定积分换元法与分部积分法习题教学文稿
A5-3定积分的换元法和分部积分法 共42页
解 令 tcox,s d tsix nd, x
x t0, x0t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt 1
t6 1
6
1. 6
0
例2 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
1
0
xf(x)dx
1201
f(x)d(x2)
1 2
x2
f
(x)
1 0
1201x2df(x)
1 2
f
(1)
1 1x2
20
f(x)dx
f(x)1x2stin td,t
1sitn
f(1)1 t dt0,
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
设 函 数 u(x)、 v(x)在 区 间 a,b上 具 有 连 续
导 数 ， 则 有 a budvub a va bvd.u
定积分的分部积分公式
推导 uvuvuv, ab(uv)dxuvba,
ub a va bu vd xa bu vd,x
budvuvb
1 、 2 sin cos 3 d ； 2 、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
3 、
1 3
4
dx ； 1 x 1
4 、
2
cos x cos 3 x dx ；
2
5、 1 cos 2 x dx ； 0
6、
2
4
cos
4
dx
；
2
7 、 1 ( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ； 1
第三节定积分的换元法和分部积分法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(
n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i n
n
1
0
sin
xdx
1
[
cos
x]0
2
i
xi
或上式 lim 1
n sin i lim n sin i 1
1
sinxdx
n n i1 n n i1 n n 0
1
[ cosx]10
2
i xi
15
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16
二、小结
1.定积分旳分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法旳区别）
2.利用定积分定义求无限（和、积）项旳极限
参见《高等数学学习指导》P86-87 例1、例2、例3
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
7
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8
【教材例10】 证明定积分公式(华里士（Wallis）公式)
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
n
1 1
n n n
1
第三节 定积分旳换元法和分部积分法 （二）
第三节定积分换元法和分部积分法 (2)共72页
2sin n1xd (coxs) 0
sn i 1 x n cx o 2 s 2 (n 1 )sn i 2 x n c2 o x d xs 00
及 f(( t)) ( t) d t F (() ) F (())
F (b)F (a) 从而(1)式成立.
例2. 求a a2x2dx 0
x a
解: 令 x = asint.
当 0xa时 , 0t2 0
x = asint
t
2
且 x 0 t 0 ,
xa t2,
a 2 x 2 a1 s2 it n a ctos
T
T
0 f(x)d xa f(x)d x
故等式成立.
例6. 设 f(x) C (0 [,1 ])则 ,
2f(sxi)d nx2f(cxo )dxs
0
0
证: 作变x换 2t,则
2f(sx i)d nx0f(cto ) (sdt)
2
f (coxs)dx
0
2
0
特别地有
2sin nxdx2conxsdx
证明: (1)式右、左均代表一个数, 我们验证这两个 数相等.
由i)知f (x)在[a, b]上有原函数.设为F(x), 又由
复合函数求导法则.和 ii) 知F((t))是 f ((t))'(t)在 [, ]上的一个原函数.
