小升初几何模型微课(6)——沙漏模型
沙漏模型的面积比
沙漏模型的面积比
沙漏模型是一种用来表示社会结构的模型，它由一个大的圆形和一个小的圆形组成，大圆形代表社会的上层，小圆形代表社会的下层。
沙漏模型的面积比可以反映出社会的不平等程度，即上层人口占总人口的比例。
如果上层人口占总人口的比例较大，则沙漏模型的面积比也会较大；反之，如果上层人口占总人口的比例较小，则沙漏模型的面积比也会较小。
因此，沙漏模型的面积比可以反映出社会的不平等程度，从而为政府制定改善社会不平等的政策提供参考。
小学奥数几何模型 之 蝴蝶模型+沙漏模型 非常完整版讲义 例题+作业 带答案
小学几何模型之蝴蝶模型准备练习梯形中的蝴蝶模型梯形的两个翅膀相等。
左=右例题1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形AOD 与三角形DOC的面积分别是16平方厘米与24平方厘米，求梯形ABCD的面积。
△AOB的面积为24cm2△BOC的面积：24×24÷16=36（cm2）梯形ABCD的面积：16＋24＋24＋36=100（cm2）练习1如图：在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形DOC 与三角形BOC的面积分别是35平方厘米与49平方厘米，求三角形AOD的面积。
△AOB的面积为35平方厘米△AOD的面积：35×35÷49=25（cm2）例题2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是7平方厘米，三角形BCH的面积是9平方厘米，求四边形EGFH的面积。
连接EF四边形EGFH的面积：7＋9=16（cm2）练习2如图：长方形ABCD被一些直线分成了若干部分。
已知三角形ADG的面积是24平方厘米，三角形BHC的面积是17平方厘米，求四边形GEHF的面积。
连接EF四边形EGFH的面积：24＋17=41（cm2）风筝模型例题3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
已知其中三个小三角形的面积，求三角形CDG的面积。
△CDG的面积：3×8÷4=6（cm2）练习3如图：一个不规则四边形被两条对角线分成四个小三角形。
已知其中三个小三角形的面积，求三角形ABG的面积。
△ABG的面积：8×6÷12=4（cm2）例题4如图：四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
已知三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米，求三角形BOC的面积。
OC:OA=50:30=5:3△BOC和△AOB是等高模型面积比为5:3△BOC的面积为:48÷（5＋3）×5=30（cm2）练习4如图：一个园林形状如四边形ABCD，现测得三角形BCD的面积是25公顷，三角形ABC 的面积是24公顷，三角形ABD的面积是15公顷。
沙漏模型【范本模板】
沙漏模型【1】在正方形ABCD中,DE=CE，BF：FD=2:3，那么,CG：GF= AC：FM=【2】在正方形ABCD中，DG:GC=2：1，BE:EC=1：3，那么，AD：EF= AD：CF= DH:HE=【3】在正方形ABCD中，DM：MC=1:2，BF:FC=1：2，AE=ED，那么, EM:MN= ED:CN= DG:GF= ED：FN=【4】在正方形ABCD中，BF=FC，DE：EC=4：1，那么，AH：HF= BG：GD= AG:GE=【5】在长方形ABCD中，3BF=FC，AD:ED=2:1，那么,AE：BF= AG:GF= HF:HD=BG:GE= DR：RC= ER：RB=【6】正方形ABCD的边长为4，正方形CEFH的边长为6，那么BN:NF= HM:ME= FM：MB=【7】在长方形ABCD中,△EFD的面积为15，△DFC的面积为35，那么ED:BC= DF：FB= △ABE的面积=【8】已知长方形ABCD的面积为120，且△ABF的面积是30，△ADE的面积是40,那么，BF:FC= DE:EC=【9】如图,边长为1正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。
（07年人大附考题）第一步:求阴影部分面积，利用（）转化为求线段比：（）第二步:用（）求线段比。
【10】2CF=BD,3BE=CE，长方形ABCD的面积为1,求阴影部分面积？第一步：求阴影部分面积，利用（)转化为求线段比：（）【11】正方形ABCD的边长为4,正方形CEFH的边长为6,那么△HMF的面积是多少？第一步:求阴影部分面积，利用（）转化为求线段比：（）第二步：用（)求线段比.【12】如图AE=ED，CF=3BF，GD=2CG，长方形ABCD的面积为1,求阴影部分面积？第一步：求阴影部分面积，利用（)转化为求线段比:（）第二步：用（）求线段比。
【13】如图AG=2HD，1.5GC=GD,长方形ABCD的面积为1，求阴影部分面积？第一步：求阴影部分面积，利用（）转化为求线段比：（）【14】如图AE=2EB,AF=FD，长方形ABCD的面积为1，求阴影部分面积?第一步：求阴影部分面积，利用（)转化为求线段比：（）第二步：用（）求线段比。
沙漏模型的基本原理
