△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝12. ∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝12， ∴OA OP ＝OP OF，且∠AOP ＝∠POF ，∴△OAP ∽△OPF .②求BP ＋2AP 的最小值．解题思路由相似三角形的性质可得PF ＝2AP ，可得BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，即当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长，由勾股定理即可求解．【解答】∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝12， ∴PF ＝2AP .∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长．∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12，∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13.问题解决(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计)解题思路以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．【解答】存在．如答图，以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G .∵BM BP ＝13＝BP BC，且∠PBM ＝∠CBP ， ∴△BPM ∽△BCP ，∴PM CP ＝BM BP ＝13，∴PC ＝3PM . ∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )，∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值．∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°.∵DG ⊥BC ，∴DG ＝12DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)， ∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)，∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元．作业5．(2019·交大附中三模)问题提出(1)如图1，点M ，N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小． 问题探究(2)如图2，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．问题解决(3)如图3，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30 3 米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A，B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)如答图1，连接MN，与直线l交于点K，点K即为所求．(2)如答图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，连接PP′.由旋转的性质，得P′A＝P A＝3，P′C＝PB＝4，∠P AP′＝60°，∠AP′C＝∠APB，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝P A＝3，∠AP′P＝60°.∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°.(3)存在．如答图3，把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A′BE′，连接EE′.答图由旋转的性质，得A′B＝AB＝30 3 米，BE′＝BE，A′E′＝AE，∠E′BE＝60°，∠A′BA＝60°，∴△E′BE是等边三角形，∴BE＝EE′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ．根据两点之间线段最短，可知当EA ＋EB ＋EC ＝A ′C 时最短，连接A ′C ，与BD 的交点E 2即为所求，此时EA ＋EB ＋EC 最短，最短距离为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥CB 交CB 的延长线于点G . ∵∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°， A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153(米)，∴GB ＝3A ′G ＝3×153＝45(米)， ∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105(米)．在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝(153)2＋1052＝3013(米)， 因此EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013 米． 6．问题提出(1)如图1，已知△OAB 中，OB ＝3，将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°得△OA ′B ′，连接BB ′，则BB ′＝问题探究(2)如图2，已知△ABC 是边长为43的等边三角形，以BC 为边向外作等边三角形BCD ，P 为△ABC 内一点，将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q .①求证：△DCQ ≌△BCP . ②求P A ＋PB ＋PC 的最小值． 问题解决(3)如图3，某货运场为一个矩形场地ABCD ，其中AB ＝500米，AD ＝800米，顶点A ，D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P ，在BC 边上(含B ，C 两点)开一个货物入口M ，并修建三条专用车道P A ，PD ，PM .若修建每米专用车道的费用为10 000元，当M ，P 建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留根号)解：(1)由旋转的性质，得∠BOB ′＝90°，OB ＝OB ′＝3， 根据勾股定理，得BB ′＝3 2. (2)①证明：∵△BDC 是等边三角形， ∴CD ＝CB ，∠DCB ＝60°.由旋转的性质，得∠PCQ ＝60°，PC ＝QC ， ∴∠DCQ ＝∠BCP .