勾股定理证明课件

从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如 图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方ABED 被分成两个矩形．连结CD和KB
∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等 高(即平行线AD和CN间的距离)， ∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
G
H C
K
ba
c
A
M
DN
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、
F
等高（即平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，
∴△ADC≌△ABK．
B
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形
ACHK＋S正方形CBFG．
方法一：欧几里得“公理化证明”
方法二：加菲尔德“总统证明 法方”法三：赵爽“勾股圆方图”
方法四：毕达哥拉斯“拼图”
方法一：欧几里得“公理化证明”
希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著 《几何原本》给出一个公理化的证明。
F
G
H
C
b
A
c
a
K
oB
E
MD
1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发 行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。
a2 b2 c2
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其它的证明方法：
刘徽“青朱出入图” 达·芬奇的证明 五巧板“拼图” 在印度、阿拉伯和欧洲出现的拼图证明
∵图形是相同的，方法不一样
∴ 1 a b2 2 1 ab 1 c2
2
22
∴ a2 b2 c2
从而证明了勾股定理
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方法三：赵爽“勾股圆方 图”
赵爽三国时期吴国数学家,在为《周髀算 经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，
也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的 证明,是我国古代数学成就。
榜样
D
b
c
C
a c
Aa E
b
B
D
b
cc
C
cc
a=
A aE
b
B
∵A.E.B在同一条直线上 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
1 a b2
2
D
b
c
C
c
= a
+
+
A aE
b
B
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， ∴图形面积=2÷2a × b+c ×c÷2
即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形
CBFG ，
E
也就是 a2+b2=c2．
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方法二：加菲尔德“总统证明法”
谁说总统就是在国家领导，每天忙于外交的工作，然而有一个人他在 1876年4月1日，在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一 证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总 统”证法。我们不要说自己忙忙于时间去做，任何事情，他就是我们的
股b
弦c
勾a
= 6×
+
∵ c × c+4÷2ab=8÷2ab+(b-a)(b-a)
∴ a2 b2 c2
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方法四：毕达哥拉斯“拼图”
毕达哥拉斯（公元前572—前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家.
图1
图2
A
B
b
a
b
a
D
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C
将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b) 的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方 形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所 示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两 个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必 定相等。