沙漏模型的基本原理沙漏模型是一种用来描述时间管理和工作效率的模型，它源自于古代的沙漏，通过对时间的合理分配和利用，来提高工作效率和生产力。
沙漏模型的基本原理主要包括以下几个方面：一、集中注意力。
沙漏模型的第一个原理是集中注意力。
在工作中，我们经常会遇到各种干扰和诱惑，比如手机、社交网络、聊天等等，这些都会分散我们的注意力，影响工作效率。
而沙漏模型要求我们在工作的特定时间段内，将注意力集中在当前的任务上，不受外界干扰，这样可以更加高效地完成工作。
二、分段工作。
沙漏模型的第二个原理是分段工作。
沙漏模型将工作时间分为若干个时间段，比如25分钟为一个时间段，每个时间段结束后休息5分钟。
这样的分段工作方式可以让我们在工作时保持高度的集中和专注，同时在休息时可以放松一下，调整状态，为下一个工作时间段做好准备。
三、循环往复。
沙漏模型的第三个原理是循环往复。
在完成一个工作时间段后，我们可以休息一下，然后再开始下一个工作时间段，循环往复地进行。
这样可以让我们保持高效的工作状态，不至于长时间地疲劳和压力过大，同时也可以让我们更好地掌控工作进度。
四、适度休息。
沙漏模型的第四个原理是适度休息。
在工作中，适度的休息是非常重要的。
适当的休息可以让我们放松身心，缓解疲劳，调整工作状态，提高工作效率。
沙漏模型将工作时间和休息时间合理地分配，可以让我们在工作和休息之间找到平衡，保持良好的工作状态。
五、持续改进。
沙漏模型的第五个原理是持续改进。
沙漏模型强调的是持续不断地改进工作方法和提高工作效率。
通过不断地实践和总结经验，我们可以发现工作中的不足和问题，并找到解决的办法，从而不断地提高工作效率和质量。
总结。
沙漏模型的基本原理包括集中注意力、分段工作、循环往复、适度休息和持续改进。
通过合理地运用这些原理，我们可以更好地管理时间，提高工作效率，实现个人和团队的目标。
希望大家能够认真思考并应用这些原理，让工作变得更加高效和有成效。
几何第25讲_沙漏模型(学生版)A4
相似三角形模型，就是形状相同，大小不同的三角形．沙漏模型是特殊的相似三角形． 1．AD AE DE AFAB AC BC AG===（对应线段之比等于相似比）2．22::ADEABCS SAF AG =（面积比等于相似比的平方）重难点：寻找平行线，进而找到沙漏模型，利用沙漏模型解决线段比例关系或图形的面积比例关系．几何第25讲_沙漏模型F GACBDE沙漏模型题模一：简单沙漏模型例1.1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =3:2，则DO :OB =__________．例1.1.2如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．例1.1.3如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长12厘米，BC 长20厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．题模二：梯形沙漏例1.2.1如图，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?例1.2.2梯形ABCD 的面积是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO 的面积是多少？A BCDOADB CO例1.2.3如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC 、BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是____________平方厘米．题模三：构造沙漏例1.3.1如图所示，已知长方形ABCD 中，△FDC 的面积为4，△FDE 的面积为2，则阴影四边形AEFB 的面积为多少？例1.3.2如图，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，则图中阴影部分的面积为____________．例1.3.3如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块．已知其中3块面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为__________平方厘米．OABDC FA BDC E42ABCODE例 1.3.4如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．例 1.3.5如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．例1.3.6如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．例1.3.7已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是___________平方厘米．OEAB C DABC DEFO258?A HG FE D CB AOEDC B例1.3.8如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？