在△DCQ 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CB ，∠DCQ ＝∠BCP ，CQ ＝CP ，∴△DCQ ≌△BCP (SAS)． ②如答图1，连接AD ，PQ . ∵PC ＝CQ ，∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，∴PQ ＝PC ， 由①知DQ ＝PB ，∴P A ＋PB ＋PC ＝P A ＋QD ＋PQ ，由两点之间线段最短，得P A ＋QD ＋PQ ≥AD ， ∴P A ＋PB ＋PC ≥AD ，∴当点A ，P ，Q ，D 在同一条直线上时，P A ＋PB ＋PC 取得最小值，即为AD 的长，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E . ∵△ABC 是边长为43的等边三角形， ∴CB ＝AC ＝43，∠BCA ＝60°， ∴CD ＝CB ＝43，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝6，∠DAE ＝∠ADC ＝30°， ∴AD ＝12，即P A ＋PB ＋PC 的最小值为12.答图(3)如答图2，将△ADP 绕点A 逆时针旋转60°，得△AD ′P ′.由(2)知，当点M ，P ，P ′，D ′在同一条直线上时，P A ＋PM ＋PD 最小，最小值为D ′M 的长．∵M 在BC 上，∴当D ′M ⊥BC 时，D ′M 取得最小值． 设D ′M 交AD 于点E ，连接DD ′，AM ，DM . 易知△ADD ′是等边三角形，∴EM ＝AB ＝500米， ∴BM ＝400米，PM ＝EM －PE ＝(500－40033)米，∴D ′E ＝32AD ＝4003(米)，∴D ′M ＝(4003＋500)米， ∴最少费用为10 000×(4003＋500)＝ 1 000 000(43＋5)元．∴当M 建在BC 的中点(BM ＝400米)处，点P 在过M 且垂直于BC 的直线上，且在M上方(500－40033)米处时，修建专用车道的费用最少，最少费用为1 000 000(43＋5)元．类型三 “阿氏圆”问题7．(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；问题探究(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋12PD 的最小值；问题解决(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋35MD 的最小值．解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ， 在△BAD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝32.∵P A 2＝9，AE ·AD ＝32×6＝9，∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AEP A.∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝12PD ， ∴PC ＋12PD ＝PC ＋PE .∵PC ＋PE ≥EC ，∴PC ＋12PD 的最小值即为EC 的长，在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝92，∴EC ＝62＋(92)2＝152，∴PC ＋12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225，∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AEMA.∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝35MD ， ∴MC ＋35MD ＝MC ＋ME .∵MC ＋ME ≥EC ，∴MC ＋35MD 的最小值即为EC 的长．如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求． 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋35MD 的最小值为2145.8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －12PC 的最大值；(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －23PC 的最大值为(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －12PC 的最大值为解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG .∵PB BG ＝CBPB＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ， ∴PD ＋12PC ＝PD ＋PG .∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为5.答图(2)106，106.【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝23， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋23PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.∵PD －23PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为106.答图(3)37，37.【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12， ∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG 的长．在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋12PC 的最小值为37.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为37.。
动点中求线段长度的最值问题
在几何教学中，求线段长度的最小值问题是学生的一大难点，学生往往不知如何入手，在教学中，教师只需进行归类总结，建立模型，使学生掌握相关模型，触类旁通，就不难解决，解决这类问题的基本依据就是：利用两点之间线段最短或点线之间垂线段最短。
一、构建模型
模型1、一个动点，一个定点+一条定直线且动点在直线或部分直线（线段或射线）上运动。
如图：P是直线L外一点，O是直线L上的一个动点，求线段PO长度的最小值。
问题解决：利用直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短（点线之间垂线段最短）。
