计量经济学复习题(同名9824)

2.1．对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S μβα++=使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384ˆtt Y S +=2R ＝0.538 023.199ˆ=σ（1）β的经济解释是什么？（2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。

同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。

你的结论是什么？解答：（1）β为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。

（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此α符号应为负。

储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期β的符号为正。

实际的回归式中，β的符号为正，与预期的一致。

但截距项为负，与预期不符。

这可能与由于模型的错误设定形造成的。

如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。

（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。

模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。

（4）检验单个参数采用t 检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。

双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。

由t 分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。

斜率项计算的t 值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t 值为384.105/151.105=2.54。

可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。

2-2．判断正误并说明理由：1) 随机误差项u i 和残差项e i 是一回事2) 总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值 3) 线性回归模型意味着变量是线性的4) 在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果5) 随机变量的条件均值与非条件均值是一回事 答：错；错；错；错；错。

2-3． 试证明：（1）0=∑i e ，从而：0=e （2）0=∑i i x e（3）0=∧∑i i Y e ；即残差i e 与i Y 的估计值之积的和为零。

答：⑴根据定义得知，)()()(21212121X Y n X n n Y n X n Y X Y Y Ye ii i i i iiββββββββ--=--=--=--=-=∑∑∑∑∑∧X Y 21ββ+=0=∴∑i e从而使得：0==∑ne e i证毕。

⑵[]00)1()(()()()ˆˆ())(ˆ(=∴=-=-=-++--=-+---=+--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i X e n X e X e X e X e Y X X e X Y Y X X Y e Y X X e Y Y X X Y Y X Y X Y X X Y X X Y Y X e证毕。

⑶)(ˆ212121=+=+=+=∑∑∑∑∑∑iiii i i iii eX n e X e e X e Y e ββββββ证毕。

2-4．下面数据是对X 和Y 的观察值得到的。

∑Y i =1110； ∑X i =1680； ∑X i Y i =204200 ∑X i 2=315400； ∑Y i 2=133300假定满足所有的古典线性回归模型的假设，要求：（1）β1和β2？（2）β1和β2的标准差？（3）R 2（4）对β1、β2分别建立95%的置信区间？利用置信区间法，你可以接受零假设：β2=0吗？ 解： ⑴168==∑nXX i，111==∑nYY i177201111681011101681111680204200)())((=⨯⨯+⨯-⨯-=+--=--∴∑∑Y X X Y X Y Y X Y Y X X i i i i i i 331601681681031540010102)2()(222222=⨯⨯-=+⨯-=+-=-∑∑∑X X X X X X X X X i i i i 又5344.03316017720)())((22==---=∴∑∑X X Y Y X X ii iβ22.211685344.011121=⨯-=-=X Y ββ⑵8)ˆˆ2(210)ˆ(2ˆ22222∑∑∑+-=--=-=i i i ii iiY Y Y YYY n eσii X Y 5344.022.21ˆ+= 81.62016805344.022.2123154005344.05344.022.2122.21102042005344.02111022.212133300)25344.0222.212()ˆˆ2(2122221222=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-=+++⨯-⨯-=+-∴∑∑i i i i i i i i i i X X Y X Y Y Y Y Y Y ββββ60.77881.620ˆ2==∴σ81.73331601031540060.77)()(2221=⨯⨯=-=∴∑∑X X n X Var iiσβ，5913.881.73)(1==βse0023.03316060.77)(222===∑ixVar σβ，0484.00023.0)(2==βse⑶∑∑--=222)(1Y Yer ii，10090123210133300)(,81.62022=-=-=∑∑Y Y e i i 又9385.01009081.62012=-=∴r ⑷%95)306.2(=≤t p ，自由度为8306.25913.822.21306.21≤-≤-∴β，解得：110315.414085.1ββ为≤≤的95%的置信区间。

同理，306.20484.05344.0306.22≤-≤-∴β，解得：646.04227.02≤≤β为2β的95%的置信区间。

由于02=β不在2β的置信区间内，故拒绝零假设：02=β。

3.1以企业研发支出（R&D ）占销售额的比重为被解释变量（Y ），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：099.0)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.0221=++=R X X Y其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。

如果X1增加10%，估计Y 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？（2）针对R&D 强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。

分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D 强度Y 是否在统计上有显著的影响？ 解答：（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y 变化的单位数，即∆Y=0.32∆log(X1)≈0.32(∆X1/X1)=0.32⨯100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y 会增加0.32个百分点。

由此，如果X1增加10%，Y 会增加0.032个百分点。

这在经济上不是一个较大的影响。

（2）针对备择假设H1：01>β，检验原假设H0：01=β。

易知计算的t 统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。

在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t 值小于该临界值，所以不拒绝原假设。

意味着R&D 强度不随销售额的增加而变化。

在10%的显著性水平下，t 分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D 强度随销售额的增加而增加。

（3）对X2，参数估计值的t 统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y 在统计上没有显著的影响。

3-2．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？答：多元线性回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项i u 服从均值为0方差为2σ的正态分布假定。

在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。

3-3．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：i ki k i i i u x x x y +++++=ββββ 22110，n i ,,2,1 =的正规方程组。

答：含有待估关系估计量的方程组称为正规方程组。

正规方程组的非矩阵形式如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++-=++++-=++++-=++++-∑∑∑∑∑∑∑∑0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(221102221102122110122110ki ki k i i ki i i ki k i i i i i ki k i i i i kik i i i x x x x x y x x x x x y x x x x x y x x x y ββββββββββββββββ 正规方程组的矩阵形式如下：BˆX X '=Y X '3-4．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。

你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：方程A ：3215.10.10.150.125ˆX X X Y +--= 75.02=R 方程B ：4217.35.50.140.123ˆX X X Y -+-= 73.02=R 其中：Y ——某天慢跑者的人数1X ——该天降雨的英寸数 2X ——该天日照的小时数3X ——该天的最高温度（按华氏温度）X——第二天需交学期论文的班级数4请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？答：⑴方程B更合理些。

原因是：方程B中的参数估计值的符号与现实更接近些，如与日照的小时数同向变化，天长则慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数成反向变化，这一点在学校的跑道模型中是一个合理的解释变量。

⑵解释变量的系数表明该变量的单位变化在方程中其他解释变量不变的条件下对被解释变量的影响，在方程A和方程B中由于选择了不同的解释变量，如方程A选择的是“该天的最高X与这两个变量之间的温度”而方程B选择的是“第二天需交学期论文的班级数”，由此造成2关系不同，所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号。