由Newton-Leibniz公式有
b
af(x)dxF(b)F(a)
一、换元法
例1. 求 2 xex2dx 0
解: Newton-Leibniz公式, 若F' (x) = f (x), 则
a bf(x )d x F (b ) F (a ) F (x )b a
第28讲：《定积分的换元法与分部积分法》内容小结、课件与典型例题与练习
第28讲：《定积分的换元法与分部积分法》内容小结、课件与典型例题与练习定积分的换元法与分部积分法是定积分计算的基本方法，即在基于微积分基本公式，直接应用基本初等函数的不定积分基本积分表和线性运算计算出定积分时，首先应该考虑的定积分计算思路与方法. 两种方法应用的被积函数结构类型和思路探索方法与不定积分相应方法完全一致，应用过程中不同的地方主要把握如下几点：1、关于定积分的换元法(1) 选取的函数一般为讨论区间范围内的单调可微函数.(2) 换元换限时一定注意积分上、下限要对应变化，即上限对上限，下限对下限.(3) 换元要求将被积表达式中的所有积分变量符号都有新的变量表达式替换.(4) 不定积分换元计算出原函数来以后，一定要通过相应的全部换元过程的逆代换换回原来的积分变量符号表达式，不定积分不具有变量符号描述的无关性.(5) 与不定积分不同，定积分换元后直接针对换元后的变量和积分限计算定积分即可，没有回代过程！同时注意，定积分具有变量符号描述的无关性.2、关于分部积分法同样其应用的思路与步骤与不定积分一样，函数的选择也一般遵循“反对幂指三”的原则. 对于多次应用分部积分法的步骤，遵循“边积边代限”来简化计算过程. 一般定积分的分部积分法的过程、结果描述，相对于不定积分的分部积分法要简洁、直接.分部积分法特别适用的固定的题型包括：被积函数无法拆分和直接求原函数，则考虑直接令其为公式中的u函数，比如变限积分函数、反函数、抽象函数等；当被积函数中本身含有导数表达式时，直接将其放入微分来构造v函数等.3、常用结论与公式在计算定积分时，适当记作有些结论和公式对于简化、提速积分计算具有很大帮助，比如如下几个公式都可以直接使用来计算定积分，尤其是其中的华莱士公式及其变形式.其中, 在 , 上的积分一般也可以转换为上计算来计算. 比如有基于数学软件的不定积分、定积分的计算与近似数值计算方法，以及计算结果正确性、有效性的验证，可以参见如下的两个推文：•在线计算专题(07)：不定积分、定积分与重积分、曲线、曲面积分的计算•一道积分算一天，你确信积分对了吗？。
定积分换元法与分部法教案
定积分换元法与分部法教案教案内容：一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它被广泛应用于求解曲线下面积、求解平均值、求解弧长等问题。
而在计算定积分时，换元法与分部法是两种常用的方法。
本教案将详细介绍定积分中的换元法与分部法，并通过案例讲解它们的具体应用。
二、换元法换元法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分运算。
下面我们以一个简单的例子来说明换元法的基本思想和步骤。
例子1：计算∫(2x+1)^2 dx，其中被积函数为(2x+1)^2。
解：我们首先进行变量替换，令u=2x+1，那么x=(u-1)/2。
同时计算du/dx=2，可以得到dx=du/2。
将这些结果代入原式中得到：∫(2x+1)^2 dx = ∫u^2 (du/2) = 1/2 ∫u^2 du = 1/2 * (u^3/3) + C，其中C 为常数。
最后将u=(2x+1)带回，得到最终结果为1/6 (2x+1)^3 + C。
通过这个例子，我们可以总结出换元法的一般步骤和注意事项：1. 将被积函数中的一部分或全部替换成新的变量，构造一个合适的换元公式。
2. 计算新变量对应的微分形式，并将其代入原式中进行变换。
3. 进行简化和积分运算。
4. 将新变量转换回原变量，并得到最终结果。
三、分部法分部法（也称为积分法）是求解含有乘积形式的函数积分时常用的方法。
它基于积分的乘法法则，通过选取合适的被积函数和积分函数，将原积分问题转化为两个较简单的积分问题。
以下是分部法的一般步骤和一个案例来说明：步骤：1. 选取合适的被积函数和积分函数。
2. 计算分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du。
3. 通过代入具体值计算被积函数和积分函数的值，并将结果代入分部积分公式。
4. 对右侧的两个积分进行继续的分部积分，直到能够得到可直接求解的积分表达式。
例子2：计算∫x ln(x) dx。
解：我们选取被积函数u = ln(x) 和积分函数dv = x dx。
5-3定积分的换元法与分部法-精品文档
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
定积分换元法与分部积分法习题教学文稿
定积分换元法与分部积分法习题1 •计算下列定积分:⑴ g 3)dx；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式【解法二】化到sin( x3)dx sin(x3 3[cos( 应用定积分换元法于是有dx ；2(11 5x)3；【解法一】应用牛顿u，则dx du，sin(x )dx3 3[cos3 -莱布尼兹公式1 dx2(11 5x)31 (1 1 2【解法二】应用定积分换元法令11 5x u，变化到16,于是有1 dx32(11 5x)3)d(x 3)cos(x 3)cos(—一)] [ cos3 3 3当x从3单调变化到423sinudu3(cos3)]35x) 3d(111^(11 5 11)2cosu43235x) 1(112(11 5 2)2]则dx 1du，5(cos )]。
32时，u从3单调变[cos43cos2]35x) 21( 12 1)10 16251512 当x从2单调变化到1时，u从1单调16u 1 3du 152 1611o（卡1）誥。