例 1.3.9如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．例1.3.10如图，正方形ABCD 和正方形CGEF ，AG 交CF 于点H ，且CF =3CH ，△CHG 的面积是6，求正方形ABCD 的面积．随练1.1如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，AB :DC =2:1，则DO :OB =____________．随练1.2如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．H G FEDCBAABCDO随练1.3如图，梯形ABCD中，:2:5AB CD=．已知△COD的面积是5，那么梯形的面积是多少？随练1.4如图，22S=，34S=，则梯形的面积为________．随练1.5如图所示，正方形ABCD的面积是1，M是AB边的中点，则图中阴影部分的面积为__________．随练1.6如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．随练1.7如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？S4S3S2S1AOD CBAOD CB作业1如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．作业2如图，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点O ，AD 长9厘米，BC 长15厘米，BO 比OD 长4厘米，那么BD 长__________厘米．作业3如图，DC 平行AB ，AC 和DB 交于点O ，DO 长4厘米，OB 长10厘米，AO 长15厘米，那么OC 长__________厘米．A HG FED C BAODCB ADB COA BCDO作业4如图，梯形ABCD 中，DC 平行AB ，且AB :DC =2:1，请问图中4块小三角形的面积比，即S 1:S 2:S 3:S 4是__________．作业5梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，则三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比为________．作业6如图，在梯形ABCD 中，三角形BCO 的面积是18平方厘米，三角形OCD 的面积是12平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是__________平方厘米．作业7图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．作业8下图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米．O ABCD ABCDO S 1 S 2S 3S 4ADB CO作业9如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．作业10如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．HFE CDG BA。
沙漏模型的推导过程
沙漏模型的推导过程
沙漏模型的推导过程是基于拐点定理，把储存的热量视作一滴油，假设油在容器中以沙漏的形式慢慢流失，下面分析沙漏模型的推导过程：
（1）先定义系统的拐点，即系统有几个拐点，比如现在有一个有储存的热量的容器，那它就有一个拐点；
（2）用拐点定理来计算拐点沙漏流失热量的速度，用热容量和拐点残差定义：
$V=\frac{q}{\delta T}$
其中V是拐点流量，q是热量储存量，$\delta T$是拐点残差；
（3）再计算热量流失速度：用时间定义热量流失率，即热量每单位时间流失的量，用下式定义：
$\frac{dQ}{dt}=V$
其中Q是热量储存量，t是时间变量，V是拐点流量；
（4）最后求出热量与时间的函数关系，即沙漏模型：
$Q(t)=-V\cdot t+Q_0$
其中Q(t)是热量储存量随时间t变化的函数关系，Q0是初始热量储存量，V是拐点流量。
小升初数学几何五大几何模型
.五大几何模型知识框架一、等积模型A BC D①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDS△BCD；反之，如果 S△ACD S△BCD，那么可知直线AB 平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．S△ABC : S△ADE(AB AC) : (AD AE)(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理〞)：① S1 :S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OC1243 S S : S S蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规那么四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．