过P作PO垂直于L，垂足为O。
则点P与直线L上的所有点连线中垂线段PO的长度最短。
.
模型2：两个定点，一个动点，动点在圆或部分圆（弧）上运动。
如图：P是⊙O外一点，点A在⊙O上运动，求线段PA的最小值，
问题解决：运用两点之间线段最短
连接PO交⊙O于A，这里O点、P点是定点，A点是动点，当P、A、O三点共线且P在OA之间时，OA+PA最小，而OA是⊙O的半径，长度不变，所以此时PA最小。
模型3：两个定点，一个动点+一条定直线，动点在直线上或部分直线上（射线或线段）运动。
1。
求线段比最值问题的方法研究
得出
∠BAE = 45° + ∠BAE，∠CEA = ∠EDA + ∠EAD = 45°
中学教学参考
2024·
2024
·2
18
DE
=
CD
DE
的最小值。
CD
1+ 5
，即可
2
数学·解题研究
解：设 AB = AC = 1 ，
∵∠A = 90°，AB = AC ，
∴△ABC
是等腰直角三角形，∠B = 45°，∴BC = 2 AB = 2 ，
BD = 1 - x，过 点 D 作 DF ⊥ BC
于 F（如图 4），则 △BDF 是等腰
直 角 三 角 形 ，得 BF = DF =
DE =
AD 2 + AE 2 =
2
（x + 1），CD =
2
2x2 - 2x + 1
x +1
2
=
2-
图4
2
2
BD =
（1 - x），
2
2
2x2 - 2x + 1 ，CF = BC - BF =
∴ AB = 1 -（-3）= 4，∵ PE ∥ x 轴 ，∴ △EPD ∽
( )
3
PD -t2 - 3t
1
PD PE
，∴
=
=- t +
+
=
DB
DB AB
4
4
2
9
1
3
PD
，∵- < 0，∴当 t = - 时， 的值最大，最大值
DB
16
4
2
3 15
9
为 ，此时点 P 的坐标为 - ， 。
求线段最大值的思路
求线段最大值的思路一、背景介绍在数学中，线段最大值问题是一个经典的优化问题。
它的主要目的是找到一个线段上的最大值，这个最大值可以是线段上任意一个点的函数值，也可以是整个线段上所有点的函数值中的最大值。
二、问题描述给定一个长度为n的数组a，每个元素代表一个点(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
现在需要找到这些点中连成线段后，使得这条线段上所有点对应y坐标之和最大。
三、解决思路1.暴力枚举法暴力枚举法是解决此类问题最简单直接的方法。
具体做法是对于每一条可能存在的线段进行计算，并记录下其y坐标之和。
然后从所有记录中选取最大值即可。
该方法时间复杂度为O(n^2)，并不适用于数据量较大的情况。
2.贪心算法贪心算法通常可以用来解决一些优化问题。
对于本题来说，我们可以将其转化为寻找一条尽可能“陡峭”的线段。
具体做法如下：（1）按照横坐标x从小到大排序；（2）依次遍历每个点，并计算出以该点为左端点的线段的斜率k；（3）选取斜率最大的线段，并将其作为当前最优解；（4）重复步骤2和3，直到遍历完所有点。
该方法时间复杂度为O(nlogn)，适用于数据量较大的情况。
3.动态规划法动态规划法是一种常用的求解优化问题的方法。
对于本题来说，我们可以定义dp[i]表示以第i个点为右端点时，所能得到的最大y坐标之和。
具体做法如下：（1）按照横坐标x从小到大排序；（2）初始化dp[1]=a[1].y;（3）依次遍历每个点i，并计算出以该点为右端点时所能得到的最大y坐标之和：dp[i]=max(dp[j])+a[i].y,其中j<i且a[j].x<a[i].x-a[j].x;（4）选取dp数组中最大值即可。
该方法时间复杂度为O(n^2)，但是可以通过优化转移方程来达到O(nlogn)的时间复杂度。
四、总结线段最大值问题是一个经典的优化问题，可以通过暴力枚举、贪心算法和动态规划法等多种方式来解决。
其中，贪心算法和动态规划法在时间复杂度和实际应用中都有较好的表现。
线段最值问题讲义
线段最值专题线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；2.几何定理(公理)法：应用几何中的不等量性质、定理：（1）斜边大于直角边；（2）两点之间线段最短；（3）垂线段最短；（4）三角形任意两边之和大于第三边.3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系. 【例1】角平分线模型：如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝，∠ABC ＝45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是________.BCAN【例2】将军饮马模型（1）A 、B 是直线l 同侧两点，是在l 上找一点P 使得PA+PB 最小.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BP ，则PB ＋PE 的最小值是________；（3）如图③，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.模型拓展（4）如图④，某人从A 地到河边l 饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a ，最后回到营地B.此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短？DB AClaAB图① 图② 图③ 图④【例3】 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、E C.已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x .（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出的最小值.AB费马点【例4】 在已知△ABC 所在平面上求一点F ，使它到三角形三顶点的距离之和为最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，这个问题中所求的点被人们称为“费马点”.（1）如图①，当△ABC 三内角均小于120°时，F 在△ABC 内部，此时∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°； （2）如图②，当△ABC 有一角(不妨设为∠A )≥120°时，点F 与点A 重合.ABCB C A(F)B图① 图② 图③ 对于（1）给出分析与证明：即当∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°时，F A ＋FB ＋FC 的值最小. 如图③，将△AFC 绕点A 逆时针旋转60°得△AF ′C ′，连接FF ′， 则△AFC ≌△AF ′C ′，AC ′＝AC ，FC ＝F ′C ′，F A ＝F ′A. ∵∠F AF ′＝60°，F A ＝F A ′， ∴△F AF ′为等边三角形.