⑶ 0%in cos 1 2 3 d ；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式1 44[cos cos 0] 4 2【解法二】应用定积分换元法单调变化到0,于是有⑷ o (1 sin 3 )d ；由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对sin 3 d 的积分,这是正、余弦的奇数次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次 式以便作凑微分： sin d d cos ，余下的sin 21 cos2 ，这样得到的1 -cos 31]令cos u ，sin du，单调变化到 2时，u 从12sin cos 3:u 3du0u3du(1 cos 2)d cos 便为变量代换做好了准备。
具体的变换方式有如下两种:【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式30 (1 sin )d1d°sin 2sin d0 o (1 cos2)d cos(cos(coscos0) 1(cos 33cos 3 0)【解法二】应用定积分换元法1)1(11)2• 3 2sin cos d2 32cosdcos1 4cos4【解】被积式为(1 sin 3)d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ， 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号．=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-．例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解 设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．2．定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得vdu uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(． (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a 与b 是自变量x 的下限与上限． 例7 计算xdx eln 1⎰．解 令dx dv x u ==,ln ，则x v xdxdu ==,．故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e ．例8 计算xdx x 3cos 0⎰π．解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=． 例9 计算⎰+42cos 1πdx xx．解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π． 例10 计算⎰403sec πxdx ．解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx ．即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得．故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx ． 例11 计算dx e x ⎰10．解 先用换元法，令t x =，则tdt dx t x 2,2==． 当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t ． 于是dt te dx e t x⎰⎰=112．再用分部积分法，得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e ．小结：1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ． 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(．。
定积分的换元法和分部积分法课件-精选文档
5
2 ln x 例 2 计算 dx 1 x
e
6
此种方法可以不明显写 出新变量，如上例也 可这样解：
e 2 ln x 解 dx ( 2 ln x ) d ( 2 ln x ) 1 1 x 1 1 5 2e [( 2 ln x ) ] ( 9 4 ) 1 2 2 2 e
) dx F ( b ) F ( a ) f(x
a
b
f[
( ( t)] t) dt F [ (t)]
F [ ( )] F [ ( )]
f ( x )dx f[ ( t)] ( t) dt a
b
2
F ( b ) F ( a )
求不定积分那样把 ( t) 还原成 x 的函数，而只须直 t 的
4
换元公式也可以反过来 使用:
f [ ( x )] ' ( x ) dx f [ ( x )] d ( x ) a a
b b
t ( x )
( t ) dt ( ( a ), ( b )) f
b
b
所以
' dx [ uv ] ' vdx uv u
a b a a
b
b
或
[ uv ] udv vdu
a b a a
b
b
这个公式就是定积分的 分部积分公式 13
注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,
故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.
注：当不引入新 ，变 定量 积时 分的上、 不下 变限 更就 。
x04-3定积分的换元法和分部积分法
2 (1 1 ) e
例
已知
f
( )
1，且 0
f
(x)
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x)sin
xdx
3，
则 f (0) 2
例5
设 f(x) x2sintd,t求
1
xf(x)dx.