DA S 1S 2S 4 OS 3B C梯形中比例关系 ( “梯形蝴蝶定理〞)：① S1 : S3 a 2 : b2② S1 :S3 :S2 :S4 a 2 : b 2 : ab : ab ；③S的对应份数为 a b 2 ．AaDS 1S 2S 4OS 3BbC④四、相似模型(一)金字塔模型(二) 沙漏模型A E F DAD F EB GC BG C① AD AE DE AF ；AB AC BC AG② S△ADE：S△ABC AF2 :AG2．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似 )，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理〔燕尾定理〕有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
沙漏模型定理
沙漏模型定理引言：沙漏模型定理是指在一定的时间范围内，人类的注意力和精力是有限的，呈现出沙漏形状的分布规律。
这个定理揭示了人类在处理信息和任务时的优先级和局限性，对于个人时间管理和工作效率提升有着重要的指导意义。
一、沙漏模型的原理沙漏模型的原理可以用一个倒置的沙漏形状来描述。
上半部分代表了人们在规定时间内所能承担的任务和注意力，下半部分则代表了人们在同一时间内所能处理的任务数量和注意力分配。
初始阶段，人们会将大量的任务和注意力放在工作中，随着时间的推移，人们的注意力和精力会逐渐减少，只能集中在少量的事务上。
这种分布呈现出沙漏形状，即初始和结束阶段能够处理的任务较多，而中间阶段则能力下降，只能处理较少的任务。
二、沙漏模型的应用1. 时间管理：沙漏模型定理告诉我们，在工作的开始和结束阶段应该集中注意力和精力，高效地完成任务。
而在中间阶段，可以适当休息和放松，以恢复精力和提高工作效率。
2. 任务优先级：沙漏模型定理也指导我们合理安排任务的优先级。
在工作开始时，应该先处理那些重要紧急的任务，确保能够在注意力和精力充沛时完成。
而在工作结束前，可以处理一些次要的任务，以保证整体工作的完成度。
3. 分解大任务：对于较大的任务，可以根据沙漏模型定理将其分解成多个小任务，并在开始和结束阶段集中精力进行处理。
这样可以避免在中间阶段精力不足导致任务无法完成。
4. 制定工作计划：根据沙漏模型定理，可以合理制定工作计划，将重要的任务安排在开始和结束阶段，将次要的任务安排在中间阶段。
这样可以更好地利用注意力和精力，提高工作效率。
5. 避免信息过载：沙漏模型定理也提醒我们要避免信息过载。
在工作的开始阶段，人们会有较高的信息处理能力，但随着时间的推移，会逐渐减少。
因此，在处理信息时，要抓住重点，避免被琐碎的信息所困扰。
三、如何应对沙漏模型1. 合理规划时间：根据沙漏模型定理，我们可以合理规划时间，将重要的任务安排在开始和结束阶段，将次要的任务安排在中间阶段，以提高工作效率。
相似模型
日期：2020.02.02
目 录
专题解析 例题讲解 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
相似模型 相似模型作为诸多几何模型中最为重要的一种，也是随后学习过程中应用最广泛的一个基础模型， 其主要研究的是三角形对应线段的长度比，及三角形面积比与对应线段比之间的关系.
基本要求 相似模型的基本形式较多，其中“金字塔模型”和“沙漏模型”是目前接触最多的两种形式，也 是我们现阶段学习的重点.
例题讲解
例2：如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是8和12，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练2：3个同样大小的正方形如图放置，已知正方形边长是6，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例3：如图，正方形ABCD的边长是10，E、F分别是BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
AB BD DA CA AD CD
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC的面积是18，D、E分别是AB的三等分点，F、G分别是AC的三等分点， 求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练1：如图，三角形ABC的面积是1，D、E分别是AB的三等分点，F、G分别是AC的三等分点， 求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例5：如图，正方形ABCD的边长是1，E是BC的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练5：如图，CD的三等分点，F、G分别是BG、 BC的中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例6：如图，正方形ABCD的边长是1，边上各点均为中点，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练6：如图，正方形ABCD的边长是3，边上各点均为三等分点，求图中阴影部分的面积.