∴F A ＝F ′A ＝FF ′，F A ＋FB ＋FC ＝FB ＋FF ′＋F ′C ′， ∵∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°，∠AFF ′＝60°， ∴B 、F 、F ′、C ′在一条直线上， ∴FB ＋FF ′＋F ′C ′＝BC ′的值最小， 即F A ＋FB ＋FC 的值最小.【拓展】由费马点到多边形的最短连接，可类比提出如下问题： （1）四边形的费马点如何确定？（2）将正方形的四个顶点用线段连接，怎样的连接最短？一、小题专练1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为________.2.如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE ，则DE 的最小值为________.3.如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a ＝________.CBBAE（第1题） （第2题） （第3题）4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为边BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为__________5.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________6.在直角坐标系中，已知两点A (－8，3)、B (－4，5)，以及两动点C (0，n )、D (m ，0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值mn为__________ EDBCA PM CDA（第4题） （第5题） （第6题）7.若P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则点P 叫做△ABC 的费马点. （1）如图①，若点P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC ＝60°，P A ＝3，PC ＝4，则PB 的值为________； （2）如图②，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′连接BB ′.求证：BB ′过△ABC 的费马点P ，且BB ′＝P A ＋PB ＋P C.B CDAB'AB图① 图②8.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长.NEBAM。
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页脚内容
l
P
A
图1
C
B A
D
E
图2
C A
E B
D
F
G
图3
C
B A
M
E
D
一条线段最值问题的研究
初中阶段线段最值问题涉及广泛，有一条线段的最值问题，两条及多条线段和的最小值问题，还有两条线段差的最大值问题等，这里主要讨论一条线段最值问题。
基本原理：一条线段由两个点组成，不是动点即为定点，可以按照单动点和双动点分类，也可以按照动点形成的轨迹去分类。
初中阶段考察最多的轨迹是直线和圆（或其部分），经过排列组合可以得到多种情形（这里不穷举，只讨论常见部分）。
由于压轴题中动点形成的轨迹难以确定，
或者需要转化，所以也是造成部分优生答题困难的
重要原因。
基本情形1：一个定点和一个轨迹为定直线的
动点
如图，给定定点A和直线l上的动点P，利用
“垂线段最短”可知AP与l垂直时AP值最小。
例1.如图1，在⊿ABC中，∠CAB=30°，∠CBA=90°，
BC=1，D为直线AB上一动点，把点D绕点C顺时针旋转
60°得点E，求BE的最小值．
分析：D的运动轨迹是直线,所以经过旋转后E的运
动轨迹也是直线,所以只需把直线AB绕点C顺时针旋转
60°可得E的轨迹,从而转化成点到直线的距离.
例2.如图2,在⊿ABC中，∠CAB=15°,AC=3,D为直线
AB上一动点(不与A、B重合), ⊿AED为等腰直角三角形且
∠DAE=90°,过E作EF⊥DE,F为垂线上任一动点,G为DF的
中点,求线段CG的最小值.
分析:连接EG、AG 可得⊿ADG≌⊿AEG,从而可知∠
CAG=60°,所以G在直线上运动, 从而转化成点到直线的距
离.
例3.如图3,在直角⊿ABC中，CB=3,CA=4，M为斜边AB
上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M作ME⊥BC于点E，求
线段DE的最小值为 .
分析:连接CM,则CM=DE,则只需求CM的最小值,从而双
动点转化成单动点,并且又一次转化成点到直线的距离.
例4.如图4，⊿ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2，D
是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，
F，连接EF，则线段EF长度的最小值为_________ ．
页脚内容 图6图7
B A 图8（1）图8（2）
B
P A 分析：连接OE 、OF ，可得3OE ，AD=2OE ，而EF= 32
AD ， 从而只需求出AD 的最小值，并且又一次转化成点到直线的距离.
基本情形2：一个定点和一个轨迹为定圆的动点
如图，已知定点A(A 也可在圆内)和圆B 上一动点
P ，且AB=d ，圆B 半径为r ，易知当A 、B 、P 三点共线时的AP 有最大值d+r 和最小值d r -. 例5.如图5，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将
⊿ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到⊿A ′B ′C,取AC 中点E ，A ′
B ′中点P,连接EP ，则在旋转过程中线段EP 的最大值是 ，最小值是 .
分析: 连接CP 可知CP=1,所以P 的轨迹是定圆,所以此题
即可转化成基本情形2.
例6.如图6，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12,
点D 在边AC 上且AD=4，连结BD ，,将线段AD 绕点A 旋转，
点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值和最小值.
分析：因为BD=2CF ，所以只需求BD 的最值，而D 的轨迹
是定圆,所以此题即可转化成基本情形2.
例7.如图7， E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，
满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正
方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．
分析：由全等可以知道∠DAG=∠DCG=∠ABE ，∠GAB=∠GCB ，
从而可知∠AH B=90°，所以H 的轨迹是圆（确切是半圆），所以
此题即可转化成基本情形2.