1t
0
解
1
0
xf(x)dx
1201
f(x)d(x2)
1 2
x2
f
(x)
1 0
1201x2df(x)
1 2
f (1)
1 1x2
(
x)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d中 令 x x t,
0
0
a f(x)dxa f(t)dt
a
f (x)dx,
0
a
a
f(x)d x [f(x)f(x)d ] x
a
0
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
例
指 出 求 2 dx的 解 法 中 的 错 误 ， 并 写 出 正 确
2 xx21
的 解 法 .
解 令 xset,ct :23, d x ta tsn e td ,ct
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx
定积分的换元法和分部积分法
a
a
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫
a 0
0
T
a +T
T
f ( x)dx
例9 求
∫
π +1
1
sin 2xdx
解 函数sin2x 是以为周期的周期函数，故
∫
π +1
1
sin 2 xdx = ∫
π
0
1 π 1 sin 2 xdx = ∫ sin 2 xdx = [ cos 2 x ]π = 0 0 2 0 2
2 7 2
π
解 （1）因为f(x)=sin7x在 [ 2 , 2 ]
x dx (2)在 ∫4π 4 1 + cos x
π
x （2）π ∫ 4 1 + cos xdx
4
π
π π
上为奇函数，所以∫2π sin 7 xdx = 0
2
π
中，令f(x)=
x 1 + cos x
，因为
f(-x)= 所以f(x)在
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx
a 0 0 0
0
T
a
T
对右边第三个积分，x=t+T, 则dx = dt , 当x = T 时, t = 0, 当x = a + T 时, t = a,
∫
a +T
a
f ( x)dx = ∫ f (t + T )dt = ∫ f (t )dt ,
3.6 定积分的换元法与分部积分法
= ϕ (t ) 把
例1 求积分 解一
∫
a
0
a 2 − x 2 dx ( a > 0 ) .
原来的积分变量换为新积分变量时， 原来的积分变量换为新积分变量时，积分限也要换 为相应于新变量所对应的积分限 为相应于新变量所对应的积分限.
∫
a
0
a 2 − x 2 dx
π
2
π
∫ f ( x ) dx
b a
x = ϕ ( t ) , dx = ϕ ′ ( t ) dt
a → α,
b→β
∫α
β
f ϕ ( t ) dϕ ( t )
x = a sin t , dx = a cos tdt 0 → 0, a →
∫
π
2 0
a cos t ⋅ a cos tdt
=∫ f ϕ ( t ) ϕ ′ ( t ) dt. α
切记： 切记：换元的同时要换限， 换元的同时要换限，且原积分变量
x
a +lO
1 4 1 cos3 2 xd(2x) = ∫ 4 cos 2 2 xd(sin2x) 2 ∫0 2 0
π
4 0
π
π
∫
0 0
u 2 du = 0
3
1 π 1 = ∫ 4 (1 − sin 2 2 x)d(sin2x) = (sin 2 x 2 0 2 = 1 1 1 (1 − ) = . 2 3 3
sin 3 2 x − 3
π
4 0
)
此结果明显错误！ 此结果明显错误！因为原式的被积函数＞ 因为原式的被积函数＞０， 积分下限又＜ ＜积分上限， 积分下限又 积分上限，因此原式表示 x 轴上方的 一个曲边梯形的面积， 一个曲边梯形的面积，应该＞ 应该＞０，错在哪里？ 错在哪里？ π cos x, 0 ≤ x ≤ 2 , 2 注意第二个等号， 注意第二个等号，当 0 ≤ x ≤ π 时，1− sin x = − cos x, π ≤ x ≤ π 2
定积分的换元积分法及分部积分法教案
定积分的换元积分法及分部积分法教案在数学学科中，定积分是重要的概念之一，它用于计算曲线下的面积以及求解一些与曲线相关的问题。
在定积分的计算过程中，换元积分法（也被称为代换法）和分部积分法是两种常用的方法。
本文将分别介绍这两种方法的基本思想、应用场景以及具体的计算步骤。
一、换元积分法换元积分法是一种通过引入新的自变量来简化被积函数的积分形式的方法，常用于求解复杂函数的积分。
其基本思想是将被积函数中的一个部分替换为新的变量，从而使得替换后的函数更易于求积分。
换元积分法的基本步骤如下：1. 选取合适的代换变量。
通常选择函数中的某一部分作为代换变量，希望将其替换为一个新的单变量函数。
2. 进行变量代换。
将选取的代换变量与原函数进行替换，得到含有新变量的复合函数。
3. 求解新函数的导数和逆函数。
根据链式法则，计算出新函数的导数，并求出其逆函数。
4. 替换变量并求积分。
将原函数中的变量用代换变量表示，将被积函数转化为新的积分形式。
最后，根据积分的基本性质求解出最终的积分结果。
换元积分法常用于求解包含复杂函数的积分，通过选择合适的代换变量，可以将原函数转化为更加简单的形式，使得计算过程更加容易和高效。
在实际应用中，对于具体的函数形式，需要灵活选择代换变量，以获得最佳的换元效果。
二、分部积分法分部积分法是求解积分中的乘积形式时常用的一种方法，用于将乘积形式的积分转化为更易求解的形式。