总集篇-七种典型几何模型【七大考点】-2024年小升初数学(原卷版)
总集篇·七种典型几何模型【七大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是难点03：总集篇·七种典型几何模型。
本部分内容以七种典型几何模型为主，其中包括一半模型、等高模型、等积变形模型、鸟头模型、蝴蝶模型、相似模型、燕尾模型等，绝大部分考点属于思维拓展内容，考点考题综合性极强，难度极大，建议作为小升初复习难点内容，再根据学生实际水平和总体掌握情况，选择部分考点进行讲解，一共划分为七个考点，欢迎使用。
【第二篇】目录导航篇【考点一】几何模型其一：一半模型 (2)【考点二】几何模型其二：等高模型 (3)【考点三】几何模型其三：等积变形 (5)【考点四】几何模型其四：鸟头模型 (9)【考点五】几何模型其五：蝴蝶模型（风筝模型或任意四边形模型） (11)【考点六】几何模型其六：相似模型 (13)【考点七】几何模型其七：燕尾模型 (15)【第三篇】知识总览篇【第四篇】典型例题篇【考点一】几何模型其一：一半模型。
【方法点拨】对于长方形来说，最简单的一半就是连接对角线，当然通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形。
【典型例题】如图，在长方形中有3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。
A.10B.11C.12D.13【对应练习】如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积是25，三角形BQC的面积为35，则阴影部分面积为多少？【考点二】几何模型其二：等高模型。
【方法点拨】三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2。
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
（1）等底等高的两个三角形面积相等。
（2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
（3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
小学数学奥数专题 沙漏模型 PPT+课后作业 带答案
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练习5
如图：在三角形ABC中，MN平行于BC，AM＝2厘米，BM＝3厘米，三角形MNP的面积是 4平方厘米，求三角形BPC的面积。
MN:BC= AM:AB= 2:（2+3）=2:5 S△MNP:S△BPC=4:25 △BPC的面积：4÷4×25=25（平方厘米）
小学几何模型之 沙漏模型
课前引入：相似三角形
（1）认识相似三角形 形状相同，大小相似（三个角对应相等）
∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
△ABC和△DEF相似
（2）相似三角形的对应线段（对应高，对应边）的比等于相似比
相似比 AB AC BC AM DE DF EF DN
M
N
沙漏模型
如图：三角形AOB和三角形COD组成沙漏模型。 判定方法：①一组平行线，②一组交叉线。
2
2
3
QN:AB=NC:BC=3:（3+2）=3:5
QN的长度：（1+2）÷5×3=59（cm）
FQ的长度：2－ 59= 15（cm）
阴影部分的面积：
1 3
×
1 5
÷
2
=
310（cm2）
总结：金字塔模型中对应边比相同
练习4
如图：正方形BDEF和直角三角形ABC重叠在一起，已知AF:FB＝1:3，BD:DC＝3:4，AC 与EF、ED分别交于点G、H。求三角形EGH与正方形BDEF的面积比。
总结：金字塔模型中三角形面积比等于对应边平方的比
练习3
如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD＝3厘米，DF＝2厘米，FB＝1 厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。
沙漏模型的公式及定理推导
沙漏模型的公式及定理推导沙漏模型，或称为沙漏问题，是数学上的一个经典问题，它涉及到时间的问题以及两个容器之间物质的运动。
本文将从基本公式开始，逐步推导出沙漏模型的定理。
首先，我们定义一个沙漏模型，它由两个等高、相连的圆锥形容器构成。