基本情形3：含有其它轨迹的动点
这种类型的题目有些可以转化成基本情形1和基本情形2，
如例3、例4和例6，有些可以构造三角形，利用三角形第三边
大于两边之差小于两边之和，如图,A 是定点，B 、C 是动点，则
AB AC BC AB AC -≤≤+，当A 、B 、C 三点共线时BC 取到最值. 例8.如图8(1)，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在
边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩
形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到
点O 的最大距离为 .
分析：并不是所有的轨迹都可以求出来，就算求出来初中生也
不一定认识，比方说本题可以作DP ⊥OA ，设AP=a ，DP=b ，由相似
可知OA=2b ，所以点D 的坐标可以假设为（x ，y ）=（b ，a+2b ），
根据221a b +=得，22(2)1y x x -+=，是一个椭圆，所以应该寻求
新的方法.如图8(2)取AB 的中点E,连接OE 、DE 、OD,构成三角形，
显然OD ≤OE+DE,可得最大值OE+DE.
页脚内容
9图10
图11B
B
图13D 例9.如图9,在⊿AOB 中，AB=OB=2，在⊿COD 中，CD=OC=3, 连
接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点. 固定⊿AOB ，
将⊿COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
分析：连接BM 可知∠BMC=90°,所以BC=2PM,所以只需求BC
的最大值即可, BC 、OB 、OC 构成三角形，显然BC ≤OB+OC,可得最
大值5.
例10,如图10,在Rt ⊿ABC 中, ∠ACB=90°,BC=6,tan ∠BAC=0.5.点D 在边
AC 的三等分处,将线段AD 绕点A 旋转,
连接BD,F 为BD 的中点,求线段CF 的最大值. 分析：取AB
中点G ，连接FG 、CG ，可得CG=，FG=2，
又FG 、CG 、CF 构成三角形，显然CF ≤FG+CG,可得最大值
2. 基本情形4：两个轨迹为定直线的动点
这里不讨论两条直线相交情况，如图A 、B 线a 、b 上的动点，且a ∥b ，则当AB ⊥a 时AB 有最小值例11,如图11,在等腰直角⊿ABC 中，BAC=90°,AB=2，E 、F 为直线BC 上的动点，M 和E 关于直线AB 对称，AP 由线段AF 逆时针旋转90°得到，求线
段PM 的最小值.
分析：这里M 和P 形成的轨迹都是直线，并且平行，可以转化成两条平行线之间的距离.
基本情形5：两个轨迹为分别为定圆和定直线的动点
直线和圆位置关系有三种情况,情况.如图圆O 与直线l 相离,A 、P 分别为直线l 和圆P 显然当OA ⊥l 且O 、A 、P 共线时线段AP 取到值.设O 到直线l 距离为d,圆O 半径为r,则AP 的最大值为d+r,最小值为例12,如图12, 在⊿ABC 中，∠BAC=45°, ∠ABC=60°, CB=2，D 为AC 右侧一动点，且点D 和点B 到AC 的距离相等，E 为BC 下方一动点，且∠BAC=∠E ，求线段DE 的最大值.
分析：这里E 的轨迹是一段圆弧，D 的轨迹是一条与圆相离的直线，从而可以转化成上述情形.
基本情形6：两个轨迹为定圆的动点
由于两圆的位置关系比较多,这里只讨论相离的情况.如图
A 、
B 是圆O 和圆P 上的动点，则当A 、B 、O 、P 四点共线时取
到最值.设圆心距为d,两圆半径分别为r 和R,则AB 的最大值为
d+r+R ，最小值为d-r-R. 例13,如图13, 在正方形ABCD 和正⊿ABE 中,AB=2，K 、G 、F 、J 分别是边AB 、BC 、CD 、AE 上的动点，且AK=EJ ，DF=CG ，
AF 、DG 交于H ，EK 、BJ 交于L ，求线段HL 的最小值.
分析:易知∠AHD=90°, ∠ELB=120°,所以动点H 、L 的轨迹都是圆的一部分，并且两圆相离，从而可以转化成上述情形.
四点补充与说明:基本情形1～3比较常见,4～6比较少见,所以例题安排不均,,其它的好多情形限于篇幅不涉及;双动点如果是关联的一般可以转化,如果是独立的,应考虑两种常见轨迹;直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线在转化时可能要用到,所以对中点须敏感;线段大小确定但位置不确定和角的大小确定但位置不确定的动点它的轨迹往往是圆或其部分.
数学问题范围很广,所以研究时只能抓住一点;数学问题千变万化,所以在变化中只能抓住规律,寻求不变量.
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