它基于求导法则中的乘积法则，通过对原函数进行分部积分，将原积分问题转化为简化后的积分问题。
分部积分法的基本步骤如下：1. 选择分部积分的形式。
对于被积函数中的乘积形式，选择其中一个函数进行求导，另一个函数进行积分。
2. 计算分部积分后的结果。
通过应用乘积求导法则，对原函数进行求导和积分，得到分部积分后的结果。
3. 化简并重复应用。
如果分部积分后的新积分形式仍然是乘积形式，则继续应用分部积分法进行反复化简，直到积分变得简单易解为止。
4. 求解最终的积分结果。
5.3-定积分的换元法和分部积分法-习题
1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos u ππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
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定积分换元法与分部积分法习题1．计算下列定积分：⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有 3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos uππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶320sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰320cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3sin d θθ的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sin cos d d θθθ=-，余下的22sin 1cos θθ=-，这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变量代换做好了准备。
具体的变换方式有如下两种：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3(1sin )d πθθ-⎰201sin sin d d ππθθθθ=-⎰⎰20(1cos )cos d ππθθθ=+-⎰301(cos cos )3ππθθ=+-331(cos cos0)(cos cos 0)3πππ=+---1(11)(11)3π=+-----43π=-。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到π时，u 从1单调变化到1-，于是有30(1sin )d πθθ-⎰2001sin sin d d ππθθθθ=-⎰⎰20(1cos )cos d ππθθθ=+-⎰121(1)u du π-=+-⎰3111()3u u π-=+-1(11)(11)3π=+-----43π=-。
⑸226cos udu ππ⎰；【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：21cos cos 22u u+=，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：21cos 2cos 2uu +=，使之可以换元成为基本可积形式：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式226cos udu ππ⎰261cos 22u du ππ+=⎰226611(cos 22)22du ud u ππππ=+⎰⎰ 226611(sin 2)22u u ππππ=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-1(23π=。
【解法二】应用定积分换元法令2u x =，则12du dx =，当u 从6π单调变化到2π时，x 从3π单调变化到π，于是有226cosudu ππ⎰261cos 22u du ππ+=⎰226611(cos 22)22du ud u ππππ=+⎰⎰ 23611(cos )22u xdx ππππ=+⎰311[()sin ]2262x ππππ=-+11[(sin sin )]2323πππ=+-1(23π=。
⑹；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x u =，当x 从0u 从0单调变化到2π，且u ==，dx udu =，使得u udu =21cos 222udu π+=⎰ 220cos 2du udu ππ=+⎰⎰2201cos 222uud u ππ=+⎰ 2201sin 22uu ππ=+1(sin 0)22ππ=+-2π=。
⑺12x ； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x u =，当x从单调变化到1时，u 从4π单调变化到2π，且222cos sin sin u x u u ==，cos dx udu =，使得12dx x 224cos cos sin u udu u ππ=⋅⎰224cot udu ππ=⎰224(csc 1)u du ππ=-⎰ 24(cot )u u ππ=--[(cotcot )()]2424ππππ=--+-14π=-。
