届高考数学一轮复习讲义第七章不等关系与不等式-精品.ppt

变式训练 1 适当增加不等式条件使得下列命题成立： (1)若 a>b，则 ac≤bc； (2)若 ac2>bc2，则 a2>b2； (3)若 a>b，则 lg(a＋1)>lg(b＋1)． 解 (1)原命题改为：若 a>b 且 c≤0，则 ac≤bc，即增加条件 “c≤0”． (2)由 ac2>bc2 可得 a>b，当 b≥0 时，有 a2>b2.即增加条件“b≥0”．
(3)不等式的传递性：若 a>b，b>c，则 a>c，这是放缩法的依据， 在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误： 为证明 a>c，选择中间量 b，在证出 a>b，c>b 后，就误认为能得 到 a>c. (4)同向不等式可相加，但不能相减，即由 a>b，c>d，可以得出 a ＋c>b＋d，但不能得 a－c>b－d.
(3)由 a>b 可得 a＋1>b＋1，但作为真数，应有 b＋1>0，故应增 加条件“b>－1”．
比较实数或代数式的大小
例 2 已知 a≠1 且 a∈R，试比较1－1 a与 1＋a 的大小．
要判断1－1 a与 1＋a 的大小，只需研究它们差的符号． 解 ∵1－1 a－(1＋a)＝1－a2a， ①当 a＝0 时，1－a2a＝0，∴1－1 a＝1＋a. ②当 a<1，且 a≠0 时，1－a2a>0，∴1－1 a>1＋a. ③当 a>1 时，1－a2a<0，∴1－1 a<1＋a.
2．理解不等式的思想和方法 (1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引 起高度注意，要注意强化． (2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算． (3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如 a>b、c>d 在 什么条件下才能推出 ac>bd. (4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间 的联系．
>
n b.
双向性：a>b⇔b<a.
a>b⇔a＋c>b＋c.
3．不等式的一些常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0⇒1a
<
1 b.
②a<0<b⇒1a <
1 b.
③a>b>0,0<c<d⇒ac
>
b d.
④0<a<x<b
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a<x<b<0⇒1b <
1x <
1 a.
要点梳理
忆一忆知识要点
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质： ba<ba＋＋mm；ba>ba－－mm(b－m>0)．
②假分数的性质： ab>ab＋＋mm；ab<ab－－mm (b－m>0)．
[难点正本 疑点清源] 1．在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点
(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数 a、 b 有 a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b，这是比 较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石． (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注 意在解题中灵活、准确地加以应用．
探究提高
实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判 定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论．
变式训练 2
已知 a、b、c 是实数，试比较 a2＋b2＋c2 与 ab＋bc＋ca 的大小．
解 方法一 (作差法) ∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca) ＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 当且仅当 a＝b＝c 时取等号， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
解 (1)因未知 c 的正负或是否为零，无法确定 ac 与 bc 的大小， 所以是假命题．
(2)因为 c2≥0，所以只有 c≠0 时才正确．
c＝0 时，ac2＝bc2，所以是假命题．
(3)因为 a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，
所以 a2>ab>b2，命题是真命题． (4)由性质定理 a<b<0⇒1a>1b，命题是真命题． (5)例如－3<－2<0，23<32，命题是假命题．
方法二 (函数法) 记 t＝a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca) ＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc，
∵Δ＝(b＋c)2－4(b2＋c2－bc) ＝－3b2－3c2＋6bc＝－3(b－c)2≤0， ∴t≥0 对 a∈R 恒成立，即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
不等式的性质
例 1 对于实数 a、b、c，判断下列命题的真假． (1)若 a>b，则 ac>bc； (2)若 a>b，则 ac2>bc2； (3)若 a<b<0，则 a2>ab>b2； (4)若 a<b<0，则1a>1b； (5)若 a<b<0，则ba>ab.
利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．
(1)传递性：a>b，b>c⇒a > c. (2)同向相加性：a>b，c>d⇒a＋c > b＋d. (3)乘法单调性： a>b，c>0⇒ac > bc； a>b，c<0⇒ac < bc； a>b>0，c>d>0⇒ac > bd； a>b>0(n∈N*)⇒an bn；
要点梳理
忆一忆知识要点
a>b>0(n∈N*，n≥2)⇒n a
一轮复习讲义
不等关系与不等式
要点梳理
忆一忆知识要点
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法aa－ －bb>＝00⇔⇔aa>=bb a－b<0⇔a < b
(a，b∈R)；
ab>1⇔a > b (2)作商法ab＝1⇔a = b
ab<1⇔a < b
(a∈R，b>0)．
要点梳理
忆一忆知识要点
2．不等式的性质 单向性：
－a>－b>0 或者由 a<b<0⇒1 1
b<a<0 ⇒ab>ba，命题是假命题．
－a>－b>0 ⇒－1b>－1a>0
探究提高
(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与 不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质 判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如 对数函数、指数函数的性质． (2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假 未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正 好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． (3)说明一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊 值法肯定一个命题，只能利用所学知识严密证明，在用不等式性 质证明命题时，可适当使用一些不等式性质的推广命题．