这两个圆锥形容器的上底和下底的圆面积分别为A1和A2，两底的半径分别为r1和r2，容器的高度为h。
现在，我们考虑在这两个容器之间运动的物质。
假设容器中有一固定量的物质，我们用V表示它的体积。
由于沙漏两底的扁平性，在任意时刻，容器中的物质会形成一个沙漏形状，即物质在两个容器之间形成的界面是一个水平的面积为A的圆环。
这个圆环的半径我们用r表示。
那么，根据圆锥容器的几何关系，我们可以得到以下公式：V=A1*h1+A2*h2其中h1和h2分别表示物质在两个容器中的高度。
根据沙漏的形状，我们可以通过几何关系得到r和h之间的关系：h=h1+h2r1/h1=r/h=r2/h2将r1/h1和r2/h2两个式子分别代入第一个式子得：V=A1*h1+A2*(h-h1)V=A1*h1+A2*(h-r1*h1/r2)进一步化简得到：V=(A2*r1/r2-A2)*h1+A2*h为了推导出沙漏模型的定理，我们需要引入一个前提，即V和A是已知量。
通过观察发现，在V和A不变的情况下，h1和h2之间存在一个最大最小关系。
也就是说，当我们改变h1时，h2会相应地发生变化，而他们的乘积h1*h2是一个常数。
这个常数我们用K来表示。
由此，我们可以得到以下公式：K=h1*h2接下来，我们来证明K的常数性质。
将h2的值代入到K的公式中得：K=h1*(h-h1)对K求导：dK / dh1 = 1 * (h - 2h1)要使得K为常数，即dK / dh1 = 0，我们得到h1的取值：h1=h/2这说明当沙漏呈现对称形状时，容器中的物质分布是处于均衡状态的。
因此，根据以上推导，我们得出沙漏模型的定理：在一个呈沙漏形状的容器中，当物质量V和沙漏截面面积A都是已知量时，物质在容器中的分布会处于一个均衡状态。
沙漏模型(学习资料)
一、沙漏模型 1、 2、 3、
二、梯形中的沙漏模型
1、连结沙漏模型的上下两个顶点，你发现了什么？
2、如果在组成的图形中AB:CD ＝2:3，那么我们能计
算出哪些数量关系呢？
练习：如图所示，在梯形ABCD 中，AB:CD ＝3:4，那么你能标出梯形各部分的面积比吗？
如果梯形的面积是98，那么你能求出梯形各部分的面积
吗？
三、例题讲解
例1、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？
例2、如图所示，平行四边形ABCD 的面积是90，已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积。
CD
AB ∥b a ＝＝＝CD AB DO BO CO AO 22b a S S COD AOB ＝∆∆4
321:::S S S S。
沙漏模型推导过程
沙漏模型推导过程嘿，咱今儿个就来说说这沙漏模型推导过程。
你看啊，沙漏就像我们的生活，上面那一半是满满的机会和可能性，下面那一半呢，则是我们一步一个脚印走出来的成果。
想象一下，那细细的沙流就像是我们的努力，一点一点地从上面漏下来，堆积在下面。
这过程可不简单啊！就像我们在追求梦想的道路上，得不断地付出，才能看到成果慢慢堆积起来。
咱先说这上面的部分，那可是丰富多彩啊！各种想法、计划、目标，就像那五颜六色的沙粒，数都数不过来。
可光有这些不行啊，得让它们动起来，就像沙漏开始工作一样。
然后呢，这些沙粒就顺着中间那细细的通道往下流。
这通道就像是我们面临的困难和挑战，有时候窄得让人着急，可咱不能怕呀！就得慢慢地、耐心地让沙粒通过。
等沙粒到了下面，嘿，那可就是实实在在的收获啦！每一粒沙都是我们努力的见证。
这就好比我们经过一番奋斗后，取得的哪怕是一点点的小成绩，那也是无比珍贵的呀！你说这沙漏模型推导过程是不是很有意思？它告诉我们，成功不是一蹴而就的，得慢慢来，就像那沙粒一样，一粒一粒地积累。
我们不能心急，不能看到通道窄了就想放弃，得坚持住，让自己的努力不断地往下流，直到填满下面那一半。
在生活中，我们常常会遇到各种阻碍，就像沙漏中间的通道有时会被堵住一样。
但我们不能因此就停滞不前啊，得想办法把那些阻碍清除掉，让沙流继续顺畅地流下去。
而且，我们不能只盯着下面已经堆积起来的沙，而忘记了上面还有那么多的机会和可能等着我们去挖掘。
我们得时刻保持着那份热情和冲劲，就像沙漏永远不会停止流动一样。
别小看这一点点的努力，时间久了，积累多了，那可就是了不起的成就呀！所以啊，朋友们，让我们像沙漏一样，不慌不忙，一步一个脚印地往前走。
不管遇到什么困难，都要坚信，只要我们坚持，那细细的沙流终究会堆积成我们想要的模样。
不要嫌过程太慢，不要嫌成果太小，因为每一粒沙都是我们人生的宝贵财富。
让我们用自己的努力和汗水，打造出属于我们自己的精彩沙漏人生！。