⑻0ax ⎰（0a >）；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sin x a u =，当x 从单调变化到a 时，u 从单调变化到2π，且222sin sin cos x a u a u ==⋅，cos dx a udu =，使得ax⎰2220sin cos cos a u a u a udu π=⋅⋅⎰422sin 24audu π=⎰4201cos 442a u du π+=⎰4201(sin 4)84a u u π=+41[(sin 20)]824a ππ=+-4116a π=。
⑼1【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令tan x u =，当x 从1时，u 从4π单调变化到3π，且222sec tan sec uduu u ==2cos sin u du u =21sin sin d u u =使得13241sin sin d u uππ=⎰ 这时，再令sin u t =，当u 从4π单调变化到3π时，t从2单调变化到又得3241sin sin d u u ππ⎰21dt t ===-=。
⑽0⎰；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转化为标准形：==现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令1sin x u -=，当x 从0单调变化到1时，1x -从1-单调变化到0，从而u 对应从2π-单调变化到0，cos u ===，cos dx udu =，于是⎰2cos cos u udu π-=⋅⎰021cos 22u du π-+=⎰0211(sin 2)22u u π-=+11{[0()][sin 0sin()]}222ππ=--+--4π=。
⑾41⎰； 【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：u =，当x 从1单调变化到4时，u 从1单调变化到2，且由此得2x u =，2dx udu =11u=+，于是41⎰2121udu u =+⎰2112(1)1du u =-+⎰212(ln 1)u u =-+2[(21)(ln3ln 2)]=---32(1ln )2=-22(1ln )3=+。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1u +=，当x 从1单调变化到4时，u 从2单调变化到3，且由此得2(1)x u =-，2(1)dx u du =-1u=，于是41⎰322(1)u du u -=⎰3212(1)du u =-⎰322(ln )u u =- 2[(32)(ln3ln 2)]=---32(1ln )2=-。
⑿1；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：u =，当x 从34单调变化到1时，u 从12单调变化到0，且由此得21x u =-，2dx udu =-11u =-，于是101221u du u -=-⎰12012(1)1du u =+-⎰1202(ln 1)u u =+-112(ln ln1)22=+-12ln 2=-。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1u =，当x 从34单调变化到1时，u 从12-单调变化到1-，且由此得21(1)x u =-+，2(1)dx u du =-+1u=，于是11122(1)u du u ---+=⎰12112(1)du u --=+⎰1212(ln )u u --=+112[()(1)ln ln 1)]22=---+---12ln 2=-。
⒀1-⎰； 【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：u =，当x 从1-单调变化到1时，u 从3单调变化到1，且由此得21(5)4x u =--，12dx udu =-1u=，于是 1-⎰123111(5)42u udu u --=⋅-⋅⎰1231(5)8u du =-⎰31311(5)83u u =- 311[(13)5(13)]83=---16=。
⒁1221xedx x ⎰； 【解】由于11221xx e dx e dx x x =⋅，为含复合函数1x e 的积分，且微分部份21dx x仅与复合函数1xe 之中间变量1x 的微分21dx x-相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式1221xe dx x ⎰1211x e d x=-⎰121x e =-112()e e =--e =【解法二】应用定积分的换元法令1u x=，当x 从1单调变化到2时，u 从1单调变化到12，且由此得21dx du x-=，于是 1221xe dx x ⎰12211xe dx x=⎰121u e du =-⎰121u e =-112()e e =--e =⒂2120t te dt -⎰；【解】为含复合函数22t e-的积分，且微分部份tdt 与复合函数22t e-之中间变量22t -的微分tdt -仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式2120t te dt -⎰22120()2t t e d -=--⎰2120t e -=-102()ee -=--1=。