水星进动问题的解析近似解及误差分析

水星进动问题的解析近似解及误差分析

摘要：利用摄动重整化群法得出描述水星进动问题的爱因斯坦方程初值问题的渐近近似解，并利用非线性Gronwall不等式给出了近似解的误差分析，证明了近似解的大范围一致有效性。

关键词：重整化群方法爱因斯坦方程误差估计

1、引言

水星进动现象是水星的近日点在它的轨道平面上移动，每百年向前移动5601角秒左右。这一观测值比根据牛顿定律推算出来的值偏高43角秒，我们称这个值为水星近日点反常进动。如何解释水星的近日点反常进动曾在很长时间内困扰着人们。1915年，爱因斯坦根据广义相对论[1]，对牛顿定律得出的模型，成功地解释了这个问题。王庚曾在《水星近日点进动的建模与摄动解》[2]一文中对该问题进行建模与求解。结合文献[1][2]中所引用的数据，可以得到无量纲化后的模型如下：

（1）

其中，为水星的离心率，是由光速、水星椭圆轨道半长轴及单位质量角动量决定的。方程（1）也被称为是爱因斯坦方程[3]，其中右端的二次项是根据相对论原理对牛顿力学模型的一级修正项。

（1）是一个典型的摄动问题。常用的摄动方法有匹配渐进展开法、多重尺度方法、WKB方法以及平均法[4，5]。但为了保证所得渐近展开式的一致有效性，对不规则部分可能出现的小参数的分数次幂等需要进行必要的渐近匹配，这使得这些方法应用受到一定的限制。近年来，重整化群方法已经成为处理微分方程中不规则现象的一个有力工具，因为它在构造渐进展开式时，它不需要对摄动序列的结构做出特别的假设，也不需要使用渐进匹配，而是直接生成适用于问题的渐进序列。

本文将用重整化群求问题（1）的解析近似解，并给出近似解一致有效的误差估计。

2、利用摄动重整化群法求近似解

设问题（1）的解为

（2）

其中，表示复共轭。将（2）代入到方程（1）的方程中并比较上式两边指数函数的系数可得出下面方程组

（3）

设

（4）

（5）

（6）

将（4）代入（3）中第一个方程可以得到：

比较上式两边，可得

所以可以解出

（7）

由（3）中第二个方程和（7）式可得

（8）

将（5）代入（6）式中，可得

比较系数可知

所以，其中是常数。又由初值条件可知

及，所以，即。

由（3）的第三个方程可以得到（9）

将带入（9）可得。因此问题的近似解为

近日点处最小，取最大值，则有

当时，；当时，。令表示两个连续的近日点之间的夹角，则根据定义可知近日点的反常进动为

（10）

将代入（10）可得，因为水星公转的周期为0.24085年，则每一百年水星绕太阳约415周，从而可知水星的反常进动为约为/百年。这一结果与观测值/百年十分接近。

3、误差分析

设，，

代入（1）可得

（11）

由（11）式可以解得：

（12）

由

且

所以得到：存在正数，使

（13）

记，则

从而

结合（13）可知：对于给定正实数，存在，，当且时，使得

即所求的近似解在上一致有效。

4、结语

本文用重整化群方法求水星近日点的进动问题简化模型的近似解，根据所得的结果计算出水星近日点的进动约为/百年，这一结果与观测值非常吻合；随后，利用非线性Gronwall不等式，证明了对于给定正实数，存在，当且时近似解一致有效。

参考文献

[1]范岱年，赵中立，徐良英编译.爱因斯坦.广义相对论揭示水星近日点运动

[C].爱因斯坦文集，北京：商务印书馆，1997：268-277.

[2]王庚.水星近日点进动的建模与摄动解[J].数学的实践与认识，2003年第33卷11期：1-5.

[3]HOLMES M H.Introduction to Perturbation Methods[M].Springer-Verlag，1999.

[4]钱伟长.摄动方法及其在力学中的应用[M].北京：科学出版社，1965.

[5]Nayfeh.A H.Perturbation Method[M].New York：Wiley-interscience，1973.